Interactia sistemelor statice de sarcina electrica

Interactia sistemelor statice de sarcina electrica

In varfurile unui patrat, de latura a=10cm, aflat in plan orizontal in aer sunt plasate sarcini electrice punctiforme, identice, de valoare q = +2nC fiecare.

Se cere sa se determine:

a) forta rezultanta ce actioneaza asupra fiecareia dintre sarcini:

b) potentialul electric in centrul patratului:

c) lucrul mecanic schimbat cu exteriorul la deplasarea uneia dintre sarcini:

c₁) in centrul patratului:

c₂) la mijlocul uneia dintre laturile cu care face congruenta comuna:

d) pozitia, semnul si valoarea unei sarcini punctiforme Q care sa mentina intreg sistemul in echilibru mecanic:

e) energia electrostatica de interactie mutuala a sistemului format din cele cinci sarcini;

f) Generalizati expresia energiei potential-electrostatice de interactie dedusa la punctul anterior si calculati cu ajutorul acesteia energia inmagazinata intr-un nucleu radioactiv de .Distanta medie dintre doi protoni oarecare se va considera .

Se considera neglijabile interactiile gravitationale si frecarile. Se cunoaste

Rezolvare

a)      1+q +q 2

+q +q

4 3

Figura 1

Legea interactiei electrostatice a lui Coulomb pentru doua sarcini oarecare de vectori de pozitie r₁, respectiv r₂ se scrie:

(1)

Pentru exemplificare, pentru cazul considerat, in Figura 1 au fost reprezentate fortele care actioneaza asupra sarcinii 3. Fiind sarcini identice si, de acelasi semn, fortele sunt de respingere electrostatica.Tinandu-se cont ca patrulaterul este un patrat, se poate deduce:

(2)

unde -este diagonala patratului.

Dupa cum se poate observa, rezultanta fortelor de interactie este orientata pe directia diagonalei patratului.

b) Potentialul electric produs de o sarcina oarecare intr-un punct oarecare P se masoara in Volti (V) si este o marime scalara, care are semnul sarcinii de provenienta si reprezinta, ca valoare, lucrul mecanic necesar transportului unitatii de sarcina din acel punct la infinit.

Este deci definit prin expresia:

(3)

r este distanta de la sarcina punctiforma la punctul P.

Potentialul rezultant in punctul O din centrul patratului va fi deci:

(4)

c) Fiecare sarcina va fi deplasata in potentialul creat de prezenta celorlalte. Potentialul rezultant creat de celelalte trei sarcini in punctul in care una dintre ele se afla, in varful patratului, va fi:

(5)

c₁) Potentialul creat de celetrei sarcini imobile in centrul patratului va fi:

(6)

Diferenta de potential dintre doua puncte ale campului electrostatic se defineste ca lucrul mecanic necesar transportului de sarcina dintre cele doua puncte.De aici se determina lucrul mecanic schimbat de sistem cu exteriorul:

(7)

unde V_i-este potentialul initial, in punctul de plecare, iar V_f - potentialul final, in punctul de sosire al sarcinii mobile.

Pentru cazul de fata se obtine:

> (8)

Semnul plus obtinut pentru lucrul mecanic are ca interpretare fizica faptul ca acest lucru mecanic este efectuat de sistem, adica sarcina respectiva este "absorbita" intre cele doua puncte, sistemul de sarcini cedaand din energia proprie.

c₂) Potentialul creat de catre sarcinile imobile pe oricare punct median M al uneia dintre laturile patratului, datorita simetriei geometrice si de sarcina a sistemului va fi acelasi si va fi determinat de expresia:

(9)

Tinandu-se cont de ultima expresie din (7), lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea sarcinii va fi:

< (10)

De asta data lucrul mecanic a reyultat negativ, semn ca sarcina a trebuit "impinsa si sustinuta" pe tot parcursul deplasarii, adica lucrul mecanic a fost efectuat din exterior asupra sistemului de sarcini, energia acestuia crescand continuu.

d)Datorita simetriilor la care s-a facut deja referire, cum asupra fiecarei sarcini actiunea celorlalte trei este identica si de respingere, se impune ca sarcina punctiforma sa fie plasata in centrul de simetrie al patratului pentru fiecare dintre cele patru sarcini, deci in centrul sau geometric, punctul O, in primul rand si, in al doilea rind, este necesara crearea unei forte reactive, deci de atractie, ceea ce impune ca sarcina Q sa fie negativa.

1 +q +q 2

4 +q +q 3

₁₂₄₃

Figura 2

In Figura 2 sunt reprezentate fortele care asigura echilibrul acestei sarcini si, desigur ale intregului sistem. Sarcina Q, plasata in centrul patratului, a fost numerotata cu 5 si are semnul negativ. Punand conditia de echilibru de translatie pentru sarcina 3, se obtine:

(11)

e) Conform definitiilor date anterior, energia mutuala de interactie electrostatica dintre doua sarcini este egala cu produsul valorii uneia dintre sarcini cu potentialul creat de cealalta in punctul in care prima se afla, adica:

(12)

Energia de interactie mutual-electrostatica a unui sistem de sarcini electrice discrete, punctiforme, este suma energiilor de interactie a fiecarui cuplu de sarcini, luata o singura data. In aceste conditii, pentru cazul propus, se poate scrie:

(13)

Rezultatul obtinut era de asteptat deoarece sarcina a fost astfel aleasa ca marime si plasata incat sistemul sa fie in echilibru. Dupa cum se cunoaste una dintre conditiile generale de echilibru este ca sistemul sa se afle intr-un minim de potential. De altfel, orice sistem lasat liber tinde spre o energie minima corespunzatoare unui echilibru cat mai stabil.

f) Deoarece sarcinile protonice sunt in acest caz identice, q = +e si distanta medie dintre acestea este aceeasi si energia medie de interactie electrostatica, fiind aceeasi pentru orice pereche de electroni, va fi:

(14)

Energia totala a nucleului de va fi deci energia W_ij inmultita cu o combinatie de 92 protoni luati cate 2, adica:

(15)