Comportamentul agentului consumator - modelul static

Ipotezele modelului static sunt :

Pe piata exista un consumator si n bunuri

Consumatorul nu poate influenta preturile bunurilor vandute si nici venitul obtinut (preturile si venitul sunt exogene)

Optimizarea se face pe un singur orizont de timp (o singura perioada)

Agentul consumator are obiective bine stabilite:

maximizare utilitatii in conditiile unui venit dat sau

minimizarea cheltuielilor in conditiile unui prag de utilitate prestabilit ce determina un anumit program (o anumita structura) de consum

Agentul consumator este rational

Agentul consumator este solvabil

Bunurile ce fac obiectul alegerii sunt infinit divizibile

Relatia dintre cantitatile de bunuri consumate si utilitatea obtinuta de consumator este data de o anumita functie de utilitate. Functia de utilitate este definita astfel: , , unde reprezinta cantitatea consumata din bunul i.

Proprietatile functiilor de utilitate:

1. Continue[1], crescatoare - utilitatea creste pe masura ce consumul creste
2. Derivabile de ordinul 2
3. Functii concave (Matricea hessiana este negativ definita) - fiecare unitate consumata dintr-un anumit bun aduce o utilitate marginala mai mica decat unitatea precedenta

Pentru ca matricea hessiana sa fie negativ definita minorii trebuie sa fie alternativ negativi si pozitivi:

1.1. Rezolvarea problemei de optim pe caz general

Problema consumatorului: Consumatorul doreste sa isi maximizeze utilitatea generata de consumarea setului de bunuri , fara a depasi insa venitul pe care il are la dispozitie V.

Rezultatul rezolvarii problemei consumatorului: consumatorul determina ce cantitate sa consume din fiecare bun de pe piata (adica determina functia sa de cerere pentru fiecare bun in parte) si utilitatea maxima pe care o poate obtine.

A. Formularea matematica a problemei:

Problema consumatorului este o problema de optimizare cu o restrictie care se rezolva prin metoda Kuhn-Tucker. Prima etapa a acestei metode este construirea functiei de tip Lagrange.

B. Construirea Lagrangeanului: asigura transformarea problemei de maximizare cu o restrictie ce avea n parametrii intr-o problema de maximizare fara restrictii dar cu n+1 parametrii.

Dupa construirea Lagrangeanului, conditiile de optim se obtin prin egalarea primei derivate a acesteia cu 0[3]:

Folosind egalitatea (1), se substituie toate cantitatile q₂, ., q_n in functie de q₁ in relatia (2). Din relatia (2) se obtine o formula pentru q₁ in functie de preturi si de venit. Avand relatia pentru q₁ se foloseste din nou egalitatea (1) pentru a obtine formule pentru toate cantitatile:

Aceste functii de cerere sunt de tip Marshall, sau functii de cerere necompensate.

Inlocuind aceste cantitati optime obtinute mai sus in functia de utilitate vom determina utilitatea maxima pe care o poate obtine consumatorul in conditiile venitului curent pe care il obtine si in conditiile preturilor actuale de pe piata.

Aceasta utilitate maxima ce se poate obtine se numeste si functie de utilitate indirecta si se noteaza cu Z.

Proprietatile functiei de utilitate indirecta - Z

1. este o functie descrescatoare in raport cu p

este o functie crescatoare in raport cu V

3. este o functie omogena de grad 0 in raport cu p si V
4. este o functie continua

1.2. Concepte si definitii uzuale

a. Elasticitatea unei functii fata de o variabila

Mod de calcul:

. Pentru modificari foarte mici ale variabilei, adica , raportul poate fi aproximat cu derivata functiei fata de variabila adica elasticitatea devine egala cu: (3)

Elasticitatea masoara variatia relativa a functiei f la o variatie relativa a variabilei x.

Considerand ca f o functie de cerere, exista mai multe tipuri de elasticitati :

Elasticitatea cererii fata de pret - directa

Bunuri cu cerere elastica (elasticitatea negativa - bunuri normale; pozitiva - bunuri Giffen)

Bunuri cu elasticitate unitara

Bunuri cu cerere inelastica

Elasticitatea cererii fata de pret - incrucisata

Bunuri substituibile

Bunuri complementare

Elasticitatea cererii fata de venit

Bunuri inferioare

Bunuri normale

Bunuri superioare

b. Rata marginala de substitutie reprezinta cantitatea din bunul i necesara substituirii unei unitati din bunul j astfel incat utilitatea sa ramana constanta.

(4)

Demonstratie: Aplicand diferentiala totala asupra functiei de utilitate obtinem :

Deoarece doar cantitatile i si j se modifica, avem :

c. Functii omogene de grad n

O functie este omogena de grad n daca :

Daca este omogena de grad n, se verifica urmatoarea relatie :

(relatia lui Euler)

Impartind intreaga relatie cu f obtinem :

   

Functiile de cerere sunt omogene de gradul 0 in p si V (unde p este vectorul preturilor:

p = (p₁, p₂, ., p_n). Ca urmare, relatia (5) se rescrie ca:

. Daca preturile si veniturile se modifica in aceeasi masura, programul de consum ramane neschimbat, ceea ce inseamna ca agentii consumatori nu au iluzie monetara.

d. Semnificatia economica a lui λ

Aplicand diferentiala totala asupra functiei de utilitate dar si asupra restrictiei de buget obtinem :

(6)

(7)

Se folosesc rezultatele derivarii Lagrangeanului

care se introduc in (3). Se observa ca, in urma substitutiei, diferentiala totala a functiei de utilitate egaleaza dV - din (4) - iar relatia (3) se poate rescrie astfel:

(8)

T λ reprezinta utilitatea marginala a venitului (cresterea utilitatii la o crestere cu o unitate a venitului).

e. Tipuri de functii de utilitate

Cobb - Douglas (1928, propusa de Wicksell )

CES (Constant Elasticity of Substitution).

(Arrow, Chenery, Minhas, and Solow, 1961)

De obicei a + b = 1.

Bernoulli (sec. XVII - XVIII)

1.3. Rezolvarea problemei duale de optim pe caz general

a. Formularea matematica a problemei duale: Consumatorul doreste sa isi minimizeze cheltuielile generate de cumpararea setului de bunuri in conditiile obtinerii unei utilitati cel putin egale cu o utilitate considerata tinta u.

Problema de optim se rezolva tot prin metoda Kuhn-Tucker, iar prima etapa consta tot in construirea functiei de tip Lagrange:

Dupa construirea Lagrangeanului conditiile de optim se scriu astfel :

Dupa obtinerea relatiilor intre cantitati, acestea se introduc in ultima ecuatie obtinandu-se cantitatile q₁,q₂,,q_n doar functie de preturi si utilitate.

Aceste functii de cerere sunt de tip Hicks, sau functii de cerere compensate.

Inlocuind cantitatile optime consumate in functia de cheltuieli se obtine nivelul minim al cheltuielilor care poate fi obtinut in conditiile obtinerii unei utilitati egale cu si in conditiile preturilor existente pe piata. e se numeste functia de cheltuieli minime.

Proprietatile functiei e

1. este o functie crescatoare in raport cu p

2. este o functie omogena de grad 1 in raport cu p
3. este o functie continua

1.4. Legatura dintre problema consumatorului si duala sa - Relatii fundamentale

a. Lema lui Shephard (1953)[5]: Intre functia e si functiile de cerere de tip Hicks exista urmatoarea relatie.

b. Relatii intre functiile Z si e

Intre functiile Z si e exista urmatoarele relatii :

(1.4.b.1) utilitatea maxima ce poate fi obtinuta cu costuri minime este chiar pragul minim de utilitate ales

(1.4.b.2) cheltuielile minime necesare pentru a obtine utilitatea maxima posibil a fi obtinuta reprezinta intreg venitul disponibil

(1.4.b.3) cerea de tip Marshall (f) este egala cu cererea de tip Hicks (h) in conditiile in care utilitatea cautata este cea maxima posibila

(1.4.b.4) cererea de tip Hicks este egala cu cererea de tip Marshall in conditiile efectuarii unor cheltuieli minime

este vectorul de preturi

b. Identitatea lui Roy

Identitatea lui Roy face legatura intre cerere, utilitatea optima, pret si venit.

Demonstratie:

Relatia de buget se rescrie in functie de f_j

Derivand ambii membri in functie de p_i se obtine:

Inlocuind (10) in (9) se ajunge la :

Derivand in functie de V:

si derivand relatia de buget in functie de V se obtine:

Inlocuind (13) in (12) se ajunge la :

Impartind (11) la (14) se obtine identitatea lui Roy:

c. Ecuatia lui Slutsky

Ecuatia lui Slutsky descompune efectul modificarii preturilor asupra cererii pe doua componente : efectul de venit si efectul de substitutie.

Pentru clarificare sa presupunem ca pretul bunului 1 creste. Cum reactioneaza consumatorul?

i) isi reduce consumul din bunul 1, dar pentru a pastra acelasi nivel de utilitate isi mareste consumul dintr-un alt bun care devine mai ieftin in comparatie cu bunul 1- efect de substitutie.

ii) cresterea pretului bunului 1 ii reduce consumatorului venitul real, restrictia bugetara se muta paralel cu cea initiala insa la un al nivel de utilitate - efect de venit.

Demonstratie:

In relatia se deriveaza ambii termeni functie de p_i :

Folosind lema lui Shephard pentru si trecand termenul in membrul stang, se obtine ecuatia lui Slutsky:

1.5. Aplicatii

Fie functia de utilitate si restrictia bugetara

Cerinte:

a)      verificati proprietatile functiei de utilitate

b)      gasiti functiile de cerere de tip Marshall

c)      verificati daca acestea sunt omogene de grad 0 in preturi si venituri

d)      calculati elasticitatile in functie de pret si venit

e)      verificati proprietatile functiilor omogene

Rezolvare:

a) Faptul ca functia U este continua este evident. Mai trebuie sa punem conditia ca functia U sa fie crescatoare si concava.

Functia U este crescatoare daca derivatele partiale ale functiei sunt pozitive si.

Pentru a stabili daca functia este concava, determinam matricea Hessiana:

Minorul de ordinul 1

Minorul de ordinul 2

In concluzie, U este functie de utilitate doar daca .

b) pentru a determina functiile de tip Marshall, vom rezolva problema de optim a consumatorului.

Problema de optim:

Functia tip Lagrange:

Conditiile de optim:

Impartind relatia (2) la (1) obtinem:

Inlocuind relatia (4) in (3) vom obtine functia de cerere Marshall pentru bunul 2:

.

Inlocuind relatia (5) in (4) vom obtine functia de cerere Marshall pentru bunul 1: .

c) functie omogena de grad 0.

d)

e)

Aceleasi cerinte pentru urmatoarele functii de utilitate:

a.

b.

c.

d.

e.

Pentru fiecare din functiile de utilitate de mai sus, fie problema duala de optim

Cerinte:

a)      functiile de cerere de tip Hicks - verificati daca sunt omogene de grad 0 in preturi

b)      construiti functia Z - verificati daca este omogena de grad 0 in raport cu p si V

c)      construiti functia e - verificati daca este omogena de grad 1 in raport cu p

d)      verificati identitatea lui Roy si ecuatia lui Slutsky

Rezolvare:

a)

Problema de optim:

Functia tip Lagrange:

Conditiile de optim:

Impartind relatia (2) la (1) obtinem:

Inlocuind relatia (4) in (3) vom obtine functia de cerere Hicks pentru bunul 2:

.

Inlocuind relatia (5) in (4) vom obtine functia de cerere Marshall pentru bunul 1: .

Demonstram ca functia Hicks este omogena de gradul 0 in preturi, ceea ce inseamna conform definitiei functiilor omogene:

b) functia Z (functia de utilitate indirecta) reprezinta utilitatea maxima ce poate fi atinsa in conditiile incadrarii in venitul disponibil V. Deci Z se obtine inlocuind in functia de utilitate cantitatile cu valorile lor optime, adica cu functiile de cerere Marshall:

Z este omogena de grad 0 in raport cu p si V daca si numai daca

c) e reprezinta cheltuielile minime ce pot fi realizate in conditiile obtinerii unei utilitati egale cu u. Deci e se obtine inlocuind in functia de cheltuieli cantitatile cu valorile lor optime, adica cu functiile de cerere Hicks:

Functia e este omogena de grad 1 in raport cu p daca si numai daca:

Se considera functia de utilitate cu restrictia de buget unde L=munca prestata (ore lucrate), w=salariul, p=pretul bunurilor si serviciilor, C=cantitatea de bunuri si servicii consumate. Sa se determine:

a) cererea de tip Marshall;

b) functia de utilitate indirecta.

Rezolvare:

a) Problema de optim:

Functia de tip Lagrange

Conditiile de optim:

Impartim relatia (2) la (1):

Inlocuind relatia (4) in restrictie (relatia (3)) obtinem: .

Pentru a obtine numarul de ore lucrate optim inlocuim consumul optim in relatia 4:

.

Un consumator are functia de cheltuieli minime egala cu .

a) cum se modifica venitul minim necesar pentru a atinge o utilitate U daca preturile cresc cu 10%. Explicatie.

b) sa se determine functia de utilitate indirecta

c) sa se determine functiile de cerere Marshall

d) sa se determine functiile de cerere Hicks

e) sa se determine functia de utilitate a consumatorului .

Rezolvare:

a) Faptul ca preturile cresc cu 10% se scrie si . De aici functia de cheltuieli minime se modifica astfel:

Acest lucru inseamna ca atunci cand preturile cresc cu 10 % si cheltuielile minime cresc cu 10%, deci si veniturile minime pentru a obtine o utilitate u trebuie sa creasca tot cu 10%!

b) se foloseste identitatea:

! Punctele c si d se pot rezolva prin 2 metode:

- se aplica identitatea lui Roy pt a determina functiile Marshall si pentru functiile Hicks se utilizeaza identitatea

-se aplica lema lui Shepard pentru a determina functiile Hicks si pentru functiile Marshall se utilizeaza identitatea

Sa urmam prima metoda.

c) Scriem identitatea lui Roy pentru functiile Marshall

Analog pentru cealalta functie Marshall

d) folosim relatia

Analog

Functia de utilitate a unui consumator este , iar venitul sau este egal cu V. Stiind ca preturile celor doua bunuri sunt , respectiv se cere:

i) functiile de cerere pentru bunurile 1 si 2 care asigura maximizarea utilitatii consumatorului.

ii) sa se precizeze cu cat se modifica cantitatea optima consumata daca:

1. Venitul creste cu 20%, 2. preturile scad simultan cu 20%, 3. atat venitul cat si preturile cresc cu 20%, 4. elasticitatile si cresc cu cate 10%.

iii) sa se determine cantitatile optime consumate daca V=5000

Un consumator poate achizitiona doua bunuri, in cantitatile q1 si respectiv q2. Pretul unitar al primului bun este egal cu 3, iar pretul celui de al doilea este egal cu 2. Preferintele consumatorului sunt reprezentate prin functia de utilitate:

Se cere:

a. Functiile de cerere Marshall pentru cele doua bunuri daca consumatorul obtine un venit egal cu V.

b. Cu cat se modifica utilitatea maxima obtinuta de consumator daca venitul creste cu o unitate monetara?

c. Determinati functia de utilitate indirecta (functia de utilitate maxima).

Intr-o economie exista N+M consumatori (fiecare consumator are un venit egal cu V) si doua bunuri ale caror preturi sunt in prezent si . N consumatori sunt caracterizati de o functie de utilitate egala cu , iar M consumatori sunt caracterizati de o functie de utilitate egala cu , unde reprezinta cantitatea consumata din bunul 1, iar reprezinta cantitatea consumata din bunul 2. Sa se determine:

a) functiile de cerere agregata (la nivelul intregii economii) pentru bunurile 1 si 2;

b) cu cat se modifica cantitatea ceruta din cele doua bunuri daca pretul lor creste cu 10%?

Rezultate:

a)Functiile Marshall pentru agentii cu functia de utilitate

Functiile Marshall pentru agentii cu functia de utilitate

Functiile de cerere agregate

b) se calculeaza elasticitatea lui si fata de si . Se obtine -1 ceea ce inseamna ca cantitatea ceruta din ambele bunuri scade cu 10%.

Fie urmatoarea functie de utilitate a consumatorului:

unde q1, q2 reprezinta cantitatile consumate din bunul 1, respectiv bunul 2 iar vectorul de preturi unitare este p . Se stie ca venitul de care dispune consumatorul este V=12 u.m.

a) Sa se arate daca functia este sau nu concava;

b) Sa se determine cererea Hicks pentru un nivel dat al utilitatii, u=k >

c) Daca functia de utilitate indirecta este :

, sa se deduca functia de cerere Marshall pentru bunul 1.

Se considera o gospodarie ale carei preferinte asupra perechilor (C,H) consum, respectiv timp liber, sunt reprezentate prin functia de utilitate urmatoare:

(timp liber, H si timp de lucru, L ). Singurul venit de care dispune gospodaria este constituit din salariu cu o rata bruta w, si care este taxat cu o rata de impozitare , 0< <1. Gospodaria dispune deci de un venit egal cu (1- )wL. Pretul bunului de consum este egal cu p.

Se cere:

a) Determinati oferta de munca a gospodariei (L) si functia de cerere pentru bunuri de consum (C) . Comentati relatia existenta intre aceste functii si parametrii w si

b) Sa se deduca rata marginala de substitutie dintre timpul liber si munca. Sa se interpreteze rezultatele obtinute.

Se considera o gospodarie ale carei preferinte asupra perechilor (C,R) consum, respectiv timp liber, sunt reprezentate prin functia de utilitate urmatoare:

Timpul total, T, (timp liber, R si timp de lucru, L ) este presupus egal cu 4. Singurul venit de care dispune gospodaria este constituit din salariu cu o rata bruta w, w > 1/4 si care este taxat cu o rata de impozitare , 0< <1. Gospodaria dispune deci de un venit egal cu (1- )wL. Pretul bunului de consum este egal cu unitatea.

Se cere:    a) Determinati oferta de munca (L) si functia de cerere de bunuri si servicii (C ) a gospodariei. Comentati relatia existenta intre aceste oferte si parametrii w si , daca restrictia bugetara a gospodariei se scrie: pC=(1- )wL.

b) Se presupune ca w=1. Care este suma totala a impozitului platit?

Se considera un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv, pentru a cumpara doua bunuri notate q1 si q2. Preturile celor doua bunuri, p1 si p2, sunt presupuse strict pozitive. Preferintele consumatorului sunt reprezentate prin functiile de utilitate, unde q1 si q2 sunt cantitatile consumate din cele doua bunuri. Venitul acestuia este de 12 u.m. iar vectorul de preturi este

p

Se cere: a) Sa se determine cererea Marshall din cele doua bunuri;

b) Daca p2 si V sunt constante iar p1 scade cu o unitate, sa se determine natura bunului 1;

c) Daca p1 si p2 raman constante iar venitul creste la 16 u.m., sa se determine natura bunurilor.