Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

 
CATEGORII DOCUMENTE






AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Spatiu vectorial in raport cu un corp K

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic


DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
Ecuatiile lui Maxwell
BIJECTIVITATE - FUNCTIA INJECTIVA
Solutiile problemei de programare liniara
PITAGORA PRINTRE NUMERE PRIME SI DIVIZIBILITATE
TRIUNGHIUL
REZOLVAREA CAZULUI DE NEDETERMINARE
PROBLEME REZOLVATE - FORMULELE LUI TAYLOR
Sisteme de ecuatii lineare
SISTEMATIZAREA SI PREZENTAREA DATELOR STATISTICE - Seriile statistice
Probleme cu puncte laticeale

TERMENI importanti pentru acest document

: produsul vectorial a doi vectori : un spatiu vectorial v peste un corp k inzestrat cu un produs scalar se numeste : spatiu vectorial : regula triunghiului :

Spatiu vectorial in raport cu un corp K

Definitia 1.1. Se numeste spatiu vectorial (liniar) in raport cu corpul K, multimea X nevida, inzestrata cu o lege de compozitie interna (notata aditiv si numita adunare):

            “+” : X X X,

o lege de compozitie externa (notata multiplicativ si numita inmultire cu scalar):

            “” : K X X,

care au urmatoarele proprietati:

            (i). (x + y) + z = x + (y + z), (') x, y, z I X (asociativitate);

            (ii). ($) in X un element, notat 0, numit element neutru, astfel ca

x + 0 = 0 + x = x, (') xIX;

            (iii). (') x I X, ($) in X un element, notat – x, numit opusul elementului x, astfel ca: x + (- x) = (- x) + x = 0;

(iv). x + y = y + x, (') x, y I X (comutativitate);

(v). (a+b) x = a x + b x, (') a, bIK, xIX;

(vi). a ( x + y) = a x + a y, (') aIK, x, yIX;

(vii). (ab) x = a (b x), (') a, bIK, xIX;

(viii). Daca 1I K atunci 1 x = x, (') xI X.

Elementele spatiului vectorial X le vom numi vectori, iar elementele corpului K le vom numi scalari. Elementul 0 se mai numeste elementul nul al spatiului X.

Corpul K este unul din corpurile R al numerelor reale sau corpul C al numerelor complexe; daca K º R atunci X se numeste spatiu vectorial real, iar daca K º C spatiul X se numeste spatiu vectorial complex.

Exemple: 1). Produsul cartezian Kn = KK…K, adica multimea:

Kn =

formeaza o structura de spatiu vectorial peste corpul K, daca definim operatiile de adunare si inmultire cu scalari astfel:

            (x1, x2, ..,xn) + (y1, y2, …,yn) = (x1 + y1, x2 + y2,…, xn + yn)

si

            a(x1, x2, …xn) = (ax1, ax2, …, axn).

Vectorul nul este in acest caz vectorul 0 = (0, 0, …,0), iar opusul vectorului

x = (x1, x2, …xn) este vectorul –x = (-x1, -x2, …-xn).

            2). Multimea polinoamelor de o nedeterminata, de grad cel mult n (nIN), cu coeficienti intr-un corp K, in raport cu operatiile de adunare a polinoamelor si de inmultire a polinoamelor cu un element din corpul K.

Cazuri particulare:

Rn = ,

Cn = .

            3). Multimea sirurilor x = (xn)nIN de numere reale sau complexe, care satisfac conditia de marginire:

            |xn| £ a(x), (') nIN,

a(x) fiind un numar pozitiv care depinde de x, cu legile de compozitie astfel definite:

            (xn)nIN + (yn)nIN = (xn + yn)nIN,

            a(xn)nIN  = a(xn)nIN, aIK.

            (4). Multimea C0[a,b] = a functiilor continue pe intervalul inchis [a,b] in raport cu operatiile:

            (f + g)(t) = f(t) + g(t), (') tI[a,b],

            (af )(t) = af(t) , (') aIR, tI[a,b].

            5). Multimea Mm,n(K) a matricelor cu m linii si n coloane cu elemente numere reale (sau complexe) formeaza un spatiu vectorial peste corpul R (sau C), in raport cu operatiile de adunare a matricelor de acelasi tip si de inmultire a matricelor cu un scalar.

            Daca A,BMm,n(K), A =  , B =  se defineste suma celor doua matrice ca fiind matricea

S = A+B, SMm,n(K), S = , sij = aij + bij , ,

iar inmultirea cu scalari a unei matrice este tot o matrice definita astfel:ESV

            (α,A)αA, αAMm,n(K),

.

6). Spatiul vectorial al vectorilor liberi.

Notam prin E3 spatiul geometric punctual (adica multimea punctelor din spatiul ambiant).

Definitia 1.2. O pereche  E3  E3 se numeste segment orientat din E3, de origine  si extremitate . Acesta se noteaza . Lungimea segmentului orientat  se numeste modulul acestuia si se noteaza ||.

Definitia 1.3. Doua segmente orientate  si  se numesc echipolente daca patrulaterul  este paralelogram. Se noteaza ~.

Relatia de echipolenta definita mai sus are urmatoarele proprietati, a caror justificare este imediata:

a). ~;

b). ~~;

c). ~ si ~ ~;

deci relatia “ ~” este o relatie de echivalenta in multimea segmentelor orientate.

            Definitia 1.4. O clasa de echivalenta in raport cu relatia de echipolenta in multimea segmentelor orientate din E3 se numeste vector liber.

            Deci un vector liber poate fi considerat ca fiind multimea segmentelor orientate echipolente cu un vector dat.

            Deoarece doua segmente orientate echipolente au module egale, aceeasi directie (adica dreptele care unesc extremitatilelor au aceeasi directie) si aceeasi orientare, rezulta ca modulul, directie si sensul, comune tuturor segmentelor orientate dintr-o clasa de ecxhivalenta, sunt elemente ce caracterizeaza vectorii liberi.

            Vom nota vectorii liberi prin , multimea vectorilor liberi prin V3 (V3 = S3/~), iar modulul vectorului  prin ||||.

            Constructia notiunii de vector liber este sugerata in figura urmatoare:

                                    E3               S3               V3

                                   

            Propozitia 1. Orice vector liber admite reprezentare unica printr-un segment orientat in orice punct din spatiul E3.

            Demonstratie. Fie vectorul  si un punct  E3. Notam cu  sfera de centru  si de raza ||||. Aceasta este intersectata de dreapta ce trece prin  si are directia lui , in doua puncte si . Unul singur dintre segmentele orientate  si are sensul lui  si acesta este cel cautat.

            Doi vectori liberi sunt egali daca si numai daca au module egale, aceeasi directie si orientare.

            Definitia 1.5.   Se numeste adunare a vectorilor liberi legea de compunere  V3 V3  V3, care asociaza vectorilor  si , vectorul definit prin regula triunghiului sau regula paralelogramului, reprezentate in continuare:

           

            Propozitia 2. Multimea V3 a vectorilor liberi poseda o structura de grup abelian in raport cu adunarea.

            Demonstratia este imediata.

            Definitia 1.6. Se numeste amplificatul vectorului liber  prin scalarul , vectorul  definit astfel:

a). ;

b). pentru orientarile vectorilor  si  coincid iar pentru

      acestea sunt opuse;

c). directia lui  coincide cu cea a lui .

Se demonstreza cu usurinta urmatorul rezultat:

Propozitia 3. Pentru orice  V3 si avem:

a). ;       

b). ;

c). ;

d).

Din propozitiile 1 si 2 rezulta urmatorul rezultat

Teorema 1. Multimea V3 a vectorilor liberi poseda o structura de spatiu vectorial peste corpul numerelor reale in raport cu operatiie de adunare si amplificare a vectorilor cu scalari.

Observatie. Notand cu E2 planul punctual, o constructie identica cu cea de mai sus ne permite sa obtinem spatiul V2 al vectorilor liberi din plan.

Operatii cu vectori

1.      Produsul scalar

Se numeste produs scalar din V3 aplicatia:

 

definita prin:

            .

Daca  si  atunci .

2.      Produsul vectorial

Dati fiind vectorii  si  se numeste produs vectorial al lor, vectorul:

.

3.      Produsul mixt

Dati fiind vectorii , si  se numeste produs mixt scalarul:

.

4.      Dublul produs vectorial

Se numeste dublu produs vectorial vectorul .

Reguli de calcul intr-un spatiu vectorial:

            (i). 0x = 0, a0 = 0, (')aIK, xIX;

            (ii). ax = 0 Þ a = 0 sau x = 0;

            (iii). (- a)x = - ax, a(-x) = -ax, (')aIK, xIX.

Definitia 1.2. Se numeste produs scalar pe spatiul vectorial X peste corpul K

(= R, sau C), o functie ps : XXK, cu urmatoarele proprietati:

(i). ps(x, y) = ;

(ii). ps(ax+by, z) = aps(x, z) +bps(y, z);

(iii). ps(x, x) ³ 0; ps(x, x) = 0 Û x = 0.

Valoarea reala ||x|| =  se numeste lungimea sau norma vectorului x.

Definitia 1.3. Un spatiu vectorial (peste corpul K) inzestrat cu un produs scalar se numeste spatiu vectorial euclidian (daca K = R), sau spatiu unitar (daca K = C).

Exemplu. Spatiul euclidian al vectorilor liberi.

 Produsul scalar al vectorilor din V3 este aplicatia “.” : V3 V3 R, definita prin .    

Dependenta si independenta liniara

Fie X un spatiu vectorial peste corpul K.

i =1,2,…,m; j =1,2,…,ri Vectorul xX este o combinatie liniara de vectorii xi (i=1, 2, …, m) din X, daca el se poate reprezenta astfel:

.

Observatii (i). Vectorul nul este combinatie liniara de orice familie de vectori.

(ii). Daca vectorul x este o combinatie liniara de vectorii xi (i=1, 2, …, m) si fiecare vector xi este o combinatie liniara de vectorii yij (i =1,2,…,m; j =1,2,…,ri), atunci x este o combinatie liniara de vectorii yij (i =1,2,…,m; j =1,2,…,ri).

Intr-adevar:

;

, j =1,2,…,ri; i =1,2,…,m,

prin urmare:

            , i =1,2,…,m; j =1,2,…,ri .

            Definitia . Vectorii I – familie de indici, se numesc liniar independenti, daca ; in caz contrar vectorii se numesc liniar dependenti, adica vectorii sunt liniar dependenti, daca exista cel putin un , astfel ca .

            Teorema . Un sistem de vectori este liniar dependent daca si numai daca exista cel putin un indice astfel ca xj sa fie o combinatie liniara de vectorii .

            Demonstratie. Fie ; luand  rezulta , deci vectorii  sunt liniar dependenti.

Reciproc, fie ; inmultim relatia precedenta cu  si obtinem

,

unde

            .

            Teorema . Un sistem de vectori  este liniar independent daca si numai daca orice vector poate fi scris in cel mult un mod ca o combinatie liniara de vectorii , adica daca si numai daca din combinatia liniara:

            ,

rezulta ca scalarii  sunt unic determinati de x.

Demonstratie. Suficienta. Presupunem ca in relatia: ,

scalarii sunt unic determinati de x. Luam, in particular, x = 0, caz in care rezulta:

           

            ;

deoarece aceasta relatie are loc numai pentru scalarii , vectorii  sunt liniar independenti.

            Necesitatea. Presupunem ca vectorii sunt liniar independenti; atunci

.

            Definitia . O multime se numeste liniar independenta, daca orice parte finita a ei este formata din vectori liniari independenti.

            Definitia . O multime liniar independenta maximala de vectori din A se numeste baza a multimii A.

            Definitia . Daca multimea A (in particular spatiul X) are o baza finita atunci se spune ca A (respectiv X) are dimensiune finita; in caz contrar se spune ca A (respective X) are dimensiune infinita.

            Teorema . Daca vectorii xi (i =1,2,,m) constituie o baza a multimii A atunci reprezentarea unui vector xA ca o combinatie liniara de vectorii xi (i =1,2,,m) este unica.

            Demonstratie. Presupunerea ca ar admite doua reprezentari este contradictorie.

            x.

            Definitia . Daca xi (i =1,2,,m) este o baza, scalarii  pentru care are loc relatia , determinati in mod unic de vectorul x, se numesc coordonatele vectorului x in baza  xi (i =1,2,,m).

           

Subspatii vectoriale

Definitia . Fie X un spatiu vectorial si X0 X. Daca X0 este parte stabila fata de adunarea vectorilor (adica ) si fata de inmultirea cu scalari a vectorilor (adica ) atunci X0 se numeste subspatiu vectorial al lui X.

Teorema . Orice intersectie de subspatii vectoriale ale lui X este un subspatiu vectorial al lui X.

Demonstratie. Fie Xi X subspatii vectoriale ale lui X, - familie de indici.

Notam: ; .

 .

Analog , prin urmare X0 este subspatiu vectorial al lui X.

Definitia . Fie o parte a lui X. Se numeste subspatiu vectorial generat de A, sau acoperirea liniara a lui A, cel mai mic subspatiu vectorial cae include pe A, adica intersectia tuturor subspatiilor vectoriale care include pe A.

Notam:

- subspatiul vectorial generat de A, adica Xi – subspatiu vectorial;

- multimea tuturor combinatiilor liniare de elemente din A, adica:

.

Teorema . .

Demonstratie. .

Orice combinatie liniara de elemente din A apartine oricarui subspatiu care include pe A, deci .

In cele ce urmeaza ne vom situa in spatiul euclidian Rn in care produsul scalar este definit astfel:

ps : Rn Rn R,

ps(x, y) = , x = (x1, x2,…,xn), y = (y1, y2, …,yn).

Vom nota in continuare: ps(x, y) = <x, y>= xy.

Norma vectorului x este ||x|| = = .

Spatiul Rn (Spatiul cu n dimensiuni). Structura algebrica

 

Produsul cartezian Rn = RR…R, adica multimea:

Rn =

formeaza o structura de spatiu vectorial peste corpul R, daca definim operatiile de adunare si inmultire cu scalari astfel:

            (x1, x2, ..,xn) + (y1, y2, …,yn) = (x1 + y1, x2 + y2,…, xn + yn),

unde

x =(x1, x2,…,xn), y = (y1, y2, …,yn), x, y Rn

si

            a(x1, x2, …xn) = (ax1, ax2, …, axn),

unde

x =(x1, x2,…,xn)Rn , α R .

Cazuri particulare

(i). n=1; R1 este multimea punctelor de pe dreapta reala R;

(ii). n=2; R2=este multimea punctelor din plan;

(iii). n=3; R3=este multimea punctelor din spatiu.

Definitia . O aplicatie , se numeste norma pe Rn , daca satisface proprietatile:

(i). ;

(ii). , ();

(iii). , (.

Teorema . (a). Aplicatia ps : Rn Rn R, definita prin:

 ps(x, y) = , x = (x1, x2,…,xn), y = (y1, y2, …,yn),

este un produs scalar pe Rn .

            (b). Aplicata  definita prin:

            ||x|| = = , x,

este o norma pe Rn .

            Demonstratie. (a). Proprietatile (i)-(iv) ale produsului scalar se verifica imediat.

            (b). De asemenea proprietatile (i)-(ii) ale normei rezulta imediat din proprietatile produsului scalar. Pentru  demonstra cea de a treia proprietate de la norma, demonstram in prealabil doua inegalitati si anume:

            (α). ;

            (β). ; (inegalitatea lui Schwarz);

            (α). Din  rezulta:

            .

            (β). Daca  atunci sau deci , sau  deci ; in ambele cazuri ps(x, y) = 0, deci inegalitatea este demonstrata.

            Daca  atunci , si .

            Notam  si rezulta:

            ,

adica

           

deci

            .

            Folosind inegalitatea (β) rezulta imediat inegalitatea riunghiului:

           

de unde:

            .

Definitia . Se numeste distanta (metrica) pe Rn, o aplicatie , care satisface proprietatile:

(i). ;

(ii). ;

(iii). ; (inegalitatea triunghiului).

Teorema . Aplicatia , definita prin:

,

este o distanta (metrica) pe Rn.

            Definitia . (i). Un spatiu vectorial pe care s-a definit o norma  care satisface proprietatile (i), (ii), (iii) (de la norma) se numeste spatiu vectorial normat, sau mai scurt, spatiu normat.

            (ii). O multime X inzestrata cu o metrica , deci perechea , se numeste spatiu metric.

            Observatie. Un spatiu normat este in acelasi timp si spatiu metric, cu metrica indusa de norma; exista insa si spatii metrice in care distanta (metrica) nu poate fi dedusa dintr-o norma.

            Teorema . Orice sistem de n vectori x1, x2, ,xn Rn ; xi = ,

i =1,2,…,n, cu proprietatea ca:

            ,

formeaza o baza a lui Rn.

Demonstratie. Vectorii x1, x2, ,xn Rn sunt liniar independenti deoarece

 .

Sistemul de ecuatii liniare omogene (deoarece determinantul asociat matricei coeficientilor este nenul) are solutia unica .

Deoarece  rezulta de asemenea ca orice vector x Rn se scrie, in mod unic, sub forma .

Observatie. Sistemul de vectori Rn unde:

e1 = (1,0,,0)

e2 = (0,1,,0)

en = (0,0,,1)

formeaza o baza a spatiului Rn , numita baza canonica.

Operatii cu matrice partitionate

 

Ne situam  de aceasta data in spatiul vectorial Mm,n(K) a matricelor cu m linii si n coloane peste corpul R (sau C).

Deseori este util sa se efectueze operatii cu matrice partitionate. Vom vedea avantajul partitionarii in special in cazul inversarii unei matrice prin partitionare, unde, in loc de a calcula inversa unei matrice de dimensiuni relativ mari, este suficient sa calculam inversele a doua matrice de dimensiuni mai mici.

Definitia . Se numeste partitionare a unei matrice A o impartire a matricei A in submatrice prin drepte orizontale si verticale.

Exemplu: Matricea AMm,n(K) poate fi partitionata in submatricele:

A11Mr,s(K), A12Mr,n-s(K), A21Mm-r,s(K), A22Mm-r,n-s(K);

A’

unde

A11 = ,  A12 =  ,

A21 =  ,  A22 = .

Adunarea prin partitionare a doua matrice de acelasi tip (de aceeasi dimensiune) si la fel partitionate, se realizeaza in mod obisnuit, interpretand submatricele ca si cum ar fi elemente ale matricei.

Fie matricea BMm,n(K), de acelasi tip si partitionata la fel ca matricea A:

B.

Atunci suma celor doua matrice este matricea SMm,n(K),

S = A + B  ,

S fiind partitionata analog cu matricele A si B.

            Realizarea operatiei de inmultire a matricelor presupune partitionarea celor doua matrice conforma cerintelor inmultirii, adica diviziunile verticale ale primei matrices a fie aceleasi cu diviziunile orizontale ale celei de a doua matrice.

            Se dau matricele AMm,n(K), BMnp(K):

 m, cu ;

 n, cu ;

atunci:

            .

            Ne propunem acum sa determinam inversa unei matrice prin partitionare.

Fie AM,n(R),

A11Mm(K), A12Mm,,n-m(K), A21Mn,-m,m(K), A22Mn-m,n-m(K);

A.

Presupunem ca si determinam inversa A-1, necunoscuta, partitionata la fel ca matricea A:

A-1 ,

din conditia .

            Facand inmultirea prin partitionare rezulta:

           

de unde rezulta:

           

si mai departe

           

            .

Cazuri particulare

(i). Calculati inversa matricei:

,

unde , , ,  si α – aA-1b0.

           

(ii). Calculati inversa matricei:

            ,

unde , , ,  si α – bA-1a0.

            .

                                                                               

            Structura topologica a spatiului Rn.

            Definitia . Fie n intervale pe dreapta reala I1, I2,, In R; produsul lor cartezian se numeste interval n – dimensional;

            .

            Intervalele Mm,n(K)se numesc laturile intervalului n – dimensional.

            Definitia . (i). O multime DR este deschisa daca, sau este vida, sau daca nu este vida, atunci pentru orice xD exista un r > 0, astfel incat .

            (ii). Spunem ca V este o vecinatate a punctului xR, daca exista multimea deschisa D astfel incat x. Notam cu V(x) multimea vecinatatilor lui x.

            (iii). Fie AR si x R. Spunem ca x este un punct interior al multimii A, daca A. Multimea - este punct interior al lui A}se numeste interiorul multimii A.

            (iv). O multime AR se numeste inchisa daca complementara sa este deschisa.

(v). Fie AR si x R. Spunem ca x este punct aderent (respectiv punct de acumulare) al multimii A, daca pentru orice VV(x), are loc:

, (respectiv ).

Multimile:

 este punct aderent al multimii A},

respectiv

             este punct de acumulare al multimii A},

se numesc aderenta sau inchiderea multimii A, respectiv multimea derivata a lui A.

            Daca toate intervalele I1, I2,, In sunt deschise, atunci I se numeste interval

n – dimensional deschis.

            Daca toate intervalele I1, I2,, In sunt inchise, atunci I se numeste interval

n – dimensional inchis.

            Daca toate intervalele I1, I2,, In sunt marginite, atunci I se numeste interval

n – dimensional marginit.

            Exemple de intervale in Rn

            In figura 1 sunt prezentate exemple de intervale din R2, in cazul a). deschise (linia intrerupta simbolizeaza faptul ca extremitatea respectiva nu apartine intervalului), b). Inchise (linia continua simbolizeaza faptul ca extremitatea respectiva  apartine intervalului), c). marginite.

           

                            a).                                                 b).

                                           c).

    Figura 1.

           

            Definitia . (i). Fie aRn si r > 0. Se numeste sfera (deschisa), cu centrul in a si de raza r, multimea:

            .

            (ii). Multimea:

           

se numeste sfera (inchisa), cu centrul in a si de raza r.

            Cazuri particulare

            (i). n = 1, R1 = R , deci sfera deschisa este un interval deschis cu centrul in a;

(ii). n = 2, a = (a1, a2)R2 ,

este cercul de centrul a si raza r.

            In general cand vorbim de sfera subintelegem sfera deschisa.

Prezentam in continuare un rezultat care exprima faptul ca in Rn sfera de centrul a si raza r joaca acelasi rol ca intervalul n – dimensional care contine pe a.

Teorema . Orice sfera cu centrul in a contine un interval n – dimensional care contine pe a si reciproc, orice interval care contine pe a contine o sfera cu centrul in a.

Demonstratie. Fie o sfera cu centrul in a si de raza r.

,

unde x = (x1, x2, …,xn) si a = (a1, a2, …,an).

            Consideram intervalele unidimensionale:

si intervalul n – dimensional , ; .

Aratam ca ;

.

Reciproc, fie , interval n – dimensional care contine pe a; intervalul I contine un interval n – dimensional  cu centrul in a si cu intervalele J1, J2,…,Jn de aceeasi lungime:

.

Aratam ca , de unde va rezulta ca ;

.

Concluzii cu privire la unele elemente de topologie in Rn:

(i). O vecinatate a unui punct aRn este orice multime care contine o sfera cu centrul in a.

(ii). O multime este vecinatate a unui punct aRn , daca si numai daca exista un interval n –dimensional I, astfel ca a.

(iii). O multime ARn este marginita, daca exista o sfera, ( care poate fi presupusa cu centru in origine), care contine pe A.

(iv). Multimile marginite si inchise din Rn se numesc multimi compacte.

Aplicatii.

1.      Sa se studieze dependenta liniara pentru sistemele de vectori:

a). v1 = (2, 1, 3, 1), v2 = (1, 2, 0, 1), v3 = (-1, 1, -3, 0) in R4;

b). v1 = 8-t+7t2, v2 = 2-t+3t2, v3 = 1+t-3t2 in P2(t);

c). A1 = , A2 = , A3 =  in M2,2(R).

2.  Sa se determine care dintre polinoamele t2 si t-1 apartin spatiului generat de

.

3.      In R4 se dau vectorii v1 = (1, 1, 2, 1), v2 = (1, -1, 0, 1), v3 = (0, 0, -1, 1),

v4 = (1, 2, 2, 0). Sa se arate ca acestia formeaza o baza. Se cer coordonatele vectorului v = (1, 1, 1, 1) in aceasta baza.

4.      In R5 sa se determine o baza a subspatiului vectorial generat de vectorii

v1 = (1, 2, -4, 3, 1), v2 = (2, 5, -3, 4, 8), v3 = (6, 17, -7, 10, 22),

v4 = (1, 3, -3, 2, 0).

5.      Se dau vectorii a1 = (1, 0, 0), a2 = (2, 1, 0), a3 = (-3, 2, 1) si a = -8a1+4a2-a3, precum si vectorii b1 = a1 + a2 +a3, b2 = a1 + a2 – a3, b3 = a1 –a2 + a3. Sa se calculeze coordonatele vectorului a in baza .

6.      Sa se determine vectorul normat v din R4 (de modul egal cu unitatea), ortogonal vectorilor v1 = (1, 1, 1, 1), v2  = (1, -1, -1, 1), v3 = (2, 1, 1, 3).

7.      Sa se arate ca functia prin

<x, y> = 3x1y1-x1y2-x2y1+2x1y2 , x = (x1, x2), y = (y1, y2),

este un produs scalar.

8.      Sa se arate ca urmatoarele multimi sunt subspatii vectoriale ale spatiilor vectoriale indicate:

a). ;

b). ;

c). D = , F fiind multimea functiilor reale de variabila reala, diferentiabile.

            9.  Sa se determine λ, μastfel ca matricele

                       

            sa fie liniar independente.

10.  Sa se construiasca o baza ortonormata (adica o baza in care toti vectorii au modul egal cu unitatea si sunt doi cate doi ortogonali) a spatiului R4 , presupunand ca doi vectori ai bazei sunt v1 = ( si

v2 = (.

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 534
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2014. All rights reserved