Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

CATEGORII DOCUMENTE





AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Reducerea ecuatiei unei cuadrice la forma canonica

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic







DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
FUNCTII - DEFINITIE, NOTATIE
TESTE MATEMATICA TIP C
Camp de evenimente. Probabilitate
Siruri si serii de elemente - Aplicatii la caracterizarea unor puncte, multimi si functii remarcabile
Experienta. Proba. Eveniment
Serii de timp cu trei componente: trend, sezonalitate si variabila reziduala
Functia parte intreaga - Ecuatii cu parte intreaga
Proprietatile functiei logaritmice
CALCUL MATRICE ALINVERSARE. FACTORIZARE
BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT2, programa M2 rezolvare

Reducerea ecuatiei unei cuadrice la forma canonica

          Ecuatia algebrica de gradul al doilea  (1.1), reprezinta din punct de vedere geometric o suprafata dintre cele descrise in paragraful prcedent sau multimea vida. Aceasta cuadrica este caracterizata analitic de reletia (1.1),  intr-un anume reper ortonormat   R (O; ) ,  din spatiul  punctual  euclidian  E3 = (E3,V3,~) . Pentru a recunoaste suprafata pe care o reprezita aceasta ecuatie, vom efectua o transformare izometrica in spatiul  euclidian tridimensional  E3,  astfel  incat  caracterizarea  analitica  in  noul reper (reper canonic) ,sa aiba cea mai simpla forma,numita forma canonica. Transformarea  izometrica  t : E3 ® E3 ,  a  reperului  ortonormat                 R (O; )  in reperul ortonormat   R ‘ (O’;)  (reper canonic), este perfect determinata de translatia  originii  t(O) = O’  si de aplicatia ortogonala asociata T :V3  ® V3 , care transforma baza ortonormata



in baza ortonormata  .

            Fie cuadrica  (S ) Ì  E3 , caracterizata analittic in reperul cartezian  R (O; )  de ecuatia :

(S ) :   a11 x2 +a22 y2 +a33 z2 +2a12 xy +2a23 yz +2a13xz +

                              + 2a14 x + 2a24 y  + 2a34 z + a44 = 0             (1)

          Asociem  cuadricei  (S )  matricele :

           

cu proprietatea  aij = aji .

            Matricea simetrica A a suprafetei (1) determina in mod unic transformarea liniara simetrica  T : V3  ® V3  pe care o vom numi transformarea liniara simetrica asociata suprafetei  (S ) .  Ecuatia  caracte-ristica   det( A- lI3 ) = 0  se poate scrie sub forma

            l3 - Il2 + Jl -d  = 0  , unde                                                          (2)

I = a11+a22+a33  , J =++ , d = detA             (3)

            Conform rezultatelor stabilite in § 5,cap.7 ,valorile proprii l1,l2,l3 ale ecuatiei (2) sunt reale,iar vectorii propri  corespunzatorisunt ortogonali.  In plus,  trecerea de la baza      la  baza    (matricea schimbarii de baza este ortogonala,  W-1 =  tW  ) invariaza  rang A si  polinomul caracteristic (2) .

            Daca efectuam o translatie t: E3® E3 ,X =X’ +Xo ,matricea A, asociata cuadricei  (1) , nu se modifica.

            In consecinta , daca pe spatiul euclidian E3  efectuam o transformare izometrica , data  de  compunerea  dintre o translatie si o  centro-izometrie, cuadrica (S ) va fi caracterizata de matricea A’cu cantitatile I’,J’,respectiv d’

pentru care avem :

1Propozitie

 Cantitatile  I, J, d  si  rangA  sunt invarianti izometrici, adica

I’= I , J’ = J , d’ = d , rangA’ = rangA .

            Considerand acum matricea , D = det, cu ecuatia caracteristica det (-lI4 ) = 0, adica

           

            l4 - l3 + Ll2 - Kl + D = 0                                                         (4)

si transformarea simetrica  T: E4 ® E4, caracterizata de matricea  intr-o baza  ortonormata din spatiul V3 , rang si polinomul caracteristic raman neschimbate  la o schimbare de baza , deci cantitatile rang,, L, K, D  sunt invariante trecand de la o baza ortonormata la alta baza ortonormata.

 De observat ca o centro-izometrie  a spatiului E3 care transporta baza in baza  , poate fi gandita ca o centro-izometrie a spatiului E4 , care transporta  baza    in baza  ,deci cantitatile rangA, rang,I ,J, d, D,K,L,  sunt invarianti ai cuadricei  (S )  pentru centro-izomertiile spatiului E3 .

Pentru anumite cuadrice se demonstreaza invarianta la translatii si a cantitatilor  L  si K ,  adica  L  si  K sunt invarianti la izometriile spatiului E

            Invariantii  I ,J, d, D, rangA, rang  determina complet toate clasele  izometrice  de suprafete de ordinul al doilea. Din acest motiv, vom spune ca  acestia formeaza un sistem complet de invarianti  pentru  suprafetele de ordinul al doilea .

 Daca doua cuadrice (S 1 )  si (S 1 )  sunt caracterizate de  aceeasi invarianti izometrici, atunci exista o izometrie a spatiului E3  care va va aplica  punct cu punct  suprafata (S 1 )  pe suprafata (S 1 ) .

            Sa  notam cu  f(x,y,z)  membrul stang  al ecuatiei (1) si  forma patratica din acest polinom prin:

            j (x,y,z)  = a11 x2 +a22 y2 +a33 z2 +2a12 xy +2a23 yz +2a13xz .         (5)

            Daca  functia  f  ar satisface  relatia  f(-x,-y,-z) = f(x,y,z) , atunci , din punct de vedere geometric , cuadrica  (S )  ar admite originea  O(0,0,0)  drept centru de simetrie pentru multimea punctelor sale. Astfel , in mod similar algoritmului aplicat la conice, vom efectua o translatie in spatiul E3  ,asa incat, in noul reper, expresia analitica a cuadricei (S )  sa nu contina termeni de gradul intai (atunci cand este posibil) .

            Efecuand translatia :

                                                                                              (6)

ecuatia (1) se transforma  in

           

            j (x’,y’,z’ )  +2 ( ) + f (xo,yo,zo ) = 0          (7)

Sa consideram sistemul :,sau, scris explicit,

                                                                          (8)

cu determinantul  d . Vom reduce la forma canonica cuadrica  (S )  in cazurile: d ¹ 0, repectiv  d = 0 .

Cazul d ¹ 0.  In acest caz  sistemul (8)  admite o unica solutie (xo,yo,zo) adica cuadrica (S )are centru unic, punctul (xo,yo,zo),originea noului reper.

Dupa  efectuarea translatiei  (6)  in punctul ecuatia cuadricei  (S ) se scrie sub  forma

            j (x’,y’,z’ ) + f (xo,yo,zo )  = 0                                                      (9)

si folosind invarianta lui D, obtinem   f (xo,yo,zo )  =  .

Forma  patratica  j  admite forma canonica: j (X,Y,Z ) = l1X2+ l2Y2 + l3Z2,

 in raport cu reperul format din vectorii proprii , corespunzatori valorilor proprii  l1, l2, l3 , radacinile ecuatiei caracteristice (2). Astfel, in reperul  R’’(O’; )  cuadrica (S )  admite forma canonica :



            l1X 2+ l2Y 2 + l3 Z 2 +  = 0                                                    (10)

            Reperul R’’(O’; ) va fi numit reper canonic ,iar ecuatia (10) va fi numita ecuatia redusa .

Ecuatia (10) reprezinta pentru

 D ¹ 0

-          elipsoid daca  l1, l2, l3 sunt de  acelasi semn, contrar semnului termenului liber

-           hiperboloid daca numai doua valori proprii au acelasi semn

-          multimea vida  daca    l1,l2, l3,    au  acelasi  semn

D = 0

-          con  daca  l1 l2 l3 < 0

-          punct dublu  daca  l1, l2, l3  au acelasi semn

Cazul  d = 0 . In acest caz sistemul (8) poate fi incompatibil -cuadrica nu are centru, compatibil simplu nedeterminat -cuadrica are o dreapta de centre,  sau  este compatibil dublu nedetermint, caz in care cuadrica admite un plan de centre . Pentru a determina reperul canonic, vom efectua in spatiul E3  o centro-izometrie urmata de o translatie ,convenabil aleasa  .

            Daca  d =l1 l2 l3 = 0  si  D¹ 0 , atunci ecuatia caracteristica are cel putin o radacina egala cu zero.  

            Sa  presupunem  ca   l3 = 0  si celelalte  diferite de zero.  Ecuatia caracteristica se scrie sub forma   l(l2-Il+J)=0,  in care  J = l1 l2 ¹ 0. Ecuatia cuadricei, raportata la reperul ortonormat, format din vectorii proprii   corespunzatori valorilor proprii l1, l2, l3  se scrie sub forma:

            l12 + l22 + 214x’ +224y’ + 2a’34z’ + a’44 = 0                   (11)

            Calculand invariantul izometric D  pentru aceasta ecuatie obtinem   

D = - (a’34)2J, din care pentru  D ¹ 0  rezulta    a’34 =  ¹ 0 .

            Sa efectuam in spatiul E3  translatia :

                                                                                            (12)

atunci ecuatia (11) se scrie

            l1X2 + l2Y2 + 2 a’34 Z + 2(l1 xo+14)X +2(l2yo+24)Y +

                     + l1xo2 +l2yo2 +2a’14xo+2a’24yo+2a’34zo+44 = 0              (13)

Alegand

xo=, yo=, zo=(l1xo2+l2yo2+2a’14xo+2a’24yo+2a’34zo+44)

ecuatia (13)  devine

           

            l1X2 + l2Y2  Z  = 0                                                   (14)

ceea ce reprezinta un paraboloid,eliptic sau parabolic dupa cum l1l2 > 0 sau l1l2 < 0.

Pentru  D = 0, din calculul invariantului D in ecuatia (11), rezulta  a’34 = 0

caz  in care ecuatia (11)  se reduce la o ecuatie de gradul doi in doua nedeterminate, ce poate fi pusa sub forma :

                         (15)

Daca  efectuam translatia  x¢ = X - , ,  z¢ = Z  si notam cu

* ,  ecuatia (15) se scrie

            l1X2 + l2Y2 + 0                                                                (16)

Calculand cantitatile L si K pentru ecuatiile (11) si (16) constatam invarianta acestora  si obtinem   K =l1l2 = J, adica   .

In acest caz  ecuatia (16) reprezinta:

-          pentru  K ¹ 0 ,  un cilindru  (eliptic daca l1l2 > 0,   hiperbolic daca l1l2 < 0) sau multimea vida daca  l1,l2,  au acelasi semn




-          pentru  K = 0 ,  plane secante daca  l1l2 < 0  sau o  dreapta  dubla  daca  l1l2 > 0

            Sa presupunem ca   d = l1 l2 l3 = 0  pentru  l2= l3 = 0  si  l3 ¹ 0, de unde rezulta  ca  J = 0  si  l3 = I .

            In reperul  R’(O; )  determinat de vectorii proprii corespunzatori valorilor proprii  l1, l2 ,l3  ecuatia (1) se scrie sub forma:

           

            l1x’2 + 214x’ +224y’ + 2a’34z’ + a’44 = 0                               (17)

sau

            l1+ 224y’ + 2a’34z’ + ’44 = 0                               (17)’

unde  ’44 =  a’44 - .

Efectuand translatia    , y’ = y’’ , z’ = z’’,in urma careia ecuatia (17) se scrie

            l1’2  +224y’’ + 2a’34z’’ + a’’44 = 0                                     (17)’’

si centro-izometria :

            ,  pentru 

obtinem

            l1 2  + 2 k1 + a’’44 = 0                                                         (18)

unde  k1=   . In final, translatia :   ne  conduce la forma canonica

           

            l1 X 2  + 2 k1Y = 0 .                                                                     (19)

           

            Invarianta lui K = -(k1)2I ¹ 0  la centro-izometrii si respectiv la translatii (se demontreaza direct)  ne procura   k1 = ,adica  forma canonica (19) poate fi pusa sub forma

             X 2   2 Y = 0                                                                 (20)

si reprezinta  un cilindru parabolic .

            Pentru    Û  24 = 34 = 0,  rezulta  K = 0  si ecuatia (17)’’  se reduce la

           

            l1’2  + a’’44 = 0                                                                     (21)

Calculand acum valoarea lui L  se gaseste  L = l1a’’44 = I a¢¢44 , din care  obtinem  a¢¢44 =  sin deci ecuatia redusa

            X 2 +   = 0                                                                           (22)

Care reprezinta plane paralele (confundate) pentru L £ 0 ,respectiv multimea vida daca   L > 0 .

            Rezultatele obtinute reprezinta clasificarea izometrica a cuadricelor,

pe care  oconcentram in urmatorul tabel:

D

d

Discutie

D ¹ 0

cuadrice nedegene-rate

d ¹ 0  - cu centru

elipsoizi,hiperboloizi sau multimea vida

d = 0  -fara centru

paraboloizi

D = 0

cuadrice degenerate

d ¹ 0  - cu centru

conuri sau

punct dublu

d = 0 

cu dr. de

centre,

cu plan de centre sau

fara centru

J ¹ 0

cu dreapta

de centre

K ¹ 0

cilindri  sau

multimea vida

K = 0

plane  secante  sau

o dreapta dubla

J = 0

cu plan de

centre sau

fara centru

K ¹ 0

cilindri parabolici

K = 0

Plane paralele

(confundate)  sau

multimea vida








Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 2177
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2019 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site