Compunerea oscilatiilor paralele

Compunerea      oscilatiilor paralele

Sunt situatii in care un sistem fizic se misca, fiind supus simultan actiunii a doua sau mai multe forte de tip elastic. In aceste cazuri se pune problema determinarii miscarii rezultante.

Pentru aceasta vom aplica principiul independentei actiunii fortelor. Vom determina efectul fiecarei forte in parte, iar efectul TOTAL se va exprima ca fiind suma efectelor fiecarei forte in parte. Aceste efecte sunt oscilatii armonice.

In cele ce urmeaza ne vom ocupa de acest ultim aspect: cum se compun oscilatiile armonice.

Modelul analitic

Fie un punct material care, supus actiunii unei forte de tip elastic oscileaza conform legii:

.

Acelasi punct material, supus actiunii altei forte de tip elastic, oscileaza conform legii:

.

Daca cele doua forte actioneaza simultan, experienta arata ca miscarea rezultanta este TOT      OSCILATORIE ARMONICA, a carei dependenta de timp o vom cauta de forma:

, in care prin A₀ notam amplitudinea rezultanta, iar prin φ₀ notam faza initiala a miscarii rezultante.

Dorim sa calculam aceste doua marimi in conditiile in care cunoastem dependentele explicite (1) si (2).

Principiul independentei actiunii fortelor ne permite sa scriem ca efectul TOTAL (3) este suma efectelor (1) si (2):

, ceea ce, explicit inseamna:

.

Explicitand sinusurile de sume de unghiuri, gasim:

(6) .

Ordonand in membrul drept dupa functiile armonice de timp, obtinem:

.

Explicitand miscarea rezultanta (3) ca fiind:

.

Identificand coeficientii functiilor trigonometrice de timp din relatiile (7) si (8), gasim un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute: A₀ si φ₀.

.

Pentru a determina faza initiala φ₀, impartim cele doua relatii membru cu membru si obtinem:

.

Pentru a determina amplitudinea A₀, ridicam la patrat fiecare din ecuatiile sistemului si le adunam. Se obtine succesiv:

.

Suma din paranteza dreapta se poate restrange sub forma unui cosinus de diferenta de unghiuri. Obtinem, final:

.

Relatiile (10) si (11) ne permit sa determinam faza initiala si amplitudinea miscarii oscilatorii rezultante (3).

Exemplu

Un punct material este supus simultan actiunii a doua forte de tip elastic. Fiecare forta in parte pune punctul material in miscare dupa legea: