CONSERVAREA MASEI

CONSERVAREA MASEI

Daca in relatia (1.9) se considera       si , unde m este masa, iar p este densitatea fluidului, se obtine:

. )

Principiul conservarii masei prevede ca nu exista surse de masa, deci:

. )

iar relatia (1.10) se reduce la:

. )

Fluxul de masa difuziv (schimb de masa prin suprafata datorat agitatiei moleculare) poate fi, pe ansamblu, considerat nul. Intr-adevar, in miscarea browniana, care se caracterizeaza prin scari de timp mult mai mici decat cele corespunzatoare miscarii macroscopice, din punct de vedere statistic, la scara miscarii macroscopice, numarul de molecule care intra in domeniul τ* este acelasi cu numarul de molecule care paraseste acest domeniu, astfel ca, bilantul net de masa poate fi considerat nul. Insa, in cazul unor amestecuri fluide, existenta unui gradient de concentratie va genera un flux conductiv de masa nenul pentru una, sau mai multe, din componentele amestecului respectiv. In aceasta situatie, vor trebui scrise ecuatii de conservare pentru fiecare componenta a amestecului si, respectiv, pentru amestec in totalitate. Pentru amestec, fluxul difuziv va fi nul, desi, pentru o anumita componenta, poate fi nenul.

In consecinta, se va introduce in relatia (1.12):

( . )

si vom regasi forma locala conservativa a ecuatiei de continuitate:

. )

Observatii.

1) Ecuatia de continuitate (1.14) se poate scrie si sub forma neconservativa:

. )

unde s-a introdus operatorul derivata substantiala (sau derivata totala) definit de:

. )

Desi din punct de vedere matematic relatiile (1.14) si (1.15) sunt identice, pentru aplicatiile numerice se prefera exprimarea conservativa.

2) Pentru miscari stationare, , iar ecuatia de continuitate devine:

. )

3) Pentru miscari incompresibile, ρ = const., se obtine:

. )

4) Se considera un volum material τ_m, marginit de o suprafata perfect impermeabila σ_m, care se deplaseaza cu viteza fluidului V. Aplicand teorema de transfer a lui Reynolds pentru masa volumului material, care, evident, se conserva, se obtine:

. )

Deoarece volumul τ_m este considerat arbitrar, se obtine aceeasi ecuatie (1.12).

De remarcat faptul ca, desi rezultatele sunt identice, introducerea ecuatiei de continuitate pornind de la ecuatia generala de transfer permite o mai mare legatura cu fenomenul fizic si, in acelasi timp, pune in evidenta ipoteza neglijarii fluxurilor difuzive la suprafata unui volum de control.

5) O relatie de calcul foarte utila pentru derivata substantiala (totala) se poate deduce utilizand ecuatia de continuitate. Astfel, daca vom considera o marime oarecare χ (scalara, vectoriala sau tensoriala), derivata ei substantiala va fi definita de:

Aditionand relatia (1.20), multiplicata cu p, cu relatia (1.15), multiplicata cu χ, se obtine:

. )

relatie ce permite exprimarea sub forma conservativa a derivatei substantiale.