PROBLEME DE OPTIMIZARE CU UTILIZAREA FUNCTIEI DE GRAD 2

PROBLEME DE OPTIMIZARE CU UTILIZAREA FUNCTIEI DE GRAD 2

APLICATIA Determinarea nivelului optim al aprovizionarii

Un agent economic desfasoara o activitate , pentru care se aprovizioneaza cu

anumit produs omogen.

Ipoteze si notatii :

- notam prin T perioada contractata a activitatii respective , masurata in zile ;

- prin Q vom nota cantitatea de produs necesara pe intreaga perioada T ;

- precizare : agentul economic nu este obligat sa se aprovizioneze cu intreaga

cantitate Q : el are libertatea sa decida singur cu cat se va

aproviziona efectiv ;

- vom nota cu " x " cantitatea efectiva cu care se aprovizioneaza agentul

economic ;

- aprovizionarea are loc o singura data , la inceputul perioadei T , si se face

cu intreaga cantitate " x " ;

- activitatea este dimensionata de un sistem de costuri : in cadrul acestei

variante , vom folosi urmatoarele :

- costul unitar pentru produsul cu care se face aprovizionarea

notat prin C₁ ( se masoara in lei/kg.) ;

- agentul economic poate sa comande mai putin decat cantitatea

totala necesara Q , dar in acest caz va aparea o perioada de

timp in care nu se va desfasura nici o activitate , din lipsa

materiei prime :aceasta perioada o vom numi perioada cu

lipsa de stoc . In perioada lipsei de stoc , agentul economic

plateste penalizari proportionale cu durata lipsei si cu cantitatea

care lipseste : aceste penalizari se reflecta printr-un cost C₂

( masurat in lei / kg.x zi ) ;

- stocul initial se consuma cu viteza constanta , deci cantitatile consumate sunt

proportionale cu timpul ; deasemeni, si lipsa de stoc acumulata este tot

proportionala cu timpul .

Graficul evolutiei nivelului stocului :

- a: in cazul in care agentul economic se aprovizioneaza cu intreaga cantitate

necesara , deci cand stocul initial este egal chiar cu Q :

- b: in cazul in care agentul economic se aprovizioneaza cu o cantitate

" x ", mai mica decat necesarul Q de produs intreaga perioada :

Precizari - la inceputul perioadei gestiunii se plateste materia prima achizitionata

( cantitatea "x" kg. cu pretul de C₁ lei/kg. ) deci se plateste suma

totala

S₁ = C₁∙ x

- nivelul maxim al lipsei de stoc va fi egal cu :

( necesarul pe intreaga perioada ) - ( cantitatea cu care s-a facut aprovizionarea )

adica Q - x ;

- perioada gestiunii , T , se imparte in doua , anume :

- o perioada T₁ , in care exista materie prima necesara desfasurarii

activitatii : in aceasta perioada nu se platesc penalizari ;

- o perioada T₂ , in care nu exista materie prima ; in aceasta perioada se platesc penalizari , pentru nivelul mediu al lipsei de stoc ( adica

kg. ) , timp de T₂ zile , cu pretul C₂ lei/kg. x zi : suma totala

platita in aceste conditii va fi

Suma totala platita in perioada T a gestiunii va fi deci :

Precizare am folosit notatia S(x) deoarece suma S depinde de cantitatea variabila       "x"

== // ==

Forma explicita a functiei S(x) :

In expresia lui S(x) prezentata in formula (1) apar cantitatile T₁ care nu sunt variabile independente,ci depind de variabila "x" .

Vom gasi expresiile T_1,2 in functie de "x" si vom da astfel o forma explicita costului S(x) ; aceasta forma va fi folosita pentru a gasi valoarea lui "x" pentru care functia S(x) ia valoarea minima , deci valoarea care corespunde celei mai bune gestiuni a afacerii .

NOTA aceasta valoare se numeste " valoare optima " si va fi notata prin x^* .

Revenim la figura 2 , unde introducem o serie de notatii :

Aici , triunghiurile (ABC) si (CDE) sunt triunghiuri asemenea , deci avem :

, adica : ( 2 ) .

- in relatia (2) : - copiem numaratorii

- la numitori adunam numaratorii

Obtinem :

deci :

(3):

- in relatia (2) : - copiem numitorii

- la numaratori adunam numitorii

Obtinem :

deci : (4):

Acum , inlocuind T_1,2 dati de relatiile ( 3) , (4) in relatia (1) , gasim forma explicita a functiei S(x) , anume :

(5):

== // ==

Determinarea variantei optime de aprovizionare :

Expresia (5) reprezinta un trinom de gradul 2 in raport cu variabila "x

mai mult , coeficientul lui x² in acest trimom , anume , este pozitiv , deci avem un trinom cu minim , ceeace corespunde intentiilor noastre .

Valoarea optima a variabilei " x " este data de formula cunoscuta,

adica

Rezultatul :

(6):

reprezinta cantitatea optima de aprovizionat , pentru care costul total al gestiunii pe perioada T este cel mai mic.

Concluzii : - din formula (6) se vede ca , daca agentul economic are libertatea sa lucreze cu lipsa de stoc, atunci niciodata nu va comanda intreaga       cantitate necesara pe perioada gestiunii : daca ar proceda asa , ar avea cheltuieli mai mari decat daca ar fi dispus sa admita si lipsa de

stoc.

- se vede ca nivelul optim al comenzii este , in toate cazurile , mai mic decat , adica decat jumatate din necesarul efectiv pe perioada T .

Nota : costul gestiunii optime se gaseste inlocuind expresia lui x^* data de relatia (6)

in expresia lui S(x) data de (5): gasim

= END =