Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

CATEGORII DOCUMENTE





Statistica


Formule utile in rezolvarea problemelor

Statistica

+ Font mai mare | - Font mai mic







DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
Indicatorii de frecvente
Formule utile in rezolvarea problemelor
TURCIA
Statistica descriptiva
Necesitatea analizei
Foaie de lucru - Audit financiar
ERORI IN METODELE NUMERICE
Cercetarea statistica
Indicii statistici
PROIECT STATISTIC

Formule utile in rezolvarea problemelor

     In tabelul nr.1 sunt prezentate formulele de calcul pentru media, dispersia si abaterea medie patratica corespunzatoare colectivitatii generale si colectivitatii de selectie.

                                                                                                 



Tabelul nr.1

Notiuni

Indicator

Relatii de calcul

Caracteristica

nealternativa

Caracteristica

alternativa

               0

             1

              2

              3

                  Colectivitate

generala

Media

 

Dispersia

Abaterea medie

patratica

                               Colectivitatea

 de

 selectie

Media

Dispersia

Abaterea medie

Patratica

     Numim eroare de reprezentativitate numarul notat si definit astfel:

     Conditia ca media unui esantion sa fie reprezentativa:

                                                     .

      Daca numarul esantioanelor posibile este k, iar frecventele mediilor de selectie posibile este ns atunci eroarea medie de reprezentativitate este :

.

      Eroarea limita maxima admisa () :

,

unde  se obtine din   fiind functia Gauss-Laplace ale carei valori sunt tabelate.

                                SELECTIA ALEATOARE SIMPLA

     Eroarea medie de reprezentativitate pentru caracteristica nealternativa:

-pentru selectia repetata:

-pentru selectia nerepetata:

» »

     Eroarea medie de reprezentativitate pentru caracteristica alternativa:

-pentru selectia repetata:

-pentru selectia nerepetata:

.

     Eroarea limita maxima admisa:

-pentru selectia repetata:

 respectiv

-pentru selectia nerepetata:

, respectiv  .

     Intervalul de incredere al mediei colectivitatii generale:

-pentru caracteristica nealternativa:

-pentru caracteristica alternativa:

w -Dw < p < w + Dw .

     Intervalul de variatie al nivelului totalizat al caracteristicii :

-pentru caracteristica nealternativa:

-pentru caracteristica alternativa:

     Volumul esantionului:

-pentru sondajul simplu repetat:

-pentru sondajul simplu nerepetat:

.

    Volumul esantionului in cazul modificarii erorii limita maxime admise () :

-pentru selectia repetata:

-pentru selectia nerepetata:

.

               SELECTIA TIPICA (STRATIFICATA)

         Modalitati utilizate pentru repartizarea esantionului pe subesantioane corespunzator tipurilor calitative:

a) In selectia tipica neproportionala  repartizarea in mod egal a

esantionului pe subesantioane indiferent de numarul unitatilor ce compun straturile populatiei totale:  unde k este numarul de straturi in populatia totala iar ni  este dimensiunea fiecarui subesantion.

b)Selectia tipica proportionala care consta in repartizarea

esantionului pe subesantioane in functie de ponderea fiecarui strat in colectivitatea generala:

  de unde

c) Pentru selectia tipica optima la formarea subesantioanelor se ia in consideratie atat ponderea fiecarui strat in colectivitatea generala cat si gradul de omogenitate al straturilor, reprezentat de abaterea medie patratica:

      

.

     Formulele utilizate in cazul sondajului tipic proportional:                                                            

-eroarea medie de reprezentativitate:

  pentru selectia repetata

   pentru selectia nerepetata,

unde    este media dispersiilor straturilor (grupelor);

-eroarea limita maxima admisa:

 pentru selectia repetata

        

 pentru selectia nerepetata,

-estimarea mediei la nivelul colectivitatii generale:

<<

  unde    este media mediilor de grupa;

 -estimarea nivelului totalizat al caracteristicii:

<<

 -redimensionarea esantionului:

  pentru selectia repetata

  pentru selectia nerepetata.

                            SELECTIA DE SERII

     Esantionul este format dintr-un numar de serii notat cu r, iar in colectivitatea generala numarul seriilor se va nota cu R .

     Eroarea medie de reprezentativitate:

-pentru caracteristici nealternative:

,

;

unde :   este dispersia dintre serii.

-pentru caracteristici alternative:

,

 ;

-eroarea limita maxima admisa:

 pentru selectia repetata

 pentru selectia nerepetata.

-redimensionarea esantionului:

  pentru selectia repetata

  pentru selectia nerepetata.

                           TESTE DE SEMNIFICATIE

     Folosim “ipoteza diferentei nule” care presupune ca nu exista diferente semnificative intre parametrii de sondaj si parametrii populatiei sau intre parametrii de sondaj a doua esantioane aleatoare.

     Compararea mediei de sondaj cu media populatiei intr-o repartitie normala:

,

daca  | t |>1,96 se respinge ipoteza diferentei nule, unde pentru un nivel de semnificatie de 5%.

     Compararea mediilor a doua esantioane mari:

                                 

      Pentru un nivel de semnificatie 5% daca ½t½<1,96 se accepta ipoteza si se considera diferentele nesemnificative.

      Se respinge ipoteza daca ½t½>2,58, avand un nivel de semnificatie de 1%.

      Compararea a doua proportii de sondaj pentru o caracteristica alternativa:

   · nu cunoastem proportia p in cele doua populatii din care s-au facut esantioanele. Admitem ca .

       

Admitem ca    si daca   >3 atunci diferenta dintre cele doua proportii este semnificativa.

  · proportiile in cele doua populatii din care s-au format esantioanele nu sunt egale, de aceea folosim dispersiile esantioanelor.

Daca  >3, atunci diferenta dintre cele doua proportii este semnificativa.

   · comparam proportiile esantioanelor cu  .

Calculam  si daca  diferenta este semnificativa.

     Compararea mediei de sondaj (pentru un esantion de volum redus) cu media populatiei intr-o repartitie Student:

                        se citeste din tabelul cu valorile repartitiei Student pentru un nivel de semnificatie si (n-1) grade de libertate. Daca < se admite ipoteza diferentei nule.

     Compararea dispersiilor necunoscute a doua esantioane de volum redus:

,

unde  .      

Daca <,   se admite ipoteza diferentei nule. Pentru   numarul gradelor de libertate este .

     Pentru verificarea egalitatii dispersiilor a doua esantioane de volum redus folosim testul F (Fischer):

,

unde  sunt estimatiile dispersiilor teoretice  si  obtinute in doua sondaje independente de volum, respectiv .

.  se determina pentru nivelul de semnificatie ales si pentru gradele de libertate  si . Daca <,   nu avem motive sa respingem ipoteza ca dispersiile sunt egale.

     PROBLEME REZOLVATE

     1. In vederea estimarii volumului desfacerilor zilnice prin unitati comerciale din orasul X, s-a efectuat o cercetare prin sondaj, pe baza unui esantion de 5% din unitatile comerciale din oras. Rezultatele sunt prezentate in tabelul nr. 2.

              Repartitia unitatilor comerciale dupa volumul vanzarilor.

                                                                                            

Tabelul nr.2

Grupe dupa volumul vanzarilor zilnice (mil. lei)

         120-140

          140-160

         160-180

          180-200

        200-220

Numar de magazine

6

8

19

10

7

Se cere: a) sa se calculeze eroarea limita maxima admisa;                                                 

         b) sa se detemine intervalul de incredere pentru media vanzarilor si pentru volumul total al vanzarilor;

         c) sa se redimensioneze volumul sondajului pentru o noua cercetare in urmatoarele conditii:

             · eroarea limita s-ar tripla,

             · eroarea limita s-ar reduce la 1/4 din nivelul actual al erorii.

         Rezolvare: Se determina in prealabil media si dispersia seriei statistice prezentate in tabelul nr.3.

Grupe dupa volumul desfacerilor zilnice (mil.lei)

Numar de magazine

Centru de interval

0

1

2

3

4

5

6

120-140

6

130

780



-41,6

1730,56

10383,36

140-160

8

150

1200

-21,6

466,56

3732,48

160-180

19

170

3230

-1,6

2,56

48,64

180-200

10

190

1900

18,4

338,56

3385,60

200-220

7

210

1470

38,4

1474,56

10321,92

Total

50

-

8580

-

-

27872,00

Notam si definim media volumului desfacerilor zilnice astfel:

               171,6 mil.lei.

Dispersia esantionului este .

a)      Eroarea medie de reprezentativitate:

· pentru selectia repetata

3,3389 @ 3,339 mil.lei.

· pentru selectia nerepetata: 5%N Þ 5%N Þ.

  3,339

  3,339.0,9753,2555 @ 3,256 mil.lei.

Eroarea limita maxima admisa: se considera a = 5%  Þ 1-a = 0,95 = Þ=0,475 si din tabelul functiei Laplace se citeste za, care este 1,96.

· pentru selectia repetata:

6,544 mil.lei.

· pentru selectia nerepetata:

mil.lei.

a)      Intervalul de incredere pentru media volumului desfacerilor zilnice este in cazul unui risc de 5% :

· pentru selectia repetata:

       <<   U.M.

171,6 -6,544< < 171,66,544 mil.lei.

          165,056 < < 178,144 mil.lei.

· pentru selectia nerepetata:

             171,6 – 6,382 <  < 171,66,382 mil.lei

                      165,218< < 177,982 mil.lei.

     Intervalul de incredere pentru volumul total al desfacerilor zilnice:

 U.M. Þ

  · pentru selectia repetata:

1000×165,056 < 1000< 1000×178,144 mil.lei.

      165056 < 1000< 178144 mil.lei

  · pentru selectia nerepetata:

      1000×165,218 < 1000< 1000×177,982 mil.lei

            1652181000<177982 mil.lei

b)      Daca eroarea limita s-ar tripla, atunci:

                           ,

· pentru selectia repetata 3×6,54419,632 mil.lei deci volumul esantionului este

5,5@ 6 magazine;

· pentru selectia nerepetata 3×6,38219,146 mil.lei, deci volumul esantionului este:

5,8 » 6 magazine.

Daca eroarea limita s-ar reduce la   din nivelul actual, atunci .

· pentru selectia repetata 1/4×6,5441,636 mil.lei, deci volumul esantionului este 800,0@ 800 magazine;

· pentru selectia nerepetata 1,5955 si volumul esantionului ar fi

  456,8 @ 457 magazine.

        Se constata ca si intr-un caz si in celalalt, cresterea exigentei conduce la inregistrarea datelor dintr-un numar prea mare de magazine.

     2. Pentru un esantion de 250 de agenti economici s-au obtinut urmatoarele rezultate: profitul mediu de 565 mil.lei/agent economic si abaterea medie patratica privind profitul: 66,4 mil.lei +tiind ca esantionul reprezinta 15% din totalul agentilor economici, s-a format prin selectie nerepetata si rezultatele se garanteaza cu o probabilitate de 0,9973 (), se cere:

a)          estimarea profitului mediu si a profitului total la nivelul colectivitatii generale;

b)          dimensionarea unui nou esantion daca eroarea limita maxima admisa este de 22 mil.lei.

Rezolvare:

a)      Calculam in prealabil eroarea limita maxima admisa:

        

      Din enuntul problemei se cunoaste ca n250 agenti economici reprezinta 15% din N  numarul total de agenti economici, deci   .

        Se cunoaste abaterea medie patratica la nivelul esantionului, deci putem determina dispersia esantionului 66,42 Þ

11,6152 @11,615 mil.lei.

     Profitul mediu al esantionului este 565 mil.lei/agent economic, deci intervalul de incredere pentru profitul mediu la nivelul intregii colectivitati este: <  <  mil.lei/agent economic.

         565 – 11,615 56511,615 mil.lei/agent economic.

                553,385 <  < 576,615 mil.lei/agent economic.

Estimarea profitului total : mil.lei/agent economic.

Din 1667 agenti economici.

    1667×553,385<<1667×576,615 mil.lei/agent economic,

     922492,795<<961217,205mil.lei/agent economic.

b)      Daca 22 mil.lei, atunci volumul esantionului este:

    78,1@ 78 agenti economici.

     3. Pentru un esantion de 250 de agenti economici cunoastem repartitia bidimensionala dupa numarul de angajati si dupa marimea profitului , datele fiind prezentate in tabelul nr.4.

                                                                                                                            

                                                                           

             

Grupe de agenti economici dupa numarul de angajati

Grupe de agenti economici dupa marimea profitului (mil.lei)

Total

ni·

Sub 350

350-400

400-450

450-500

500-550

550-600

600 si peste

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Sub 20

8

18

22




34

3

-

-

85

20 si peste

-

7

25

31

37

35

30

165

Total n·j

8

25

47

65

40

35

30

250

        +tiind ca esantionul reprezinta 10% din totalul agentilor economici si s-a format prin selectie repetata se cere:

a)        sa se estimeze intervalul de variatie al profitului mediu si al profitului total in colectivitatea generala, garantand rezultatele cu o probabilitate de 0,9973 (za);

 b)   sa se estimeze procentul maxim al agentilor economici cu un profit de cel putin 475 mil.lei.

        Rezolvare:

a)            Considerand repartitia agentilor economici dupa marimea profitului (mil.lei) determinam media esantionului:

     mil.lei, unde  sunt mijloacele intervalelor de grupare.

   

490,8 mil.lei/agent economic.

      Dupa numarul de angajati esantionul este divizat in doua subgrupe I si II si vom calcula pentru fiecare grupa media si dispersia.

      Algoritmul de calcul pentru medie si dispersie-grupa I sub 20 de angajati.

                                                                                                 

Tabelul nr.5

Grupe de ag.ec. dupa marimea profitului (mil.lei)

Numar de angajati

     nIj

Centre de interval

      yj

0

1

2

3

4

5

6

300-350

  8

325

  2600

-103,53

10718,4609

  85747,6872

350-400

18

375

  6750

  -53,53

  2865,4609

  51578,2962

400-450

22

425

  9350

    -3,53

      12,4609

      274,1398

450-500

34

475

16150

   46,47

  2159,4609

  73421,6706

500-550

  3

525

  1575

   96,47

  9306,4609

  27919,3827

Total

85

-

36425

-

-

238941,1765

Definim:

    · media 428,53 mil.lei/agent economic,

  · dispersia 2811,073.

     Algoritmul de calcul pentru medie si dispersie – grupa a II-a (numarul de angajati ³ 20)

                                                                                             

  Tabelul nr.6

Grupe de ag.ec. dupa marimea profitului

(mil.lei)

Numar de angajati

     nIIj

Centru de interval

     yj

0

1

2

3

4

5

6

350-400

    7

375

  2625

-147,88

21868,4944

153079,4608

400-450

  25

425

10625

  -97,88

  9580,4944

239512,3600  

450-500

  31

475

14725

  -47,88

  2292,4944

  71067,3264

500-550

  37

525

19425

     2,12

        4,4944

      166,2928

550-600

  35

575

20125

   52,12

  2716,4944

  95077,3040

600-650

  30

625

18750

 102,12

10428,4944

312854,8320

Total

165

-

86275

-

-

871757,5760

Definim:

  · media 522,88 mil.lei/agent economic.

  · dispersia 5283,379

Calculam media dispersiilor de grupa, ca pe o medie arithmetica ponderata:

   4442,79.

Eroarea limita maxima admisa este:

3,9992» 3,999

unde .

Intervalul de variatie al profitului mediu:

            < <  mil.lei/agent economic.

490,8 – 3,999 < < 490,8 3,999 mil.lei/agent economic

         486,801< < 494,799 mil.lei/agent economic.

     Estimarea profitului total, in sensul precizarii intervalului de variatie al acestuia este: <<  mil.lei

                    

Cum 10%N  ag.ec. Þ 2500 ag.ec.

     2500.486,801< < 2500.494,799 mil.lei

        1 217 002,5 < < 1 236 997,5 mil.lei.

b)            Cerinta “procentul maxim al agentilor economici cu un profit de cel putin 475mil.lei” conduce la transformarea caracteristicii “profit” in caracteristica alternata cu doua forme de manifestare si obtinem datele prezentate in tabelul nr.7.



     Distributia egentilor economici dupa numarul de angajati si marimea profitului.

                                                                                                

 Tabelul nr.7.

Grupe de ag. ec.dupa numarul de angajati

Agenti economici cu profit < 475 mil.lei

Agenti economici cu profit ³ 475 mil.lei (mi)

Total

(ni)

0

1

2

3

4

5

Sub 20

65

20

85

0,23529

0,1799286

20 si peste

47

118

165

0,71515

0,2037105

Total

112

(n)s138

(n)s 250

(w)s0,552

0,247296

        Coloana 4 din tabelul nr.7 prezinta mediile de grupa si media pe total, iar coloana 5 prezinta dispersiile de grupa.

        Calculam media dispersiilor de grupa:

0,1956.

     Eroarea limita maxima admisa este:

 0,0796.

     Procentul maxim admis este:

      0,5520,0796 0,6316 sau 63,16%.

     Asadar, cel mult 0,6316.N0,6316.25001579 din totalul agentilor economici din populatia statistica generala au un profit de cel putin 475 mil.lei.

     4. Pentru un numar de 120 unitati comerciale selectate aleator si nerepetat si care reprezinta 10% din numarul total al unitatilor, se cunosc urmatoarele date prezentate in tabelul nr.8.

     Distributia unitatilor comerciale dupa numarul de angajati si valoarea vanzarilor.

                                                                                                   

Tabelul nr.8

Grupe de unitati comerciale dupa numarul de angajati

Numarul unitatilor comerciale

Valoarea medie a vanzarilor (mil.lei/unitate comerciala)

0

1

2

Sub 20

20

1240

20-40

70

2030

40 si peste

30

2100

Total

120

-

          +tiind ca pe total unitati comerciale coeficientul de variatie a fost 22,5% se cere:

a)                sa se determine intervalele de incredere in care se va incadra valoarea medie a vanzarilor si valoarea totala a vanzarilor stiind ca rezultatele se garanteaza cu o probabilitate de 0,9545 (za).

b)                sa se determine volumul esantionului daca eroarea limita ar creste cu 18,5%; sa se distribuie noul esantion pe subesantioane.

Rezolvare:

a)                In tabelul nr.8 coloana 2 se prezinta valoarea medie a vanzarilor pe grupe de unitati comerciale dupa numarul de angajati, deci media esantionului se va determina ca medie ponderata a mediilor de grupa:

1915,833 » 1915,83 mil.lei/u.c.

      Coeficientul de variatie la nivelul esantionului este:

431,06175  Þ 185814,232313.

 Calculul dispersiei dintre grupe :

92207,6389.

     Regula adunarii dispersiilor permite determinarea mediei dispersiilor de grupa:

185814,232313 – 92207,6389 93606,593413

      Eroarea limita admisa () :

52,992» 52,99 mil.lei.

     Valoarea medie a vanzarilor la nivelul tuturor unitatilor comerciale este:

<<mil.lei/u.c.

1915,83 – 52,99<<1915,8352,99 mil.lei/u.c.

1862,84<<1968,82 mil.lei/u.c.

         Valoarea totala a vanzarilor este estimata astfel:

<<

1200×1862,84<<1200×1968,82 mil.lei

2235408<<2362584 mil.lei.

b)      Eroarea limita creste cu 18,5% Þ 1,1851,185×52,9962,79315 mil.lei, volumul

esantionului in aceste conditii este:

87,9 » 88 unitati comerciale.

    Volumul subesantioanelor luand in calcul sondajul tipic nerepetat,  unitati comerciale:

· selectie tipica neproportionala

29,3 » 29 unitati comerciale.

· selectie tipica proportionala.

     Considerand ca esantionul utilizat respecta structura populatiei (grupa I 17%, grupa a II-a 58%, grupa a III-a 25%) atunci:

         u.c.

     5. Pentru evaluarea cheltuielilor suplimentare facute de turisti la sfarsit de saptamana   intr-o statiune, pe durata a trei zile, s-a efectuat un sondaj stratificat iar datele inregistrate sunt prezentate in tabelul nr.9.

     Cheltuielile medii zilnice si coeficientul de variatie in esantion

                                                                                                             Tabelul nr.9

Grupe de turisti dupa varsta

(ani)

Numarul

turistilor

Cheltuieli suplimentare medii zilnice

(mii lei)

Coeficientul de variatie al cheltuielilor suplimentare (%)

0

1

2

3

Sub 25

120

180

20

25-45

150

310

25

45 si peste

80

390

33

Total

350

-

-

 

     Se cere:

a)              Considerand ca cele 350 de persoane reprezinta un esantion stratificat de 5%, selectat in mod aleator si nerepetat din numarul total al turistilor din statiune la sfarsit de saptamana, sa se determine intre ce limite se vor incadra cheltuielile suplimentare medii si totale zilnice ale turistilor din intreaga colectivitate, rezultatele fiind garantate cu o probabilitate de 0,9545 (za2).

b)              Sa se stabileasca ce volum al esantionului ar fi fost necesar daca s-ar fi utilizat sondajul aleator simplu.

c)              Sa se stabileasca ce volum de selectie va fi necesar daca se organizeaza o noua cercetare selectiva si eroarea limita admisa calculata la punctul a) se va mari cu 5%, celelalte conditii ramanand neschimbate.

Rezolvare:

a)      Calculul indicatorilor de selectie si estimarea parametrilor colectivitatii generale:

   · media mediilor de grupa

      283,71miilei/turist

» 283,7 mii lei/turist

· dispersiile de grupa ()

   i1,2,3,  de unde  , i1,2,3

36 mii lei/turist  Þ 

77,5 mii lei/turist  Þ

128,7 mii lei/turist  Þ 

· media dispersiilor de grupa ()

  4490,150 » 4490,15

· eroarea medie de reprezentativitate (): 5%N 350 Þ

N Þ N7000

 3,4910 » 3,491 mii lei

· eroarea limita admisa ()

       2×34916982 mii lei

· estimarea cheltuielilor medii zilnice suplimentare pe total colectivitate:

<<mii.lei/turist

de unde :

283,7 – 6,982<<283,76,982

276,718< < 290,682 mii.lei/turist

· estimarea cheltuielilor zilnice suplimentare totale :

: <<

7000×276,718<<7000×290,682

1 937 026 << 2 034774 mii lei.

b)      Determinarea volumului esantionului pentru sondajul aleator simplu nerepetat;

      Deoarece nu cunoastem dispersia totala din colectivitatea generala ci numai datele despre esantionul format prin respectarea principiilor unei scheme probabilistice, putem inlocui acest indicator prin dispersia totala a datelor din esantion.

     Dispersia totala a esantionului se determina in acest caz din regula de adunare a dispersiilor:

         

6566,20

6566,24490,1511056,35.








Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 3296
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2019 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site