CENTRE DE GREUTATE . CENTRE DE MASA

CENTRE DE GREUTATE . CENTRE DE MASA

1. Consideratii generale

Corpurile de masa m situate in campul gravitational al Pamantului, sunt supuse fortei de atractie a acestuia, orientata spre centrul Pamantului. Asupra fiecarui corp va actiona o forta G numita greutate si orientata catre centrul Pamantului :

     

unde este acceleratia terestra.

2. Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale

Se considera un corp material de masa M, format din n puncte materiale notate A_i (i=1,2,., n ), (fig.2), cu masele m_i

Fig. 2

Greutatile punctelor materiale, fiind forte paralele, se reduc la o rezultanta unica, numita greutatea corpului si notata

      (2)

Greutatea a sistemului este aplicata intr-un punct definit ca centru de greutate, care este centrul fortelor paralele de greutate. Vectorul sau de pozitie este dat de relatia :

(3)

iar coordonatele carteziene sunt :

(4)

Daca in relatia (4) se tine seama de (2), rezulta :

      (5)

respectiv

(6)

3. Centre de greutate ale corpurilor

Conform celor prezentate in cap. I, in mecanica clasica corpul rigid este un continuu material nedeformabil adica, macroscopic, orice punct al corpului are masa iar distantele dintre puncte raman nemodificate. Rezulta ca, daca corpul material se considera divizat in volume elementare V_i , fiecare cu masa m_i , rezultatele obtinute in cazul sistemelor de puncte materiale se pot utiliza si pentru cazul corpurilor rigide.

Astfel, vectorul de pozitie al centrului de greutate, conform relatiei (3), este :

      (7)

Trecand la limita, cand m_i si n , sumele din (7) devin integrale care se extind pe domeniul (D) ocupat de corp si se obtine :

Deoarece in mecanica, corpurile materiale se clasifica in blocuri (volume materiale), placi (suprafete materiale) si bare (linii materiale ), domeniul (D) ocupat de un corp se noteaza cu (V), (S) respectiv l

a)           Pentru corpurile continue, sub forma de blocuri omogene :

      (9)

b)          Pentru corpurile bidimensionale, de forma placilor omogene :

(10)

c)           Pentru corpurile sub forma de bare omogene :

      (11)

Proprietatile centrului de greutate al corpurilor

Principalele proprietati ale centrului de greutate al corpurilor sunt :

Pozitia centrului de greutate nu depinde de sistemul de axe ales (la fel cu pozitia centrului fortelor paralele ) fiind un punct intrinsec al corpului;

Atunci cand corpul admite un plan de simetrie (geometric si masic) atunci centrul de greutate se gaseste in acest plan;

Cand corpul admite axa de simetrie atunci centrul de greutate se gaseste pe aceasta axa, iar daca admite centru de simetrie, acesta coincide cu centrul de greutate.

4. Determinarea centrului de greutate al unui corp compus, cu ajutorul centrelor de greutate partiale

Se considera un corp (C) , avand o forma care permite impartirea sa in mai multe parti componente, pentru fiecare parte cunoscindu-se masa si pozitia centrului de greutate.

Fig. 3

In cazul corpurilor omogene

(12)

unde V_i sunt volumele partilor componente.

In cazul placilor omogene

     

unde A_i sunt suprafetele partilor componente.

In cazul barelor omogene

unde l_i sunt lungimile partilor componente.

5. Teoremele Guldin - Pappus

Teorema I

Aria suprafetei generata prin rotirea completa a unui arc de curba in jurul unei axe din planul sau (figura 4), dar care nu o intersecteaza, este egala cu lungimea arcului de curba inmultita cu lungimea cerului descris de centrul de greutate al curbei.

Fig. 4

Teorema II

Volumul generat prin rotirea completa a unei suprafete plane in jurul unei axe din planul sau (figura 5), dar pe care nu o intersecteaza, este egal cu aria suprafetei respective inmultita cu lungimea cerului descris de centrul de greutate al suprafetei.

     

Fig. 5