ASEMANAREA TRIUNGHIURILOR

Notiuni teoretice

Def. 1

Raportul a doua segmente este raportul lunginilor lor exprimate cu aceeasi unuitate de masura.

Exemplu :AB=35 cm, CD=1,4dm, ═>

Def. 2

Patru segmente se numesc proportionale daca se poate forma o proportie cu lungimile acestora.

Exemplu :Daca AB=8cm, BC=4cm, CD=0,5cm, DE =1cm, si , iar rezulta

Teorema paralelelor echidistante

Daca mai multe drepte paralele determina pe o secanta oarecare segmente congruente, atunci ele vor determina pe orice alta secanta segmente congruente.

Pentru figura de mai jos,

daca d d d d si A A A A A A

atunci B B B B B B

Teorema lui Thales

O paralela dusa la una din laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi, sau pe prelungirile acestora , segmente proportionale.

Pentru figura de mai jos avem:

Reciproca teoremei lui Thales

Daca in triunghiul ABC, D AB, E AB si    , atunci DE║ BC. Daca in ∆ABC, D AB, E AC si , atunci DE BC.

Vezi figura de la teorema lui Thales.

Aplicatii ale teoremei lui Thales

Triunghiuri asemenea

Def.

Doua triunghiuri sunt asemenea daca au unghiurile corespondente congruente si laturile corespondente proportionale.

ABC~∆DEF <=>∢A≡∢D, ∢B≡∢E, ∢C≡∢F, , unde k=raport de asemanare

OBS. Din clasa a VI-a se cunoaste ca o corespondenta ABC↔DEF intre ABC si ∆DEF este precizata de ordinea in care sunt scrise varfurile si inseamna A↔D, B↔E, C↔F si [AB] ↔[DE], [BC] ↔[EF], [AC] ↔ [DF], iar ∢A ∢D, ∢B ∢E, ∢C ∢F

Teorema Fundamentala a Asemanarii

O paralela dusa la una din laturile unui triunghi, formeaza cu celelalte doua laturi (sau cu prelungirile acestora) un triunghi asemenea cu cel dat.

ABC, DE║BC=>ABC~∆ADE

Criterii de asemanare a triunghiurilor

I.            UU. Daca doua triunghiuri au doua perechi de unghiuri corespondente congruente, atunci triunghiurile sunt asemenea. ∢A≡∢M, ∢B≡∢N => ABC ~ ∆MNP

II.         LUL. Daca doua triunghiuri au doua perechi de laturi corespondente proportionale si unghiurile dintre ele congruente, atunci triunghiurile sunt asemenea. ∢B≡∢N si => ABC ~ ∆MNP

III.       LLL.Daca laturile corespondente a doua triunghiuri sunt proportionale, atunci cele doua triunghiuri sunt asemenea. ~ ∆MNP

Linia mijlocie in triunghi

Def.

Se numeste linie mijlocie in triunghi segmentul determinat de mijloacele a doua laturi ale triunghiului.

ABC, M=mijl. [AB], N=mijl.[AC] =>MN=linie mijlocie in ABC

Proprietate Intr-un triunghi, linia mijlocie uneste mijloacele a doua laturi, este paralela cu cea de-a treia latura a triunghiului si are lungimea cat jumatate din aceasta.

ABC, MN=linie mijlocie=>MN║ BC si

Centru de greutate

Def. Se numeste centru de greutate al unui triunghi, punctul G de intersectie a medianelor triunghiului, care se afla la o treime de baza si doua treimi de varf pe fiecare mediana in parte.

Se numeste mediana a unui triunghi, segmentul determinat de un varf al triunghiului si mijlocul laturii opuse.

In ABC, AD, BE si CF mediane => AD ∩ BE ∩ CF=, DG=, AG=

Linie mijlocie a trapezului

Def. Se numeste linie mijlocie     in trapez, segmentul determinat de mijloacele laturilor neparalele.

ABCD =trapez, M=mijl.[AD], N=mijl.[BC] =>MN= linie mijlocie

Proprietate: Intr-un trapez, linia mijlocie este paralela cu bazele si are lungimea egala cu jumatate din suma bazelor.MN║AB ║CD si MN=