| CATEGORII DOCUMENTE | ||
|
||
| Astronomie | Biofizica | Biologie | Botanica | Carti | Chimie | Copii |
| Educatie civica | Fabule ghicitori | Fizica | Gramatica | Joc | Literatura romana | Logica |
| Matematica | Poezii | Psihologie psihiatrie | Sociologie |
Ca un prim pas in abordarea unei probleme a naturii este adesea necesar sa se idealizeze situatia si sa se faca ipoteze de lucru simplificatoare privind procesele.
ORIGNALUL
Presupunem, de exemplu, ca o minge de oina este aruncata si se doreste sa se determine pozitia punctului unde aceasta atinge solul si viteza in acel punct. Primul pas in rezolvarea acestei probleme consta in idealizarea mingii prin ignorarea , in timpul miscarii, a detaliilor suprafetei si a tuturor abateriilor de la forma sferica. Cu alte cuvinte, inlocuim mingea de oina cu un obiect ideal, de exemplu o sfera cu suprafata neteda. Urmatorul pas este ignorarea rotatiei mingii si a fortelor care apar datorita aerului antrenat de rotatia acesteia. Un pas mai departe este neglijarea fortelor arhimedice si a rezistentei aerului. Ne-a ramas dupa toate aceste aproximari o problema diferita de cea originala; in fond putem fi acuzati de a fi lipsit problema, aproape in intregime, de caracterul ei real. Acesta este adevarul, dar ceea ce ramane este aproximativ problema originala la viteze mici, la viteze mari ar necesita o altfel de viziune .
In general, fortele care actioneaza asupra unui corp rigid nu trec printr-un singur punct (ele nu sunt concurente) si ca urmare corpul rigid sufera atat o miscare de rotatie cat si una de translatie, de exemplu miscarea unui titirez.
Sunt totusi situatii in care rotatia corpului are cosecinte minore si nu este importanta in rezolvarea problemei. Astfel, daca studiem miscarea unei mingi de oina aruncate, ea are loc sub actiunea greutatii si nu ne intereseaza rotatia mingii in timpul deplasarii sau influenta rezistentei aerului.
Miscarea planetelor, de exemplu aceea a Pamantului in jurul Soarelui, are loc sub actiunea fortelor gravitationale dintre cele doua corpuri.Aceasta miscare poate fi studiata fara a lua in considerare rotatia Pamantului in jurul axei sale, si avand in vedere dimensiunile corpurilor in comparatie cu distanta dintre ele, acestea pot fi reprezentate ca doua puncte.
MODELUL
Un corp a carui rotatie este ignorata si ale carui dimensiuni si forma se pot neglija este numit punct material, un punct geometric in care este concentrata toata masa corpului si care, caracterizeaza miscarea de ansamblu a corpului studiat.
Astfel, un punct material serveste ca model ideal pentru un corp a carui miscare de rotatie, dimensiune si forma nu au consecinte asupra unei situatii date (fig. 1.1.).
Fig. 1.1. Mingea a carei rotatii si ale carei dimensiuni se pot neglija, este acum un punct geometric in care este concentrata toata masa ei si care, caracterizeaza miscarea de ansamblu a mingii, adica este punct materia
I.1.2.Miscarea unui punct material
Miscarea poate fi definita ca o modificare in timp a pozitiei unui corp, fata de alte corpuri a caror pozitie o consideram, din punctul nostru de vedere, invariabila. Acest corp, ales arbitrar, fata de care studiem miscarea, se numeste punct de reper sau corpul de referinta, iar corpul care se misca mobil.
Pentru descrierea cantitativa a miscarii, corpului de referinta i se ataseaza un sistem de coordonate - SC, pozitia punctului material fiind astfel complet determinata de coordonatele sale in orice moment in acest sistem de coordonate (carteziene, polare, cilindrice, sferice, etc ). Se alege intotdeauna sistemul de coordonate convenabil astfel incat tratarea teoretica a problemei si formularea legilor sa fie cat mai simple. Corpul de referinta sau reperul, sistemul de coordonate pentru determinarea pozitiei mobilului fata de reper si un sistem de ceasornice*, care sa masoare timpul reprezinta sistemul de referinta (referentialul) - SR. Astfel, folosind un SR, putem caracteriza un eveniment prin trei coordonate spatiale x, y, z (care determina pozitia punctului din spatiu unde se petrece evenimentul ) si o coordonata temporala t (indicata de ceasornic in acel punct).
Pozitia unui punct material P, este precizata in mod
convenabil printr-un vector de pozitie
r (fig.1.2.) ce uneste originea O a SC cu punctul material considerat, (
) si ale carui proiectii pe cele trei
axe ale unui sistem de coordonate cartezian sunt: x = xi, y = yj, z = zk
r = x+ y+ z
r = xi+ yj+ zk
* In fiecare punct din spatiu este necesar sa existe un ceasornic, deoarece in conceptia fizicii moderne toate semnalele se propaga cu viteza finita, dar avand in vedere ca in cele ce urmeaza vor fi tratate probleme in conceptia clasica (newtoniana), care admite ca semnalele se propaga cu viteza infinita (instantaneu), se poate defini un SR cu un singur ceasornic.
Fig. 1.2.
Pe masura ce punctul material se misca de-a lungul unei traiectorii din spatiu, proiectiile lui se misca in lungul celor trei axe. Miscarea reala poate fi reconstituita din miscarile acestor trei proiectii, astfel ca vom incepe prin a trata miscarea unui punct material in lungul unei drepte, sau miscarea rectilinie.
I.2. Miscarea rectilinie a unui punct material
I.2.1. Deplasarea, viteza, acceleratia
Cea mai simpla miscare a unui punct material este miscarea lui pe o linie dreapta, numita miscare unidimensionala sau rectilinie.
Sa consideram un punct material P, care se misca in lungul axei Ox ca in figura 1.4.(a) , de exemplu un automobil care se deplaseaza pe o sosea in linie dreapta (fig.1.3.). Curba din figura 1.4.(b) este graficul coordonatei sale x, reprezentata ca functie de timpul t.
Fig. 1.3. Automobil ce se deplaseaza pe o sosea rectilinie:
originalul ↔ modelul material
↔
2) Fig. 1.4. Punct material P, in miscare de-a lungul axei Ox :
modelul figural
y
→
P(t1) Δx P'(t2) x1 x2 x
(a)
x
x2 B
→ D
Δx Δx= x2-x1
x1 A C
(b)
Marimi fizice, legi fizice - modelul simbolic
Miscarea unui punct material pe o dreapta se considera cunoscuta daca se stie cum se desfasoara fenomenul, adica sa cunoastem in fiecare moment de timp t pozitia, coordonata punctului material, x (drumul parcurs, s), viteza v si acceleratia, a.
A stabili legile miscarii unui punct material inseamna a gasi o legatura intre aceste marimi fizice pe de o parte si timp pe de alta parte.
x1 - coordonata punctului material la momentul t1
x2 - coordonata punctului material la momentul t2
Δx x2 -x1
Deplasarea punctului material este definita prin vectorul Δx ( fig.1.4.-b) , ce desemneaza variatia coordonatei punctului material in intervalul de timp t = t2 - t1 . Pentru acest interval de timp viteza medie a punctului material este :
Δx (1.1)
vm
Δt
Viteza punctului material este o marime fizica cu ajutorul careia se determina variatia in timp a coordonatei.
Viteza medie a punctului material depinde de intervalul de timp pentru care a fost calculata.
In figura 1.4.(b) viteza medie poate fi reprezentata prin panta AB (modelare figurala), adica prin raportul marimilor segmentelor CB (definit de variatia coordonatei punctului material, adica x) si AC (definit de durata miscarii, adica Δt).
Relatia (1.1) poate fi scrisa :
x2 - x1 vm (t2-t1)
sau sub forma scalara, avand in vedere ca miscarea are loc de-a lungul axei OX : x2 - x1 = vm (t2-t1)
Ea poate fi simplificata in functie de datele problemei si se pot adapta notatiile:
- putem lua momentul initial t1=0 si pozitia initiala x0, iar x coordonata punctului la momentul t, relatia va deveni:
x = x0 + vm t
- daca punctul material este in origine la momentul initial t1=0, relatia va deveni mult simplificata:
x = vm t
Iata un model, simbolic, pentru miscarea rectilinie a unui punct material care permite elevilor sa rezolve diferite tipuri de probleme de la cele mai simple pana la cele mai complexe, odata ce au inteles aceste reprezentari,aceste simboluri abstracte ale realitatii.
Viteza instantanee este viteza punctului material la un moment oarecare de timp sau intr-un punct al traiectoriei, D (vezi fig.1.4.).
Sa presupunem ca dorim sa aflam viteza instantanee a punctului material din figura 1.5. in punctul D(xD,tD). Vom considera ca punctul material strabate un drum Δxi (fig. 1.5.) foarte mic, din imediata vecinatatea punctului D, interval pe care, intr-o buna aproximatie, se poate considera o miscare rectilinie cu viteza constanta :
v = Δxi /Δti
unde xi = xi+1 - xi este deplasarea punctului material in vecinatatea lui D in intervalul de timp ti = ti+1 - ti , cu viteza constanta.
x
x2 B
xi+1
xi D
x1 A
Fig. 1.5.
Deci, in general, pentru a gasi viteza punctului material la un moment oarecare de timp t, se considera o deplasare foarte mica Δx (deplasare infinitezimala sau elementara) si un interval de timp corespunzator Δt (timp infinitezimal), iar viteza instantanee se va calcula matematic:
Δx dx
v = lim =
Δt→0 Δt dt
Relatia (1.3), numita si relatia de definitie a vitezei, ne arata ca viteza este egala cu derivata de ordinul intai a coordonatei spatiului in raport cu timpul. Problema determinarii vitezei momentane a fost rezolvata de catre Newton, si a condus in matematica la aparitia calculului diferential. Newton a dat derivatei numele de fluxiune..
Din relatia (1.3) putem obtine:
dx v dt (1.4)
In general , viteza unui mobil este o marime care depinde de timp, adica
v = f(t) sau v = v(t),
deci pentru descrierea miscarii va trebui sa cunoastem dependenta de timp a vitezei
punctului material. In practica, variatia in timp a vitezei se determina cu ajutorul
unui dispozitiv numit vitezometru
Legatura dintre spatiul parcurs si viteza se poate face prin metoda calculului integral. Sa presupunem ca fiind cunoscuta variatia in timp a vitezei punctului material, si vrem sa gasim din aceasta dependenta in timp a coordonatei. Sa reprezentam grafic variatia in timp a vitezei punctului material (fig. 1.6.).
Fig. 1.6. Deplasarea este egala cu aria suprafetei aflate sub graficul
Viteze in functie de
timp.
v
vi
O t1 Δti t2 t
Descompunem intervalul de timp Δt=t2-t1 in intervale de timp foarte mici Δt1, Δt2, , intervale pe care, intr-o buna aproximatie, se poate considera o miscare rectilinie cu viteza constanta v1, v2, . . Pentru drumurile parcurse in intervalele respective de timp avem
Δx1 = v1Δt1, Δx2 = v2Δt2, . . . , (1.5)
ceea ce grafic corespunde ariilor dreptunghiurilor hasurate (fig. 1.3). Suma ariilor acestor dreptunghiuri situate intre t1 si t2 este
x2 - x1 = Δx1 + Δx2 + . . .
sau n
x2 - x1 = ∑ Δxi ,
i=1
conform relatiei (1.5), avem
n
Δx = x2 - x1 = ∑ viΔti ,
i=1
Acest calcul devine cu atat mai precis, cu cat marimea intervalelor Δti va fi mai mica, adica:
n
Δx = lim ∑ viΔti ,
Δti→0 i=1
Adica
t2
Δx = ∫ v(t)d t ,
t1
Deplasarea intr-un interval oarecare de timp este deci egala cu aria suprafetei cuprinse intre graficul vitezei ca functie de timp, axa timpului si cele doua drepte verticale duse la inceputul si sfarsitul intervalului de timp.
Este oare fara importanta sa stim cum s-au facut primii pasi ai modelarii in fizica si nu numai? Dezvoltarea Analizei matematice poate fi despartita de cea a Mecanicii, a Fizicii? A fost si de data aceasta Newton un simplu meserias?
Raspunsul la intrebari este nu. S-a vazut clar din cele prezentate mai sus ca Newton este un mare geniu, ca prin modelarea grafica a spatiului el a reusit sa inventeze ceea ce numim astazi calculul integral si sa-l dezvolte.
In miscarea neuniforma viteza corpului variaza, fiind o functie de timp. Pentru a indica rapiditatea variatiei in timp a vitezei unui punct material se introduce notiunea de acceleratie.
In figura 1.7. (a) este reprezentat un punct material care se misca in lungul axei x, a carui viteza variaza in intervalul de timp Δt = t2 - t1 , iar in figura 1.7. (b) este reprezentat un grafic al vitezei instantanee, v, a punctului material in functie de timp.
Fig. 1.7. Punctul material P in miscare pe axa Ox , modelul figural
y v
v2
Δv=v2-v1
P(t1) D P'(t2) v1 A Δt= t2 -t1 C
O v1 v2 x t1 t2 t
(a) (b)
Aceleratia medie este o marime fizica egala cu raportul dintre variatia vitezei punctului material si intervalul de timp in care a avut loc aceasta variatie.
Δv v2 - v1
am
Δt t2 - t1
Acceleratia medie a punctului material depinde de intervalul de timp pentru care a fost calculata.
In figura 1.7.(b) acceleratia medie poate fi reprezentata prin panta AB (modelare figurala), adica prin raportul marimilor segmentelor CB (care reprezinta variatia vitezei punctului material, adica Δv) si AC (care reprezinta durata miscarii, adica Δt).
v
v2 B
vi+1
vi Fig. 1.8.
D
v1 A
O t1 ti ti+1 t2 t
Accelertia instantanee este acceleratia punctului material la un moment oarecare de timp sau intr-un punct D al traiectoriei.
Sa presupunem ca dorim sa aflam acceleratia instantanee a punctului material din figura 1.8. in punctul D(xD,tD). Vom considera ca in imediata vecinatate a punctului D, corpului ii variaza viteza Δvi (figura 1.8.) intr-un interval de timp Δti foarte mic, interval pe care, intr-o buna aproximatie, se poate considera o miscare rectilinie cu acceleratie constanta :
a = Δvi /Δti
Deci, in general, pentru a gasi acceleratia punctului material la un moment oarecare de timp t, se considera ca viteza corpului variaza cu o cantitate foarte mica Δv si un interval de timp corespunzator Δt (timp infinitezimal), iar acceleratia instantanee se va calcula matematic:
Δv dv
a = lim =
Δt→0 Δt dt
Relatia (1.7), numita si relatia de definitie a acceleratiei, ne arata ca acceleratia este egala cu derivata vitezei in raport cu timpul.
Din relatia (1.7) putem obtine:
dv = a dt (1.8)
Tinand seama de (1.3), relatia (1.7) devine :
a = d/dt ( dx/dt ) = d2x/dt2
Acceleratia este deci derivata de ordinul doi a coordonatei spatiului in raport cu timpul.
Ca si viteza , acceleratia unui mobil este o marime fizica dependenta de timp, adica
a= f(t) sau a = a(t),
deci pentru descrierea miscarii va trebui sa cunoastem dependenta in timp a acceleratiei punctului material.
Legatura dintre viteza si acceleratie se poate face prin metoda calculului integral. Sa presupunem ca fiind cunoscuta variatia in timp a acceleratiei punctului material, si vrem sa gasim din aceasta dependenta de timp a vitezei. Sa reprezentam grafic variatia in timp a acceleratiei punctului material (fig. 1.9.).
Fig. 1.9. Variatia vitezei este egala cu aria suprafetei aflate sub graficul
acceleratiei in functie de timp.
a Δvi
ai
O t1 Δti t2 t
Descompunem intervalul de timp Δt=t2-t1 in intervale de timp foarte mici Δt1, Δt2, , intervale pe care, intr-o buna aproximatie, se poate considera o miscare rectilinie cu acceleratie constanta a1, a2, .. In intervalele respective de timp avem
Δv1 = a1Δt1, Δv2 = a2Δt2, . . . , (1.9)
ceea ce grafic corespunde ariilor dreptunghiurilor hasurate (fig. 1.7). Suma ariilor acestor dreptunghiuri situate intre t1 si t2 este
v2 - v1 = Δv1 + Δv2 + . . .
sau
n
v2 - v1 = ∑ Δvi ,
i=1
conform relatiei (1.9) , avem:
n
Δv = v2 - v1 = ∑ aiΔti ,
i=1
Acest calcul devine cu atat mai precis, cu cat marimea intervalelor Δti va fi mai mica, adica:
n
Δv = lim ∑ aiΔti ,
Δti→0 i=1
Adica, t2
Δv = ∫ a(t) d t ,
t1
Variatia vitezei intr-un interval oarecare de timp este deci egala cu aria suprafetei cuprinse intre graficul acceleratiei ca functie de timp si axa timpului, marginita de doua drepte verticale duse la inceputul si sfarsitul intervalului de timp.
Urmarind cele prezentate mai sus, ca in cazul modelarii grafice a spatiului, Newton a aplicat aceeasi metoda pentru calculul variatiei vitezei unui punct material. Demonstrand astfel ca modelarea grafica nu ne arata doar evolutia unui fenomen, ci poate fi o metoda de intelegere a calculului diferential ( vezi pag. 16 - definirea vitezei momentane) si integral. Cu alte cuvinte am putea spune ca aceasta abstractizare a fenomenului prin scrierea unor relatii sau legi adica utilizand modele simbolice, poate fi tradusa cu ajutorul graficelor care sunt modele figurale.
I.2.2. Miscarea rectilinie cu acceleratie constanta sau
miscarea rectilinie uniform variata
Cel mai simplu tip de miscare accelerata este miscarea rectilinie cu acceleratie constanta, adica viteza de variatie a vitezei este constanta in cursul miscarii. Viteza creste sau scade cu cantitati egale in intervale de timp egale.
Fig. 1.10. Variatia vitezei Δvi este aceeasi in intervale de timp egale Δti
a Δvi
a
O t1 Δti t2 t
dv
Deci avem: a = const. ; a
= , adica dv = adt dt
Sa luam momentul initial t1 = t0 si t2 un timp arbitrar t. Atunci v0 reprezinta viteza la momentul t1 = 0 adica viteza initiala, iar v reprezinta viteza la momentul t. Ecuatia precedenta, conform calculului integral (vezi relatia 1.10 ) devine:
v t
∫ dv =a ∫ d t ,
v0 t0
v t
Deci: v│ =a t│ sau v - v0 = a( t- t0) respectiv
v0 t0
v = v0 + a( t- t0)
Ecuatia de mai sus poarta denumirea de legea vitezei pentru miscarea rectilinie uniform variata, exprimand modul de variatie a vitezei in functie de timp.
Fiind o functie de gradul I, graficul vitezei ca functie de timp in miscarea rectilinie uniform variata este o dreapta (fig.1.11).
Fig. 1.11. Graficul vitezei ca functie de timp, iin miscarea rectilinie uniform accelerata (a), respectiv incetinita (b). Aria suprafetei hasurate cuprinsa sub graficul vitezei in functie de timp este egala cu deplasarea x=x-x0.
v v
v v0
a(t-t0) v a(t-t0) v
v0 v
O t0 t t O t0 t t
(a) (b)
Pentru a afla spatiul parcurs de mobil ne vom folosi de relatia: t
Δx = ∫ v(t)d t ,
t0
unde vom inlocui ecuatia (1.11)
t
Δx = ∫ [v0 + a( t- t0)] d t ,
t0
integrand vom gasi relatia:
x = x0 + v0 ( t - t0) + a(t - t0)2/2
cunoscua sub numele de legea miscarii rectilinii uniform variate, ea ne arata variatia coordonatei punctului material in functie de timp . Fiind o functie de gradul II, graficul coordonatei punctului material ca functie de timp in miscarea rectilinie uniform variata este o parabola (fig.1.12).
Fig. 1.12. (a) - reprezentarea grafica a functiei x=x(t) pentru o acceleratie a>0 data, relatia (1.12); (b) - reprezentarea aceleeasi functii dar pentru trei acceleratii diferite a1< a2 < a3.
x
x3
x2
x1
x0 
O t0 t t t0 t t
(a) (b)
Determinand timpul t din relatia (1.11) si introducandu-l in relatia (1.12), avem :
v2 = v02 + 2a( x- x0),
numita formula lui Galillei, care ne permite sa calculam viteza mobilului pentru orice pozitie a sa.
I.2.3. Caderea libera a corpurilor
Cel mai obisnuit exemplu de miscarea rectilinie cu acceleratie constanta este caderea libera a unui corp pe Pamant. S-a observat ca, in absenta rezistentei aerului, toate corpurile aflate in acelasi loc de pe suprafata Pamantului cad cu aceeasi acceleratie, indiferent de marimea, forma, natura si greutatea lor, si, daca distanta parcursa este mai mica in comparatie cu raza Pamantului. Deci, efectul rezistentei aerului si micsorarea acceleratiei cu altitudinea se vor neglija. Acesta miscare idealizata se numeste cadere libera.
Acceleratia unui corp in cadere libera se numeste acceleratie gravitationala si se noteaza cu g (valoarea aproximativa la suprafata Pamantului g=9.80m/s2).
Caderea libera se desfasoara
dupa legile: Acceleratia: a = g Ecuttia vitezei: v
= gt Legea miscarii: y
= y0 + gt2/2 Ecuatia lui Galillei: v2 = 2gh unde h = y - y0 este spatiul parcurs intre momentul
initial t0=0 si un
moment dat t.
Galileo Galillei
Studiile facute de catre Galileo Galillei, referitoare la caderea libera a unui corp pe Pamant, l-au determinat sa utilizeze o tehnica noua si creativa de abstractizare si de idealizare a fenomenului, imaginandu-si un caz simplificat (pag.28). Pentru caderea libera, el a postulat ca toate corpurile cad cu o acceleratie aproape constanta in absenta aerului sau a altor rezistente, a aratat ca distanta parcursa este direct proportionala cu patratul timpului (d ~ t2) si ca viteza creste in timpul caderii (vezi relatiile 1.11 si 1.12). O alta mare contributie a lui a fost de a propune un suport experimental referitor la teoria emisa, verificand-o astfel cantitativ. El a folosit argumentul urmator : o piatra lasata sa cada liber de la 2m ajunge cu o viteza mult mai mare pe suprafata Pamantului fata de alta ce cade doar de la 10 cm. Galillei era convins de rezistenta aerului in cazul corpurilor usoare cu suprafata mare, dar in multe circumstante aceasta rezistenta a aerului este neglijabila.
Galileo Galilei este denumit adesea "parintele stiintei moderne", nu doar pentru contributia sa stiintifica: descoperiri in astronomie, inertia, caderea libera, dar si pentru stilul de abordare si aproximarile in fizica: idealizarea si simplificarea, matematizarea si teoretizarea, adevaruri testate experimental (vezi Cap. III.2.1. ).
I.2.4. Miscarea rectilinie cu acceleratie variabila
Miscarea cu acceleratie variabila reprezinta o buna aproximatie a miscarii unor corpuri in cadere si a unor automobile sau avioane aflate la inceputul miscarii lor.
Sa consideram , de exemplu, miscarea unui corp in sensul pozitiv al axei x, cu o acceleratie al carei sens este opus vitezei si a carei marime este proportionala cu viteza:
a = - kv
unde k este o constanta.
Deorece a = dv/dt, avem:
dv/dt = - kv, sau dv/v = - kdt
daca viteza initiala este v0 cand t = 0,
v t
∫ dv/v = - k ∫ d t ,
v0 t0
Prin integrare se obtine rezultatul :
ln v/v0 = - kt,
care poate fi scrisa :
v = v0e-kt
v
0 t
Pentru a gasi distanta parcursa x, ca functie de timp, inlocuim pe v prin dx/dt si avem:
dx/dt = v0e-kt
presupunand x0=0 cand t=0 si integrand obtinem :
x = v0(1- e-kt)/k
Din aceasta relatie rezulta ca, desi corpului ii este necesar un timp infinit pentru a ajunge in repaus, in acest timp infinit corpul parcurge o distanta finita, v0/k.
II.3. Miscarea in spatiu a unui punct material-modelul vectorial
II.3.1. Miscarea in spatiu a punctului material
In cazul miscarii unui punct material de-a lungul unei drepte, directia de miscare in spatiu este data de pozitia dreptei in raport cu un anumit sistem de referinta.
Sa ne referim acum la cazul general al miscarii unui punct material in spatiu. De exemplu, sa consideram miscarea unei mingi (punct material), intr-o sala de sport (fig. 2.1.a). Pentru a studia aceasta miscare vom alege mai intai un corp de referinta. De corpul de referinta legam un sistem de coordonate carteziene Oxyz (fig. 2.1.b). Orientarea axelor o alegem cat mai convenabil.
Fig. 2.1. (a) Modelul
original traiectoria
unei mingi intr-o sala de sport, (b)
Modelul
figural - traiectoria unei mingi,
considerata punct material, reprezentata intr-un SR si doi vectori de pozitie r, r' ce caracterizeaza doua pozitii ale mingii pe traiectorie A(x, y, z, t1),
respectiv B(x', y', z', t2)
(a) (b)
Pozitia mingii la un moment dat, t1, cand acesta se gaseste in punctul A poate fi determinata de coordonatele x, y, z, considerate cunoscute. La momentul t2, mingea ocupa pozitia B determinata de coordonatele x', y', z'. In intervalul de timp Δt=t2-t1 corpul a ocupat pozitii succesive pe curba AB (fig. 2.1.b). Toate punctele din spatiu prin care trece punctul material dat, formeaza o linie curba care se numeste traiectorie (model figural). Traiectoria mai poate fi definita ca fiind locul geometric al tuturor punctelor prin care trece mobilul in timpul miscarii.
Pozitia lui A (fig. 2.1.b)
este determinata si de vectorul de pozitie r
in raport cu sistemul Oxyz, vector ce uneste originea SC cu pozitia punctului material considerat pe traiectorie (
) ale carui
proiectii pe cele trei axe ale unui sistem de coordonate cartezian sunt x = xi, y = yj,
z = zk (fig.2.4. - a) :
r = x+ y+ z
r = xi+ yj+
zk
Unde i, j, k sunt versorii axelor de coordonate.
Miscarea este cunoscuta daca stim cum se modifica in timp coordonatele punctului material prin functiile:
adica modul cum variaza in
timp vectorul de pozitie r :
r = r(t
Functia vectoriala r(t) trebuie sa satisfaca, in intervalul de timp in care este valabila, anumite restrictii impuse de fenomenul fizic al miscarii punctului. Astfel, ea trebuie sa fie continua si uniforma (deoarece in conformitate cu principiul perfectei localizari, punctul material nu poate ocupa simultan mai multe pozitii distincte in spatiu), finita in modul si derivabila.
Pentru descrierea miscarii in afara de forma traiectoriei trebuie sa cunoastem si sensul de miscare a punctului pe aceasta traiectorie. Viteza punctului la un moment dat este orientata in sensul in care se deplaseaza punctul in acest moment. Astfel de marimi orientate in spatiu se numesc marimi vectoriale. Vom arata pe parcurs ca deplasarea, viteza si acceleratia sunt marimi vectoriale.
Fig. 2.2. Reprezentarea vectorului
deplasare Δr si a vectorului viteza medie vm
Z
A vm
B
Δr
r(t1 r'(t2
O Y
X
Conform figurii 2.2. deplasarea mobilului in intervalul
de timp Δt=t2-t1 este:
Δr = r'(t2) - r(t1
Vectorul Δr indica directia si
sensul deplasarii punctului material intre cele doua puncte A si B, iar marimea lui (lungimea segmentului AB)
este egala cu deplasarea acestuia in intervalul de timp Δt. Putem defini viteza medie in acest interval de timp ca
fiind:
Δr
vm = ▬
Δt
Asa cum se vede din formula
de definitie a vitezei medii, si din reprezentarea grafica (fig. 2.2.) aceasta este o marime fizica vectoriala avand directia si sensul deplasarii
Δr, Δt fiind o marime
fizica scalara.
O deplasare finita efectuata intr-un timp finit, o putem presupune ca fiind o suma vectoriala a unor deplasari elementare successive, in intervale de timp infinit de mici. Atunci viteza momentana, asa cum am aratat si in capitolul anterior, se poate exprima:
Δr dr
v = lim =
Δt→0
Δt dt
v
A dr
vm
Δr B
Tangenta in punctul
A la traiectorie
Fig.
2.3. Reprezentarea vectorului deplasare
Δr ca o suma vectoriala a unor deplasari elementare
successive reprezentarea deplasarii elementare dr, respectiv a vectorului
viteza momentana v
Observam din fig. 2.3. ca
viteza momentana v are aceeasi directie
si sens cu dr. Viteza momentana este
deci o marime vectoriala care are aceeasi directie ca si tangenta la
traiectorie in punctul in care se gaseste mobilul la momentul respectiv, iar
sensul este dat de sensul miscarii. Prin urmare se pot aplica vitezelor toate regulile
cunoscute ale operatiilor vectoriale.
Viteza unui punct material la un moment dat t se poate scrie in functie de componentele sale pe cele trei axe de coordonate sub forma:
v =vxi vy j vzk sau v =vx vy vz
unde vx = dx/dt , vy = dy/dt , vz =dz/dt (fig. 2.4.b).
Cunoscand vitezele vx, vy, vz se poate determina v:
(2.6)
Z
Z
dzk vz
dr
v
dyi
O Y
dxi vy
dxi+dyj O Y
X vx vy
(a)
vx
X
(b)
Fig.2.4.
(a) - reprezentarea vectorului deplasare elementara
dr = dxi+dyj+dzk si
a componentelor sale pe axele de coordonate, (b) - reprezentarea vectorului
viteza momentana v si a
componentelor sale vx,
vy, vz pe axele
de coordonate
In cazul unei miscari
curbilinii oarecare viteza mobilului variaza atat ca marime, cat si ca directie.
Vectorul acceleratie este o masura a
acestei variatii Δv (variatia vitezei in intervalul de
timp Δt). Acceleratia medie se defineste prin relatia:
v v2 - v1
am = ▬ = ▬▬▬
Δt t2 - t1
Asa cum se vede in formula de
definitie a acceleratiei medii aceasta este o marime fizica vectoriala avand directia si sensul variatiei vitezei
Δv, Δt fiind o marime
fizica scalara (vezi cap. I.3.2.).
Acceleratia momentana (instantanee):
v dv
a = lim =
Δt→0 Δt dt
sau, tinand seama de relatiile (2.4) si (2.8), putem scrie:
a = dv/dt= d/dt ( dr/dt ) = d2r/dt2
Componentele ax, ay, az ale acceleratiei sunt:
ax = dvx/dt ax = d2x /dt2
ay = dvy/dt ay = d2y /dt2
az = dvz/dt az = d2z /dt2
In acest caz vectorul acceleratie este dat de expresiile:
a = axi + ayj + az k sau a = ax + ay
+ az
Din cele aratate mai sus rezulta ca studiul miscarii unui punct material in spatiu se poate face descompunandu-se miscarea respectiva in trei miscari componente ale pozitiei punctului material pe axele de coordonate. In fiecare moment, viteza si acceleratia mobilului se pot obtine prin compunerea vectoriala a vitezelor si acceleratiilor acestor proiectii. In general proiectiile pozitiei punctului material executa miscari mai simple si sunt mai usor de studiat.
I.3.2. Miscarea curbilinie plana
In cazul in care traiectoria descrisa de mobil este o linie curba situata intr-un plan spunem ca miscarea este curbilinie plana. (fig. 2.5.).
Miscarea curbilinie plana se poate studia alegand un sistem de coordonate rectangular sau polare plane, si asa cum am aratat mai sus descompunem miscarea respectiva in doua miscari componente simple ale pozitiei punctului material pe axele de coordonate.
Viteza are directia data de tangenta la traiectorie in punctul in care se gaseste mobilul, fiind continuta in planul miscarii.
Intr-o astfel de miscare chiar daca viteza este constanta ca marime, faptul ca ea isi modifica directia duce la aparitia acceleratiei, iar in cele ce urmeaza vom arata ca vectorul acceleratie este intotdeauna orientat in partea concava a traiectoriei.
V
A
Y
vy v
A
vx X
Marimea vitezei in punctul A este :
(a) (b)
Fig. 2.5.
In fiecare punct al traiectoriei
viteza este cunoscuta daca se cunosc componentele ei vx si vy (fig.
2.5.b), acestea putandu-se determina din dependenta de timp a coordonatelor
punctului.
Δv
a t Δvn Δvt
vt v2
P2 a
vn v1
a n P1
R
O
Fig.
2.6. Reprezentarea vectorului v = v2
- v1, respectiv
descompunerea acestui vector pe o directie tangenta la traiectorie in punctul P2
, Δvt, respectiv pe o directie ce coincide cu raza
OP2, Δvn
: Δv
= Δvt + Δvn ; reprezentarea
vectorului a = a t + a n
Conform relatiei
(2.8) :
v
a = lim
Δt→0 Δt
unde Δv = v2 - v1 este variatia vitezei mobilului cand
acesta parcurge pe curba spatiul P1P2
(fig 2.6.). Daca variatia vitezei mobilului Δv este descompusa pe o directie tangenta la
traiectorie in punctul P2 , Δvt,
respectiv pe o directie ce coincide cu raza OP2, Δvn, atunci Δv = Δvt + Δvn
, iar relatia devine:
vt + Δvn Δvt Δvn
a = lim = lim + lim
Δt→0 Δt Δt→0 Δt Δt→0 Δt
Adica a = a t + a n
vn
a n = lim
Δt→0 Δt
Prin
urmare la limita, a n, are aceeasi directie si sens cu Δvn, este
normala pe directia vitezei, avand
sensul spre centrul de curbura O al traiectoriei in punctul considerat (fig
2.6.). Din acest motiv a n se numeste acceleratie normala sau accelaratie centripeta/radiala. O astfel de acceleratie apare in orice
miscare in care directia vitezei se modifica in timp, chiar daca modulul
vitezei este constant.
vt
a t = lim
Δt→0 Δt
Astfel
la limita, a t, are
aceeasi directie si sens cu Δvt,
si se numeste acceleratie tangentiala. O
astfel de acceleratie este nula daca marimea vitezei este constanta (de exemplu
miscarea circulara uniforma, vezi cap. I.3.3.).
Din
cele prezentate mai sus , se constata ca in miscarea curbilinie viteza are
directia data de tangenta la traiectorie, avand sensul miscarii, iar acceleratia totala este intotdeauna orientata
in partea concava a traiectoriei. Aceasta din urma poate fi descompusa in doua
componente: acceleratia normala sau centripeta a n (a
cp), ce caracterizeaza variatia vitezei ca directie, si acceleratia
tangentiala, a t, ce ca-racterizeaza variatia vitezei ca
marime. Iar din punct de vedere al modului prin care miscarea curbilinie a fost rezolvata, putem
concluziona ca fara modelul vectorial (reprezentarea prin vectori, compunerea,
scaderea vectorilor si descompunerea
unui vector etc.) si descompunerea miscarii curbilinii in miscari simple aceste
probleme nu ar putea fi solutionate.
I.3.3. Paralela intre miscarea rectilinie si miscarea circulara
Cel mai simplu si cel mai intalnit tip de miscare curbilinie plana este
miscarea circulara, adica traiectoria mobilului este un cerc.
Pentru o mai buna intelegere, in tratarea miscarii circulare, un bun profesor de fizica ar apela la capitolele studiate anterior, realizand o serie de analogii care sa-l ajute in predare. Astfel o analogie intre miscarea rectilinie si miscarea circulara ar facilita mult predarea marimilor si legilor ce guverneaza miscarea circulara.
In cele ce urmeaza este descris un model prin analogie, plecand de la ideea ca fiecarei marimi fizice caracteristice miscarii rectilinii ii corespunde cate o marime fizica caracteristica miscarii circulare si deci o lege fizica analoaga.
|
MISCAREA RECTILINIE |
MISCAREA CIRCULARA |
||||
|
TRAIECTORIA |
O A B X - este o linie dreapta |
- este un cerc |
|||
|
MARIMI FIZICE |
pozitia punctului material la un moment dat |
||||
|
coordonata x |
unghiul α |
||||
|
deplasarea |
|||||
|
Liniara: Δx = x - x0 |
unghiulara: Δα = α - α0 |
||||
|
viteza |
|||||
|
Liniara: v = dx/dt |
unghiulara: ω = dα/dt |
||||
|
acceleratia |
|||||
|
liniara: a = dv/dt |
unghiulara: γ = dω/dt |
||||
|
LEGI FIZICE ALE MISCARII |
UNIFORMA |
||||
|
- mobilul strabate distante egale in intervale de timp egale. a = 0, v = const. |
- mobilul strabate arce egale in intervale de timp egale. = 0, ω = const. |
||||
|
x = x0 - vt |
t |
||||
|
UNIFORM VARIATA |
|||||
|
- viteza variaza in cantitati egale in intervale de timp egale. a = const. |
- viteza ungiulara variaza in cantitati egale in intervale de timp egale. = const. |
||||
|
x = x0 + v0t + at2/2 |
α = α0 + ω0 t + γt2/2 |
||||
|
v = v0 + at |
ω = ω0 + γt |
||||
|
v2 = v02 + 2a(x-x0) | |||||
Intre marimile liniare s (drumul parcurs), v si at din miscarea circulara si marimile unghiulare α, ω si γ exista relatiile:
ŝ
= α R
v = ω R → v = ω x R
an = ω2R → an = -ω2R
at = γ R
ω
γ
v
I.3.4. Compunerea miscarilor
I.3.4.1. Miscarea elicoidala
In studiul miscarii corpurilor se intalnesc adesea cazuri in care miscarea respectiva poate fi considerata ca rezultand din compunerea mai multor miscari mai simple efectuate simultan de corpul respectiv. De exemplu prin compunerea unei miscari circulare uniforme (m.c.u.) cu o miscare rectilinie uniforma (m.r.u.), directia acesteia din urma fiind perpendiculara pe planul primei miscari, se obtine o miscare elicoidala. Astfel de miscari se intalnesc in natura si in tehnica.
Z
unde
r - raza circumferintei
- viteza unghiulara in m.c.u.
v0 - viteza in m.r.u. dupa axa OZ
Y
X
Din relatiile de mai sus se pot determinausor componentele vitezei:
viteza totala a punctului material are modulul dat de:
iar componentele acceleratiei si acceleratia punctului material sunt:
; 
vectorul acceleratie este situat in planul XOY, fiind perpendicular pe OZ, intrucat az =0.
Dupa cum se constata in cele prezentate mai sus o miscare complexa a unui punct material rezultata prin compunerea a doua miscari poate fi usor descrisa prin cele doua miscari simple, a caror legi le cunoastem.
I.3.4.2. Aruncarea pe oblica
Un alt exemplu de compunere a miscarilor este aruncarea pe oblica a unui corp. In acest caz mobilul efectueaza simultan o miscare rectilinie uniforma (m.r.u.) si o miscare rectilinie uniform variata (m.r.u.v.). Vom studia cazul aruncarii unui corp (considerat punct material) sub un unghi α0 fata de orizontala si cu viteza initiala v0.
Pentru studiul miscarii se alege un sistem de axe de coordonate rectangulare plane, luand originea sistemului in punctul in care se gaseste corpul in momentul initial, t0 = 0.
Descompunem viteza initiala in doua componente:
v0x = v0 cos α0
v0y = v0 sin α0
adica
v = v0x + v0y
Astfel putem considera ca miscarea pe oblica se obtine prin compunerea a doua miscari:
una rectilinie si uniforma dupa orizontala (OX) ce se desfasoara dupa legile:
(I)
una rectilinie si uniform variata cu acceleratie negativa dupa axa OY ce se desfasoara dupa legile:
(II)
Ecuatia traiectoriei se obtine usor eliminand timpul din legiile celor doua miscari:
ecuatie ce descrie o parabola care trece prin originea sistemului de coordonate si este continuta in planul (XOY).
In punctul A, la inaltimea maxima: vy = 0 rezulta, conform legii vitezei m.r.u.v. din grupul de relatii (II), ca timpul de urcare este determinat de relatia:
Inaltimea maxima la care se ridica corpul se poate determina inlocuind timpul de urcare in legea m.r.u.v.din grupul de relatii (II), si obtinem :
Distanta maxima la care ajunge corpul, xmax, se numeste bataia aruncarii si se gaseste punand conditia ca y = 0 in legea m.r.u.v.din grupul de relatii (II), asftel:
relatie care este satisfacuta in mod evident pentru doua valori:
- t1 = 0 , momentul initial al miscarii
- 
, momentul in care corpul cade din nou pe Pamant
Cum t = tu
+ tc (tc
- timp de coborare) deducem ca 
Inlocuind t2 in ecuatia m.r.u., grupul de relatii (I), obtinem bataia aruncarii:
Pentru sin 2α = 1 (α=45˚) se obtine valoarea maxima a bataii:
Pe de alta parte, sin 2α = sin 2(90 ), deci pentru o viteza initiala data, bataia xmax are aceeasi valoare in cazul celor doua unghiuri α si α - 90˚, asa cum arata si figura de mai jos (s-au ales unghiurile α=30˚ si α-90˚=60˚)
|
|
O
|
Y
Cu cele prezentate mai sus am incheiat primul capitol demonstrand inca o data frumusetea, claritatea si usurinta prin care modelarea poate arata cum se desfasoara un fenomen fizic, cum o miscare complicata se poate rezolva cu ajutorul unor miscari simple.
|
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 4419
Importanta: 
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved
