Multimi si elemente de logica matematica

Multimi si elemente de logica matematica

a)      Multimea numerelor reale

In acest paragraph vom prezenta principalele multimi de numere pe care le-ati studiat in anii precedenti, indicand proprietatile algebrice, de ordine si corespondenta cu punctele unei drepte.

Prima multime de numere cunoscute este multimea numerelor naturale, notata N=, iar multimea numerelor naturale fara zero. N*=

S-a precizat, ca nu se poate efectua scaderea intre doua numere naturale obtinandu-se de fiecare data un numar natural. Exemplu 10-15=-5 care nu este numar natural.

Atunci apare necesitatea extinderii acestei multimi de numere. Apare multimea numerelor intergi, notata Z= , observandu-se ca NÌZ.

In aceasta multime nu se poate efectua impartirea de fiecare data ca sa ontinem un numar intreg. Exempu 7:2=3,5ÏR.

Atunci vom fi condusi la ideea extinderii multimii numerelor intregi, obtinand multimea numerelor rationale, notata Q= numite si fractii cu observatia ca NÌZÌQ, Q contine numerele zecimale finite, periodice simple si periodice compuse.

Dar mai apar si alte numere in calcularea diagonalei unui patrat de latura 1, unde diagonala este . Calculand pe , ,. s-a observat ca se obtin numere zecimale cu un numar infinit de zecimale care nu se repeta periodic .

Toate aceste numere reunite dau multimea numerelor reale , notata cu R. Deci: Numarul real este o fractie zecimala, finita sau infinita.

Multimea numerelor reale impreuna cu operatia de adunare sau inmultire formeaza o structura algebrica. Ne referim la perechea (R, +) Proprietatile adunarii pe R.

A1. Adunarea este asociativa : (a+b)+c=a+(b+c); a, b, c IR.

A2. Adunarea este comutativa : a+b=b+c; a, b, c IR.

A3. Numarul 0 est element neutru pentru adunare : a+0=0+a=a.

A4. Numarul (-a) este simetricul lui a (opusul ) fata de adunare : a+(-a)=(-a)+a=0

Ca exercitiu scrieti proprietatile inmultirii pe R.

Propietatea care leaga cele doua operatii intre ele se numeste : distributivitatea inmultirii in raport cu adunarea

a (b+c)=ab+ ab ( )a, b, c IR.

(revedeti scoaterea factorului comun)

Referitor la relatia de ordine : Oricare ar fi doua numere reale intre ele exista una din relatiile "<" mai mic; ">" mai mare "=" egal. Sau "≤" mai mic sau egal , "≥" mai mare sau egal.

Axa reala: O dreapta pe care s-a fixat originea.

O un sens si o unitate de masura se numeste axa

Intre muntimerea punctelor de pe axa si multimea numerelor reale exista o corespondenta biunivoca.

Oricarui numar real ii corespunde un punct pe axa si reciproc. S-au mai introdus doua simboluri respectiv "+∞" si "-∞", care reprezinta un numar foarte mare pozitiv iar "-∞" reprezinta un numar foarte mare in valoare absoluta dar cu semnul minus.

Valoarea absoluta sau modulul unui numar real.

Valoarea absoluta sau modulul lui a este numarul nenegativ =

Exemple :

; ;

Partea intreaga si partea fractionara a unui numar

Se numeste partea intreaga a numarului a, numarul notat [a], ce reprezinta cel mai mare intreg mai mic sau egal cu a. Deci [a] IZ, [a] ≤a≤[a]+1

Partea fractionara a numarului a, notat este egal cu diferenta dintre a si partea intreaga a sa [a].

Deci =a-[a]

Exemple:

a) [3,76]=3 =3,76-[3,76]=3,76-3=0,76

b) [10]=10; =10-[10]=0;

c) [-3,16]=-4, =-3,16-[3,16]=3,16-(-4)=-3,16+4=0,84

De observat ca partea fractionara a numarului este pozitiva

b) Propozitie, predicat, cuantificatori, operatii logice elementere

Numim alfabet , o multime de semne iar enuntul este orice succesiune de semne dintr-un alfabet.

Exemple:

1+9=10; 2) 3≥8; 3) ; 4) x+1≤3; 5) x²+y²=z², x,y,z, IZ

Se numeste propozitie un enunt care intr-un context dat este fie adevarat fie fals. Notam propozitiile cu litere mici : p, q, r, . sau cu litere mici indexate: p₁, p₂, p₃, ..

Valoarea de adevar a unei propozitii este proprietatea acestuia de a fi adevarata sau falsa. Se noteaza:

V(p)=

Se numeste predicat un enunt care contine una sau mai mai multe variabile, carora atribuindu-le "valori" obtinem propozitii adevarate sau false.

Exemple

x+1≤3; xIR; p(x):x+1≤3 p(x,y): x se divide cu y

Cuantificatorul existential (x)p(x) (citim exista x pentru care are loc p(x). Ex: p(x) x+5=16 x=11 IR

Cuantificatorul universal ()p(x) (citim oricare ar fi x are loc p(x). Ex: p(x) x²+1>0, xIR

Operatii logice elementare

1. Negatia Negatia unei propozitii p este propozitia " non p" care este adevarata cand p este falsa si este falsa cand p este adevarata

Valoarea de adevar.

2. Conjunctia propozitiilor Conjunctia propozitiilor p, q este propozitia pq (citim p si q) care este adevarata daca si numai daca p si q sunt adevarate si falsa in celelalte cazuri.

3. Disjunctia propozitiilor Disjunctia propozitiilor p si q este propozitia pq (citim p sau q) care este adevarata daca si numai daca cel putin una este adevarata si falsa in caz contrar.

4. Implicatia propozitiilor Implicatia propozitiilor p, q in aceasta ordine este propozitia p→q (p implica q sau daca p atunci q) care este falsa daca si numai daca p este adevarata si q falsa.

5. Echivalenta propozitiilor. Echivalenta propozitiilor p, q este propozitia notata p↔q (p echivalent cu q sau p daca si numai daca q).

Exercitii:

1. Aratati ca daca nIN, atunci este natural.
2. Sa se arate ca daca a este numar par, atunci
3. Calculati si si comparati aceste numere in cazurile 1) x=6, y=11; 2) x=-10, y=-36; 3) x=3.3 , y=2.6
4. Calculati si si comparati aceste numere in cazurile 1) x=4,6, y=9,5; 2) x=2,4, y=3,3;
5. Sa se arate ca numarul nu este rational
6. Se considera predicatele p1(x) x+1>0, xIR si p2(x): x-2≤0 , xIR. Sa se determine valorile lui x pentru care 1) p1(x) este adevarata , 2) p2(x) este adevarata 3) p1(x) p2(x) este adevarat 4) p1(x) p2(x) este adevarat