Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  
AeronauticaComunicatiiElectronica electricitateMerceologieTehnica mecanica


Determinarea pulsatiilor proprii ale liniilor de arbori

Tehnica mecanica



+ Font mai mare | - Font mai mic



Determinarea pulsatiilor proprii ale liniilor de arbori

Determinarea pulsatiilor proprii ale liniilor de arbori cuplati direct cu motorul

Vom considera pentru inceput un sistem oscilant simplu, alcatuit dintr-un disc plasat pe un arbore cu elasticitate mare, incastrat la un capat, conform celor prezentate la 10.3 (fig. 1).



Pentru determinarea pulsatiei proprii a sistemului, vom aplica metodologia de rezolvare a ecuatiilor diferentiale aferente comportamentului arborelui, cunoscute din rezistenta materialelor. Sistemul din figura 1, supus unui moment de torsiune , va genera un moment elastic:

(1)

unde C este rigiditatea sistemului, iar unghiul de deformatie. Ecuatia diferentiala a miscarii libere va fi:

, (2)

sau, echivalent:

(3)

Notand cu:

, (4)

ecuatia diferentiala devine:



(5)

cu solutia de tipul:

(6)



Fig. 2

 

Fig. 1

 
unde -elongatia unghiulara a miscarii, -amplitudinea miscarii.

Se constata ca definit prin relatia (4) reprezinta pulsatia proprie a sistemului avut in discutie.

Un sistem mai complex este acela format din doua discuri (fig. 2), corespunzand schemei unui motor cu un cilindru si un volant (fig. 2,a). Arborele echivalent din figura 2,b este liber la capete, spre deosebire de cel anterior.

Deformatiile unghiulare corespunzatoare celor doua discuri sunt si , iar deformatia totala va fi ; astfel, ecuatiile de miscare, pentru fiecare disc in parte vor fi:

, (7)

cu solutiile generale:

. (8)

Aceste solutii verifica sistemul (7), ceea ce conduce la urmatorul sistem de ecuatii omogene, necunoscutele si :

(9)

Sistemul admite si solutii diferite de solutia banala daca si numai daca:

de unde rezulta pulsatia proprie a sistemului:

, (10)

prezentata deja in 10.3.

Relatia dintre amplitudini, rezultata din oricare dintre ecuatiile (9) va fi:

(11)

De aici se poate constata ca , deci cele doua discuri vibreaza in sensuri opuse, asadari exista o sectiune a arborelui care nu se roteste. Aceasta sectiune reprezinta un nod. Presupunand ca amplitudinile diverselor sectiuni variaza liniar cu lungimea, se obtine variatia grafica din figura 2,c, numita linie elastica.

Se numeste mod de vibratie, variatia deformatiei unghiulare a sectiunilor arborelui echivalent cu lungimea sa. Cazul sistemului cu doi volanti se caracterizeaza printr-un singur mod de vibratie, cu un singur nod.

Un alt caz particular care prezinta interes practic sporit este acela al sistemului compus din trei discuri (fig. 3,a). Sistemul de ecuatii diferentiale ale miscarii, tinand cont de rigiditatile diferite ale portiunilor dintre volanti va fi:



(12)

cu solutiile generale:

, (13)

care, introduse in sistemul (12), conduc la un sistem de ecuatii omogen in necunoscutele , pentru care conditia de compatibilitate este:

,

 


care, dezvoltata, conduce la o ecuatie bipatrata in :

(14)

Notand:

, (15)

obtinem:

,

cu solutiile:

, (16)

ceea ce inseamna ca se obtine o pulsatie proprie de gradul I si o alta de gradul II , carora le corespund doua moduri de vibratie (fig. 3,b si c). Linia elastica are un singur nod , iar linia doua noduri . Relatiile dintre amplitudini vor fi deduse din oricare doua ecuatii ale sistemului al carui determinant este rezolvat anterior:

(17)

In toate cazurile expuse, dupa determinarea pulsatiei proprii, se poate calcula si frecventa proprie a vibratiei libere a sistemului, cu relatia:

(18)

Generalizand cele prezentate anterior, vom face reducerea sistemului oscilant real, asa cum am mai spus, la un ansamblu de n discuri cu momente de inertie , discuri legate intre ele prin segmente elastice fara masa, conform figurii 4.

Valoarea deplasarii unghiulare a discului i este , rigiditatea tronsonului i (cuprins intre discurile i si ) este , iar momentul de torsiune aplicat volantului i de catre tronsonul va fi .

Ecuatia de echilibru a momentelor, pentru discul de ordinul i va fi:

. (19)

Tinand cont de relatia:

, (20)

ecuatia (19) devine:

. (21)



Fig. 4

 
Punand, pentru indicele i domeniul de variatie si speecificand ca avem portiuni elastice cuprinse intre cele n discuri (deci tronsoanele de ordin , pentru si respectiv , pentru nu exista), putem preciza ca (21) reprezinta, de fapt, sistemul ecuatiilor de miscare ale tuturor discurilor. Solutiile sistemului sunt de forma deja mentionata:

. (22)

Ca si in cazurile particulare prezentate anterior, prin derivarea de doua ori a relatiilor (22) si introducerea in sistemul (21), obtinem un sistem de n ecuatii omogene cu n necunoscute , sistem a carui conditie de compatibilitate da o ecuatie de gradul 2n in necunoscuta . Radacina dubla nu prezinta interes, corespunzand sistemului rigid. Raman radacini distincte, dintre care se retin numai cele pozitive. Pentru determinarea pulsatiilor proprii ale sistemului cu n discuri s-au dezvoltat mai multe metode, cea mai frecvent utilizata fiind metoda Holzer.

Metoda utilizeaza doua relatii de baza; prima este (19) scrisa tinand cont de (22):

, (23)

sub forma:

si a doua dedusa din (20) pentru tronsonul urmator :

Ultimele doua relatii, scrise pentru amplitudini, constituie un sistem:

, (24)

unde amplitudinea momentului de torsiune s-a notat cu .

Daca valorile si sunt alese astfel incat sa satisfaca conditiile la limita in extremitatea stanga a sistemului, ecuatiile (24) servesc la determinarea valorilor si corespunzatoare unei valori date ale pulsatiei .

Valoarea aleasa pentru va fi o pulsatie proprie daca conditiile la limita vor fi verificate in extremitatea dreapta. De exemplu, calculul poate incepe cu valorile:

(25)

si se incheie prin determinarea momentului rezidual . Pulsatiile proprii sunt valorile lui pentru care se obtine:

(26)

Cele n pulsatii proprii (dintre care una este nula) pot fi obtinute determinand in functie de si cautand prin interpolare pulsatiile pentru care (fig. 5).

Modul de vibratie de ordinul j se obtine calculand, pentru fiecare disc, amplitudinea deplasarii unghiulare corespunzatoare pulsatiei proprii de ordinul j. Deci:

Prezentam, in continuare, algoritmul de calcul pe baza principiului metodei, expus anterior. Pentru aceasta, sistemul (21) se pune, folosind relatiile (22) si (23), sub forma:



(27)

sau, prin substituirea ultimului termen, succesiv, din ecuatia anterioara (de ordinul , etc.):

, (28)

a n-a ecuatie, prin insumarea membru cu membru a relatiilor anterioare, fiind:

, (29)

care nu reprezinta decat o alta forma de scriere a relatiei (26) si exprima, deci, conditia pe care trebuie s-o indeplineasca valoarea pulsatiei pentru ca sistemul oscilant sa poata executa vibratii libere.

Rezolvarea iterativa a sistemului de ecuatii dat de relatiile (28) si (29) se face pe baza tabelului 1.

Valoarea pulsatiei cu care se demareaza calculul iterativ din schema lui Holzer poate fi cea dedusa din shematizarea sistemului oscilant cu unul, cu doua sau trei discuri. Calculul se opreste atunci cand momentul rezidual (29) capata valoare nula.

Exemplificam metodologia de calcul cu pulsatiilor proprii de gradul I si II pentru motorul naval Sulzer 6RND90 prin tabelul 2 pentru pulsatia proprie de gradul I si tabelul 3 pentru pulsatia de gradul II. Sistemul echivalent este redat in figura 6,a, iar modurile de vibratie in figura 6,b.

Din analiza modurilor de vibratie prezentate in diagrama de la figura anterior mentionata se constata ca primul mod de vibratie are nodul pe axa port-elice, aproximativ la mijlocul sau, iar amplitudinile vibratiilor discurilor ce schematizeaza mecanismele motoare aferente cilindrilor variaza putin pe lungimea arborelui cotit.

In ceea ce priveste al doilea mod de vibratie, se constata ca primul nod se produce aproximativ la mijlocul arborelui cotit, ceea ce inseamna ca cele doua jumatati ale sale vor vibra, in opozitie de faza cu amplitudini relativ egale , aceasta conducand la anularea excitatiilor produse de momentul motor.

Fig. 5

 


Tabelul 1

Nr.

disc.



n

Tabelul 2

Nr. disc

[Nms2]

[Nm]

[Nm]

[Nm]





Tabelul 3

Nr. disc

[Nms2]

[Nm]

[Nm]

[Nm]

105




Fig. 6

 





Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare



DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 2422
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved