Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  


AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Metoda descompunerii in factori

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic



Metoda descompunerii in factori

Aceasta metoda este una din cele mai frecvente si presupune o cunoastere satisfacatoare a formulelor trigonometrice.

Exemplul 16. Sa se rezolve ecuatiile (Culegere de probleme , clasa aXa , Marius Burtea)

a) sin3x - cos3x = cos2x;



b) sin3x - sin2x + 2cosx = 2cos2x - sinx;

c) 4sinx + 2cosx = 2 + 3tgx.

Rezolvare. a) sin3x - cos3x = cos2x   Û   (sinx - cosx)(sin2x + sinxcosx + cos2x) = cos2x - sin2x   Û   (sinx - cosx)(1 + sinxcosx + (cosx + sinx)) = 0   Û

Û  

sinx - cosx = 0,

1 + sinxcosx + (cosx + sinx) = 0,

  Û  

tgx = 1,

t = sinx + cosx,

  Û

Û  

t2 + 2t + 1 = 0,

t = sinx + cosx,

  Û  

sinx + cosx = -1,

  Û

Û  



x = p + 2pm,   m I Z.

b) Se trec toti termenii in stanga ecuatiei si se grupeaza convenabil:

(sin3x + sinx) + 2cosx - (sin2x + 2cos2x) = 0.

Se utilizeaza formulele sumei sinusurilor si sinusului unghiului dublu si se obtine

(2sin2xcosx + 2cosx) - (2sinxcosx + 2cos2x) = 0

sau

2cosx[(sin2x + 1) - (sinx + cosx)] = 0.

Se tine seama ca sin2x + 1 = 2sinxcosx + sin2x + cos2x = (sinx + cosx)2 si ecuatia devine

2cosx[(sinx + cosx)2 - (sinx + cosx)] = 0

sau

2cosx(sinx + cosx)(sinx + cosx - 1) = 0,

de unde se obtine totalitatea

cosx = 0,

sinx + cosx = 0,

sinx + cosx - 1 = 0.

Din prima ecuatie a totalitatii se obtine Cea secunda reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai cu solutiile Ecuatia a treia se rezolva, de exemplu, prin metoda introducerii unghiului auxiliar si are solutiile x = 2pn,   n I Z si Ultimul set de solutii se contine in multimea solutiilor primei ecuatii si prin urmare multimea solutiilor ecuatiei initiale este

c) DVA al ecuatiei este Ecuatia se scrie

sau

4sinxcosx + 2cos2x - 2cosx - 3sinx = 0.

Se grupeaza convenabil:

2cosx(2sinx - 1) + (2cos2x - 3sinx) = 0,

sau, cum 2cos2x = 2(1 - sin2x) = 2 - 2sin2x,

2cosx(2sinx - 1) + (2 - 3sinx - 2sin2x) = 0.

Cum 2 - 3sinx - 2sin2x = 2 - 4sinx + sinx - 2sin2x = 2(1 - 2sinx) + sinx(1 - 2sinx) = (1 - 2sinx)(2 + sinx), ecuatia devine

2cosx(2sinx - 1) + (1 - 2sinx)(2 + sinx) = 0,

sau

(2sinx - 1)(2cosx - sinx - 2) = 0.

Cum         ecuatia se scrie

de unde rezulta

sinx = 1/2,   cu solutiile  

  cu solutiile   x = 2pm,   m I Z,

  cu solutiile  

Toate solutiile obtinute verifica DVA al ecuatiei.





Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare



DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 2177
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved