Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  


AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


SPATII METRICE SI SPATII VECTORIALE NORMATE

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic



SPATII METRICE SI SPATII VECTORIALE NORMATE

I.1. TOPOLOGIZAREA SPATIILOR METRICE



Fie E ¹ Ø o multime.

Definitia I.1.1 (distanta)

Se numeste metrica (distanta) pe E, orice functie d : E E R cu urmatoarele proprietati:

M1: d(x,y) = 0 Û x = y,x,yI E; (separare)

M2: d(x,y) = d(y,x),x,yI E; (simetrie)

M3: d(x,z) £ d(x,y) + d(y,z), x,y,zI E; (inegalitatea triunghiului)

Definitia I.1.2 (spatiu metric)

Se numeste spatiu metric orice pereche (E,d) formata dintr-o multime E si o distanta d pe E.

Elementele multimii E se numesc puncte.

Observatia I.1.3

d(x,y) ³ x,y I E.

Demonstratie:

Din definitia I.1.1, proprietatea M3 , pentru x = y rezulta:

0 = d(x,y) £ d(x,y) + d(y,x) = 2d(x,y), deci d(x,y) ³

Definitia I.1.4 (disc deschis)

Se numeste disc deschis de centru x0 I E si raza r > 0, multimea:

.

Definitia I.1.5 (disc inchis)

Se numeste disc inchis de centru x0 I E si raza r > 0, multimea:

.

Definitia I.1.6 (sfera)

Se numeste sfera de centru x0 I E si raza r > 0, multimea:

.

Definitia I.1.7 (vecinatate)

Se numeste vecinatate a punctului x0 I E, orice submultime V a lui E care contine un disc deschis de centru x0.

In continuare vom nota cu V(x0) multimea vecinatatilor punctului x0.

V(x0) =

Propozitia I.1.8

Intr-un spatiu metric (E,d), orice disc deschis este vecinatate pentru orice punct al sau.

Demonstratie:

Fie D(x0,r) un disc deschis de centru x0 si raza r > 0.Trebuie sa aratam ca, pentru orice y I D(x0,r), exista ry astfel incat D(y, ry) Ì D(x0,r).

Intr-adevar, sa luam ry = r - d(x0,y).

Deoarece d(x0,r) < r, rezulta ca ry > 0 si atunci, pentru orice z I D(y, ry) rezulta:

d(z, x0) £ d(z, y) + d(y, x0) < ry+ d(x0,y) = r, deci d(x0, z) < r, adica z I D(x0,r).

Cum z a fost ales arbitrar in D(y, ry), rezulta D(y, ry) Ì D(x0,r) Þ D(x0,r) I V(y).

Propozitia I.1.9

Multimea V(x0) a vecinatatilor punctului x0 are urmatoarele proprietati:

V1: Daca VIV(x0) Þ x0IV

V2: Daca VIV(x0) si U VÞ UIV(x0)

V3: Daca V1, V2IV(x0) ÞV1 V2IV(x0)

V4: Daca VIV(x0) Þ WIV(x0), astfel incat     yIW, WIV(y)

Demonstratie:

Primele trei proprietati sunt consecinte directe ale Definitiei I.1.7.

Pentru a demonstra pe V4 este suficient sa luam W = D(x0,r) Ì V si sa aplicam Propozitia I.1.8.

Propozitia I.1.10

Daca A Ì E, atunci:

. VIV(x0), V A ¹ Ø Û D(x0,r), D(x0,r) A ¹ Ø

. VIV(x0), V A = Ø Û D(x0,r), D(x0,r) A = Ø

Demonstratie:

Presupunem ca pentru     VIV(x0), V A ¹ Ø.

Cum     r > 0, D(x0,r) IV(x0) Þ D(x0,r) A ¹ Ø.

Reciproc, presupunem ca r > 0, D(x0,r) A ¹ Ø. Atunci, daca V I V(x0),     r1 > 0 astfel incat D(x0, r1) Ì V.

Cum D(x0, r1) A ¹ Ø Þ V A ¹ Ø.

Presupunem ca V I V(x0) astfel incat V A = Ø.

Deoarece V I V(x0), D(x0,r) Ì V si atunci, evident D(x0,r) A = Ø.

Reciproc, presupunem ca D(x0,r) astfel incat D(x0,r) A = Ø. Luand V =     D(x0,r) I V(x0), rezulta V A=Ø.

Definitia I.1.11 (multime deschisa)

Se numeste multime deschisa in E, orice submultime D     E care este vecinatate pentru orice punct al sau.

D este deschisa in E Û D Ì E si     x I D, D I V(x).

Definitia I.1.12 (topologie)

Se numeste topologie pe E, multimea tuturor deschisilor din E. Se noteaza cu t (E,d).

Prin definitie multimea vida este considerata deschisa.

Definitia I.1.13 (multime inchisa)

Se numeste multime inchisa in E orice submultime    F E a carei complementara este deschisa in E.

F este inchisa in E Û E-F este deschisa in E.

Fie A o submultime a lui E.

Definitia I.1.14 (punct interior)

Un punct x I A se numeste punct interior al multimii A, daca A este vecinatate a punctului x.

Definitia I.1.15 (interiorul multimii)

Se numeste interiorul lui A, notat Å sau IntA, multimea punctelor interioare lui A.

Å =

Definitia I.1.16 (punct exterior)

Un punct x I E se numeste punct exterior multimii A, daca x este punct interior pentru complementara multimii A.

Definitia I.1.17 (exteriorul multimii)

Se numeste exteriorul lui A, notat ExtA, multimea punctelor exterioare lui A.

ExtA=

Definitia I.1.18 (punct aderent)

Un punct x I E se numeste punct aderent al lui A, daca orice vecinatate a lui x are intersectia nevida cu A.

Definitia I.1.19 (aderenta multimii).

Se numeste aderenta lui A, notata A, multimea punctelor aderente lui A.

A =

Definitia I.1.20 (punct de acumulare)

Un punct x I E se numeste punct de acumulare al multimii A, daca este un punct aderent al multimii A



Definitia I.1.21 (multime derivata)

Se numeste multime derivata a lui A, notata A', multimea punctelor de acumulare ale lui A.

Definitia I.1.22 (punct frontiera)

Un punct x I E se numeste punct frontiera a lui A, daca x este punct aderent multimii A si complementarei lui A.

Definitia I.1.23 (frontiera multimii)

Se numeste frontiera lui A, notata FrA sau A, multimea:

FrA =

Definitia I.1.24 (punct izolat)

Un punct x I A se numeste punct izolat al multimii A, daca exista o vecinatate a lui x a carei intersectie cu multimea A este

Multimea punctelor izolate ale lui A se noteaza cu IzA.

IzA = { x I E / V I V(x), V A = }

Observatia I.1.25

In baza Propozitiei I.1.10 se pot obtine definitii echivalente daca se inlocuieste expresia "vecinatate a punctului x" cu "disc deschis de centru 0 si raza r".

Cu alte cuvinte, vecinatatile unui punct x I E pot fi privite ca discuri deschise de centru x.

Propozitia I.1.26

Fie (E,d) un spatiu metric. Pentru orice submultime A a lui E, au loc urmatoarele proprietati:

1 . Å Ì A

2 . ExtA = IntCA

. A Ì A

. A' Ì A

. FrA = E - (Å È ExtA)

. IzA = A- A'.

Demonstratie:

Rezulta imediat din definitiile anterioare.

Propozitia I.1.27. Intr-un spatiu metric (E,d), oricare doua puncte distincte admit vecinatati distincte.

Demonstratie:

Fie x,y I E, x ¹ y. Fie r = ½ d(x,y).

Atunci, discurile deschise D(x,r), D(y,r) sunt vecinatati disjuncte ale punctelor x,y.

Propozitia I.1.28

Intr-un spatiu metric (E,d), un punct x0 I E este punct de acumulare al multimii A Ì E, daca si numai daca orice vecinatate a lui x0 contine o infinitate de puncte din A.

Demonstratie:

Presupunem ca x0 I A', dar ca exista totusi V0 I V(x0), care contine un numar finit de puncte din A, diferite de x0.

Deoarece V0 I V(x0), exista un disc deschis     D(x0,r) Ì V0, care va contine de asemenea un numar finit de puncte din A, diferite de x0.

Fie x1,x2, ., xn aceste puncte.

Daca luam r' = min atunci discul deschis D(x0,r') I V(x0) nu contine nici un punct din A diferit de x0, ceea ce contrazice ipoteza ca x0 I A'.

Daca D(x0,r) nu contine nici un punct din A, atunci x0 Ï A' (contradictie).

Asadar, orice vecinatate a lui x0 contine o infinitate de puncte din A.

Reciproc, este evident ca daca in orice vecinatate a lui x0 se afla o infinitate de puncte din A, cel mult unul coincide cu x0, iar celelalte sunt diferite de x0.

Prin urmare, in orice vecinatate a lui x0 exista puncte din A diferite de x0, deci x0 I A'.

Propozitia I.1.29

Fie (E,d) un spatiu metric si A Ì E. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i) A I t (E,d)

ii) A = Å.

Demonstratie:

i)Þ ii) Presupunem ca A I (E,d), adica A este deschisa. Atunci, din definitia multimii deschise, rezulta ca A I V(x), x I A.

Conform definitiei punctului interior, x I Å,     x I A Þ A Ì Å. Cum si Å Ì A Þ A= Å.

ii) Þ i) Presupunem ca A = Å si fie x I A.   

Cum x I Å Þ A I V(x), x I A, deci A I (E,d).

Propozitia I.1.30

Fie (E,d) un spatiu metric si A Ì E. Atunci A =A È A'.

Demonstratie:

Din Propozitia I.1.26 se stie ca A Ì A si A'Ì A deci A È A'Ì A.

Fie x I A. Atunci V I V(x), V A ¹ Æ, daca x I A Þ x I A È A'.

Daca x Ï A Þ (V - } A ¹ Æ, adica x I A' si deci x I A È A'. Cum x este arbitrar din A Þ A Ì A È A.

Din cele doua incluziuni obtinem A = A È A'.

Propozitia I.1.31

Fie (E,d) un spatiu metric si A Ì E. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i)      A este inchisa

ii)    A = A

iii)   A A'

iv)  A A.

Demonstratie:

i)Þ ii) Presupunem ca multimea A este inchisa. Atunci conform definitiei multimii inchise rezulta CA I t(E,d).

Va trebui sa demonstram ca A Ì A, cealalta incluziune fiind demonstrata in Propozitia I.1.26. Dar A Ì A Û CA Ì C A.

Fie x I CA, care este deschisa. Atunci,conform definitiei multimii deschise, CA I V(x). Insa CA A = Æ. Rezulta x Ï A, deci x I C A.

ii)Þ i) Presupunem ca A = A. Fie x I CA = CA. Atunci x Ï A, deci exista V0 I V(x) cu proprietatea V0 A = Æ Û V0 Ì CA. Din Propozitia I.1.9. rezulta CA I V(x), xICA, deci    CA I t(E,d) , adica A este inchisa.

ii)Þ iii) Presupunem ca A = A. Din Propozitia I.1.30. rezulta ca A = A È A'Û A A'.

iii)Þ ii) Daca A' = A, atunci A = A È A'. Insa A = A È A', deci A = A.

iii)Þiv) Presupunem ca A' Ì A. Atunci A = A. Conform definitiei frontierei A = A , deci A = A .



Insa A È A = (A È A ) (A È ) = A E = A Û A Ì A.

iv) Þ iii) Presupunem ca A Ì A. Atunci :

A = A È A = A È (A ) = (A È A) (A È ) = A E = A = A È A',

deci A = A È A'Û A'Ì A.

Definitia I.1.32 (multime marginita)

Se spune ca o multime A Ì E este marginita, daca este o multime marginita in R.

A marginita Û l I R astfel incat x,y I A, d(x,y) £ l

Definitia I.1.33 (diametrul unei multimi)

Se numeste diametru al unei multimi A, marginea superioara a multimii .

d(A) = sup

Propozitia I.1.34

O multime A Ì E este marginita, daca si numai daca A este inclusa intr-un disc.

Demonstratie:

Presupunem ca A este o multime marginita si fie a I A. Pentru orice x I A, d(x, a) £ d(A).

Daca luam r = d(A) + e, cu e > 0, atunci A Ì D(a,r).

Reciproc, presupunem ca A Ì D(c,r).

Atunci, pentru orice x,y I A are loc: d(x, y) £ d(c, x) + d(c, y) < 2r, deci A este marginita.

Definitia I.1.35 (metrici echivalente)

Se spune ca doua metrici d1, d2, pe multimea E, sunt echivalente, daca exista l > 0 si m > 0, astfel incat:

l d1(x,y) £ d2(x,y) £ m d1(x,y), x,y I E

Observatie I.1.36

Se demonstreaza ca notiunea de echivalenta a matricilor este o relatie de echivalenta in multimea matricilor pe E.

Definitia I.1.37 (metrici topologic echivalente)

Se spune ca doua metrici d1, d2, pe multimea E, sunt topologic echivalente, daca (E, d1) si (E, d2) au aceeasi topologie:

Observatie I.1.38

Se poate demonstra ca notiunea de echivalenta topologica a metricilor este o relatie de echivalenta in multimea metricilor pe E.

Propozitia I.1.39

Doua metrici echivalente sunt topologic echivalente.

Demonstratie:

Fie d1, d2 doua metrici echivalente pe multimea E. Atunci conform definitiei echivalentei a doua metrici, l > 0 si m > 0 astfel incat:

l d1(x,y) £ d2(x,y) £ m d1(x,y), x,y I E

Aratam ca pentru orice a I E si r > 0, r1 > 0 si r2 > 0 astfel incat:


Intr-adevar, daca luam r1 = r/m, atunci y I rezulta:


d2(a,y) £ m d1(a,y) < m r/m = r,

Daca luam r2 = l r, atunci yI rezulta:


d1(a,y) £ l d2(a,y) < 1/l lr = r,

Observatia I.[P1] 

Reciproca propozitiei anterioare nu este adevarata. Intr-adevar, urmatorul exemplu arata acest fapt:

Fie (E,d) un spatiu metric si θ: R+ R , definita prin θ(t) = ln(1+t/(1+t)).

Atunci:

a)      aplicatia d: ExE R, definita prin d = θ ◦ d, este o metrica pe E.

b)      metricile d si d sunt topologic echivalente.

c)      metricile d si d nu sunt echivalente, daca (E,d) este nemarginit.

Indicatie:

a) Pentru a demonstra inegalitatea triunghiului, ne folosim de faptul ca θ este o functie strict crescatoare si θ (a+b) £ θ (a) + θ (b).

Pentru a arata inegalitatea precedenta, observam ca θ = u ◦ v, unde:

u : R+ R+ este definita prin u(t) = t/(1 + t).

v : R+ R+ este definita prin v(t) = ln(1 + t).

Atunci:

θ (a+b) = (u ◦ v) (a + b) = v(u (a + b)) £ v(u (a) + u (b)) £ v(u (a) + v(u (b)) = θ (a) + θ (b).

b) Ne folosim de echivalenta d(x,x0) < r Û d(x, x0) < θ (r).

c) Deoarece 0 £ θ (t) £ ln2, t I R+ , (E,d) este marginit si cum (E,d) este nemarginit, cele doua metrici nu pot fi echivalente.

Observatia I.1.41

Fie (E,d) un spatiu metric si A Ì E. Atunci:

a)      A este deschisa Û A A = Æ

b)      x0 I E, d(x0,A) = 0 Û x0IA, unde d(x0, A) = inf .

c)      Daca A este o multime marginita, atunci A este marginita si d(A) = d(A).

Demonstratie: Exercitiu.


 [P1]





Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare



DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 1778
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved