Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

 
CATEGORII DOCUMENTE
BulgaraCeha slovacaCroataEnglezaEstonaFinlandezaFranceza
GermanaItalianaLetonaLituanianaMaghiaraOlandezaPoloneza
SarbaSlovenaSpaniolaSuedezaTurcaUcraineana

AdministracjaBajkiBotanikaBudynekChemiaEdukacjaElektronikaFinanse
FizycznyGeografiaGospodarkaGramatykaHistoriaKomputerówKsiążekKultura
LiteraturaMarketinguMatematykaMedycynaOdżywianiePolitykaPrawaPrzepisy kulinarne
PsychologiaRóżnychRozrywkaSportowychTechnikaZarządzanie

CIĄGI LICZBOWE I ICH WŁASNOŚCI. GRANICE CIĄGÓW LICZBOWYCH.

matematyka

+ Font mai mare | - Font mai mic


DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
CIĄGI LICZBOWE I ICH WŁASNOŚCI. GRANICE CIĄGÓW LICZBOWYCH.
Definicje funkcji trygonometrycznych, ich w³asnoœci i wykresy
GRANICA FUNKCJI, CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
LOGIKA

TERMENI importanti pentru acest document

CIĄGI   LICZBOWE I  ICH WŁASNOŚCI.  GRANICE CIĄGÓW LICZBOWYCH.

Ciągiem nazywamy każdą funkcję, określoną nadzbiorze liczb naturalnych lub na jego podzbiorze. Wartość ciągu dla argumentu n oznaczać będziemy  (itp. np. ); natomiast ciąg jako funkcję oznaczamy  itp.

Ciąg  nazywamy:

  • nieskończonym, jeżeli dziedziną  tego ciągu jest zbiór nieskończony;
  • liczbowym, jeżeli zbiór wartości tego ciągu jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R;
  • ograniczonym z góry, jeżeli zbiór wartości tego ciągu jest zbiorem ograniczonym z góry, tzn.
    istnieje liczba rzeczywista M, taka, że dla wszystkich n  spełniona jest nierówność;
  • ograniczonym z dołu, jeżeli zbiór wartości tego ciągu jest zbiorem ograniczonym z dołu, tzn.
    istnieje liczba rzeczywista M, taka, że dla wszystkich n  spełniona jest nierówność ;
  • ograniczonym, jeżeli zbiór wartości tego ciągu jest zbiorem ograniczonym, tzn.
    istnieje liczba rzeczywista M>0, taka, że dla wszystkich n  spełniona jest nierówność ;
  • rosnącym, jeżeli dla wszystkich n  spełniona jest nierówność ;
  • malejącym, jeżeli dla wszystkich n  spełniona jest nierówność ;
  • nierosnącym, jeżeli dla wszystkich n  spełniona jest nierówność ;
  • niemalejącym, jeżeli dla wszystkich n  spełniona jest nierówność ;
  • monotonicznym, jeżeli jest rosnący lub malejący;
  • nieograniczonym z góry, nieograniczonym z dołu,… itd., jeżeli nie spełnia odpowiedniej definicji podanej wyżej.

W dalszym ciągu rozważać będziemy tylko ciągi liczbowe nieskończone.

Niech  () będzie rosnącym, nieskończonym ciągiem liczb naturalnych. Podciągiem ciągu  nazywać będziemy ciąg o wyrazach

Otoczeniem liczby x o promieniu  nazywamy przedział .

Mówimy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu  mają własność W,  jeżeli własności tej nie posiada tylko skończona ilość wyrazów tego ciągu.

Liczbę  nazywamy punktem skupienia zbioru , jeżeli w każdym otoczeniu punktu   leżą punkty zbioru A, różne od . (Uwaga!  nie musi być elementem zbioru A)

Liczbę  nazywamy punktem izolowanym  zbioru A, jeżeli nie jest  punktem skupienia zbioru A. Mówimy, że  jest punktem skupienia zbioru A, jeżeli w każdym przedziale  (odpowiednio w każdym przedziale ) leżą punkty zbioru A.

Uwaga!    nie są liczbami rzeczywistymi!

Mówimy, że liczba rzeczywista g jest granicą ciągu , jeżeli spełnia warunek

   

O ciągu, który posiada granicę w sensie powyższej definicji, mówimy, że jest zbieżny, a fakt, że g  jest granicą ciągu  zapisujemy  Ciąg, który nie ma granicy w sensie powyższej definicji, nazywamy rozbieżnym.

Zauważmy, że

Zatem

Tw. 1  Ciąg    ma granicę    wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym otoczeniu liczby g leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Wynika stąd, że

  • każdy ciąg może posiadać co najwyżej jedną granicę,
  • każdy ciąg zbieżny jest ograniczony,
  • ciąg  jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy,
  • ciąg , zawierający dwa podciągi zbieżne do różnych granic (lub zawierający podciąg rozbieżny), jest rozbieżny,
  • jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciągu  spełniają nierówność  oraz , to ,
  • dwa ciągi, różniące się skończoną ilością wyrazów, albo są jednocześnie rozbieżne, albo jednocześnie zbieżne do tej samej granicy.

Tw. 2 Jeżeli ciągi  i  są zbieżne odpowiednio do granic a i b, to zbieżne są ciągi    oraz

      ,                  ,                           

Jeżeli dodatkowo  to zbieżny jest ciąg  oraz   

Tw. 3 (o trzech ciągach) Jeżeli wyrazy ciągów , ,  spełniają dla prawie wszystkich n nierówności          oraz ciągi  i  są zbieżne do tej samej granicy g, to ciąg  jest również zbieżny do g.

W szczególności, jeżeli ciąg  jest ograniczony, a ciąg   jest zbieżny do 0, to ciąg  jest zbieżny do 0.

Tw. 4  Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry (nierosnący i ograniczony z dołu) jest zbieżny.

Wśród ciągów rozbieżnych ważną rolę odgrywają tzw. ciągi rozbieżne do  lub do .

Mówimy, że ciąg    jest rozbieżny do  (jest rozbieżny do ), jeżeli spełnia następujący warunek

                             (    )

Fakt ten zapisujemy odpowiednio   .   Granice ciągu  nazywamy granicami niewłaściwymi ciągu.

Można wykazać, że jeżeli ciągi  i  są oba rozbieżne do , to ich suma  jest ciągiem rozbieżnym do . Symbolicznie zapisujemy to jako . Podobnie można udowodnić, że

                            

                                        

 

                               

(a,b  oznaczają  tu skończone i różne od zera granice ciągu;  ciągi zbieżne do zera z prawej lub lewej strony).

Symbolem nieoznaczonym typu  nazywamy  różnicę dwóch ciągów  i , z których każdy jest rozbieżny do  (albo każdy jest rozbieżny do ). Granica takiego ciągu zależy od postaci ciągów   i .Podobnie definiujemy wszystkie symbole nieoznaczone:

                                  .

Liczba e.

Rozważmy ciąg liczbowy  . Pokażemy, że jest on zbieżny, ale jego granicą nie jest liczba 1. Przypominamy w tym celu symbol Newtona:

                                         ,

i dwumian Newtona             

Stąd mamy:

            

(bo  dla ).  Wynika stąd, że prawie wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają nierówności   –  w szczególności ciąg ten jest ograniczony z góry. Ponadto pokażemy, że ciąg  jest rosnący.  W tym celu skorzystamy z nierówności Bernoulliego: 

,

prawdziwej dla wszystkich . Przyjmując w tej równości , , otrzymujemy

,     czyli    

Stąd

,     czyli     ,    skąd      .

Zatem dla wszystkich

,

co oznacza, że ciąg  jest rosnący. Ciąg     jako monotoniczny i ograniczony (por. tw. 4) jest zbieżny. Ponieważ wszystkie jego wyrazy należą do przedziału (2,3), więc jego granica musi być liczbą z przedziału domkniętego . Granicę tego ciągu oznaczać będziemy literą e – zatem

                 

Można wykazać, że e jest (podobnie jak liczba  liczbą niewymierną przestępną, a jej przybliżenie z dokładnością do pięciu miejsc po przecinku to  

Tw. 5 Dla dowolnego ciągu  zbieżnego do zera prawdziwa jest równość

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 603
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2014. All rights reserved