Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

 
CATEGORII DOCUMENTE


AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Inegalitati de baza. Metrici, norme si produse scalare in

Matematica


loading...



DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
Calculul coordonatelor punctelor radiate
METODA BISECTEI
Structurile sistemelor numerice
FISA DE LUCRU - TRIUNGHIUL SI PATRULATERE
Clasa a VII-a Varianta nr. 1 Teza Unica la matematica
Siruri si serii de elemente - Aplicatii la caracterizarea unor puncte, multimi si functii remarcabile
Inegalitati de baza. Metrici, norme si produse scalare in
IMAGINEA UNEI FUNCTII - PREIMAGINEA UNEI FUNCTII
METODA INDICILOR IN PRACTICA STATISTICA
ANALIZA seriilor cronologice

TERMENI importanti pentru acest document

inegalitati remarcabile : : inegalitatea minkowski aplicatii : inegalitatea lui minkowski aplicatii : :

                     Inegalitati de baza. Metrici, norme si produse scalare in

 I. Sa se arate ca au loc urmatoarele inegalitati:

1)  (Cauchy – inegalitatea mediilor)    

.

            2)  (Bernoulli)   , cu toti de acelasi semn ,

                                                             .

            Caz particular:   .

            3)  (Hölder)   ,

.

            Caz particular:   (Cauchy – Buniakowski – Schwarz)

.

4)  (Minkowski)   ,

.

II

 II.1)  Sa se verifice ca urmatoarele aplicatii definesc distante (metrici) pe multimile in cauza:

a) 

b) 

c) 

d)  

e) 

f)  .

g) 

h) 

i) 

 II.2)  Fie  o metrica. Sa se arate ca urmatoarele aplicatii sunt de asemenea metrici pe :  ; , cu  (constanta); ; ; . Sunt acestea echivalente cu d ?

 II.3)  Se considera , astfel incat:

                        i)    si

                        ii)  .

            Sa se demonstreze ca d este o metrica pe  (Lindenbaum).

 II.4)  Daca d este o metrica pe , sa se arate ca au loc relatiile:

a)    (inegalitatea triunghiului);

b)    (inegalitatea patrulaterului).

 II.5)  a)  Fie  si  doua metrici pe . Sa se arate ca  si  sunt, de asemenea, metrici pe .

            b)  Fie , metrici pe . Sa se demonstreze ca urmatoarele aplicatii  , definite respectiv prin

                           ,

                          , sunt metrici pe .

c)      Sa se arate ca daca  si  sunt doua metrici, atunci , definita prin

                       

                                         ,

                   este o metrica.

 II.6)  Fie d o metrica pe  si  vectorul nul din . Se considera ,

          definita prin:

                        .

      Sa se arate ca:

a)       este o metrica pe , iar topologia indusa de d este mai putin fina decat cea indusa de ;

b)       ,

unde indicele „0” desemneaza entitatile in cauza ( diametrul multimii si respectiv sfera ) definite prin intermediul metricii .

III

  III.1)  a)  Folosind inegalitatea lui Minkowski , sa se arate ca aplicatia  ,

            definita prin , , unde  este indicat,

             constituie o norma pe .

b)                 Sa se arate ca .

c)                  Sa se verifice ca normele  (norma euclidiana) si  sunt echivalente, demonstrand ca:

.

d)         Sa se arate ca .

e)         Sa se observe ca inegalitatea lui Hölder se poate reda sub forma , unde  inseamna produsul scalar euclidian al elementelor x si y, adica , , . In particular, cand , inegalitatea lui Cauchy – Buniakowski – Schwarz se poate scrie in forma:

.

 III.2) Fie  o norma pe . Sa se arate ca:

a)          .

b)          .

c)           .

 III.3) Fie  si  definite prin , respectiv

         ,  , unde  sunt constante. Date fiind

          si , astfel incat , se considera aplicatiile  si

         , definite respectiv prin:

.

a)      Sa se arate ca  si  sunt norme pe .

b)      Sa se demonstreze ca daca exista , astfel incat  si , atunci  este de asemenea o norma pe . Conditia  este si necesara sau

 doar suficienta pentru ca  sa fie o norma pe ?

 III.4) Fie  o norma pe  si , definita prin:

      Sa se arate ca:

a)      d este o metrica pe , iar topologia indusa de d este mai fina decat cea indusa de norma .

b)      , unde  si S semnifica diametrul si respectiv sfera in raport cu d, iar  este notatia pentru norma euclidiana pe .

IV

 IV.1)  Sa se arate ca urmatoarele aplicatii , definite dupa cum urmeaza, sunt produse scalare pe :

            a)  ,

            b)  .

 IV.2)  Fie  un produs scalar pe  si  norma indusa.

            a)  Sa se arate ca au loc relatiile:

                        (i) 

                        (ii) 

b)  Cand , sa se arate ca are loc egalitatea  , precum si relatia :       .

c)  Reciproc, sa se arate ca daca , in , are loc egalitatea   sau relatia

     , atunci x si y sunt vectori ortogonali, adica .

 IV.3)  Fie , ,  si , unde  este un produs scalar pe . Sa se arate ca:

            a)  ,  unde    este  norma

                 indusa de  pe .

            b)  pe baza relatiei de la a) si a egalitatii

,

                  unde  si  d este metrica indusa de norma , distanta de la  la A

                  are valoarea , ori de cate ori .

 IV.4)  Fie W un subspatiu liniar al lui  si  o functie liniara, neidentic nula, pentru care   . Se defineste aplicatia , prin . Sa se arate ca:

             a)   este un spatiu prehilbertian.

             b)  Oricare doua elemente ale lui W, diferite de , sunt liniar dependente.

                                                                                           F. Iacob / 01.10.2006

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 350
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2014. All rights reserved