Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

CATEGORII DOCUMENTE





loading...

AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Reducerea ecuatiei unei cuadrice la forma canonica

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic







DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
FUNCTII - DEFINITIE, NOTATIE
TESTE MATEMATICA TIP C
Camp de evenimente. Probabilitate
Siruri si serii de elemente - Aplicatii la caracterizarea unor puncte, multimi si functii remarcabile
Experienta. Proba. Eveniment
Serii de timp cu trei componente: trend, sezonalitate si variabila reziduala
Functia parte intreaga - Ecuatii cu parte intreaga
Proprietatile functiei logaritmice
CALCUL MATRICE ALINVERSARE. FACTORIZARE
BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT2, programa M2 rezolvare

Reducerea ecuatiei unei cuadrice la forma canonica

Ecuatia algebrica de gradul al doilea (1.1), reprezinta din punct de vedere geometric o suprafata dintre cele descrise in paragraful prcedent sau multimea vida. Aceasta cuadrica este caracterizata analitic de reletia (1.1), intr-un anume reper ortonormat R (O; ) , din spatiul punctual euclidian E = (E3,V ,~) . Pentru a recunoaste suprafata pe care o reprezita aceasta ecuatie, vom efectua o transformare izometrica in spatiul euclidian tridimensional E3, astfel incat caracterizarea analitica in noul reper (reper canonic) ,sa aiba cea mai simpla forma,numita forma canonica. Transformarea izometrica t : E3 E3 , a reperului ortonormat R (O; ) in reperul ortonormat R ‘ (O’;) (reper canonic), este perfect determinata de translatia originii t(O) = O’ si de aplicatia ortogonala asociata T :V V , care transforma baza ortonormata




in baza ortonormata .

Fie cuadrica (S E3 , caracterizata analittic in reperul cartezian R (O; ) de ecuatia :

S a11 x2 +a22 y2 +a33 z2 +2a12 xy +2a23 yz +2a13xz +

+ 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0 (1)

Asociem cuadricei S ) matricele :

cu proprietatea aij = aji

Matricea simetrica A a suprafetei (1) determina in mod unic transformarea liniara simetrica T : V V pe care o vom numi transformarea liniara simetrica asociata suprafetei (S ) . Ecuatia caracte-ristica det( A- lI ) = 0 se poate scrie sub forma

l - Il + Jl d 0 , unde (2)

I = a11+a22+a33 , J =++ , d = detA (3)

Conform rezultatelor stabilite in § 5,cap.7 ,valorile proprii l l l ale ecuatiei (2) sunt reale,iar vectorii propri corespunzatorisunt ortogonali. In plus, trecerea de la baza la baza (matricea schimbarii de baza este ortogonala, W = tW ) invariaza rang A si polinomul caracteristic (2) .

Daca efectuam o translatie t: E3 E3 ,X =X’ +Xo ,matricea A, asociata cuadricei (1) , nu se modifica.

In consecinta , daca pe spatiul euclidian E3 efectuam o transformare izometrica , data de compunerea dintre o translatie si o centro-izometrie, cuadrica (S ) va fi caracterizata de matricea A’cu cantitatile I’,J’,respectiv d

pentru care avem :

1Propozitie

Cantitatile I, J, d si rangA sunt invarianti izometrici, adica

I’= I , J’ = J , d d , rangA’ = rangA .

Considerand acum matricea , D = det, cu ecuatia caracteristica det (-lI ) = 0, adica

l - l + Ll - Kl D (4)

si transformarea simetrica T: E4 E4, caracterizata de matricea intr-o baza ortonormata din spatiul V , rang si polinomul caracteristic raman neschimbate la o schimbare de baza , deci cantitatile rang,, L, K, D sunt invariante trecand de la o baza ortonormata la alta baza ortonormata.

De observat ca o centro-izometrie a spatiului E3 care transporta baza in baza , poate fi gandita ca o centro-izometrie a spatiului E4 , care transporta baza in baza ,deci cantitatile rangA, rang,I ,J, d D,K,L, sunt invarianti ai cuadricei (S ) pentru centro-izomertiile spatiului E3 .

Pentru anumite cuadrice se demonstreaza invarianta la translatii si a cantitatilor L si K , adica L si K sunt invarianti la izometriile spatiului E

Invariantii I ,J, d D, rangA, rang determina complet toate clasele izometrice de suprafete de ordinul al doilea. Din acest motiv, vom spune ca acestia formeaza un sistem complet de invarianti pentru suprafetele de ordinul al doilea .

Daca doua cuadrice (S ) si (S ) sunt caracterizate de aceeasi invarianti izometrici, atunci exista o izometrie a spatiului E3 care va va aplica punct cu punct suprafata (S ) pe suprafata (S

Sa notam cu f(x,y,z) membrul stang al ecuatiei (1) si forma patratica din acest polinom prin:

j (x,y,z) = a11 x2 +a22 y2 +a33 z2 +2a12 xy +2a23 yz +2a13xz . (5)

Daca functia f ar satisface relatia f(-x,-y,-z) = f(x,y,z) , atunci , din punct de vedere geometric , cuadrica (S ) ar admite originea O(0,0,0) drept centru de simetrie pentru multimea punctelor sale. Astfel , in mod similar algoritmului aplicat la conice, vom efectua o translatie in spatiul E3 ,asa incat, in noul reper, expresia analitica a cuadricei (S ) sa nu contina termeni de gradul intai (atunci cand este posibil) .

Efecuand translatia :

(6)

ecuatia (1) se transforma in

j (x’,y’,z’ ) +2 ( ) + f (xo,yo,zo ) = 0 (7)

Sa consideram sistemul :,sau, scris explicit,

(8)

cu determinantul d Vom reduce la forma canonica cuadrica (S ) in cazurile: d 0, repectiv d

Cazul d In acest caz sistemul (8) admite o unica solutie (xo,yo,zo) adica cuadrica (S )are centru unic, punctul (xo,yo,zo),originea noului reper.

Dupa efectuarea translatiei (6) in punctul ecuatia cuadricei (S ) se scrie sub forma

j (x’,y’,z’ ) + f (xo,yo,zo ) = 0 (9)

si folosind invarianta lui D, obtinem f (xo,yo,zo ) = .

Forma patratica j admite forma canonica: j (X,Y,Z ) = l X l Y l Z

in raport cu reperul format din vectorii proprii , corespunzatori valorilor proprii l l l , radacinile ecuatiei caracteristice (2). Astfel, in reperul R’’(O’; ) cuadrica (S ) admite forma canonica :



l X l Y l Z + = 0 (10)

Reperul R’’(O’; ) va fi numit reper canonic ,iar ecuatia (10) va fi numita ecuatia redusa .

Ecuatia (10) reprezinta pentru

D

elipsoid daca l l l sunt de acelasi semn, contrar semnului termenului liber

hiperboloid daca numai doua valori proprii au acelasi semn

multimea vida daca l l l , au acelasi semn

D

con daca l l l <

punct dublu daca l l l au acelasi semn

Cazul d In acest caz sistemul (8) poate fi incompatibil -cuadrica nu are centru, compatibil simplu nedeterminat -cuadrica are o dreapta de centre, sau este compatibil dublu nedetermint, caz in care cuadrica admite un plan de centre . Pentru a determina reperul canonic, vom efectua in spatiul E3 o centro-izometrie urmata de o translatie ,convenabil aleasa .

Daca d l l l 0 si D , atunci ecuatia caracteristica are cel putin o radacina egala cu zero.

Sa presupunem ca l si celelalte diferite de zero. Ecuatia caracteristica se scrie sub forma l l -Il+J)=0, in care J = l l 0. Ecuatia cuadricei, raportata la reperul ortonormat, format din vectorii proprii corespunzatori valorilor proprii l l l se scrie sub forma:

l 2 + l 2 + 214x’ +224y’ + 2a’34z’ + a’44 = 0 (11)

Calculand invariantul izometric D pentru aceasta ecuatie obtinem

D = - (a’34)2J, din care pentru D rezulta a’34 =

Sa efectuam in spatiul E3 translatia :

(12)

atunci ecuatia (11) se scrie

l X2 + l Y2 + 2 a’34 Z + 2(l xo+14)X +2(l yo+24)Y +

+ l xo2 +l yo2 +2a’14xo+2a’24yo+2a’34zo+44 = 0 (13)

Alegand

xo=, yo=, zo=(l xo2+l yo2+2a’14xo+2a’24yo+2a’34zo+44)

ecuatia (13) devine

l X l Y Z = 0 (14)

ceea ce reprezinta un paraboloid,eliptic sau parabolic dupa cum l l > sau l l <

Pentru D , din calculul invariantului D in ecuatia (11), rezulta a’34 = 0

caz in care ecuatia (11) se reduce la o ecuatie de gradul doi in doua nedeterminate, ce poate fi pusa sub forma :

(15)

Daca efectuam translatia x = X - , , z = Z si notam cu

* , ecuatia (15) se scrie

l X l Y + 0 (16)

Calculand cantitatile L si K pentru ecuatiile (11) si (16) constatam invarianta acestora si obtinem K =l l = J, adica .

In acest caz ecuatia (16) reprezinta:

pentru K , un cilindru (eliptic daca l l > , hiperbolic daca l l < ) sau multimea vida daca l l , au acelasi semn




pentru K = 0 , plane secante daca l l < sau o dreapta dubla daca l l >

Sa presupunem ca d l l l 0 pentru l l = 0 si l 0, de unde rezulta ca J = 0 si l = I .

In reperul R’(O; ) determinat de vectorii proprii corespunzatori valorilor proprii l l l ecuatia (1) se scrie sub forma:

l x’2 + 214x’ +224y’ + 2a’34z’ + a’44 = 0 (17)

sau

l1+ 224y’ + 2a’34z’ + ’44 = 0    (17)’

unde ’44 = a’44 - .

Efectuand translatia , y’ = y’’ , z’ = z’’,in urma careia ecuatia (17) se scrie

l ’2 +224y’’ + 2a’34z’’ + a’’44 = 0 (17)’’

si centro-izometria :

, pentru

obtinem

l 2 + 2 k1 + a’’44 = 0 (18)

unde k1= . In final, translatia : ne conduce la forma canonica

l X 2 + 2 k1Y = 0 . (19)

Invarianta lui K = -(k1)2I 0 la centro-izometrii si respectiv la translatii (se demontreaza direct) ne procura k1 = ,adica forma canonica (19) poate fi pusa sub forma

X 2 2 Y = 0 (20)

si reprezinta un cilindru parabolic .

Pentru 24 = 34 = 0, rezulta K = 0 si ecuatia (17)’’ se reduce la

l ’2 + a’’44 = 0 (21)

Calculand acum valoarea lui L se gaseste L = l a’’ = I a , din care obtinem a = sin deci ecuatia redusa

X 2 + = 0 (22)

Care reprezinta plane paralele (confundate) pentru L 0 ,respectiv multimea vida daca L >

Rezultatele obtinute reprezinta clasificarea izometrica a cuadricelor,

pe care oconcentram in urmatorul tabel:

D

d

Discutie

D

cuadrice nedegene-rate

d 0 - cu centru

elipsoizi,hiperboloizi sau multimea vida

d = 0 -fara centru

paraboloizi

D

cuadrice degenerate

d 0 - cu centru

conuri sau

punct dublu

d

cu dr. de

centre,

cu plan de centre sau

fara centru

J

cu dreapta

de centre

K

cilindri sau

multimea vida

K =

plane secante sau

o dreapta dubla

J

cu plan de

centre sau

fara centru

K

cilindri parabolici

K =

Plane paralele

(confundate) sau

multimea vida



loading...







Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 2234
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2019 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site