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Wahrscheinlichkeitsrechnung

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DOCUMENTE SIMILARE

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Begriffe:

S =       sei eine Menge der Elementarereignisse

            z.B. Würfel: S=



E Ì S   ist ein Ereignis

P(S)     ist die Menge der Ereignisse (P=Potenzmenge)

E=S     ist ein sicheres Ereignis

E==Æ ist das unmögliche Ereignis

Wenn E Ì S ein Ereignis ist, dann ist S E = das Gegenereignis zu E bzgl .S:

Ú  = S ß E ß  = Æ

Definition der Wahrscheinlichkeit W:

1.   W:  P(S) ® [0,1]                 (W ist eine Funktion von P von S auf das Intervall 0 und 1)

2.   W(S) = 1

      W(Æ) = 0

3.       Wenn E1,,En paarweise disjunkte Ereignisse sind, dann gilt:

            W(E1ÃŽE2ÃŽ ÃŽEn) = W(E1) + W(E2) + + W(En)

Wenn die Menge der Elementarereignisse endlich ist und das Auftreten der Elementare gleich wahrscheinlich ist, dann ist W folgendermaßen definiert:

           

Gegenereignis:

W(E) = 1-W()

Unabhängigkeit von Ereignissen:

Zwei Ereignisse A und B heißen genau dann unabhängig voneinander, wenn

W(AßB)       = W(A*B)        = W(A) * W(B)

Kombinatorik

Eine Permutation einer endlichen Menge m ist eine bijektive Abbildung der Menge auf sich.

Bsp:     M=

               d(1) = 2              identische Permutation: d(1) = 1

                                   d(2) = 3                                                 d(2) = 2

                                   d(3) = 1                                                 d(3) = 3

Ist m eine Menge mit n Elementen, dann existieren genau Pn = n!


Binominalkoeffizienten

     zahllose Zusammenhänge

     =                            n ³ k;    n,k I N

     =

     =              = 1

     = 1

     = 1

     =       =   n     =

Variation

·         Es sei eine Menge von n Elementen gegeben. Jede Auswahl von k Elementen unter Berücksichtigung der Anordnung ist eine Variation ohne Wiederholung.

Hier gilt folgender Satz:

Vn(k)           = n * (n-1) * (n-2), , (n-k+1)     =                    =          k!

Bsp:          M = ,       k £ n     ®         (a1,a3,a9) ¹ (a3,a1,a9)

·         Es sei eine Menge von n Elementen gegeben. Jede Auswahl von k Elementen unter Berücksichtigung der Reihenfolge, wobei jedes Element bis zu k-mal auftreten darf, ist eine Variation mit Wiederholung.

Hier gilt folgender Satz:

$ n|k|      = n * n * n  n            = nk


Kombination

·         Eine Auswahl aus k Elementen aus n Elementen (n ³ k) ohne Berücksichtigung der Reihenfolge heißt Kombination ohne Wiederholung.

Hier gilt folgender Satz:                  Kn(k)      =

·         Eine Auswahl aus k Elementen aus n Elementen (n ³ k) ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, wobei jedes Element bis zu k-mal ausgewählt werden kann, heißt Kombination mit Wiederholung.

Hier gilt folgender Satz:                  n(k)    =

Bernoullisches Versuchsschema

Bsp:     In einem Glaskasten befinden sich n Bienen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einer virtuellen Trennung des Glaskastens in zwei Teile, dass sich k Bienen im rechten Teil aufhalten? Voraussetzung: Die Bienen bewegen sich unabhängig voneinander)

            Wrechts   = p

            Wlinks     = p-1

Wn(k)     = * pk * (1-p)n-k



Bedingte Wahrscheinlichkeit

Es gibt n mögliche Fälle. Dabei gibt es l günstige Fälle für ein Ereignis B. Unter diesen l Fällen sind k günstige Fälle für ein Ereignis A. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für A und B (dass beide zutreffen)?

W (A*B)  =

W (B)      =

W (A| unter der Bed., dass B eingetreten ist)      = W (A|B)         =      =

Definition:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von Ereignis A unter der Bedingung, dass B eingetroffen ist, ist W(A|B)  = ; W(B) > 0

Die Ereignisse A und B sind genau dann voneinander unabhängig, wenn folgendes gilt:

W(A|B)    = W(A) bzw. W(B|A)   = W(B)

Beweis:   W(A|B)  = =   = W(A)


Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Es seien A1,A2, ,An paarweise disjunkte Ereignisse mit A1+A2+A3++An = S.

Dann gilt für ein beliebiges Ereignis K folgendes:

W(K) =                        K ¹ ; K Ì S

Beweis:   W(K) = ßK)

Satz von Bayes

(Apostori-Wahrscheinlichkeit, Ereignis ist bereits eingetroffen)

Es seien A1,A2, ,An paarweise disjunkte Ereignisse mit A1+A2+A3++An = S.

Dann gilt für ein beliebiges Ereignis K folgendes:

W(K)  =  

W(Ai|K)   =

Beweis:   W(Ai|K) * W(K)          = W(K|Ai) * W(Ai)         = W(AißK)

              W(Ai|K)                      =

Diskrete und stetige Zufallsvariablen

Eine ZV, die nur Werte aus einer endlichen oder abzählbaren unendlichen Menge annimmt, heißt diskret. Die Werte sind Sprungstellen, die Wahrscheinlichkeiten Sprunghöhen.

    oder  

z.B Poissonsverteilung

Wahrscheinlichten für die Zahlen n, wobei der Erwartungswert = a ist.

W(n)= e-a ;  n = 0,1,2,…   a>0      

 weil    e-a

Eine ZV ist stetig, wenn eine nicht negative Funktion f existiert, so dass für die Verteilungsfunktion folgendes gilt:

F(x) =            f(t) heißt dichte Funktion;  F() = 1 => F() =  = 1

ð      Fläche, die über eine ganze reelle Fläche nur 1 ergibt

W(aXb)       = F(b) – F(a)

                        = -

                        =+  = 

ð       wird nie negativ, integral unter der Kurve über der x- Achse muss 1 sein -> dann Dichte

ð       Fläche muss betrachtet werden, nicht die Kurve

ð       Bsp. Gaußsche Glockenkurve

Unstetigkeits-/

Sprungstelle

 

2

 
                               0 für t<0

1

 
F(t)=                       für 0t  2

                               0 für t > 2

2

 

1

 
                       

                                                                                  =  dt =       

W(1X1,5) = dt =   =  - = 0,3125

W(1X1) = dt = 0

Zufallsvariablen & Verteilungsfunktionen

 

Definition einer Zufallsvariablen

Eine Funktion x, die die Elementarereignisse s hat, injektiv (umkehrbar eindeutig) auf die reelen Zahlen abbildet, heißt Zufallsvariable. Das Urbild (Definitionsbereich) eines reellen Zahlenintervalls            I = (-∞;y) ist ein Ereignis.

z.B. Würfel:      x (1 fällt) = 1.. x( 6 fällt) = 6




Urbild = x –1 ( -∞; 3,8) =    // Ereignis besteht aus 1 – 3

Definition der Verteilungsfunktion

Sei x eine Zufallsvariable (den Ereignissen Zahlen zuordnet), dann ist F(x) mit der Wahrscheinlichkeit das X kleiner ist als x, dann heißt F(x) die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen x

ð      sei x ZV, dann ist F(x) = W(X <x)

z.B Würfel:       F(3,8) = ½  (1-3 von 6 Fällen)

                        F(-3) = 0  (gibt es nicht)

                        F(5) =  (  => Zahlen 1-4 von 6, ohne 5 und 6)

                        F(29,8) = 1  (alle 1-6)

Zum Verständnis:

                        F ist nicht monoton fallend: x1> x2 => F(x1) ³ F(x2)

                        F(-¥) = 0

                        F(+¥) = 1

                        x |R

Mittelwertberechnung allgemein

 

Standardabweichung und Mittelwertberechnung Poissonverteilung

E(x) = m = a

 

Mittelwertberechnung der Bernoulliverteilung

E(x) = m =  n * p

 

Standardabweichung der Bernoulliverteilung

Streuung und Standardabweichung

Sei X eine Zufallsvariable, dann heißt E ( [ X-E(X) ]² ) die Streuung (Varianz, Dispersion) von X.

E ( [ X-E(X) ]² )   =       =  ²   = V²(X)              ®  Streuung

E ( [ X-E(X) ]² )              = E (X)² - [E (X)]²

     = D       =                  ®  Standardabweichung

Beispiel Reparaturwerkstatt:

X1 = 700            W(X1) = 0,5

X2 = 1000          W(X2) = 0,3

X3 = 1100          W(X3) = 0,2

W(X)                 X                      X – E(X)            [X – E(X)]²         E ( [X – E(X)]² )

0,5                   700                  -170                 28.900                 0,5 * 28.900

0,3                   1000                 130                  16.900              + 0,3 * 16.900

0,2                   1100                 230                  52.900              + 0,2 * 52.900

                                                                                              =          30.100              = ²

                                                                                                          173,5                =

Ungleichung von Tschebyscheff

3 - -Regel:     k = 3               

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert zwischen m-3 und m+3 liegt, ist bei 1-  (~ 90%).

Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

N(m, )

Dichte der Normalverteilung:                  f(t) =  * e -

Verteilungsfunktion:                              F(x) =  * e - * dt

                                                           F(2) =


Normierte Normalverteilung (Sonderfall)

N(0;1)                                                  //Mittelwert m = 0; Standardabweichung  = 1

f(t) =  * e -      

W (x1 < X < x2)  = F(x2) – F(x1)      =

Beispiel:

W(1,13 £ X £ 2,85)        = F(2,85) – F(1,13)

                                   = 0,99781 – 0,87076

                                   = 0,12705

W(-x)      = 1 – W(x)

W(-0,5)    = 1 – W(0,5)

W(-1 £ X £ 1)     = F(1) – F(-1)

                        = F(1) – (1 – F(1))

                        = 2 * F(1) – 1

                        = 2 * 0,84134 – 1

                        = 0,68268

Umrechnung von m und d auf 0 und 1

X sei N(0;1)

Y sei N(m; )              ® Y = m +* X

                                   « X =

Für x< 0, gilt

Beispiel:

W(180 £ Y £ 200);         Y ist nach N(195;7)

                                      F(200) – F(180)

                                   = () - ()

                                   = () - ()

                                   = 0,71 -  - 2,14

                                   = 0,71 – 1 + 2,14

                                   = 0,76115 – 1 + 0,98382

                                   = 0,74








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