Aplicarea pe teren a proiectelor de constructii

Aplicarea pe teren a proiectelor de constructii

1. Generalitati

2. Notiuni asupra trasarii

3. Metode de trasare in plan a punctelor constructiilor

4. Lucrari topografice in timpul executiei constructiilor civile si industriale; trasarea altimetrica

5. Trasarea elementelor curbe ale constructiilor

Generalitati

Continutul lucrarilor topografice la proiectare

- Flaboiarea unui proiect se face de regula in doua faze:

- studiul tehnico-economis (STE);

- proiectul de executie (PE).

- Pentru constructiile la care dezvoltarea documentarii tehnice de la STE pana la PE necesita un volum relativ redus de proiectare, elaborarea proiectului se face intr-o singura faza denumita proiect in faza unica.

- Proiectul se elaboreaza in baza temei de proiectare avand scopul de a asigura alegerea justa a terenului pentru constructie precum si determinarea posibilitatilor tehnice ale obiectivului construit si alegerea zonei de amplasare. Studiile se pot clasifica in:

- studii topografico-geodezice;

- studii hidrologice;

- studii geologice;

- studii geotehnice;

- studii geofizice.

- Studiile topografico-geodezice constau in :

- studierea amanuntita a terenului in zona aleasa pentru constructie;

- executarea ridicarilor topografice;

- legarea si amplasarea pe harta a prospectiunilor geologice a aliniamentelor hidrologice.

Documentatia topografica necesara proiectarii:

a) planuri topografice ale teritoriului respectiv la scara 1:25000 - 1:5000 pentru indicarea amplasamentului constructiei;

b) planuri topografice la scari mari 1:1000 - 1:5000 necesare elaborarii proiectului, rezultate in urma ridicarilor topografice;

c) elemente topografice ale terenului din zona constructiilor (coordonate, cote, lungimi, unghiuri, desenarea punctelor retelei de sprijin);

d) profiluri longitudinale si transversale ale terenului;

e) planuri de retele subterane (apa, canalizare, gaze, energie electrica, termoficare etc.).

Conditiile care trebuie sa le satisfaca documentatia topografica:

- precizia reprezentarii;

- scara planului siechidistanta curbelor de nivel sa fie corespunzatoare;

- suprafata reprezentata sa fie acoperitoare (uneori trebuie sa cuprinda traseele diferitelor lucrari tehnice care se intind si in afara teritoriului studiat).

Precizia reprezentarii presupune:

- precizia reprezentarii planimetriei;

- precizia reprezentarii reliefului;

- precizia si detalierea planului;

- precizia reprezentarii planimetriei:

- lungimea medie totala de pozitie a punctului pe teren:

l_ter= l_p r 10^-3) m

- abaterea admisa (toleranta) T este egala cu:

T=(2.3) l_ter;

- proiectia reprezentarii reliefului se caracterizeaza prin eroarea totala l_H de determinare a cotei unui punct dupa curbele de nivel trasate pe plan. Marimea erorii depinde, in afara de influenta unor factori topografici (de precizia nivelmentului, etc) si de scara ridicarii, l:n, de echidistanta curbelor, de caracterul terenului ( accidentat sau ses);

- astfel pentru inclinarea medie a terenului a 3^G, l_H cuprins intre 0,16 m (sc. 1:5000), 0,06 m (sc. 1:1000) si 0,05 m (sc. 1:500);

- fidelitatea planului - gradul de asemanare a reprezentarii pe plan a tuturor sinuozitatilor contururilor planimetriei si reliefului. Daca fidelitatea este redusa se spune ca reprezentarea e generalizata. Cu cat scara planului este mai mare, cu atat creste fidelitatea reprezentarii. In cazul ridicarilor la scari mari se accepta ca erorile datorita generalitatii contururilor clare sa nu depaseasca 0,5 mm la scara planului;

- detalierea (volumul) planului - gradul de saturatie a planului cu obiectele existente in teren, a caror reprezentare in plan este necesara si posibila la scara si echidistanta dorita. Cerinta detalierii se determina odata cu alegerea scarii indicate.

Scara planurilor si echidistanta curbelor de nivel:

- la proiectare, planurile de situatie utilizate trebuie sa fie realizate la urmatoarele scari si cu urmatoerele echidistante:

- plan la scara 1:10000 cu E=1.2 m (ses) si E=5 m (accidentat) - se utilizeaza la proiectarea marilor constructii, la alegerea traseelor magistralelor (drumuri, cai ferate, linii de transport si energiei electrice, etc.) la determinarea suprafetelor si volumelor lacurilor de acumulare;

- plan la scara 1:3000 cu E=1 m (ses) si E=2 m (teren accidentat) - se utilizeaza la sistematizarea localitatilor;

- plan la scara 1:2000 cu E=0,5.1 m - se utilizeaza la elaborarea proiectelor hartilor hidrotehnice a planului generate ale constructiilor din localitati;

- plan la scara 1:1000 cu E=0,1.1 m -sunt baza pentru elaborarea detaliilor de executie in extravilan, la elaborarea planurilor de detaliu cu traseele de drumuri, cai ferate, incinte portuare si aeroporturi, etc.;

- plan la scara 1:500 cu E=0,5 (sau E=0,25 in terenuri plane cu pante mici) - se utilizeaza la intocmirea desenelor de executie a hartilor in localitati si constructii principale din intreprinderi industriale, a padurilor, barajelor, a traseelor cu racordurile instalatiilor pentru constructii, etc.;

- plan la scara 1:200 se executa numai pentru proiectarea detalii de construcii si instalatii: consolidarii de terasamente inceste portuare si aeroporturi, poduri, baraje, instalatii in cladiri, etc.;

- alegerea echidistantei trebuie sa se faca in asa fel incat precizia reprezentarii reliefului sa asigure ca erorile max. T_H=2l_H la determinarea cotelor dupa curbele de nivel sa nu depaseasca E/2 pentru echidistanta E=0,50 m si E/3 pentru E=1 m deci l_H 0,12 m respectiv l_H 0,16 m;

- distanta orizontala d, intre curbele de nivel vecine sa fie minimum 3.4 mm in terenurile cu pante mari si maximum 15..20 mm in terenurile cu pante mici (terenuri de ses):

E=d i n unde i= panta terenului pe linia de cea mai mare panta intre doua curbe vecine.

Pregatire topografica a proiectelor de constructii:

- pregatirea topografica a lucrarilor de trasare - ansamblul de operatii efectuate la birou in vederea proiectarii si aplicarii pe teren a unei constructii.

Documentatia topografica care sta la baza pregatirii lucrarilor topografice de trasare:

- tema lucrarii de executat cu caracteristicile tehnice;

- planul general al constructiei, care contine triplasamentele obiectivelor principale ale constructiilor la scarile 1:500 - 1:10000;

- planurile pe obiective extrase din planul general al constructiei care contin dimensiunile contururilor, distantele reciproce intre obiecte, precum si fata de axele lor, aceste planuri se intocmesc la scari mari: 1:2000, 1:1000, 1:500, 1:200;

- detaliile de executie pentru obiecte sau parti din obiecte si elementele de constructie, cu toate dimensuinile proiectate la scari mari: 1:500, 1:200, 1:100;

- planurile si profilurile destinate sistematizarii verticale;

- schemele cu retelele de sprijin ale ridicarii planimetrice si altimetrice;

- inventarul coordonatelor punctelor retelei de sprijin cu descrierea punctelor;

- dosarul calculelor de la ridicarea planimetrica si altimetrica.

Pregatirea topografica consta in:

- alegerea sistemului care va fi folosit pentru efectuarea trasarii;

- proiectarea retelei de sprijin pentru trasare (in cazul in care se foloseste o astfel de retea);

- alegerea celei mai corespunzatoare metode de trasare, care sa satisfaca precizia de amplasare pe teren a constructiilor proiectate;

- determinarea elementelor topografice (unghiuri, lungimi, diferentele de nivel), necesare trasarii pe teren a proiectului;

- intocmirea memoriului tehnic pistificativ care prevede ordinea de executie a lucrarilor topografice de trasare, instrumente necesare, metodele de aplicare pe teren a unghiurilor, a lungimilor si a cotelorpunctelor, modul de marcare si semnalizare pe teren a punctelor de control a lucrarilor de trasare, termenele si documentele necesare lucrarilor de trasare.

Ca rezultat al pregatirii topografice se obtin:

a. Planul general de trasare cu toate elementele necesare trasarii;

b. Schemele de trasare pentru fiecare obiect;

c. Elementele topografice de trasat;

d. Inventarul coordonatelor punctelor retelei de sprijin a trasarii precum si ale punctelor caracteristice de trasat.

2. Notiuni asupra trasarii:

- trasarea unei constructii - ansamblul de operatii efectuate in vederea aplicarii pe teren a elementelor topografice (unghiuri, distante, diferente de nivel, etc.) ale constructiei proiectate. Orice constructie se incepe cu trasarea pe teren a punctelor principale si secundare care delimiteaza conturul ei;

- trasarea pe teren a punctelor si liniilor constructiilor se desfasoara in urmatoarea ordine:

1. fixarea directiilor liniilor din proiect;

2. aplicarea in lungul acestor directii a lungimilor elementelor proiectate;

montarea elementelor proiectate, atat planometric cat si altimetric conform proiectului.

2.1. Precizia generala a lucrarilor de trasare:

Trasarea pe teren a constructiilor comporta in general trei etape:

- trasarea pe teren a axelor principale ale constructiei, pentru trasarea axelor principale se determina numai pozitia generala a constructiei pe teren si orientarea ei in raport cu constructiile vecine si cu centurile obiectelor existente pe teren;

- trasarea in detaliu a constructiei, care se efectueaza fata de axele principale. Se traseaza pe teren axele longitudinale si transversale ale partilor din constructie si detaliilor acestora, precum si axele elementelor de constructie (prefabricatelor din beton armat) in procesul de montaj si trasarea in detalii stabileste pozitia reciproca a elementelor de constructie se necesita o precizie mult mai ridicata decat trasarea axelor principale;

- trasarea si pozitionarea axelor de montaj si montarea in pozitia proiectata a utilajului tehnologic. Aceasta etapa necesita precizia cea mai ridicata.

Precizia de efectuare a lucrarilor de trasare depinde, deci, de:

- precizia trasarii axelor principale;

- precizia trasarii in detaliu si a montarii elementelor prefabricate din beton armat;

- precizia de montaj a utilajului industrial.

Precizia executarii constructiilor depinde de:

- precizia masuratorilor topografice;

- precizia calculelor la elaborarea proiectului;

- precizia efectuarii lucrarilor de constructii-montaj.

Deci marimea abaterii punctului constructiei e fata de pozitia teoretica:

I²=I_T²+I_p²+I_i²

unde: I_T - e.m.p. totala a influentei masuratorilor topografice (erori de lungime, unghi si cota)

I_p - e.m.p. totala datorita procesului de elaborare a proiectului constructiei

I_i - e.m.p. totala a lucrarilor de a-si monta inclusiv erorile la executarea elementelor prefabricate.

Daca proiectul constructiei prevede marimea abaterii admise D_T fata de dimensiunile proiectate:

e_r Dr/3.Dr/2

iar I_T D unde Dr - toleranta pentru masuratorile topografice la trasare-montaj, prevazuta in normativele de trasare.

2.2. Trasarea cotelor

2.2.1. Trasarea cotelor prin nivelment geometric

b_n

b G

r dhⁿ

d H_v H_B H_B^pr

S₀ H_R

Se poate face:

- in raport cu planul de vizare

bM=Hv-HBM

unde Hv=HR+r

- in raport cu diferenta de nivel proiectata:

bM=r-dhM

dhM=HBM-HR

Trebuie calculata si cota de lucru (c1)

c1=b-bM

Precizia trasarii cotelor prin nivelment geometric de mijloc:

I_H^M_B=Idh/3+Idh/2

I_H^M_B I_HR²+I_r²+I_b²+I_f²

Unde I_HR - erorile datelor initiale

Ir - eroarea de citire pe mira din R

Ib - eroarea de citire pe mira din B

If - eroare de fixare pe teren a punctului (prin tarus If=3.5 mm, prin If= 1 mm)

deci Ib (IHd2-IHR2-If2)/2

Eroarea pe mira are:

- o componenta sistematica:

- eroare datorata curburii Pamantului (se elimina prin nr. De mijloc);

- eroare datorata refractiei atmosferice (intre 10-16, ref. E max si trebuie reduse daca se cere o precizie ridicata);

- eroare legata de mira (curbura, divizare, inclinare-eliminata prin balansare sau folosirea nivelei sferice);

- erori legate de instrument (rectificarea gresita a neparalelismului axei de vizare cu nivelele torice - se elimina prin nivelment geometric de mijloc);

- eroare datorata conditiilor exterioare (vant, ploaie, etc - se evita masuratorile pe timp nefavorabil);

- erori grasolane (greseli - se evita prin masurarea cu atentie si repetarea masuratorilor) cu masurile specificate, eceste erori iau valori mici deci pot fi neglijate.

- o componenta intamplatoare:

- eroare de citire provocata de eroarea de vizare la 0,25 m un ochi normal vede 0,1 mm, deci IM=d/2,5M (mm)

d - lungimea pantei in mm

- eroare de citire datorata sensibilitatii nivelei torice

Ir=(t d)/1700 (mm)

Unde t - valoarea unei diviziuni in secunde sau Icomp=(Icomp"/p") d,

Icomp"=0,3"

D - lungimea parte

- eroarea de citire datorata grosimii firului reticular

la 100 m.......0,5 mm Ir=0,005 d (mm)

d........Ir

- eroarea de rotunjire pe mira I0=0,54 mm, la mira centimetrica;

- eroarea de trasare a diviziunilor Idiv-0,25 mm

2.2.2. Trasarea cotelor prin nivelment trigonometric

h I

I

H_B^M

S_o H_R

In prealabil se determina distanta D, apoi:

h=H_B^M-H_R

tga^M=h/D

2. Trasarea pe teren a liniilor de panta data

a) prin nivelment geometric de mijloc:

a

r b

i%

k T h b

HR dh

D

b) prin nivelment geometric de capat

b₁ b₂ b₃

I

1 2 i% 3

R/H_R

d₁

d₂

d₃

dh=r-b

h=(i% D)/100

- deci in B se bate un tarus de lungime I=dh/h

- daca se pune mira pe capatul tarusului trebuie sa se citeasca:

b^M=Q-h

b₁=I+(i% d₁)/100

b₂=I+(i% d₂)/100

Metode de trasare in plan a punctelor constructiilor

1. Metoda coordonatelor polare

B

A

d

c

- se aplica pe teren deschis, pentru constructii izolate, cai de comunicatii, etc.;

- marimile w si d se determina pe cale analitica, trigonometrica sau grafica in procesul pregatirii topografice

w q_AC q_AB

Controlul trasarii punctului C se efectueaza prin :

- trasarea punctului C din alt punct de sprijin

- trasarea punctului C prin alta metoda de trasare

- compararea distantelor si unghiurilor dintre punctele trasate, obtinute prin masurarea pe teren, cu valorile cunoscute din proiect.

Precizia de trasare se determina cu relatia:

tgq_AC=(y_C-y_A)/(x_C-x_A)

tgq_AB=(y_B-y_A)/(x_B-x_A)

d= (x_C-x_A)²+(y_C-y_A)²

unde: l_s - eroarea punctului de sprijin

l_d - eroarea de aplicare a distantei d

l_w - eroarea de trasare a unghiului w

l_f - eroarea de fixare a punctului C

l_c²= l_s²+l_d²+l_w r*d²+l_f²

2. Metoda coordonatelor rectangulare

- metoda se aplica in cazul existentei unei retele topografice de constructie rectangulara (patrate sau dreptunghiuri), iar punctele proiectului are coordonate rectangulare in sistemul de axe al retelei.

Controlul trasarii:

- trasarea de pe latura 20-3

- trasarea prin alta metoda

- compararea distantelor si unghiurilor din proiect cu cele din teren.

Precizia de trasare e data de:

L_c²= l_s²+l_x²+l_Y²+l_w /y²+l_f²

unde: l_x,l_y - erorile de trasare pe teren a abscisei si ordonatei

l_w - eroarea de construire a unghiului drept in C'

4. Lucrari topografice in timpul executiei constructiilor civile si industriale; trasarea altimetrica

4.1. Trasarea pe inaltime a constructiilor

Procedeul prin plonjarea lunetei teodolitului; procedeul vazarii laterale.

Acest procedeu foloseste ca plan vertical de proiectie chiar planul de colimatie (de plonjare) al lunetei teodolitului instalat pe prelungirea unei laturi de baza a figurii de baza a retelei spatiale de trasare montare.

Trasarea pe verticala a axelor la nivelul de montaj al constructiei:

1 1

2

2"

1'

2'

2" 1"

- punctele 1'' sunt marcate la o distanta egala cu de minim 1,5 ori inaltimea constructiei; 1' poate fi fixat direct pe solul constructiei;

- prin plonjarea lunetei se determina si se fixeaza urma acestui plan prin suprapunerea unei tinte de vizare mobile cu firul reticular vertical al teodolitului. Pentru eliminarea erorii de colimatie, vizarea se executa de doua ori (in cele doua pozitii ale cercului vertical), lundu-se media;

- urma planului de colimatie in cele doua pozitii, se fixeaza cu un briceag pe o suprafata special pregatita a betonului (curatata si vopsita). Eroarea de fixare in acest caz este de 0,2 0,3 mm.

4.2. Verificarea verticalitatii constructiei:

1

S g h

1^I

s

- se proiecteaza in cele doua pozitii ale lunetei 1I si 1II, punctul superior la partea inferioara a constructiei, abaterea punctului gasit (1 ) fata de pozitia din proiect a axei, este caracterizata de marimea Dl a inclinarii elementului de constructie, se poate calcula:

g^cc Dl/h)r^cc

- precizia procedeului:

e_prv= e_n²+e_v²+e_Dl +e_ce²

e_n - eroarea datorata inclinarii axei verticale VV

e_prv=0,5t h/r

e_v - eroarea de proiectare a verticalei provocata de eroarea de vizare cu luneta

e_v=( e_v"/r")S=20" 2S/Mr

e_Dl - eroare de proiectare a verticalei provocata de precizia instalarii teodolitului in plan vertical determinat de punctele superior si inferior ale verticalei de proiectat.

Dl/Da=l/s deci e_Dl=e_Dal/s

Influenta mare o are refractia laterala a razei de vizare care trece prin apropierea elementelor de constructie expuse razelor solare din aceasta cauza, proiectarea sau verificarea verticalitatii cu precizie ridicata trebuie efectuata numai in timpul in care influenta refractiei atmosferice este minima (pe timp noros sau dimineata si seara).

Verificarea montajului prefabricatelor; verificarea verticalitatii zidurilor - procedeul vizarii laterale

20 a_a a₁a₂ a_n a_b

A B

- abaterea axei panoului fata de pozitia proiectata se calculeaza cu relatia:

DI=a₀-(a_i+b)

unde: a₀ - departarea bazei fata de axa panoului

a - distanta de la planul vertical ce trece prin baza AB pana la marginea exterioara panoului

D - jumatate din grosimea reala a panoului

- precizia determina:

e_DI e_a²+e_a²+e_b²

Distanta a₀ de obicei nu este mai mare ca 2 m si poate fi masurata cu precizie ridicata ( 0,2.0,5 mm). Abaterea maxima in determinarea grosimii panourilor nu trbuie sa depaseasca 1 mm.

4. Determinarea inaltimii constructiilor

Determinarea inaltimii constructiilor cand se poate masura distanta orizontala de la aparat la constructie

h₂

I

h₁

- se stationeaza cu teodolitul intr-un punct situat la o distanta de circa 2-3 ori inaltimea conatructiei;

- se masoara cu precizie D, a a , vizand la baza constructiei si la partea superioara:

I=h₁+h₂

Unde h₁=Dtg a

h₂=Dtg a

Deci: I=D(tg a +tg a

Pentru verificare se aseaza teodolitul in alt punct si se repeta operatiile.

Daca I₂-I₁, este o valoare mica, se ia

I=(I₂-I₁)/2

4.2. Determinarea inaltimilor constructiilor daca distanta de la aparat la constructie nu se poate masura:

C

h₂

h₁

w d₂

d₁ b B

b

A

- se alege baza materializata prin punctele A si B

- se masoara AB=d

- se stationeaza cu teodolitul in A si se masoara:

- unghiurile orizontale b si b

- unghiurile verticale a si a

- se calculeaza cota punctului C in doua moduri:

h₁=d₁tga

h₂=d₂tga

unde: d₁=d sinb /sinw

d₂=d sinb /sinw

w b b

deci: H_c'=H_A+I₁+h₁

H_c"=H_A+I₂+h₂

H_c=(H_c'+H_c")/2 daca H_c'-H_c"<T_M

- altitudinea punctului C1 de la baza constructiei se determina prin nivelment geometric

H_C1'=H₁+Sh_A-c1

H_C1"=H_B++Sh_B-c1

Deci, daca H_C1'-H_C1"<I_M

atunci H_C1=(H_C1'+H_C1")/2

iar inaltimea constructiei va fi I=H_C-H_C1

5. Trasarea elementelor curbe ale constructiilor

Trasarea curbelor se refera la racordarea in plan sau in profil a aliniamentelor cailor de comunicatie (drumuri, cai ferate, canale etc) precum si la executia constructiilor cu axe sau pereti curbi (baraje, tunuri de racire, cosuri de fum etc.).

Curbele pot fi circulare, arce de elipsa, hiperbola, parabola, curbe de racordari (parabola cubica, parabola de gradul IV etc) sau combinatia intre curbele de racordare si curbele circulare.

Elementele geometrice ale curbelor circulare simple

Elemente initiale sunt unghiul j si raza R.

Elementele principale sunt:

- R - raza de racordare

j=200^G-b unghi de frangere

- T=Rtgj lungimea tangentei

- b=VO-OB=R/(cosj/2)-R=R(secj lungimea

- T_C=pRj/200^G lungimea curbei

- D=2T-T_C depasirea tangentelor

- f=R(1-cosj sageata curbei

Bisectoarea b mai poate fi exprimata indirect si in coordonate reactangulare pe tangentele xB si yB:

- xB=Rsinj

- yB=R(1-cosj

Puncte principale:

- varful de unghi V

Puncte de tangenta:

- T1

- T2

Punctul bisector: B.

5.1. Trasarea punctelor principale cand varful V este accesibil se face astfel:

- din varful de frangere se aplica cu ajutorul teodolitului o panglica, pe cele doua aliniamente valoarea calculata a tangentei. Astfel se materializeaza prin tarusi punctele T_D (intrarea in curba) si T_e (iesirea in curba);

- introducand in aparat jumatatea unghiului b, masurat, se obtine directia bisectoarei pe care se masoara b si astfel se poate materializa punctul B.

5.2. Trasarea punctelor principale cand varful V este inaccesibil:   

Se dau aliniamentele tangentelor A1A2 si B1B2 pichetate pe teren, precum si raza R a cercului de racordare.

Pe prelungirea lui A1A2 se picheteaza un punct C si pe prelungirea lui B1B2 un punct D astfel incat linia CD sa aiba vizibilitate in lungul ei si sa poata fi masurata.

Se masoara unghiurile j si w si se calculeaza

w'=200^G-w y'=200^G-y

j w y b=200^G-(w y

Se determina valoarea orizontala a lui CD=S si se calculeaza: S/sinb=CV/siny'=DV/sinw' de unde CV=S sin y'/sinb si DV=Ssinw'/sinb

5. Metoda coordonatelor rectangulare pe tangente

5.1. Abscise egale pe tangente

Coordonatele rectangulare ale unui punct oarecare aflat pe arcul de cerc de raza R sunt:

x- abscise egale din 2 in 2 metrii, din 5 in 5 metrii, din 20 in 20 metrii

y - OT_i-OA=R- R²-x²

Coordonatele punctelor sunt:

x₁=x

y =R- R²-x²

x =2x

y =R- R²-(2x) ²

x =3x

y =R- R²-(3x) ²

Intinzand panglica pe aliniamentul T_iV si pornind de la punctele de tangenta spre varf din 5 in 5 m se ridica cu ajutorul teodolitului, ordonate de valoare corespunzatoare.

5.2. Arce egale

Daca se folosesc arce egale, atunci rezulta ca pentru aceste arce corespund unghiuri la centru egale (arcele egale de 2, 5, 10, 20 metrii).

Coordonatele punctelor 1, 2, 3, etc se deduc astfel:

- se calculeaza mai intai unghiul la centru l=(1/R)j" si apoi:

x₁=Rsinl

y₁=R-OA=R-Rcosl=R(1-cosl

x₂=Rsin2l

y₂=R-OB=R-Rcos2l=R(1-cos2l

Masurand abscisele pe tangente si ridicand perpendiculare, pe care se masoara ordonatele y, se picheteaza in detaliu cu tarusi curba de racordare, pornind de la punctele de tangenta spre bisectoare.

5.4. Metoda prin coordonate pe coarda

Arcul total este trasat T_iT_e de raza R cu unghiul la centru.

Se imparte in doua parti egale: T_iB=BT_e, fiecare cu unghiul la centru j

Se stabileste valoarea T.

Se calculeaza l=Tr"/R si l j/2-il

Se calculeaza coordonatele pe tangenta cu relatiile:

X_i=Rsin(li)

Y_i=R[1-cos(il

dupa care rezulta coordonatele pe coarsa cu originea in B':

x'_i=Rsin(il)=x_i

y_i'=y_Ti-y_i=y_Ti-R[1-cos(il unde Y_Ti=R(1-cosj

Trasarea arcului B_ti se face prin coordonate rectangulare pe coarda, de la B' spre T_i.

5.5. Metoda coordonatelor polare

Se intrebuinteaza mai ales cand masurarea pe tangente sau de coarde este dificila (obstacole pe teren).

La aceasta metoda se impune si lungimea corzii care poate fi de 2, 5, 10m sau 20m si apoi se calculeaza unghiul la centru, scriind

S/2=Rsinl/2 de unde sinl/2-S/2R.

Pe teren se procedeaza astfel: se aseaza teodolitul in punctul Ti (inceputul curbei) si apoi se vizeaza varful pe directia tangentei, in zero in aparat si se construieste unghiul l/2, calculat in prealabil. Cu panglica se masoara pe aceasta directie segmentul s obtinandu-se punctul 1 al curbei. Se construieste apoi cu teodolitul unghiul 2(l/2) masurandu-se de la tangenta TiV, s.a.m.d.

5.6. Metoda tangentelor succesive

Se utilizeaza atunci cand ordonatele y sunt prea mari la trasarea fata de tangente prin metoda coordonatelor rectangulare si aceasta are loc cand unghiul j este prea mare.

Aceasta metoda se poate aplica la trasarea in detaliu a arcelor in terenuri cu acoperiri, printre cladiri, in dublee adanci, in subteran. La aceasta metoda se imparte lungimea Te a curbei la un numar n. Daca impartirea e exacta atunci Te/n=l. Daca nu se imparte exact se vor determina elementele pentru l' ale arcului rezultat in urma impartirii.

Se calculeaza unghiul la centru l"=(l/R)j", iar tangentele intermediare t si bisectoarele b' din varfurile intermediare V, cu formulele: t=Rtgl/2 si b'=R(secl/2-l).

Trasarea se face astfel:

- se aplica pe directia tangentei lungimea t gasindu-se astfel V1;

- cu teodolitul in V1 se aplica fata de directia tangentei l

- pe aceasta directie se masoara cu panglica 2t si se marcheaza punctul 1;

- cu teodolitul in V1 se traseaza b b=200- si pe aceasta directie se masoara b', gasindu-se punctul B1;

in acelasi mod se procedeaza pentru celelalte puncte.

5.7. Metoda corzilor prelungite:

Se foloseste atunci cand operatiile de trasare trebuie sa se efectueze in apropierea curbei. Metoda prezinta avantajul ca nu necesita teodolit ci numai rulete de otel. Se aleg corzi egale, de lungime s (1, 2, 5, 20 metrii).

Se determina unghiul la centru sinl/2=s/2R.

Se determina k din asemanarea triunghiurilor isoscele 122' si 1O2:

k/s=s/R rezulta k=s²/R.

Se traseaza punctul 1de coordonate X1=Rsinl si Y1=R(1-cosl). Se prelungeste directia Ti1 cu s si se marcheaza 2'. Din 1 si 2' se aplica simultan cu ruletele s si k obtinandu-se la intersectia lor 2, s.a.m.d.

5.8. Trasarea arcelor de elipsa

La unele constructii (civile, industriale, etc.) se proiecteaza in loc de curbe circulare, arce de elipsa. De exemplu la sali sportive, stadioane, etc.

V

c

b T₁ T₂ b a

A c B

F₁ O F₂

a D

Se aplica axele AB=2a, CD=2b

x²/a²+y²/b²=1 de unde:

y= b/a a²-x²

x= a/b b²-y²

Focarele F si F' se gasesc la distanta c fata de D

c=OF₁=OF₂= a²-b²

c/a=e<1

r₁=a+ex=a+c/ax

r₂=a-ex=a-c/ax

r₁+r₂=2a

Trasarea se poate face prin:

- coordonate rectangulare:

-se aleg abscise egale x_i=1, 2, . si y_i= b/a a₂-x_i2

- coordonate polare cu polul in F₁ sau F₂:

-se traseaza r₁ respectiv a

r₁=a+ex_M

sina=y/r1

- coordonate polare cu polul in O

e=y_M/sina =x_M/cosa

tga =y_M/x_M.