Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

CATEGORII DOCUMENTE




BulgaraCeha slovacaCroataEnglezaEstonaFinlandezaFranceza
GermanaItalianaLetonaLituanianaMaghiaraOlandezaPoloneza
SarbaSlovenaSpaniolaSuedezaTurcaUcraineana

AutóélelmiszerépületFöldrajzGazdaságKémiaMarketingMatematika
OktatásOrvostudományPszichológiaSportSzámítógépekTechnika

Állóhullámok - FELADATOK

matematika

+ Font mai mare | - Font mai mic






DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger

Állóhullámok

FELADATOK

1. Egy egydimenziós 'doboz' 10-10 m hosszú. Mekkora a három lehető legkisebb impulzusú elektron-állóhullám hullámhossza?


Megoldás

            A legkisebb impulzusú állóhullám esetében a hullámhossz fele a húr hossza, vagyis

                                                 2×10-10  m.

A következő állapotban éppen egyszer fér el a hullám a húron, vagyis

                                                   10-10  m.

Az ezt követő állapotban másfélszer fér el a hullám, vagyis a hullámhossz-ad része a húr hosszának, vagyis

                                                   6,66×10-11 m

2. Egy m tömegű részecske szabadon mozoghat egy d hosszúságú 'egydimenziós' dobozban.

a./ d = 12 mm

            1./ Ha alapállapotban van a részecske, n = 1, a doboz bal oldali végétől milyen távolságra a legnagyobb a részecske megtalálási valószínűsége?

            2./ Ha n = 2 ?

b./ A részecske legyen elektron. Számolja ki a két legalacsonyabb energiájú állapot energiakülönbségét a d = 0,3 m,  0,3 mm,  30 nm,  0,3 nm , esetekben! Mely hosszúságértéknél látszik legjobban az, hogy  az elektron energiaszintjei diszkrétek?

Megoldás

a./                    1. 6 mm

                        2. 3 mm           és         9 mm

b./        Adataink:        d1 = 3×10-1 m  

                       d 2 = 3×10-4 m

                                    d3 = 3×10-8 m 

                                   d4 = 3×10-10 m

            A húrmodell szerint:  

 

                                                                

           

Kapott összefüggésünkbe behelyettesítve:

                             2×10-36 J,

                             2×10-30 J,

                              2×10-22 J,

                              2×10-18 J = 2 aJ,

            A E4-re kapott érték az UV sugárzás energiájának nagyságrendjébe esik már, hiszen az atomi mérettartományra szorítottuk be az elektront példánkban.

3. A véges tartományba bezárt elektront állóhullámmal modellezhetjük. Fejezzük ki az a hosszúságú húrállapotban lévő elektron öt legalacsonyabb energiáját a Planck-állandó, az elektron tömege és a húr hosszának felhasználásával! Rajzoljuk le az elektronállapotok  hullámfüggvényét és a -et is !

Megoldás

Az a hosszúságú húron csak   hullámhosszúságú állóhullámok alakulhatnak ki, ahol k a csomók száma, amely nem negatív egész szám lehet csak.

                        k + 1 = n ,

amelyet kvantumszámnak is neveznek.

A mozgási energia a Broglie-törvény felhasználásával:

             

Az alapállapot:           

                                                               n = 1

gerjesztett állapotok egyetlen elektron esetében:

                                               E2 = 4×E1                                n = 2

                                               E3 = 9×E1                                n = 3

                                            E4 = 16×E1                                 n = 4

                                            E5 = 25×E1                                 n = 5

  Az energiaszintek fölfelé távolodnak egymástól, ritkulnak, úgy követik egymást energia szerint, mint a négyzetszámok.

4. Számítsuk ki az elektronenergiákat, ha az elektront bezáró környezet két dimenziósnak, a oldalú négyzetnek tekinthető!

Megoldás

Ekkor  a mozgási energia a 21. feladat megoldását felhasználva   alakban írható.

A legalacsonyabb energiájú állapotban:

                                   nx = 1      és      ny = 1

                                               .

A magasabb energiájú állapotokban, indexben a csomók számát (k = n - 1) jelölve:

                                   nx = 2     és       ny = 1 ,

vagy

                                   nx = 1   és         ny = 2,

mindkét esetben

.

Ha

                        nx = 2     és       ny = 2 ,

akkor

                                   .

Ha

                                   nx = 3     és       ny =1,




 vagy

                                   nx = 1     és       ny = 3,

 akkor mindkét esetben  

.

Ha

                                    nx = 3   és        ny = 2,

vagy fordítva, akkor

.

Ha

                                   nx = 3    és       ny = 3,

akkor

                                               .

Nézzünk magasabb energiájú állapotokat is, pl.:

                                   nx = 7    és       ny = 1,

 akkor

                                              

vagy               

                        nx = 5    és       ny = 5,

akkor

                                              

Példánkból az is látható, hogy több lényegesen különböző állapot is rendelkezhet azonos energiával. Ezeket elfajult, idegen szóval degenerált, állapotoknak nevezzük.

5. Egy elektron olyan kétdimenziós 'dobozban' helyezkedik el, amely kétszer olyan hosszú, mint széles. Keressük meg a két legalacsonyabb energiájú degenerált (azonos energiájú) állapotokat!

Megoldás

        Az előző feladat megoldását felhasználva a mozgási energia ilyen esetben:

            ,

ahol ka és kb a csomók száma, továbbá 2×a = b.

           

                                                    

A szögletes zárójelben lévő kifejezés értékeit kell csak vizsgálni, mivel az előtte lévő állandó ebben a feladatban.

Az egyik degenerált állapotpár esetében:

            ka = 1;  kb = 1              és         ka = 0 ;  kb = 3

            A következő degenerált állapotpár:

            ka = 2;   kb = 1  és         ka = 0;   kb = 5

                         .

6. Egy részecske egy L oldalhosszúságú kockába van bezárva. Adjuk meg az energiákat és a degenerált állapotokat a 10 legalacsonyabb energiaállapotokra vonatkozóan!

Megoldás

   Az előző feladatok megoldásainak felhasználásával általánosságban az energia a következő módon írható fel:

            ,

ahol a kx , ky és  kz  a csomók számát jelenti.

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

7.  Tegyünk három elektront gondolatban egy 10 nm oldalélű kockába. Mekkora lesz az összes mozgási energiájuk alapállapotban?

Megoldás

Adatunk:         a = 10-10 m

Használjuk fel a 24. feladat eredményeit! A Pauli-elv szerint két elektron kerül a csomómentes E000 állapotba, a harmadik pedig valamelyik egycsomós állapotot foglalja el, vagyis:

                       

            7,18×10-21 J.

8. Mekkora legkisebb energiával lehet gerjeszteni az előző feladatban szereplő rendszert?

Megoldás

Gerjesztett állapotról beszélünk már abban az esetben is, ha az egyik E000 , csomómentes állapotban lévő elektron valamelyik egycsomós állapotba kerül. Az ehhez szükséges energia:

                         1,8×10-21 J.

Még annyit kell megjegyeznünk a megoldáshoz, hogy az elektron biztos, hogy nem abba az állapotba kerül, amelyikben az előző példában szereplő harmadik elektron van, hanem egy másik egycsomós állapotba. Kocka esetében három lényegesen különböző, de azonos energiájú egycsomós állapot van a szimmetria miatt. Ilyen esetben az elektronok a kémiában tanult Hund-szabály értelmében különböző pályákra kerülnek. Az elektronok elektromosan taszítják egymást. Ezért az egyenlő energiájú pályák alapállapotban úgy népesülnek be, hogy az egymást taszító elektronok lehetőség szerint különböző pályákra kerülnek. Jelen példánkban három azonos energiájú egy csomósíkos állapot van, három elektron lehet azonos energiával a különböző állapotokban. Azonban ha van egy negyedik is, akkor az már valamelyik elektronnal párt alkot az energiaminimum elv miatt.

9. Helyezzünk a 2 nm oldalélű kockába 5 elektront. Milyen állapotba kerülnek? Mekkora a rendszer teljes mozgási energiája alapállapotban?

Megoldás:

Adatunk:         a = 2×10-9 m

Két elektron kerül a csomómentes állapotba és három pedig a három lényegesen különböző egycsomós állapotba, mégpedig a Hund-szabály szerint mindegyik másikba, elfajult állapotokról lévén szó.

           

                                                           azonos energiájúak

              0,362 aJ.








Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 953
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2019 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site