Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  
AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii de gradul al doilea

Matematica



+ Font mai mare | - Font mai mic



Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii de gradul al doilea

Ecuatia  

asin2x + bsinx + c = 0,   a, b, c I R,   a ¹ 0



(12)

prin intermediul substitutiei t = sinx,   (|t| £ 1) se reduce la ecuatia patrata at2 + bt + c = 0.

Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile (Culegere de probleme , clasa aXa , Marius Burtea)

a) 2sin2x - 5sinx + 2 = 0;     b) sin22x - sin2x = 0;     c) sin2x - sinx + 6 = 0.

Rezolvare. a) Se noteaza sinx = t si ecuatia devine

2t2 - 5t + 2 = 0,

de unde t1 = 1/2 si t2 = 2. Cum |t| £ 1, ramane t = 1/2 si prin urmare ecuatia initiala este echivalenta cu ecuatia

sinx = 1/2,

solutiile careia sunt (a se vedea (3  ))

b) Se noteaza sinx = t si se obtine ecuatia patrata t2 - t = 0 cu solutiile t1 = 0 si t2 = 1. Astfel ecuatia initiala este echivalenta cu totalitatea de ecuatii

sin2x = 0,

sin2x = 1,

de unde

c) Similar exemplelor precedente se obtine ecuatia patrata t2 - t + 6 = 0, care nu are solutii. Rezulta ca si ecuatia trigonometrica nu are solutii.

Ecuatiile  

acos2x + bcosx + c = 0,

(13)

 

atg2x + btgx + c = 0,

(14)

 

actg2x + bctgx + c = 0,

(15)

unde a, b, c I R,   a ¹ 0 se rezolva similar ecuatiei (12  ).

In cazul ecuatiei (13  ) se tine seama ca t = cosx in modul urmeaza sa nu intreaca unu, iar pentru t = tgx   (t = ctgx) in ecuatia (14  ) (respectiv (15  )) restrictii nu sunt.

Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile (Culegere de probleme , clasa aXa , Marius Burtea)

a) 6cos2x - 5cosx + 1 = 0;        b)

Rezolvare. a) Se noteaza cosx = t si se obtine ecuatia patrata

6t2 - 5t + 1 = 0

cu solutiile t = 1/3 si t2 = 1/2. Cum ambele solutii verifica conditia |t| £ 1 se obtine totalitatea

cosx = 1/3,

cosx = 1/2,

de unde    

b) Se rezolva similar exemplului precedent si se obtine     x = 2arcctg2 + 2p



k,   n, k I Z.

Ecuatia  

acos2x + bsinx + c = 0,

(16)

utilizand identitatea trigonometrica de baza sin2x + cos2x = 1, se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (12  ):

a(1 - sin2x) + bsinx + c = 0.

Similar, ecuatia  

asin2x + bcosx + c = 0

(17)

se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (13  ):

a(1 - cos2x) + bcosx + c = 0.

Utilizand formulele

cos2x = 1 - 2sin2x,     cos2x = 2cos2x - 1

ecuatiile  

acos2x + bsinx + c = 0,

(18)

acos2x + bcosx + c = 0,

(19)

se reduc la rezolvarea ecuatiilor de tipul (12  ) si respectiv (13  ).

Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile: (Culegere de probleme , clasa aXa , Marius Burtea)

a) 2sin2x + 5cosx - 5 = 0;       b)

Rezolvare. a) Cum sin2x = 1 - cos2x, ecuatia devine

2(1 - cos2x) + 5cosx - 5 = 0

sau

2cos2x - 5cosx + 3 = 0,

de unde cosx = 3/2 (aceasta ecuatie nu are solutii) sau cosx = 1, cu solutiile x = 2pk, k I Z.

b) Cum cos4x = 1 - 2sin22x, ecuatia devine

sau

de unde

sin2x = 0,

si

Ecuatia  

atgx + bctgx + c = 0

(20)

tinand seama ca tgxctgx = 1   () prin intermediul substitutiei t = tgx (atunci ctgx = 1/t) se reduce la o ecuatie trigonometrica de tipul (14  ).





Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare



DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 1789
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved