Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

 
CATEGORII DOCUMENTE



AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Oscilatii si unde

Fizica

+ Font mai mare | - Font mai mic


DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
Sunetul si propagarea lui
TEORIA ERORILOR DE MASURA
Test de evaluare - Presiunea
Metale - Fierul si otelul, Metale neferoase
Metode variationale pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare - Metoda pantei maxime
Oscilatii si unde - Notiuni generale (Rezonanta)
METODE MODERNE DE CALCUL AL ARBORELUI COTIT
SIMULAREA FUNCTIONARII AMPLIFICATOARELOR CU REACTIE NEGATIVA CU AJUTORUL PROGRAMULUI PSPICE
Rezolvarea numerica a ecuatiilor neliniare - Metoda bipartitiei, coardei
Modelul dinamic al lui Keynes

TERMENI importanti pentru acest document

: compunerea oscilatiilor paralele cu aceeasi frecventa : compunerea oscilatiilor paralele de aceeasi frecventa : grafic oscilatii mecanice : oscilatii paralele :

Oscilatii si unde

1. Notiuni generale

Se  numeste  oscilatie fenomenul fizic in decursul  caruia o  anumita marime fizica a  procesului prezinta o variatie periodica sau pseudo-periodica. Un sistem fizic izolat, care este pus in oscilatie printr- un impuls, efectueaza oscilatii libere sau proprii, cu o  frecventa numita frecventa proprie a sistemului oscilant. Oscilatiile pot fi clasificate in functie de mai multe criterii.

Din punct de vedere al formei de energie dezvoltata in timpul oscilatiei, putem intalni: (i) oscilatii elastice,  mecanice (au loc prin transformarea reciproca a  energiei  cinetice in energie potentiala); (ii) oscilatii electromagnetice (au loc prin transformarea reciproca a energiei electrice in energie magnetica);

(iii)  oscilatii  electromecanice  (au  loc  prin  transformarea  reciproca  a  energiei  mecanice  in  energie electromagnetica).

Din punct de vedere al conservarii energiei sistemului oscilant, putem clasifica oscilatiile in: (i) oscilatii nedisipative, ideale sau  neamortizate (energia totala se conserva); (ii) oscilatii disipative sau amortizate (energia se consuma in timp); (iii) oscilatii fortate sau intretinute (se furnizeaza energie din afara sistemului, pentru compensarea pierderilor).

Marimi caracteristice oscilatiilor periodice.

Sa notam cu  S(t) marimea fizica ce caracterizeaza o  oscilatie. Atunci, daca T  este perioada oscilatiei, marimea S are aceai valoare la momentul t si la un moment ulterior,  t + T:

    S(t)  =  S(t+T )

Oscilatiile armonice reprezinta acel tip de oscilatii in care marimile caracteristice se pot exprima prin functii trigonometrice  (sinus, cosinus )  sau prin  functii exponentiale de argument complex.  Acele oscilatii care nu sunt armonice, se pot descompune in serii Fourier de functii. Reamintim, de asemenea, formulele lui Euler, care vor fi utile in calculele urmatoare:

Miscarea  oscilatorie  armonica  apare  foarte  des  in  situatiile  practice.  Un  exemplu  foarte  la indemana il constituie bataile inimii. Se spune ca Galilei folosea bataile inimii sale pentru a cronometra miscarile pe care le studia.

2. Micarea oscilatorie armonica ideala

In absenta unor  forte de frecare  sau de disipare a  energiei,  miscarea oscilatorie este o  miscare ideala, deoarece energia totala a oscilatorului ramane constanta in timp. Micarea este reversibila, astfel ca dupa o perioada oscilatorul revine in pozitia initiala si procesul se reia. Forta care determina revenirea oscilatorului in pozitia initiala si care permite continuarea oscilatiei se numete forta de revenire. Aceasta forta de revenire poate fi forta elastica dint-o lama metalica, presiunea dintr-un tub si, in general, orice forta care produce o deformare elastica.

Sa consideram un oscilator mecanic format dintr-un resort elastic si un corp punctiform, de masa m, legat la capatul liber al resortului, ca in fig.1.a. Daca se pune corpul in miscare prin intermediul unei forte si daca nu  exista frecari, sistemul va efectua o micare periodica in jurul  pozitiei de  echilibru,  numita oscilatie ideala.

Forta elastica din resort,   eF , este singura forta din sistemul mecanic, aa ca putem scrie formula fudamentala a dinamicii sub forma:

ma = - k y                                                                           

unde k este constanta elastica a resortului, iar y este alungirea acestuia (y se numete elongatia miscarii) .

            Ecuatia de micare a corpului devine:

        m a + k y = 0                                                             

Fig. 1. Oscilator mecanic ideal: a) momentul initial; b) alungirea y produce forta de revenire    eF ;

c) amplitudinea micarii oscilatorii.

Acceleratia corpului  reprezinta derivata  de ordinul doi  la timp  a  vectorului deplasare, de aceea ecuatia de micare devine:

Reprezentarea  marimilor  vectoriale  periodice  se  poate  realiza  si  prin  intermediul  fazorilor. Fazorul este un vector rotitor in sens trigonometric pozitiv intr-un plan Oxy, care are vitexa unghiulara

0 . Lungimea fazorului este egala cu modulul vectorului pe care il reprezinta, adica fazorul este egal cu amplitudimea micarii oscilatorii. Faza vectorului reprezentat este egala cu unghiul format de fazor cu axa orizontala, Ox. Vectorul reprezentat este egal cu proiectia fazorului pe axa verticala Oy. Fazorul din fig. 2 reprezinta elongatia oscilatorului ideal, in diferite momente de timp.

Fig. 2. Reprezentarea fazoriala a oscilatiei.

Marimile fizice caracteristice ale oscilatorului ideal pot fi reprezentate grafic in functie de timp. Daca faza initiala este nula, se obtin graficele functiilor y = f(t), v = f(t) si a = f(t) din fig.

Fig.  Elongatia, viteza si acceleratia oscilatorului ideal in functie de timp.

Energia  mecanica  a  oscilatorului  ideal  este  constanta,  ceea  ce constitue legea conservarii energiei mecanice a oscilatorului ideal.

In decursul oscilatiei ideale, energiile cinetica si potentiala elastica ale oscilatorului ideal sunt variabile in timp,  transformandu-se  una  in  alta,  in  aa  fel  incat  suma  lor  sa  ramana  constanta.  In  fig.4  sunt reprezentate energiile  cinetica, potentiala  si totala in  functie de elongatia y.  Se  poate observa ca desi energia potentiala este  variabila, fiind reprezentata de parabola din figura, totusi energia  mecanica a oscilatorului ideal este constanta.

Fig.4. Energiile cinetica, potentiala si totala in functie de elongatia oscilatorului ideal.

Conservarea  energiei  mecanice  a  oscilatorului  constituie  efectul  direct  al  faptului  ca  fortele elastice sunt forte conservative. Caracterul oscilant  al  miscarii se poate constata  si din  transformarea periodica a energiei cinetice in energie potentiala si reciproc.

 Compunerea miscarilor oscilatorii armonice

 Pe baza legilor micarii oscilatorii armonice ideale se pot studia miscari oscilatorii mai complexe, care rezulta  din compunerea a  doua  sau  mai multe oscilatii  armonice, care se desfasoara pe  directii paralele sau pe directii perpendiculare.

1. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de aceeasi pulsatie

   Sa presupunem ca un punct material de masa m este legat de doua resorturi elastice, aa cum se vede in fig.5, fiind supus simultan la doua forte elastice pe aceeai directie dar in sensuri diferite. Cele doua resorturi elastice sunt identice, adica au aceeai constanta elastica, k 1 =  k 2   =  k.

Fig.5. Oscilatie armonica sub actiunea a doua forte elastice paralele.

Fig. 6. Reprezentarea fazoriala a compunerii oscilatiilor paralele.

2. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de frecventa diferita

 Consideram doua oscilatii armonice individuale  ale  punctului  material de  masa  m. Una dintre oscilatii are pulsatia proprie 1 iar cealalta are pulsatia proprie 2. Diferenta dintre cele doua frecvente de oscilatie nu este insa prea mare. Elongatiile celor doua oscilatii armonice independente sunt de forma:

Punctul material este supus simultan ambelor oscilatii, asa cum se poate vedea in fig. 7, si ne propunem sa determinam ecuatia oscilatiei rezultante.

Fig. 7.  Compunerea a doua oscilatii paralele de frecvente diferite.

Tb  mai este  numita si perioada batailor.

Fig. 8. Fenomenul de batai.

Faza oscilatiei are perioada T, mult mai mica decat Tb:

Oscilatia rezultanta este reprezentata, in fig.7, cu linie continua.

Perioada batailor este intervalul de timp intre doua treceri succesive ale amplitudinii rezultante prin valoarea minima sau maxima.

 Compunerea oscilatiilor perpendiculare

Consideram un punct material de masa m, care care este solicitat simultan sa oscileze armonic sub actiunea a doua resorturi elastice identice legate pe doua directii perpendiculare, ca in fig. 9.

Fig. 9. Compunerea oscilatiilor perpendiculare

Cele doua miscari oscilatorii  armonice sunt  perpendiculare, avand  ecuatiile elongatiilor pe  cele doua directii de forma:

Fig. 10. Traiectorie eliptica rotita fata de axe.

Fig. 11. Traiectorie particulara in cazul compunerii oscilatiilor perpendiculare in faza,

Elipsa care  descrie  traiectoria  particulei  nu  mai este rotita fata  de axele de coordonate  (vezi fig.12).

Fig.12. Traiectoria rezultata din compunerea a doua oscilatii perpendiculare in cuadratura de faza,

Micarea punctului material se defasoara pe elipsa, intr-un sens sau in altul.

4. Miscarea oscilatorie amortizata

Sistemele oscilante reale sunt supuse unor forte de franare, sau de disipare a energiei pe care-o au la  inceputul  miscarii.  Acea  parte  a  energiei  ce  se  pierde  prin  frecare  se  transforma  in  caldura. Ampltudinea micarii oscilatorii amortizate este scazatoare in timp. Un caz interesant de forte de franare il constituie fortele proportionale  cu viteza de oscilatie.  Micarea este neperiodica, aa cum se vede in fig. 1 Elongatia tinde la zero cand timpul tinde la infinit, fara ca punctul material sa oscileze.

Fig. 1 Elongatia micarii cu forta de amortizare mare, 0 .

Fig. 14. Elongatia si amplitudinea oscilatorului armonic amortizat in functie de timp.

 Observam ca oscilatia amortizata este  modulata in amplitudine. Elongatia  tinde la zero cand timpul tinde la infinit, punctul material osciland in jurul pozitiei de echilibru cu o amplitudine din ce in ce mai mica.

 Descreterea amplitudinii  micarii  oscilatorii amortizate este  caracterizata de  marimea numita decrement logaritmic.  Decrementul logaritmic  este egal cu logaritmul natural al raportului dintre doua amplitudini succesive:

Fig.15. Dependenta de timp a energiei mecanice si  a amplitudinii oscilatorului amortizat.

5. Analogie intre oscilatiile mecanice si cele electromagnetice

 

Examinand   oscilatiile  elastice  (ale  unui  sistem  format  dintr-un  resort  elastic   si  un   corp punctiform) si oscilatiile electromagnetice (dintr-un circuit serie RLC de curent alternativ), constatam o serie de  asemanari (similitudini). Aceste  asemanari  au condus  la  stabilirea  unor corespondente intre marimile electrice  si cele mecanice,  adica  la stabilirea unor analogii  intre  aceste  marimi. Cunoaterea analogiilor dintre  marimile electrictromagnetice  si cele  mecanice    permite  transpunerea rezultatelor obtinute  pentru  oscilatiile  elastice  armonice  (ideale  sau    amortizate)  la  cazul  oscilatiilor  electrice. Consideram un circuit serie RLC, format dintr-un rezistor cu rezistenta electrica R, o bobina ideala cu inductanta L, si un condensator de capacitate electrica C (vezi fig. 16).

Fig. 16. Circuit RLC parcurs de un curent electric variabil in timp.

        Consideram ca bobina constituie secundarul unui transformator. In bobina se induce o tensiune electromotoare, uL, prin inductie electromagnetica intre primarul si secundarul transformatorului. Similitudinile dintre cele doua tipuri de oscilatii sunt prezentate in Tabelul 1. Astfel, putem observa ca toate marimile fizice corespunzatoare oscilatiei electromagnetice  au un corespondent  in  marimi corespunzatoare oscilatiei elastice.  Folosind analogia dintre oscilatiile amortizate ale resortului  elastic si oscilatiile electromagnetice amortizate din circuitul RLC, se poate scrie intensitatea instantanee a curentului electric din circuit, care este data de relatia:

In fig. 17 se prezinta  intensitatea instantanee a  curentului electric din circuit  si amplitudinea oscilatiilor sale in functie de timp.

Fig. 17. Intensitatea instantanee a curentului electric din circuitul oscilant amortizat.

6. Oscilatii fortate. Rezonanta

Sa consideram un oscilator  mecanic format dintr-un resort elastic  si  un corp de dimensiuni neglijabile. Datorita fortei de frecare, energia mecanica a oscilatorului se consuma in timp, astfel incat oscilatia este  amortizata, aa cum am vazut in  paragraful 4. Pentru a  intretine  miscarea oscilatorie,trebuie sa se aplice forte exterioare (numite forte de fortare), care sa compenseze pierderile de energie din sistem. In acest caz, punctul material va efectua o miscare oscilatorie fortata. Dintre tipurile de forte de fortare  (sau  perturbatoare)  ce  se  pot  aplica  sistemului  oscilant,  un  caz  interesant  pentru  aplicatiilepractice este cel in care fortele perturbatoare sunt periodice.

Experienta arata ca o miscare periodica intretinuta prezinta un  regim tranzitoriu, dupa trecerea caruia se instaleaza regimul permanent. Regimul tranzitoriu este de scurta durata, iar regimul permanent se manifesta prin oscilatii intretinute.

6.1. Rezonanta

Aa  cum  am  vazut  in  paragraful  anterior,  dupa  stabilirea  regimului  permanent  al  oscilatiei intretinute, frecventa de oscilatie este egala cu  frecventa fortei perturbatoare.  Sistemul oscilant adopta pulsatia fortei perturbatoare, care este diferita de pulsatia sa proprie de oscilatie ca sistem

Rezonanta este fenomenul fizic de aparitie a maximului amplitudinii oscilatiei intretinute. Sistemul fizic aflat la rezonanta oscileaza cu amplitudine maxima. Deci,din punct de  vedere fizic,  este ideal sa amplificam  la  maxim o oscilatie armonica, totusi in practica trebuie evitate situatiile in care frecventa fortei de intretinere coincide cu frecventa proprie a oscilatorului,deoarece in acest caz  amplitudinea tinde la infinit. Rezonanta mecanica are multiple aplicatii in tehnica.

Fig. 18. Curbe de rezonanta pentru diferite valori ale coeficientului de  amortizare:

Astfel,  in  acest  paragraf  am  constatat  ca  in  cazul  oscilatiilor  intretinute,  sau  fortate,  forta exterioara produce  un lucru  mecanic ce compenseaza pierderile de  energie din  sistemul  oscilant. In paragraful urmator vom vedea cum se caracterizeaza din punct de vedere energetic oscilatiile intretinute.

Fig. 19. Variatia modulului fazei intiale a oscilatiei permanente in

6.2. Consideratii energetice ale oscilatiilor fortate

In continuare vom defini cateva marimi fizice care caracterizeaza transferul energiei mecanice in sistemul ce efectueaza oscilatii fortate, sau intretinute.

1. Puterea instantanee absorbita de sistemul oscilant intretinut reprezinta derivata la timp a lucrului mecanic efectuat de forta de fortare.

2. Puterea medie  absorbita  in decursul unei perioade  reprezinta integrala pe  o  perioada a puterii instantanee absorbite Pa (t).

  Puterea instantanee disipata sub forma de caldura de catre forta de frecare reprezinta derivata la timp a lucrului mecanic efectuat de forta de frecare.

 4.Puterea medie  disipata intr-o  perioada reprezinta integrala  pe o perioda  a puterii instantanee disipate.

Fig. 20. Puterile medii absorbita si disipata

Oscilatii mecanice ,aplicatii

Oscilatii armonice:

Un corp efectueaza oscilatii armonice atunci cand asupra lui actioneaza o forta de tip elastic:

F = - k x,

kconstanta elastica; x –elongatie; m –masa;

, ω0 – pulsatie proprie;  ,  T0 –perioada proprie;

x(t) = A sin (ω0 t + φ);

Oscilatii amortizate:  

Oscilatiile unui corp sunt amortizate atunci cand asupra lui actioneaza, pe langa forta de tip elastic  (- k x) si  o forta rezistenta  proportionala cu viteza (– α v):

F = - k x – α v,  α –coeficient de rezistenta;

,     ,   ω –pulsatia oscilatiei amortizate;

                                         β –factor de amortizare;

Observatie: Avem de-a face cu miscare de oscilatie numai daca  .

x(t) = A e - β t sin (ω t + φ);

  - decrement logaritmic;

T – perioada miscarii oscilatorii amortizate.

Oscilatii fortate:

Forta care intretine oscilatia este sinusoidala de amplitudine F0  si  pulsatie ω1:

F = - k x – α v + F0 sin (ω1 t);

x(t) = A1 sin (ω1 t - φ1 ) ,

,     ;

A11) = maxima    ω1= ωrez =.

1.         O particula efectueaza oscilatii sinusoidale de-a lungul axei Ox in jurul pozitiei de echilibru. Pulsatia oscilatiilor este ω = 5 rad/s. La  momentul t0=0 particula se gaseste in pozitia x0 = 12 cm si are viteza =0,6 m/s. Determinati legea de miscare si legea vitezei.

R:  cm;   m/s.

 

2.         Determinati pulsatia si amplitudinea oscilatiilor sinusoidale efectuate de o particula daca la distantele x1 si x2 de la pozitia de echilibru viteza particulei are valorile v1 si v2.

R: ,  .

3.         Un corp de masa m = 0,05 kg fixat de capatul unui resort de constanta elastica k = 20 N/m executa o miscare oscilatorie armonica de-a lungul axei Ox. Stiind ca la momentul t0 = 0 corpul are doar energie cinetica, iar energia cinetica maxima a corpului este de 9·10 -3 J, sa se determine:

a)    legea de miscare;

b)     energia totala a corpului.

R: a)  x(t) = 0,03 sin(20 t) m;  b) Et = 9·10 -3 J.

4.         Un corp de masa m = 0,05 kg fixat de capatul unui resort  executa o miscare oscilatorie armonica de-a lungul axei Ox dupa legea:

 m. Sa se determine:

a)             constanta elastica a resortului si perioada oscilatiilor;

b)             energia totala a corpului;

c)             momentele de timp la care energia cinetica este egala cu energia potentiala.

R: a)  k = 5 N/m,  s;  b) Et = 6.25·10 -3 J;  c)  s, unde n=numar natural.

 

5.         Un punct material efectueaza o miscare oscilatorie amortizata de-a lungul axei Ox. Perioada miscarii este T=3 s, iar decrementul logaritmic δ=0,6. Sa se scrie legea de miscare, stiind ca la momentul initial t0 = 0, x0 = 0, v0 = 0,5 m/s.

R:  .

6.         Sa se scrie expresia vitezei oscilatiilor amortizate.

Rezolvare:

x(t) = A0  e - β t sin (ω t + φ),

   ,

   ;

   ,

.

7.         Un punct material executa oscilatii amortizate cu pulsatia ω. Sa se determine coeficientul de amortizare β daca la momentul t0 = 0 viteza punctului material este nula, iar elongatia este de n ori mai mica decat amplitudinea.

R: .

8.         Un corp oscileaza intr-un mediu cu decrementul logaritmic δ1. Care este decrementul logaritmic δ2 daca coeficientul de rezistenta al mediului creste de n ori?

Rezolvare:

   ;

,         ,

   ;

   ,

   .

9.         Un corp oscileaza intr-un mediu cu decrementul logaritmic δ1. De cate ori trebuie sa creasca rezistenta mediului pentru ca oscilatia amortizata sa devina miscare amortizata aperiodica (β2 =  ω0).

R: .

10.     Un corp de masa m=250 g executa o miscare de oscilatie amortizata cu factorul de amortizare β = π/4 s – 1, perioada oscilatiilor proprii fiind  s. Oscilatiile corpului devin fortate in urma actiunii unei forte exterioare periodice  N. Sa se scrie elongatia oscilatiilor fortate.

R:   m.

11.     Amplitudinea oscilatiilor fortate este aceeasi pentru doua frecvente ν1 si  ν2.  Sa se afle frecventa de rezonanta a oscilatiilor.

R: .

12.     Asupra unui corp, care efectueaza o miscare oscilatorie amortizata cu perioada oscilatiilor proprii T0, actioneaza o forta exterioara sinusoidala de amplitudine F0. La rezonanta vitezelor, amplitudinea oscilatiilor este A0. Sa se afle coeficientul de rezistenta.

Rezolvare:

x(t)=A1 sin (ω1 t - φ1 ) - legea de oscilatie in cazul oscilatiilor fortate;

,

v(t)=A1 ω1 cos (ω1 t - φ1 ) 

Rezonanta vitezelor se realizeaza atunci cand :

ω1 A1= maxima        ω1 = ω0

   ; 

Dar ,  iar              .

13.     Un corp care efectueaza o miscare oscilatorie fortata are amplitudinea vitezei egala cu 1/3 din amplitudinea vitezei la rezonanta vitezelor, pentru doua pulsatii ω1 si ω2. Sa se afle:

a)    pulsatia proprie a oscilatorului ω0;

b)    factorul de amortizare β.

R: a) ;   b) .

Compunerea oscilatiilor armonice paralele

a)         Oscilatii cu aceeasi pulsatie

x1 (t) = A1 sin (ω t + φ1),

x2 (t) = A2 sin (ω t + φ2);

Rezultatul compunerii a doua oscilatii armonice paralele de aceeasi pulsatie este tot o oscilatie armonica de aceeasi pulsatie pe aceeasi directie.

x (t) = x1 (t) + x2 (t)      x (t) = A  sin (ω t + φ)

 ,    .

b)        Oscilatii cu pulsatii putin diferite

Rezultatul compunerii a doua oscilatii armonice paralele de pulsatii diferite nu mai  este  o oscilatie armonica.

x1 (t) = A sin (ω1 t + φ1),

x2 (t) = A sin (ω2 t + φ2),

x (t) = x1 (t) + x2 (t) ;

Daca  pulsatiile sunt foarte apropiate intre ele, iar amplitudinile oscilatiilor care se compun sunt egale, oscilatia  rezultanta este aproape sinusoidala:

.

In cazul frecventelor acustice sunetul de pulsatie  se aude succesiv, intarindu-se si slabindu-se cu pulsatia si perioada batailor: .

Compunerea oscilatiilor armonice perpendiculare

a)         Oscilatii cu aceeasi pulsatie

x (t) = A1 sin (ω t + φ1),

y (t) = A2 sin (ω t + φ2);

Traiectoria unui punct material supus simultan la doua oscilatii armonice perpendiculare de aceeasi pulsatie este o elipsa a carei forma depinde de :

 .

b)        Oscilatii cu pulsatii diferite

Un punct material supus simultan la doua oscilatii armonice perpendiculare de pulsatii diferite are o traiectorie complicata. Daca raportul pulsatiilor este un numar rational traiectoria este una din figurile Lissajous, forma traiectoriei depinzand si de diferenta de faza .

14.     Un punct material este supus simultan la doua miscari oscilatorii armonice descrise de legile:

x1 (t) = 1,2 sin   m, respectiv    x2 (t) = 1,6 sin  m.

Sa se scrie legea de miscare rezultanta.

R: x (t) = 2  sin ( t + 0,37 π) m.

15.     Un punct material este supus simultan la doua miscari oscilatorii armonice descrise de legile:

a)      m,   m;

b)       m,  m;

c)       m,  m.

Sa se determine ecuatia traiectoriei punctului material, precizandu-se forma acesteia.

R: a) , traiectoria este o dreapta;  b) , traiectoria este o elipsa avand drept axe chiar axele de coordonate;  c) , traiectoria este un cerc.

16.     Sa se determine ecuatia traiectoriei unui punct material supus simultan la doua miscari oscilatorii:

a)    x (t) = A  sin (ω t),  y (t) = A  sin (2ω t);

b)    x (t) = A  sin (ω t),  y (t) = A cos (2ω t).

Rezolvare:

a) x  = A  sin (ω t)   ;

y = Asin(2ωt)     y = 2A sin (ω t) cos (ω t),

 

comp%20osc2 - traiectoria este una din figurile Lissajous:

b) Cele doua oscilatii care se compun au acelasi raport al  pulsatiilor ca si la punctul a),  dar defazajul este altul si deci forma traiectoriei este alta.

comp%20osc3.

7. Unde elastice

Mediile continue, cum sunt solidele, lichidele si gazele, sunt medii formate din particule (atomi, molecule sau ioni) care interactioneaza intre ele. De aceea, daca una dintre particule oscileaza (vibreaza), atunci vor oscila (vor vibra) si particulele vecine; in felul acesta oscilatiile (perturbatiile) se propaga prin mediu de la o particula la alta. Prin propagarea oscilatiilor se genereaza undele.

Unda reprezinta fenomenul de extindere si propagare din  aproape in aproape  a  unei  perturbatii periodice produse intr-un anumit punct din mediul de propagare. Propagarea   undei se face cu o viteza finita, numita viteza undei. Unda nu reprezinta transport de materie, ci numai transport de  energie.

  Dupa tipul de energie pe care-l transporta unda, putem  deosebi: (i) unde elastice (se transporta energie  mecanica,  undele  fiind  generate  de  perturbatiile  mecanice  ale  mediilor  elastice),  (ii)  unde electromagnetice  (se  transporta  energie  electromagnetica)  (ii)  unde  magneto-hidrodinamice   (sunt generate prin perturbatii electromagnetice si elastice ale mediului de propagare).

  Dupa natura perturbatiei si modul de propagare al acesteia, putem clasifica undele in: (1) unde

longitudinale (directia de propagare a  undei coincide cu  directia de  oscilatie); (2) unde  transversale

(directia de propagare a undei este perpendiculara pe directia de oscilatie).

  O marime deosebit de importanta pentru descrierea undei este functia de unda, pe care o putem nota in  mod  generic cu  (x,y,z,t). Functia de  unda reprezina functia matematica ce descrie  marimea perturbata.

Suprafata de unda reprezinta multimea punctelor din spatiu ce oscileaza avand la un moment dat aceeai valoare  a functiei de unda,  (x,y,z,t) = constant = a. Dupa forma suprafetelor de unda, putem intalni unde plane, unde sferice, unde cilindrice, etc.

Frontul de unda reprezinta suprafata de unda cea mai avansata la un moment dat.

7.1. Unde armonice unidimensionale

Fig. 21. Oscilatia generata in originea axei Ox se propaga pana in punctul M.

Constam ca ecuatia elongatiei yM(x, t) a oscilatiei dintr-un punct oarecare M, aflat pe directia de propagare a undei, are o intarziere de faza, dependenta de pozitia sa fata de sursa undei. Cu cat punctul M se afla  mai departe de originea  undei, cu atat  mai tarziu  va  intra  in oscilatie; oscilatia din punctul considerat va avea o intarziere de faza mai mare, daca punctul este mai departe de sursa undei.

Vectorul de unda este  marimea fizica vectoriala orientata in sensul  propagarii undei. Vectorul de unda materializeaza directia in care se propaga energia undei. Utilizand vectorul de unda, putem scrie ecuatia elongatiei oscilatiei din punctul M sub forma:

7.2. Consideratii energetice asupra propagarii undei

Propagarea unei unde elastice intr-un anumit mediu genereaza o serie de miscari de oscilatie ale particulelor mediului; punctele materiale ii incep micarea oscilatorie, in jurul pozitiiilor lor de echilibru, pe masura ce energia undei ajunge pana la ele.

Fig. 22. Densitatea volumica de energie intr-un punct al mediului de propagare si densitatea volumica medie de energie.

Alte marimi ce sunt utilizate pentru a descrie energia transportata de unda sunt urmatoarele:

 a).  Fluxul  de  energie.  Fluxul  de  energie  reprezinta  cantitatea  de  energie  transmisa  printr-o suprafata in unitatea de timp, fiind dat de derivata energiei la timp.

b).  Densitatea  flluxului  de  energie  reprezinta  fluxul  de  energie  transportat  prin  unitatea  de suprafata, in directie perpendiculara pe aceasta suprafata.

7. Reflexia si refractia undelor elastice

Cand o unda intalnete suprafata de separare dintre doua medii diferite se produc simultan reflexia (intoarcerea  undei in  mediul  din care a  venit)  si  refractia  (transmisia  undei in  mediul al doilea).  Se constata de asemenea ca prin reflexie si refractie se schimba directia de propagare a undei.

Consideram o unda elastica longitudinala plana ce se propaga prin mediul (1),  care are densitatea d1  si unde viteza undei este  u1  (vezi fig.23). La  intalnirea suprafetei  de separare,  dintre  mediul (1)  si mediul (2) unda se va imparti intr-o unda reflectata ce se propaga in mediul (1) si o unda transmisa ce se propaga in mediul (2).

Definim  impedanta  mediului de propagare prin  produsul dintre densitatea  mediului  si viteza undei. Impedanta exprima viteza cu care se propaga energia undei prin mediul repectiv.

Fig. 2 Reflexia si refractia unei unde plane.

Observam ca amplitudinea undei transmise, At are acelai semn cu amplitudinea undei incidente, Ai, indiferent de impedantele celor doua medii. De aceea unda transmisa este totdeauna in faza cu unda incidenta.

 In ceea ce privete amplitudinea undei reflectate se pot intalni doua cazuri:

a). Mediul (1) mai dens decat mediul (2), Z1>Z2. In acest caz amplitudinea undei    reflectate, Ar, are acelai semn cu amplitudinea undei incidente, Ai. Cele doua unde sunt in faza, de asemenea.

b). Mediul (1) mai putin dens decat mediul (2), Z1<Z2. In acest caz amplitudinea undei reflectate, Ar, are semn opus fata de amplitudinea undei incidente, Ai. Cele doua unde sunt in opozitie de faza. Unda reflectata este defazata cu radiani in urma undei incidente.

Definim coeficientii de  reflexie si de transmisie ai mediilor de propagare.

Coeficientul de reflexie este raportul dintre intensitatea undei reflectate si cea a undei incidente.

Coeficientul de transmisie este dintre intensitatea undei transmise si cea a undei incidente:

7.4. Unde stationare

Daca  in  mediul de  propagare  al undei se suprapun unda  incidenta  si unda reflectata, atunci  se obtin  unde  stationare.  Mai  general,  fenomenul  de  compunere  a  doua  unde  coerente  se  numeste interferenta. Compunerea undei incidente si a undei  reflectate constituie un caz interesant de interferenta a undelor. Conform rezultatelor obtinute  la reflexia undelor, se pot intalni doua cazuri,  in functie de impedantele celor doua medii.

I. Daca mediul al doilea este mai putin dens decat primul, Z2<Z1, atunci unda reflectata este in faza  cu  unda  incidenta.  Sa  consideram  o  unda  liniara  ce  se  propaga  in  mediul  (1),  pe  o  directie perpendiculara pe suprafata de separare dintre mediul (1)i mediul (2), ca in fig. 24. In punctul P se intalnesc unda  incidenta  si unda  reflectata. Distanta dintre  sursa undei  si suprafata de separare dintre medii este l.

                     Fig. 24. Formarea undei stationare.

Fazele celor doua unde ce se intalnesc in punctul P depind de distantele (l-x) si reprectix (l+x) pe care le-a parcurs fiecare unda.

Fig. 25. Unda stationara obtinuta in cazul Z2<Z1.

Fig. 26. Unda stationara obtinuta in cazul  Z2>Z1.

7.5. Interferenta undelor

Fenomenul general de compunere a undelor coerente se numeste interferenta. Asa dupa cum stim, intensitatea undei reprezinta cantitatea de energie ce trece prin unitatea de suprafata  in unitatea de timp.

Conditia de coerenta este ca diferenta de faza dintre cele doua unde,    ϕ, sa fie independenta de timp. Aceasta conditie este indeplinita de unde care au pulsatii egale si diferenta de  faza constanta in timp:

ϕ1  ϕ2   f (t)

Interferenta  undelor  longitudinale.  Cu  ajutorul  a  doua  difuzoare  plasate  pe  aceeai verticala si conectate la acelai amplificator se poate obtine un dispozitiv de inteferenta a undelor longitudinale, aa  cum se vede in  fig.26. Distanta dintre cele doua   difuzoare  (surse) este 2l. Presupunand ca ambele difuzoare emit simultan, ele se comporta ca doua surse de unda, S1  si S2. De la ele se propaga doua unde coerente, care parcurg drumuri diferite pana in punctul P, aflat la distanta y de axa de simetrie (vezi fig. 27). In punctul P cele doua unde se suprapun si, fiind coerente, produc o figura de interferenta.

Fig. 27. Dispozitiv de interferenta a undelor longitudinale.

Fig. 28. Figura de interferenta obtinuta.

7.6. Difractia undelor

Consideram o  unda plana care se propaga pe suprafata apei. Un obstacol de forma unui perete vertical cu o fanta de largime L se afla in calea undei, aa cum se vede in fig. 29.

Fig. 29. Un obstacol pe care se produce difractia undei plane.

Se constata ca unda care trece dincolo de obstacolul intalnit are frontul de unda de forma sferica, dei unda incidenta avea fronturi de unda plane. Spunem ca unda a suferit fenomenul de difractie pe fanta de largime L.

Difractia este fenomenul de ocolire a obstacolelor de catre unde. Efectul difractiei este cu atat mai evident  cu  cat dimensiunea fantei  (sau a obstacolului din  calea undei) este de ordinul de  marime al lungimii de unda a undei incidente.

In momentul cand frontul plan o atinge, fanta devine sediul unei infinitati de surse   punctiforme infinitezimale, care genereaza la randul lor unde sferice in spatele fantei. Aceste unde se compun intre ele si formeaza o  unda sferica ce  se propaga   in spatele obstacolului.  Din punct  de vedere fizic  nu exista deosebiri intre difractie si interferenta. Ambele fenomene fizice presupun compunerea (adunarea) a doua sau mai multor unde coerente (difractia consta din interferenta unei infinitati de unde infinitezimale).

7.7. Polarizarea undelor elastice transversale

Consideram o unda elastica liniara transversala ce poate traversa spatiul dintre doi pereti verticali ce formeaza o  fanta, asa cum se  poate  vedea  in fig. 30. Am notat  prin A i   vectorul ce reprezinta amplitudinea oscilatiei din unda incidenta. Putem constata ca amplitudinea undei ce trece dincolo de fanta depinde de unghiul pe care-l formeaza vectorii A i  cu directia fantei. Procesul prin care fanta filtreaza si lasa sa treaca numai componenta vectorului amplitudine care este in planul   fantei constituie fenomenul de polarizare

Fig. 30. Trecerea unei unde tarnsversale printr-o fanta.

 a). vedere generala; b) directia de vibratie paralela cu fanta.

a) Daca amplitudinea undei este paralela cu fanta, unda se transmite prin fanta, iar unda transmisa are aceeai amplitudine ca cea incidenta (vezi fig. 30.b).

b) Daca directia de vibratie din unda incidenta este perpendiculara pe directia fantei,  dincolo de fanta nu se mai propaga nici un fel de vibratie (vezi fig. 31.a).

c) Daca directia de vibratie face un anumit unghi cu fanta, atunci vectorul caracteristic al undei se decompune dupa doua directii perpendiculare, una din ele fiind directia fantei (vezi fig. 31.b).

Fig. 31. Polarizarea la trecerea unei unde transversale printr-o fanta:

a) directia de vibratie este  perpendiculara pe fanta;

b) descompunerea vectorului caracteristic  pe doua directii.

Polarizarea  este  fenomenul prin  care se poate filtra dintr-o unda numai componenta  intr-un anumit plan a vectorului de vibratie caracteristic undei. Dispozitivul prin care se realizeaza polarizarea se numete polarizor. Unda al carei vector de vibratie pastreaza aceeai directie in spatiu se numete unda liniar polarizata. In fig. 32.a) si b) se pot vedea doua exemple de unde liniar polarizate la ieirea din polarizor.

 

 
 b) Fig. 32. Unde liniar polarizate dupa trecerea prin polarizor.

Unde elastice-aplicatii

Mediile continue (gazele, lichidele, solidele) sunt medii de particule care interactioneaza intre ele si care, daca una din particule oscileaza, vor propaga oscilatia de la particula la particula sub forma de unde, numite unde elastice. Mediile de acest fel se numesc medii elastice.

 

Atunci cand oscilatiile in fiecare punct sunt armonice de o anumita frecventa,  ( -pulsatia), unda este o unda monocromatica ce se propaga fara atenuare.

 - elongatia in cazul undei plane monocromatice care se propaga (fara atenuare) pe directia  axei Ox;

A0 – amplitudinea, care este constanta pentru unda plana; x – distanta fata de sursa;  

k – numar de unda, adica numarul de unde, de lungime de unda λ, care se cuprind in unitati de lungime.

Elongatia ψ este periodica in timp, cu perioada T, si periodica in spatiu (in raport cu coordonata x), cu perioada λ:

,  , ,

u –viteza de propagare a undei sau viteza de faza;

 - faza undei care se propaga pe directia  axei Ox;

Suprafetele de unda sunt suprafete de faza constanta. Viteza de deplasare a fazei se numeste viteza de faza.

 - ecuatia diferentiala a undelor care se propaga  pe directia  axei Ox;

 - elongatia in cazul undei plane monocromatice care se propaga in spatiu (fara atenuare) in directia si sensul lui ;

 -vector de unda care are modulul  si este orientat in directia si sensul de propagare a undei.

 - elongatia  in cazul undei sferice monocromatice;

Observatie: In cazul undei sferice amplitudinea de oscilatie a punctelor mediului depinde de distanta fata de sursa :, unde A0  este constanta.

 - ecuatia diferentiala a undelor care se propaga in spatiu,

 - operatorul lui Laplace (laplacean).

17.     Intr-un mediu elastic se propaga, de-a lungul axei Ox, undele longitudinale descrise de legea:  m. Sa se determine:

a)             frecventa oscilatiilor punctelor mediului elastic;

b)             viteza maxima de oscilatie a punctelor mediului elastic;

c)             viteza de propagare a undei.

R: a)  ν = 50 Hz,  b) , vmax.= 0,3π  m/s, c) u = 500π m/s.

18.     O unda plana sonora se propaga de-a lungul axei Ox dupa legea:  m. Sa se determine:

a)    raportul dintre amplitudinea de vibratie a particulelor mediului si lungimea de unda;

b)        raportul dintre amplitudinea vitezei de vibratie a particulelor mediului si viteza de propagare a undei.

R:  a) ;  b).

19.     O sursa de oscilatii armonice oscileaza dupa legea:  m. Pentru unda plana care se propaga in lungul axei Ox, sa se determine deplasarea fata de pozitia de echilibru a unui punct aflat la distanta de x1 = 25 cm fata de sursa de oscilatii la t1 =0,04 s dupa inceperea oscilatiei. Viteza cu care se propaga oscilatiile este de 250 m/s.

R:  cm.

20.     Sa se determine raportul amplitudinilor si defazajul dintre oscilatiile a doua puncte aflate la 10 m, respectiv 16 m fata de o sursa punctiforma de oscilatii, stiind ca perioada oscilatiilor este de 0,08 s, iar viteza de propagare a undei sferice este de 300 m/s.

R:;  .

 

21.     Sa se determine, in cazul undei plane, elongatia unui punct aflat la distanta de λ/4 fata de sursa de oscilatii pentru momentul T/ Amplitudinea oscilatiilor este de 7 cm.

R: 3,5 cm.

22.     Pentru o unda plana, la momentul T/3, distanta fata de pozitia de echilibru a unui punct aflat la 5 cm fata de sursa de oscilatii este de  din amplitudine. Sa se determine lungimea de unda.

R: 30 cm.

23.     O unda plana descrisa de legea , unde A, γ, ω si k sunt constante, se propaga intr-un mediu omogen. Sa se calculeze defazajul dintre punctele in care amplitudinile difera de n=2,5 ori, stiind γ =0,458 m– 1 si λ = 50 cm.

R: .

24.     O sursa punctiforma produce oscilatii sonore de frecventa ν=1,4 kHz. Unda sferica propagandu-se cu atenuare, la distanta r1 =3 m de la sursa amplitudinea de oscilatie a particulelor mediului este A1 = 30  μm, iar la distanta r2 = 8 m amplitudinea este de n = 4 ori mai mica. Sa se determine:

a)    coeficientul γ de amortizare al undei;

b)    viteza maxima de oscilatie a particulelor mediului la distanta r2.

Rezolvare:

a)        ;

           m – 1;

b)   ;

La distanta r2  de sursa de oscilatii     m/s.


DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 670
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2014. All rights reserved