Proiect didactic - Triunghiul - Linii importante in triunghi

Proiect didactic

Obiectul

Matematica - geometrie

Clasa

a VI - a

Unitatea de invatare

Triunghiul

Tema activitate

Linii importante in triunghi

Tip activitate

Lectie mixta

Metode

brainstorming, descoperirea dirijata, problematizarea, conversatia, demonstratia, exercitiul

Mijloace de invatamant

coli A₁ , marker-e, scotch, cartoane colorate, teste, fise de lucru, culegeri de probleme, manuale alternative, PC, soft educational

Obiective cadru

Cunoasterea si intelegerea conceptelor, a terminologiei si a procedurilor de calcul specifice matematicii

Dezvoltarea capacitatilor de explorare / investigare si rezolvare de probleme

Dezvoltarea capacitatii de a comunica, utilizand limbajul matematic

Dezvoltarea interesului si a motivatiei pentru studiul si aplicarea matematicii in contexte variate

Obiective de referinta

R1. sa utilizeze elemente de logica, de teoria multimilor, pentru a justifica valoarea de adevar a unor enunturi

R2. sa recunoasca si sa utilizeze proprietati simple ale liniilor importante din triunghi; sa deseneze linii importante in triunghi

R3. sa analizeze veridicitatea unor rezultate obtinute prin masurare sau prin calcul

R4. sa construiasca probleme, pornind de la un model (grafic sau formula)

R5. sa diferentieze informatiile dintr-un enunt matematic dupa natura lor

R6. sa prezinte intr-o maniera clara, corecta si concisa, oral sau in scris, succesiunea operatiilor din rezolvarea unei probleme, folosind terminologia si notatiile adecvate

R7. sa discute corectitudinea unui demers matematic, argumentandu-si opiniile

R8. sa manifeste perseverenta in rezolvarea unei probleme; sa propuna solutii sau metode alternative de rezolvare

R9. sa-si formeze posibilitati de a utiliza liniile importante in rezolvarea unor probleme cu continut practic

Obiective operationale cognitive

sa apeleze, sa selecteze si sa aplice in practica notiuni teoretice si proceduri de lucru invatate

sa identifice informatiile esentiale / si neesentiale / dintr-un enunt matematic functie de cerintele problemei

sa foloseasca elegant, in exprimare scrisa / orala, elemente de logica matematica

sa exploateze optim / total situatiile explorate

sa efectueze generalizari, sa obisnuiasca studiu minimal de fezabilitate si sa concretizeze / stabileasca comportamente specifice disciplinei / sa retina metode, comportamente

sa descrie liniile importante; sa recunoasca si sa utilizeze proprietati simple ale liniilor importante in triunghi

sa compare prin masurare linii importante sau, in mediul inconjurator, sa asocieze liniile importante unor lucruri, obiecte

sa utilizeze corect instrumente geometrice

sa analizeze perechi de figuri obtinute si sa identifice proprietati ale acestora

sa argumenteze oral si in scris, proprietatile liniilor importante in triunghi

sa aplice linii importante in rezolvarea de probleme

sa intuiasca posibile aplicatii ale rezultatelor stabilite cel putin pentru capitolele anterioare

Obiective operationale afective

sa-si asume diverse roluri de invatare in cadrul unui grup

sa manifeste perseverenta, dorinta de personalizare a procedurii de lucru, nonconformism

sa discearna intre folositor - nefolositor, general - particular

Obiective operationale psiho-motorii

sa dovedeasca stapanire de sine / autocontrol / in conditii de stress

Obs: va fi enuntat , initial , numai O6 ; celelalte obiective vor fi enuntate / sau va fi raportata indeplinirea lor / la nivelul etapelor

Timp alocat  200 min

Desfasurarea lectiei

Nrcrt

etape

continut / exemplu / problema / teorema

strategii didactice

metode si procedee

forme de organizare a activitatii

Moment organizatoric

- prezenta elevi

conversatia

activitate frontala

- captare atentie:

a) veti vedea cum, cu multa munca, cu perseverenta, cu fantezie - visare, pornind de la situatii banale au fost descoperite lucruri formidabile

b) oriunde veti lucra, daca veti avea senzatia ca lipseste ceva, este loc pentru ceva nou

Reactualizare cunostinte; idei ancora, deprinderi ancora

- triunghiul: sa amintim ce este triunghiul, care sunt elementele lui, cum clasificam triunghiurile, etc.

conversatia, exercitiul

activitate frontala

- daca stim ce este un triunghi, daca mai stim care sunt elementele triunghiului si cum le clasificam, atunci putem trece la lectia noua:

Anuntarea temei si obiectivului sugerat de titlul temei. Celelalte obiective vor fi enuntate pe parcurs

LINII IMPORTANTE IN TRIUNGHI - explicatii cu privire la titlu: ce inseamna cuvintele si ce sugereaza ele. obiectiv: O6

conversatia

repartizarea sarcinii de lucru si numirea grupelor / rand 1,2,3,4,5

- enunt 1:

conversatia

activitate frontala

Mediana

- enunt 2

Bisectoarea unui unghi

Bisectoarea

- enunt 3

Mediatoarea unui segment

Mediatoarea

- enunt 4

Inaltimea

- enunt 5

Linia mijlocie

se solicita copiilor sa exprime rapid idei privind rezolvarea problemei / enunturi directe, orale, in fata clasei sau retinute pe hartie la nivel grup / individ. Nu se incurajeaza exprimari critice

- prof. solicita copiilor sa vina cu sugestii pentru rezolvarea problemelor

conversatia

lucrul in echipa

toate ideile se inregistreaza pe tabla / maculator /

conversatia

activitate frontala

reluarea ideilor, pe rand, si gruparea lor pe categorii, moduri de actiune propuse, etc.

- se reamintesc, de fapt, ce metode de lucru ne-a pus la dispozitie matematica pana in prezent dar si celelalte propuneri ale copiilor:

analiza, sinteza

lucrul in echipa

- operatia de masurare

analiza, evaluarea, selectarea / ierarhizarea ideilor prin renumerotare sau transcriere in ordine noua

se delimiteaza tipul de problema / mediana, bisectoarea, mediatoarea, inaltimea, linia mijlocie

conversatia, analiza, sinteza, exercitiul

activitate frontala

mediane, bisectoare, mediatoare, inaltimi, linii mijlocii in diferite tipuri de triunghiuri

Punctele de intersectie ale medianelor, bisectoarelor, mediatoarelor, inaltimilor, liniilor mijlocii

stabilirea strategiilor de rezolvare a problemei

- studiu sumar de fezabilitate la nivelul fiecarei metode propuse

conversatia

activitate frontala

analiza activitate /

concluzii / comportament viitor la rezolvarea unei sarcini de invatare / cu caracter permanent

a) se citeste atent problema

conversatia

activitate frontala

b) se ataseaza figura conform enuntului si cu specificatii conform enuntului

d) se prelucreaza datele din ipoteza astfel incat sa obtinem un format familiar, folosit permanent, in mod obisnuit.

e) se prelucreaza / reformuleaza - daca este cazul - unele cerinte ale concluziei pentru a se obtine un format obisnuit de care am uzat pana la momentul respectiv

f) se recenzeaza metodele / tehnicile de care s-a luat cunostinta pana la momentul respectiv;

g) se recenzeaza greselile care au aparut sau pot aparea.

asigurarea feed-back-ului

Rezolvati:

exercitiul

activitate frontala

1. Construiti un triunghi ABC si A,, A₂, A₃ respectiv picioarele inaltimii, medianei si bisectoarei duse din A (A₁ A₂, A₃ BC). Stabiliti pozitia punctului A₂ fata de punctele A₁ si A₃ in cazurile: a) Δ ABC este ascutitunghic; b) Δ ABC este dreptunghic, cu m(B) = 90; c) Δ ABC este obtuzunghic, cu m(B) > 90.

2. Construiti bisectoarele [AM [BN] si [CP] in triunghiul ABC ascutitunghic. Fie I punctul lor de intersectie. Masurati distantele de la punctul I la luturile triunghiului. Ce observati?

3. a) In triunghiul isoscel ABC (AB = AC) construiti inaltimea dusa din A si mediatoarea laturii [BC]. Construiti si mediana corespunzatoare laturii [BC]. Ce observati?

b) Aceeasi problema pentru un triunghi ABC in care AC = BC. Raman valabile observatiile facute?

4. Fie triunghiul ABC dreptunghic in A (m(A)=90) si H ortocentrul triunghiului. Stabiliti care din urmatoarele afirmatii sunt adevarate si care sunt false: a) H = A; b) H este interior triunghiului; c) H = B; d) [AB] [AC] = e) HB AC.

5. Se considera trei puncte A, B, C situate pe un cerc de centru O. Construiti mediatoarele laturilor triunghiului ABC si punctul lor de intersectie. Ce observati? 

evaluare

Diferite manuale alternative, culegeri probleme, fise de lucru, etc.

munca independenta

Consideram punctele A, B, C necoliniare, care determina segmentele [AB], [AC], [BC].

Definitie: Se numeste triunghi figura geometrica formata din cele trei segmente determinate de trei puncte necoliniare.

Pentru notatia triunghiului scriem "Δ ABC" si citim "triunghiul ABC.

Δ ABC = [AB] [AC] [BC].

Elementele triunghiului

o       varfuri (punctele A, B, C);

o       laturi (segmentele [AB], [AC], [BC]);

o       unghiuri (BAC, ABC, ACB sau, simplu, A, B, C daca aceasta notatie nu creeaza confuzii).

Interiorul triunghiului este format din punctele aflate in interiorul fiecarui unghi al triunghiului (portiunea hasurata cu negru din figura).

Exteriorul triunghiului este format din punctele care nu se afla nici in interior si nici pe laturile triunghiului (portiunea hasurata cu rosu din figura).

Vom spune ca, in triunghiul ABC, unghiul BAC este opus laturii [BC] sau ca latura [BC] este opusa unghiului BAC. Exprimari analoage vom folosi si pentru unghiul ABC si latura [AC], respectiv unghiul ACB si latura [AB]. Latura care, in triunghi, nu este opusa unui unghi se numeste alaturata acelui unghi.

Prin conventie BC = a, AC = b, AB = c.

Clasificarea triunghiurilor

a)      Din punct de vedere al unghiurilor

Un triunghi ABC poate fi:

ascutitunghic (Daca toate unghiurile sale sunt ascutite: m(A) < 90, m(B) < 90, m(C) < 90).

- obtuztunghic (Daca un unghi este obtuz: m(A) > 90, sau m(B > 90, sau m(C) > 90). Subliniem ca, daca, de exemplu, m(A) > 90, atunci:

90 < m(A) <180

m(B) < 90

m(C) < 90

In acest caz, spunem ca Δ ABC este obtuzunghic in A.

dreptunghic (Daca un unghi este drept: m(A) = 90, sau m(B) = 90, sau m(C) = 90. Subliniem ca, daca, de exemplu, m(A) = 90, atunci:

m(A) = 90

0 < m(B) < 90

0 < m(C) < 90

m(B) + m(C) = 90

In acest caz, spunem ca Δ ABC este dreptunghic in A. In plus latura BC (opusa unghiului drept A) se numeste ipotenuza; laturile AB si AC se numesc catete.

b) Din punct de vedere al laturilor

Un triunghi ABC poate fi:

- isoscel (Daca are doua laturi de lungimi egale. De exemplu, daca AB = AC, adica c = b).

- echilateral (Daca toate laturile au aceeasi lungime, adica BC = CA = AB, adica a = b = c).

- scalen (Daca laturile au lungimi diferite doua cate doua).

Teorema de caracterizare a triunghiurilor isoscele si echilaterale cu ajutorul unghiurilor

1. Un triunghi ABC este isoscel daca si numai daca are doua unghiuri de masuri egale, de exemplu:

AB = AC <=> m(B) = m(C)

Egalitatea laturilor AB si AC este echivalenta cu egalitatea masurilor unghiurilor "de la baza", B si C.

2. Un triunghi ABC este echilateral daca si numai daca are toate unghiurile de masuri egale (cu 60):

BC = CA = AB <=> m(A) = m(B) = m(C) = 60.

Linii importante in triunghi

Mediana

Sa consideram un triunghi fixat ABC.

Se numeste mediana a triunghiului ABC un segment care uneste un varf al Δ ABC cu mijlocul laturii opuse.

De exemplu, mediana care uneste varful A cu mijlocul A' al lui BC se numeste mediana din A.

Asadar exista trei mediane [AA'], [BB ], [CC'].

Teorema. Cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente (adica trec prin acelasi punct).

Punctul lor comun se numeste centrul de greutate (sau baricentrul) triunghiului (notat cu G).

Punctul G este interior triunghiului ABC si este situat de fiecare mediana la o treime de baza si la doua treimi de varf.

GA' = AA'; AG = AA'

GB' = BB'; BG = BB'

GC' = CC'; CG = CC'.

Pentru lungimile medianelor se mai utilizeaza notatiile: AA' = m_a, BB' = m_b, CC' = m_c.

Observatie. Mediana imparte un triunghi in doua triunghiuri de arii egale (triunghiuri echivalente).

Bisectoarea

Pentru a da definitia urmatoare, avem nevoie de o notiune preliminara. Sa consideram un unghi AOB. Vom numi bisectoare a unghiului AOB unica semidreapta [OM care are proprietatea ca unghiurile AOM si BOM sunt adiacente si congruente. Pe scurt, spunem ca bisectoarea "imparte unghiul in doua unghiuri congruente'.

BOM AOM

Revenind la triunghiul nostru ABC, vom da urmatoarea

Definitie. Se numeste bisectoare a triunghiului ABC o bisectoare a unuia din unghiurile Δ ABC.

De exemplu, bisectoarea unghiului A = BAC se numeste bisectoarea din A.

A

B A C

Asadar, exista trei bisectoare [AA' [BB' [CC'. Am notat cu A' punctul de intersectie al bisectoarei lui A cu latura [BC] etc.

Teorema. Cele trei bisectoare ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun se numeste centrul cercului inscris in triunghi.

In figura de mai sus, centrul cercului inscris in Δ ABC este I. Denumirea de centru al cercului inscris in Δ ABC este explicata de figura urmatoare. Anume, I este centrul unicului cerc care este plasat in interiorul triunghiului si este tangent la laturile Δ ABC (adica are in comun cu fiecare latura exact cate un punct).

3. Mediatoarea

In continuare, avem nevoie de alta notiune preliminara.

Definitie. Se numeste mediatoare a unui segment [AB] unica dreapta care are urmatoarele proprietati:

a) Trece prin mijlocul C al lui [AB] (punctul C este unicul punct de pe dreapta suport a lui AB pentru care CA = CB)

b) Este perpendiculara pe AB.

Revenind la Δ ABC vom da urmatoarea:

Definitie. Se numeste mediatoare a triunghiului ABC o mediatoare a uneia din laturi.

De exemplu, mediatoarea lui [BC] se numeste mediatoarea laturii [BC]. Am notat mediatoarea cu d.

Asadar, exista trei mediatoare, A'A', BB', CC' (aici A' este mijlocul lui [BC] si A' este un punct arbitrar pe mediatoarea laturii [BC]) etc.

Teorema. Cele trei mediatoare ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun se numeste centrul cercului circumscris triunghiului.

In figura, centrul cercului circumscris este O. Denumirea de centru al cercului circumscris triunghiului ABC este explicata de figura. Anume, O este centrul unicului cerc care trece prin punctele A, B. C.

Remarca. Daca Δ ABC este dreptunghic in A, atunci centrul cercului circumscris Δ ABC coincide cu mijlocul ipotenuzei [BC].

4. Inaltimea

Definitie. Se numeste inaltime a unui triunghi o dreapta care trece printr-un varf al triunghiului si este perpendiculara pe latura opusa.

De exemplu, inaltimea care trece prin A se numeste inaltimea din A a triunghiului ABC. Am notat-o cu AA' (aici, A' este intersectia inaltimii din A cu latura opusa, BC).

Asadar exista trei inaltimi AA'. BB', CC' (am notat cu A' un punct oarecare pe inaltimea din A etc.)

Teorema. Cele trei inaltimi ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun se numeste ortocentrul triunghiului.

Atentie! Pozitia ortocentrului fata de triunghi depinde esential de tipul triunghiului: ascutitunghic, obtuzunghic sau dreptunghic.

In figura a), triunghiul ABC este ascutitunghic si ortocentrul H este interior lui ABC.

In figura b), triunghiul ABC este obtuzunghic si ortocentrul H este exterior lui ABC. (am prelungit punctat laturile AB si BC).

In figura c), triunghiul ABC este dreptunghic (in A) si ortocentrul H coincide cu A.

Din aceste motive, de multe ori, pentru ca demonstratiile sa fie complete, trebuie sa consideram separat cazurile cand triunghiul este ascutitunghic, respectiv obtuzunghic, respectiv dreptunghic.

Remarca importanta. Daca triunghiul ABC este isoscel (de exemplu AB = AC) atunci centrul de greutate, centrul cercului circumscris si ortocentrul se gasesc pe axa de simetrie a triunghiului ABC, care este mediatoarea "bazei' [BC].

In particular, daca ABC este echilateral, rezulta ca cele patru puncte de mai sus coincid.

5. Linia mijlocie intr-un triunghi

Consideram triunghiul ABC si M, N, P mijloacele laturilor [AB], [AC] si, respectiv, [BC].

Observam ca perechile de drepte MN si BC, MP si AC, NP si AB sunt paralele.

Masurand laturile triunghiului si segmentele [MN], [NP], [MP] remarcam ca perechile de segmente [MN] si [BC], [MP] si [AC], [NP] si AB] sunt paralele.

Definitie. Intr-un triunghi, segmentul determinat de mijloacele a doua laturi se numeste linie mijlocie.

Deci, in Δ ABC [MN], [MP] si [NP] sunt linii mijlocii.

Teorema: Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale unui triunghi este paralel cu cea de a treia latura si are lungimea egala cu jumatate din lungimea acestei laturi.

Bibliografie

Invatamant rural - Metode active

Dictionar matematici generale

Geometrie 1 - manual PIR

Didactica geometriei - manual PIR

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Vizualizari: 7312
Importanta:

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved