Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

CATEGORII DOCUMENTE





BulgaraCeha slovacaCroataEnglezaEstonaFinlandezaFranceza
GermanaItalianaLetonaLituanianaMaghiaraOlandezaPoloneza
SarbaSlovenaSpaniolaSuedezaTurcaUcraineana

AutóélelmiszerépületFöldrajzGazdaságKémiaMarketingMatematika
OktatásOrvostudományPszichológiaSportSzámítógépekTechnika

Algebrai struktúrák, mátrixok

matematika

+ Font mai mare | - Font mai mic







DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger

Algebrai struktúrák, mátrixok

Def.: Algebrai struktúrán olyan nemüres halmazt értünk amelyen legalább egy művelet van definiálva.



Def.:  A H nemüres halmazon értelmezett kétváltozós műveleten egy H´H ®H függvényt értünk. (olyan leképezést, amely bármely (a,b) IH elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy H-beli elemet. Ezért a műveletre vonatkozó „zártságot” szükségtelen kikötni.) Az n változós művelet ehhez hasonlóan olyan függvény, melynek értelmezési tartománya H´H….´H=Hn, értékkészlete pedig H.

Jelölés: Sokféle lehet. Kétváltozós művelet esetében célszerű az ún. infix jelölés, amikor a műveleti jelet az elempár elemei közé tesszük, ahogyan eddig is pl. a valós számok, vektorok esetében. Tehát az f(a, b)=c prefix jelölés helyett az a f b=c infix jelölést használjuk. Megjegyezzük, hogy az ún. postfix jelölés; (a,b)f  nagyon ritkán használatos. Többváltozós műveletnél a prefix jelölés a célszerűbb.

Feladat: Mondjunk példát műveletekre!


Def.:

A  H-n értelmezett * művelet asszociatív(csoportosítható), ha bármely a,b,cIH-ra a*(b*c)=(a*b)*c teljesül.

A H-n értelmezett * művelet kommutatív (felcserélhető), ha bármely a,bIH-ra a*b=b*a teljesül.

Bal oldali egységelemnek olyan ebIH elemet nevezünk, amelyre minden aIH-val eba=a teljesül.

Jobb oldali egységelemnek egy olyan ejIH elemet nevezünk, amelyre minden aIH-val eja=a teljesül.

Az eIH elem egységelem (vagy kétoldali egységelem), ha mind bal, mind pedig a jobb oldal egységelem, azaz minden aIH-ra ea=ae=a.

Tétel: Minden, bal, -illetve jobboldali egységelemes művelettel rendelkező algebrai struktúrában a baloldali és a jobboldali egyégelem egyenlő: eb= ej. Más szavakkal: A baloldali és a jobboldali egyégelemes művelettel rendelkező algebrai struktúrákban van (kétoldali) egységelem, ez megegyezik mind a bal-, mind a jobboldali egységelemmel, tehát az egységelem egyértelmű.

Bizonyítás: eb= eb * ej (a jobboldali egségelem def. miatt)= ej (a baloldali egységelem def. miatt)

Összeadásnak nevezett művelet esetén az egységelemet nullelemnek vagy nullának nevezzük.

Az aIH elem bal oldali inverzén (vagy röviden balinverzén) egy olyan abIH elemet értünk, amelyre aba=e.

Az aIH elem jobb oldali inverzén (vagy röviden jobbinverzén) egy olyan ajIH elemet értünk, amelyre aja=e.

Az aIH elem inverze (vagy kétoldali inverze) egy olyan a-1IH elem, amely az a-nak mind a bal, mind pedig a jobb oldali inverze, azaz a-1a= aa-1=e.

Tétel: Minden, asszociatív művelettel rendelkező algebrai struktúrában, amennyiben léteznek,  a bal- (ab) és jobboldali (aj) inverzek megegyeznek: ab = aj:=a-1

Biz.: ab(aaj)= abe = ab = (aba)aj=eaj=aj

Def.:  A T,  legalább kételemű halmazt kommutatív testnek nevezünk, ha:

-        Értelmezve van a T-n két művelet – egyiket összeadásnak (+), másikat szorzásnak (*) hívjuk.

-        T mindkét műveletre nézve kommutatív csoport, de az összeadás egységelemének, az ún. nullelemnek nincsen inverz eleme a szorzásra nézve.

-        bármely a, b, c IT-re a*(b+c)=a*b+a*c teljesül.

Az elnevezésben a „kommutatív” jelző a szorzás kommutativitására utal. Ha a szorzás kommutativitását nem kötjük ki, akkor nemkommutatív ill. ferdetestről beszélünk.


Feladatok:

Ellenőrizzük, hogy az alábbi halmazok közül melyek  alkotnak testet. Ahol nem adjuk meg, ott az eddig ismert szokásos műveletekre vizsgáljuk.

- természetes számok halmaza

- racionális számok halmaza

- valós számok  halmaza

- modulo 3  szerinti maradékosztályok (általában modulo p szerinti maradékosztályok, ahol p prímszám).  Ez példa véges elemszámú testre.

Műveletek:

3 diszjunkt maradék oszály van, O0, O1, O2, aszerint, hogy 3-mal osztva mennyi a maradék.

Összeadás: Oi+Oj= i+j, ha i+j<3, és i+j-3, ha i+j>=3

Szorzás: Oi*Oj= or , ahol i*j= x.3+r


Def.: Legyen T kommutatív test,  k, n természetes számok. Ekkor a T test feletti k´n-es mátrixon egy olyan téglalap alakú táblázatot értünk, amelynek k sora és n oszlopa van,  elemei pedig a T-ből valók.

      A mátrix típusa k´n. A T – beli elemekkel rendelkező, k´n típusú mátrixok halmazát T k´n-nel is jelöljük.

A továbbiakban  T =R (valós számok).

 

További jelölések:

 

I Tk´n

 

 

 


Speciális mátrixok:

 

Sorvektor : [a1, a2, a3, ….. an]

Oszlopvektor:

                                              

Nullmátrix (összeadás egységeleme):

 
jele: = 0,        =   


Diagonál mátrix :    




 
Egységmátrix (szorzás egységeleme),

 kvadratikus= n x n :

En=

 
                                            


Mátrixok számmal való szorzása (nem művelet!)

l·A=C                         lIR,   cik=l·aik      Megállapodás szerint l·A=A·l.

 

Műveletek mátrixokkal:

Mivel a már tanult vektorok speciális mátrixok, ezért a műveleteket célszerű  a már ismert  (koordinátás alakban tanult) vektorösszeadással és (skalár)szorzattal összhangban megadni.

 

Mátrixok összeadása:

Ebben a részben A, B, C,  azonos típusú mátrixok.

C=A+B

cik=aik+bik   (számok) (cik ,aik, bik jelenti rendre a C (eredménymátrix), A, B mátrixok i.sorának k.elemét)


Példa:

 

A mátrix összeadás tulajdonságai:

 

 


1.   Valóban művelet, hiszen  két (n´m) típusú mátrixhoz ugyanolyan       típusú mátrixot rendel. (zártság)

Abel-csoport

 
2.    Kommutatív : A+B=B+A

3.           Asszociatív : (A+B)+C=A+(B+C)

 
4.  Minden A-hoz létezik (egyetlen) egység, a (nullmátrix), amelyre A +      = A

 
5. Minden A-hoz létezik inverz (ellentett)  elem A’,

         amelyre  A+A’=

 


Mátrixok szorzása

Text

Vektorok skalárszorzatának kiszámítására vonatkozó tételen  alapul:

A C= A·B mátrixot úgy kapjuk, hogy A minden sorvektorának képezzük a skalárszorzatát B minden oszlopvektorával. Ezért ha  A típusa  (n´m), akkor B típusa (m´k).  Ez azt jelenti, hogy az A és B mátrix csak abban az esetben szorozható össze, ha A-nak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora B-nek. A szorzatmátrix típusa ennek megfelelően (n´k).

Példák:                                  

           

                          

 

Speciális eset: egységmátrixszal való szorzás:

                                          

                           

 

 

Feladat: Végezze el az alábbi szorzást:

                                                            

                                         

 


Mátrixok szorzásának tulajdonságai:

 

1. Csak tágabb értelemben művelet, ha az összes mátrixok halmazát nézzük. Ha az alaphalmaz T k´n , akkor a szorzás nem művelet, hiszen különböző típusú mátrixokon van értelmezve, és különböző típust hoz létre.

2. nem kommutatív

3. asszociatív: A·(B·C)=(A·B)·C

4. disztributív: A·(B+C)=(A·B)+(A·C)

                        (B+C)·A=(B·A)+(C·A ) (mivel a szorzás nem kommutatív)

5. (l·A)·B=A·(l·B)= l·(A·B)

6. A négyzetes, det (A)¹0 mátrixoknak van inverz eleme, A-1  (def. ld. alább).


                 

Def.: Azt az algebrai struktúrát, amelyben két művelet, ősszeadás (+) és szorzás (*) van megadva a következő tulajdonságokkal, gyűrűnek nevezzük.

       Tulajdonságok:

-        az összeadás Abel-csoport

-        a szorzás asszociatív

-        a két műveletet a disztributív szabályok kapcsolják össze:

                     a*(b+c)=a*b+a*c

                     (b+c)*a=b*a+c*a

Feladatok:

1. Bizonyítsuk be, hogy Tn´n az előzőekben definiált összeadásra és szorzásra nézve gyűrűt alkot.

2. Ellenőrizzük, hogy a háromdimenziós vektorok a szokásos vektor (mátrix!) összeadásra és a vektoriális szorzásra nézve gyűrűt alkotnak-e. 








Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 658
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2019 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site