Variabile aleatoare - Probabilitati

Variabile aleatoare

Pana acum, in studiul campului de evenimente atasat unui experiment, ne-am ocupat in special, de aparitia sau neaparitia evenimentelor, asadar de latura calitativa a experimentului.

Pentru studiul matematic al fenomenelor aleatoare, este necesar ca descrierea acestora sa aiba expresii cantitative, care sa poata fi tratate din punct de vedere matematic. Aceasta expresie cantitativa a fenomenului aleator este data de variabila aleatoare.

Definitia 3.1. Fie campul de probabilitate . Numim variabla aleatoare de tip discret o aplicatie , care satisface urmatoarele conditii:

Observatia 3.2 Daca avem ca , atunci conditia (ii) este automat indeplinita.

Observatia 3.3 Se poate arata ca:

1. daca R, atunci aplicatia , definita prin , pentru orice , este variabila aleatoare de tip discret,
2. daca functia g:RⁿR este continua si sunt variabile alatoare de tip discret, atunci Y =g()este variabila aleatoare de tip discret.
3. daca , atunci aplicatia , definita prin

este variabila aleatoare de tip discret si poarta numele de indicatoarea evenimentului A.

Observatia 3.4 Daca o variabila aleatoare de tip discret ia un numar finit de valori, vom spune ca este o variabila aleatoare simpla.

Definitia 3.5. Numim distributia sau repartitia variabilei aleatoare X de tip discret, tabloul

unde x_iR, , sunt valori pe care le ia vriabila aleatoare X, iar p_i este probabilitatea cu care variabila aleatoare X ia valoarea x_i, adica pentru fiecare .

Observatia 3.6 Deoarece evenimentele , , formeaza un sistem complet de evenimente, avem ca .

Observatia 3.7 In teoria probabilitatilor si in aplicatiile acesteia, se intalnesc clase de variabile aleatoare de tip discret. Forma cea mai generala a unei variabile aleatoare apartinand unei clase se numeste lege de probabilitate de tip discret.

Definitia 3.8 Spunem ca variabila aleatoare X de tip discret urmeaza legea binomiala, daca are distributia

, unde , iar .

Observatia 3.9 Probabilitatile , ce intervin in distributia lui X, sunt cele de la schema lui Berboulli cu bila intoarsa (binomiala).

Definitia 3.10. Spunem ca variabila alatoare X de tip discret urmeaza legea hipergeometrica, daca are distributia

, unde , iar .

Observatia 3.11. Probabilitatile , din distributia lui X, sunt cele de la schema lui Bernoulli cu bila neintoarsa.

Observatia 3.12 Daca se noteaza si , iar , atunci , adica se obtine distributia binomiala.

Definitia 3.13. Spunem ca variabila aleatoare X de tip discret urmeaza legea lui Poisson, daca are distributia

, unde iar

Teorema 3.14.(Poisson). Daca variabila aleatoare X urmeaza legea binomiala, adica are distributia

, unde ,

si daca , astfel incat , atunci pentru urmeaza legea lui Poisson, adica

Demonstratie. Scriem succesiv, avand in veder ca si , urmatoarele relatii
.

Daca retinem extremitatile acestui sir de egalitati, se obtine afirmatia din teorema.

Observatia 3.15 Deoarece , rezulta ca pentru n mare, probabilitatea p_n este mica. Prin urmare, probabilitatea de aparitie a evenimentului, caruia i se ataseaza, fiind mica, legea lui Poisson se mai numeste si legea evenimentelor rare.

Defintia 3.16 Spunem ca variabla aleatoare X de tip discret urmeaza legea lui Pascal, daca are distributia

cu

iar si q=1- p.

Observatia 3.17 Probabilitatile din distributia lui X sunt cele de la schema lui Pascal.

Observatia 3.18. In cazul particular n = 1, vom spune ca variabila aleatoare X urmeaza legea geometrica.

Definitia 3.19 Fie campul de probabilitate . Spunem ca este vector aleator bidimansional de tip discret, daca aplicatia R², satisface conditiile

(i)         are o multime cel mult numarabila de valori,

(ii)       pentru orice R², avem ca

Definitia 3.20 Numim distributia sau repartitia vectorului aleator de tip discret, tabloul bidimensional

unde sunt valorile pe care le ia vectorul aleator , iar p_ij sunt probabilitatile cu care sunt luate aceste valori, adica putem scrie .

Definitia 3.21 Spunem ca variabilele aleatoare X si Y care au respectiv distributiile

si

sunt independente, daca pentru orice adica

Definitia 3.22 Fie variabilele aleatoare X si Y care au respectiv distributiile

si

atunci variabilele aleatoare suma, X+Y, produs XY, si respectiv cat, (daca ), vor avea distributiile

,

unde

Observatia 3.23. Daca variabilele aleatoare X si Y sunt independente, atunci pentru orice .

Observatia 3.24. Urmatoarele relatii au loc

respectiv

Exemplul 3.25 Doua masini produc piese de acelasi tip, iar probabilitatea ca o piesa produsa de fiecare din cele doua masini sa fie defecta este , iar probabilitatea ca sa nu fie defecta este . Daca prima masina a produs m piese, iar a doua masina a produs n piese, fie X numarul pieselor defecte produse de prima masina si respectiv Y numarul pieselor defecte produse de a doua masina. Variabilele aleatoare X si Y sunt independente si urmeaza fiecare legea binomiala, respectiv cu distributiile

Numarul total al pieselor defecte produse de cele doua masini va fi dat prin variabila aleatoare suma, X+Y, care are distributia

Avand in vedere ca variabilele aleatoare X si Y sunt independente, probabilitatile din distributia variabilei aleatoare X+Y se calculeaza dupa cum urmeaza

Se stie ca prin urmare pentru fiecare S-a obtinut astfel ca numarul pieselor defecte produse de cele doua masini impreuna este o variabila aleatoare ce urmeaza tot legea binomiala.

Definitia 3.26 Fie campul de probabilitate Numim variabila aleatoare, aplicatia R, daca satisface conditia ca pentru orice R avem

Definitia 3.27. Fie campul de probabilitate Spunem ca este vector aleator bidimensional, daca este o aplicatie R², care satisface conditia ca orice     R² sa avem

Observatia 3.28 Daca X si Y sunt variabile aleatoare, atunci si sunt variabile aleatoare.

Definitia 3.29. Numim functie de repartitie atasata variabilei aleatoare X, functia

definita prin pentru orice

Observatia 3.30. Daca variabila aleatoare X este de tp discret, deci are distributia atunci functia de repartitie este data prin formula

Aici notatia prescurtata a sumei indica faptul ca pentru un dat, se aduna toate probabilitatile ce corespund valorilor lui X, care verifica conditia

Proprietatea 3.31 Fie X o variabila aleatoare si F functia de repartitie corespunzatoare, atunci urmatoarele afirmatii sunt adevarate:

(1) pentru orice , avem ca

(2) pentru orice a, bR, a<b, avem ca

(3) pentru orice

(functia F este descrescatoare),

(4)

(5) pentru orice , avem ca

(functia F este continua la stanga).

Demonstratie. (1) Deoarece valorile functiei de repartitie sunt niste probabilitati, avem aceasta afirmatie, deci

(2) Se scrie succesiv

Deoarece avem in continuare ca

Pentru a doua relatie se are in vedre ca

deci

In mod analog, se arata si celelalte doua relatii de la acest punct.

(3) Folosind prima formula de la punctul precedent, avem relatiile

de unde

(4) Formal avem ca respectiv

(5) Un ratioanament analog cu cel de la punctul precedent ne conduce la faptul ca functia F este continua la stanga.

Observatia 3.32 Functia de repartitie F a unei variabile aleatoare X de tip discret, care are distributia este, conform Observatiei 3.30., o functie in scara, avand punctele puncte de discontinuitate, iar marimile salturilor in aceste puncte de discontinuitate sunt respectiv probabilitatile

Exemplul 3.33 Variabila aleatoare X cu distributia urmatoare are functia de repartitie

care are graficul in fig. 3.1.

Definitia 3.34. Numim functie de repartitie atasata vectorului aleator bidimensional functia

0 1 2 3 x