Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

 
CATEGORII DOCUMENTE
AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Breviar teoretic, exemple si teste de MATEMATICA Clasa a VII-a

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic


DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
Unghiul - FISA DE LUCRU
Paritate, imparitate
Probleme de transport
Surse discrete de informatie
Harti si planuri. Scara.
FUNCTIA BIJECTIVA
NUMERE COMPLEXE - Probleme propuse
METODA CELOR MAI MICI PATRATE
TEME SI TESTE Matematica-Informatica Clasele V-VI
Proprietatile functiei logaritmice

TERMENI importanti pentru acest document

: : numere direct proportionale exemple : rationalizarea numitorilor exemple : calculul probabilitatiilor exemple matematica :

Breviar teoretic, exemple si teste de

MATEMATICA

Clasa a VII-a

     

Cuprins:

ALGEBRA

GEOMETRIE

1

Multimea numerelor rationale

2

1

Patrulatere

17

2

Multimea numerelor reale

6

2

Asemanarea triunghiurilor

21

3

Calcul algebric

10

3

Relatii metrice

24

4

Ecuatii si sisteme de ecuatii

12

4

Cercul si poligoane regulate

27

5

Elemente de organizare a datelor

15


Simboluri MATEMATICE

Simbolul

Semnificatia

Exemplu

Æ

Multimea vida

Multimea care nu are nici un element

È

Reuniune

Ç

Intersectie

-

Diferenta

Ì

 Incluziune

I

Apartenenta

;   PIAB       

Û

Implicit, echivalent

T

Rezulta

a

Suma

'

Oricare ar fi

'aIZ,  2a este numar par

$

Exista

', m,n¹0, ($)astfel incat

@

Aproximativ egal

125:62 @ 2

|

Il divide

3|15

Se divide

189

£

Mai mic sau egal

³

Mai mare sau egal

®

Tinde, cu valori in …, definita pe…

;     

¥

Infinit

Radacina patrata

[AB]

Segmentul AB

s

Congruent, identic

;  

~

Asemenea

DABC ~ DMNP

^

Perpendicular

AB^MN

||

Paralel

AB || MN

D

Triunghi

DABC

Distanta de la un punct la o dreapta

Distanta de la un punct la un plan

p

Numar irrational

p @ 3,15159…


ALGEBRA

1.     Multimea numerelor rationale

1.1        Multimea numerelor rationale Q

Un numar rational este numarul care poate fi scris sub forma unei fractii ordinare.

Exemple de numere rationale:

;  ;  ;  ;  .

1.2        Reprezentarea pe axa numerelor

Orice numar rational poate fi reprezentat pe axa numerelor:

1.3        Opusul unui numar rational

§ Orice numar rational are un opus al sau.

§ Numere rationale sunt de doua feluri: pozitive si negative.

§ Suma a doua numere opuse este nula.

Opusul lui a este -a.

  a + (-a) = 0

Exemple: opusul lui 7 este -7; opusul lui -5 este 5;

1.4        Valoarea absoluta

Valoarea absoluta (modulul) a unui numar rational este distanta dintre punctul ce reprezinta numarul pe axa numerelor si originea axei, O.

1.5        NÌZÌQ

Am aratat la 1.1 ca orice numar natural sau intreg poate fi scris sub forma unei fractii ordinare. De aceea numerele naturale sunt incluse in multimea numerelor intregi care la randul lor sunt incluse in multimea numerelor rationale.

;

T  NÌZÌQ.

1.6        Operatii cu numere rationale; proprietati

Adunarea si scaderea

Pentru a efectua adunarea sau scaderea numerelor rationale este necesar a parcurge urmatorii pasi:

§   Se transforma fractiile zecimale in fractii ordinare;

§   Se aduc fractiile la acelasi numitor;

§   Se efectueaza adunarea/scaderea.

Exemplu:

Proprietatile adunarii:

§         Adunarea este comutativa:               a + b = b + a.

§         Adunarea este asociativa:                 a + b + c = (a + b) + c.

§         Elementul neutru al adunarii este 0:  a + 0 = a.

§         Pentru orice a exista opusul lui astfel incat:  a + (-a) = 0

Inmultirea

§   La inmultirea unui numar intreg cu o fractie, se inmulteste numarul intreg cu numaratorul fractiei, numitorul ramanand neschimbat;

§   Se transforma fractiile zecimale in fractii ordinare;

§ La inmultirea a doua fractii ordinare se inmultesc

   numaratorii intre ei si numitorii intre ei.   

Exemplu:

         a) 

         b) 

Proprietatile inmultirii:

§         Inmultirea este comutativa:                   a × b = b × a;

§         Inmultirea este asociativa:                     a × b × c = (a × b) × c;

§         Elementul neutru al inmultirii este 1:    a × 1 = a;

§         Inmultirea este distributiva fata de adunare sau scadere:  a × ( b + c ) = a×b + a×c         

Impartirea

§ La impartirea a doua numere rationale se inmulteste primul numar cu al doilea inversat.

Exemplu:

Tabelul inmultirii semnelor:

F1

F2

P

+

+

+

+

-

-

-

+

-

-

-

+

Tabelul impartirii semnelor:

D

I

C

+

+

+

+

-

-

-

+

-

-

-

+

Ridicarea la putere

,,Puterea este o inmultire repetata”

           

Exemplu:

Operatii cu puteri:

§     1a = 1;

§     a1 = a;

§     a0 = 1, daca a ¹ 0;

§     0a = 0, daca a ¹ 0;

§       am × an = am+n;

§       am : an = am-n;

§       (am)n = am×n;

§       (a×b)m  =  am×bm.

1.7        Compararea si ordonarea numerelor rationale

A compara doua numere inseamna a arata care numar este mai mare decat celalalt.

§   Pentru a compara doua numere rationale reprezentate prin fractii ordinare, se procedeaza astfel:

1)      Se aduc fractiile la acelasi numitor, iar fractia va fi mai mare cea cu  numaratorul mai mare.

2)      Se aduc fractiile la acelasi numarator, iar fractia va fi mai mare cea cu  numitorul mai mic.

§   Pentru a compara doua fractii zecimale cu partile intregi egale, se adauga un numar de zecimale fara a modifica valoarea numarului si se compara partile fractionare.

§   Pentru a compara doua numere negative se compara valorile va fi mai mare numarul care are valoarea absoluta mai mica.

Exemple:

1)      ;

2)      ;

3)      ;

4)     

1.8        Ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor

§   Intr-un exercitiu de calcul aritmetic ce contine mai multe operatii cu numere rationale se efectueaza mai intai ridicarile la putere, apoi inmultirile si impartirile in ordinea in care sunt scrise si apoi adunarile si scaderile, la fel, in ordinea in care sunt scrise.

§   In exercitiile de calcul aritmetic care contin paranteze se efectueaza mai intai calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din paranteze mari (drepte) si apoi cele din accolade.

§   Daca in fata unei paranteze ce contine un numar rational sau o suma/diferenta de numere rationale se afla simbolul ,,-”, atunci se poate elimina semnul si paranteza, scriind numerele din paranteza cu semnul schimbat.

Exemplu:

.

1.9        Ecuatii in multimea numerelor rationale

•   Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o necunoscuta, unde a si b sunt numere rationale.

•   Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.

•   Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei.                  

                    

Exemplu:

AStabilim c.m.m.m.c. al numitorilor si amplificam fractiile:


AAmplificam numaratorii si scriem ecuatia fara numitori:


ATrecem termenii dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat:


AEfectuam operatiile de adunare/scadere:


AImpartim ecuatia prin coeficientul necunoscutei:


AIn final, aflam solutia ecuatiei:

1.10    Probleme ce se rezolva cu ajutorul ecuatiilor 

Etapele de rezolvare a unei probleme:

1) Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema.

2) Notarea unei date necunoscute cu x si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie de x.

3) Scrierea unei ecuatii cu necunoscuta x, folosind datele problemei.

4) Rezolvarea ecuatiei.

5) Verificarea solutiei.

6) Formularea concluziei.

Exemplu:

Intr-un triunghi ABC, masura unghiului B este de doua ori mai mare decat masura unghiului A iar masura unghiului C este 75% din masura unghiului B. Aflati masura unghiului A.

Rezolvare:

1) Notam masura unghiului A cu x.

2) Din datele problemei rezulta ca masura unghiului B este egala cu 2x.

     La fel din datele problemei rezulta ca masura unghiului C este 75%  din 2x, adica este egala cu 1,5x .

3) Daca suma masurilor unghiurilor intr-un triunghi este egala cu 1800, atunci obtinem ecuatia:

4)      x + 2x + 1,5x = 1800

In urma rezolvarii ecuatiei, obtinem   x = 400.

5) Verificam solutia:  400 + 800 + 600 = 1800.

1.11    Rapoarte si proportii (*) 

a           Raportul a doua numere a si b, b ¹ 0 este

a           Egalitatea a doua rapoarte se numeste proportie:

; ;

a           Proprietatea fundamentala a unei proportii: (produsul mezilor este egal cu produsul extremilor).

a           Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proportie:

        Exemplu:  

(*) = teme din programa veche.

1.12    Proportii derivate  (*)

œ     Derivarea proportiilor cu aceeasi termeni:

                                                   

œ     Derivarea proportiilor cu alti termeni:

               

1.13    Sir de rapoarte egale (*)

Fie un sir de rapoarte egale:  ;

Avem proprietatea:

Sau: , unde:

Exemplu:

Fie  si . Sa se afle numerele a, b si c.

Rezolvare:  .

De unde:  

1.14    Directa proportionalitate (*)

Multimea A= este in directa proportionalitate cu multimea B= daca:  .

Exemplu: Impartiti numarul 100 in trei parti direct proportionale cu numerele 3, 7 si 10.

Rezolvare:

T  


1.15    Inversa proportionalitate  (*)

Multimea A= este in inversa proportionalitate cu multimea B= daca: 

 sau 

Exemplu: Impartiti numarul 121 in trei parti direct proportionale cu numerele 3, 7 si 10.

Rezolvare:          .

T  

1.16    Regula de trei simpla  (*)

Exemplu:

Daca 5 paini costa 7,50 lei atunci cat vor costa 12 paini?

Rezolvare:

Exemplu:

Daca 15 muncitori efectueaza o lucrare in 8 zile, 12 muncitori in cate zile ar termina aceeasi lucrare?

Rezolvare:

1.17    Procente  (*)

Formula generala:     p% din a = b     sau    

¦ Aflarea unui procent dintr-un numar dat:

          

Exemplu:

¦     Aflarea unui numar cand se cunoaste un procent din el:

Daca

Exemplu:

¦  Aflarea raportului procentual:

     Daca 

Exemplu:

¦  Formula de inlocuire a doua modificari     procentuale:

           unde: 

Exemplu:

Pretul unui produs prima data se majoreaza cu 40% si apoi se reduce cu 30% din noul pret.

Sa se afle cu cat % s-a modificat pretul de la cel initial la cel final ?

Raspuns: pretul a scazut cu 2% (semnul minus ne arata ca pretul a scazut).

RAPOARTE SI PROCENTE*

  • Toate subiectele sunt obligatorii.
  • Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.
  • Se acorda 10 puncte din oficiu.

SUBIECTUL I (50 puncte) – Pe lucrare se trec numai rezultatele.

4p

1.

a)

Daca  a = 16  si  b = 18,   atunci valoarea raportului  este egala cu …..

4p

b)

Daca , atunci  este egal cu ……

4p

c)

Daca ,  atunci   este egal cu …….

4p

2.

a)

25% din 45 este egal cu ……

4p

b)

din 45 este egal cu …..

4p

c)

Daca un caiet costa 2,5 lei, atunci 6 caiete vor costa ……lei.

4p

3.

a)

Daca avem   ,   atunci x este egal cu ……

4p

b)

Daca 30% din x este egal cu 21, atunci x este egal cu ……

6p

c)

Daca  si , atunci a = …..

4p

4.

a)

Un sfert din 300 este egal cu ……..

4p

b)

O jumatate din 50 este egal cu …….

4p

c)

Trei optimi din 64 este egal cu …….

 SUBIECTUL II (40 puncte) – Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.

1.

5p

a)

Daca   atunci ………

5p

b)

20% din 30% din 40% din din 500 kg este egal cu ……kg.

5p

2.

a)

Numerele a, b, c sunt direct proportionale cu 2, 3 si 4. Numerele c, d, e sunt invers proportionale cu 2, 3 si 4.  

Demonstrati ca   a = e.

5p

b)

Daca ,  aflati valoarea numarului a.

5p

c)

Cat la suta din b reprezinta numarul e ?

3.

Un calator parcurge un traseu in trei zile astfel: in prima zi parcurge 40% din traseu, in a doua zi parcurge 50% din cea mai ramas iar in ultima zi ultimii 18 km.

5p

a)

Aflati lungimea totala a traseului.

5p

b)

Cat a parcurs a doua zi?

5p

c)

Cat la suta din lungimea traseului a parcurs calatorul in primele doua zile?


MULTIMEA NUMERELOR RATIONALE

  • Toate subiectele sunt obligatorii.
  • Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.
  • Se acorda 10 puncte din oficiu.

SUBIECTUL I (50 puncte) – Pe lucrare se trec numai rezultatele.

4p

1.

a)

Rezultatul calculului      este egal cu …….

4p

b)

Rezultatul calculului      este egal cu …….

4p

c)

Rezultatul calculului      este egal cu …….

4p

2.

a)

Dintre numerele  si  este mai mare numarul …

4p

b)

Opusul numarului   este egal cu …

4p

c)

 este egal cu …

4p

3.

a)

4p

b)

4p

c)

6p

4.

a)

Solutia ecuatiei   este x = ……

4p

b)

Solutia ecuatiei   este x = ……

4p

c)

Solutiile ecuatiei    sunt  ……

 SUBIECTUL II (40 puncte) – Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.

1.

Fie numerele  si

5p

a)

Calculati .

5p

b)

Calculati . Ce constatati?

5p

2.

a)

Aflati a 2008-a zecimala a numarului 2,6(342).

5p

b)

Aratati ca .

5p

c)

Calculati suma .

3.

Dupa o crestere cu 10% pretul unui obiect devine 165 de lei.

5p

a)

Aflati pretul inainte de scumpire.

5p

b)

Cu cat la suta trebuie sa se reduca pretul de 165 de lei astfel incat sa devina din nou la pretul initial?

5p

c)

Daca pretul initial era de 150 de lei, cu cat la suta se reduce astfel incat sa devina 105 lei?

 


2.     Multimea numerelor reale

2.1        Radacina patrata a unui numar natural patrat perfect

Patratul unui numar rational este totdeauna pozitiv sau zero (adica nenegativ).

DEFINITIE

Fie a un numar rational nenegativ (a ³ 0). Numarul nenegativ  x  se numeste radacina patrata a numarului  a  daca  x2 = a.

Notam radacina patrata a numarului a cu        .   Daca


Exemple:


2.2        Algoritmul de extragere a radacinii patrate; aproximari

èSa calculam radacina patrata a lui 55225.

èDespartim numarul in grupe de cate doua cifre, de la dreapta spre stanga

èNe intrebam: care este cel mai mare numar al carui patrat este mai mic sau egal cu 5.

Acesta este 2; il scriem in dreapta sus;

èIl ridicam la patrat, obtinem 4 si-l trecem sub 5, aflam restul scaderii 1.

èCoboram grupul de urmatoarele 2 cifre langa rest.

èDublam pe 2 si rezultatul 4 il trecem sub 2.

èNe gandim care cifra punem alaturi de 4 si rezultatul il inmultim cu cifra aleasa astfel incat numarul dat sa se cuprinda in 152.

èNe gandim care cifra punem alaturi de 4 si rezultatul il inmultim cu cifra aleasa astfel incat numarul dat sa se cuprinda in 152.

èRezultatul fiind 129, il trecem sub 152 si aflam restul scaderii.

èCifra 3 o trecem la rezultat, alaturi de 2.

èCoboram urmatoare grupa de cifre, pe 25, langa restul 23.

èCoboram dublul lui 23, care este 46.

èNe gandim care cifra punem alturi de 46, numarul format Il inmultim cu acea cifra iar rezultatul sa fie mai mic sau egal cu 2325.

èAcesta poate fi 5 si facem calculele.

èTrecem rezultatul 2325 sub numarul 2325 si efectuam scaderea.

èRestul fiind zero, algoritmul s-a terminat, cifra 5 o trecm la rezultat alaturi de 23.

Asadar, radical din 55225

 este egal cu 235.

2.3        Exemple de numere irationale


Simbolul multimii numerelor irationale: R – Q.

2.4        Multimea numerelor reale

Multimea numerelor naturale  N =

Multimea numerelor intregi  Z =

Multimea numerelor rationale

Multimea numerelor irationale.  Numerele irationale sunt numere care in exprimarea zecimala au partea zecimala infinita si neperiodica.

2.5        Modulul unui numar real

Valoarea absoluta (modulul) a unui numar real  este distanta dintre punctul ce reprezinta numarul pe axa numerelor si originea axei, O.

2.6        Compararea si ordonarea numerelor reale

APentru a compara doua numere rationale se va proceda ca la 1.7.

APentru a compara doua numere irationale se procedeaza astfel:

a)      se introduc factorii sub radicali si se compara numerele;

b)      se ridica la patrat numerele date si se compara patratele acestora.

Exemple:

a)  

b)   T  T

2.7        Reprezentarea pe axa prin aproximari

Faptul ca multimea numerelor reale este compusa din multimea numerelor rationale si multimea numerelor irationale, ramane doar sa aratam cum se reprezinta pe axa un numar irrational.

Exemplu:

Sa se reprezinte pe axa numerelor numarul .

;   T  .

2.8        NÌZÌQÌR

Fie multimea 


T   NÍZÍZÍQÍR

2.9        Reguli de calcul cu radicali

1)  ;

2)  ;

3)  Introducerea factorilor sub radical: ;

4)  Scoaterea factorilor de sub radical: ;

5)  Rationalizarea numitorilor: .

Exemple:  1) ;

                  2) ;

                   3) ;

                   4) ;

                   5)    .         

2.10    Operatii cu numere reale

§   Intr-un exercitiu de calcul aritmetic ce contine mai multe operatii cu numere reale se efectueaza mai intai ridicarile la puteresi scoaterea factorilor de sub radicali, apoi inmultirile si impartirile in ordinea in care sunt scrise si apoi adunarile si scaderile, la fel, in ordinea in care sunt scrise.

§   In exercitiile de calcul aritmetic care contin paranteze se efectueaza mai intai calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din paranteze mari (drepte) si apoi cele din accolade.

§   Daca in fata unei paranteze ce contine un numar real sau o suma/diferenta de numere reale se afla simbolul ,,-”, atunci se poate elimina semnul si paranteza, scriind numerele din paranteza cu semnul schimbat.

Exemplu:

1.

2.11    Media geometrica a doua numere reale positive

  Media geometrica (proportionala) se calculeaza cu:

Exemplu:

Daca ;

Exercitii propuse spre rezolvare

1.Sa se efectueze :  [1,05-9(0,1125-0,0025)] :[(0,175 :0,25+14) :1,54]+0,95

2.Un elev citeste in prima zi  din numarul paginilor unei carti iar a doua zi restul de 60 pagini. Cate pagini are cartea si cat a citit elevul in prima zi ?

3.Ce suma a avut un elev, care daca dupa ce a cheltuit  din ea, apoi din cat i-a mai ramas, apoi inca 34 de lei, constata ca mai are 14 lei ?

4. Se da: x =

        Sa se calculeze x6.

5. Determinati valoarea de adevar a propozitiilor:

P1: ;

P2: ;

P3: , oricare ar fi nN.

6. Precizati daca numarul   A=  este negativ, pozitiv sau nul.

7. Fie numarul a =

a) numarul a este pozitiv sau negativ?

b) aratati ca   a2 = 2;

c) calculati  (a +)100.

MULTIMEA NUMERELOR REALE

  • Toate subiectele sunt obligatorii.
  • Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.
  • Se acorda 10 puncte din oficiu.

SUBIECTUL I (50 puncte) – Pe lucrare se trec numai rezultatele.

4p

1.

a)

Rezultatul calculului este egal cu …

4p

b)

Rezultatul calculului este egal cu …

4p

c)

Rezultatul calculului este egal cu …

4p

2.

a)

este egal cu …

4p

b)

4p

c)

Rationalizand numitorul fractiei  se obtine fractia ….

4p

3.

a)

Dintre numerele si mai mare este numarul …

4p

b)

 este egal cu ….

4p

c)

Cel mai mare numar natural dar mai mic decat este egal cu ….

4p

4.

a)

Dupa introducerea factorului sub radical, , se obtine numarul …

4p

b)

Dupa scoaterea factorului de sub radical, , se obtine numarul ….

6p

c)

Media geometrica a numerelor si este egala cu …

 SUBIECTUL II (40 puncte) – Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.

5p

1.

a)

Calculati:

7p

b)

Sa se arate ca , unde

.

5p

2.

a)

Sa se rezolve ecuatia 1518x = 37 + 38 + 39 + … + 128.

7p

b)

Sa se arate ca numarul este divizibil cu 42.

6p

c)

Sa se calculeze suma .

3.

La extemporalul de matematica elevii au avut de rezolvat doua probleme. Stiind ca 80% au rezolvat prima problema, 60% au rezolvat cea de-a doua probleme si 8 elevi au rezolvat ambele probleme, sa se calculeze:

5p

a)

Numarul elevilor din clasa.

5p

b)

Cati elevi au rezolvat prima problema.


3.     Calcul algebric

3.1  Calcule cu numere reale reprezentate prin litere

Termenii de forma cl unde c, numit coeficientul termenului, reprezinta un numar, iar, l, partea literala a termenului, este formata din numere reprezentate prin litere, eventual, cu diversi exponenti, ii numim termeni asemenea daca partile lor literale sunt identice, iar adunarea lor se numeste reducerea termenilor asemenea.

Exemple:

1)      Perechi de termeni asemenea: ; .

2)      Adunarea: .

3)      Inmultirea: .

4)      Impartirea:  .

5)      Ridicarea la o putere:  .

3.2  Formule de calcul prescurtat

Formule utilizate:

1)      Produsul dintre un numar si o suma/diferenta:

2)      Patratul unui binom:                                        

3)      *Patratul unui trinom: 

4)      Produsul sumei cu diferenta:        

5)      Produsul a doua paranteze: 

Exemple:

1) 

2)   

3) 

4) 

5) 

3.3  Descompuneri in factori

Formule utilizate:

1)      Scoaterea factorului comun:

2)      Restrangerea patratului unui binom:

3)      Diferenta de patrate:

4)      Descompunerea unui trinom de forma: ; daca

           atunci: .

Exemple:

1)      ; 

2)      ;

3)      ;

4)      .

3.4  Ecuatia de forma x2 = a,  unde aIQ+.

De retinut:

Doua numere reale opuse au acelasi patrat.

Rezolvarea unei ecuatii de forma   x2 = a,

  unde aIQ+:

ADaca x2 = a,  atunci avem:

Exemplu:

1)

2)

CALCUL ALGEBRIC

·        Toate subiectele sunt obligatorii.

·        Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.

·        Se acorda 10 puncte din oficiu.

SUBIECTUL I (50 puncte) – Pe lucrare se trec numai rezultatele.

4p

1.

a)

Rezultatul calculului   este …

4p

b)

Rezultatul calculului   este …

4p

c)

Rezultatul calculului   este …

4p

2.

a)

 este egal cu …

4p

b)

 este egal cu …

4p

c)

  este egal cu …

4p

3.

a)

Forma descompusa a    este …….

4p

b)

Forma descompusa a    este …….

4p

c)

Forma descompusa a    este …….

4p

4.

a)

Solutiile ecuatiei  sunt ……si……

6p

b)

Solutiile reale ale ecuatiei   sunt .

4p

c)

Valoarea expresiei pentru este egala cu …

 SUBIECTUL II (40 puncte) – Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.

1.

Sa se calculeze:

5p

a)

5p

b)

3452 - 452

6p

2.

a)

Sa se calculeze: .

5p

b)

Sa se calculeze media aritmetica a numerelor  si .

7p

c)

Sa se calculeze media geometrica a numerelor  si .

3.

Fie expresia .

5p

a)

Aflati valoarea lui E pentru x = 4 si y = 3.

7p

b)

Aflati valoarea lui E pentru


4.     Ecuatii si sisteme de ecuatii

4.1  Proprietati ale relatiei de egalitate in multimea numerelor reale

  1. Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d, daca a = b si c = d atunci a + c = b + d;
  2. Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d, daca a = b si c = d atunci a - c = b - d;
  3. Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d, daca a = b si c = d atunci a × c = b × d;
  4. Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d,

      c ¹ 0, d ¹ 0, daca a = b si c = d

      atunci a : c = b : d.

Exemplu

Folosind proprietatile egalitatilor, afla x precizand de fiecare data ce proprietate s-a folosit:

               A proprietatea 3.

 A proprietatea 1.

                 A proprietatea 4.

4.2  Ecuatii de forma ax + b = 0, a,bIR; multimea solutiilor

•   Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o necunoscuta, unde a si b sunt numere reale.

•   Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.

•   Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei.    

     

Exemplu:

        

T

T

T.

4.3  Ecuatii echivalente

Doua ecuatii care au acelasi domeniu de variatie si aceeasi multime de solutii se numesc ecuatii echivalente.

Exemplu:

Ecuatiile  sunt echivalente relative la R, deoarece au acelasi domeniu de variatie, R si aceeasi multime de solutii .

4.4  Sisteme de ecuatii

Forma generala a unui sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute:

Metode algebrice de rezolvare:

1)      Metoda substitutiei:

§   Se afla dintr-o ecuatie o necunoscuta in functie de cealalta necunoscuta;

§   Se introduce valoarea acestei necunoscute in cealalta ecuatie si se rezolva ecuatia;

§   Se afla cealalta necunoscuta.

2)      Metoda reducerii:

§   Se alege o necunoscuta cu scopul de a fi ,,redusa” si se identifica coeficientii sai;

§   Se afla c.m.m.m.c. al coeficientilor si se inmultesc ecuatiile astfel incat sa se obtina coeficientii necunoscutei numere opuse;

§   Se aduna ecuatiile si se obtine o ecuatie cu o singura necunoscuta, dupa care se rezolva;

§   La fel se procedeaza cu cealalta necunoscuta.

Exemple:

1)      Metoda substitutiei:

din T;

Introducem pe  in

T  T TT

Introducem pe  in T T .

2)      Metoda reducerii:  T

                                                              T ;

T                    

                                                    T

T                                                                                                                                                          

4.5  Proprietati ale relatiei de inegalitate ,,£” pe multimea R

1)      Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d, daca

      a £  b si c = d atunci a + c £  b + d;

2)      Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d, daca

      a £  b si c = d atunci a - c £  b - d;

3)      Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d, daca

      a £  b si c = d si pozitive, atunci a × c £  b × d

      si   a :c £ b :d  daca c si d sunt diferite de zero.

4)      Oricare ar fi numerele reale a si b, daca a £ b si k < 0, atunci: a × k ³ b × k sau  a : k ³ b : k.

Exemplu:

Folosind proprietatile inegalitatilor, afla x precizand de fiecare data ce proprietate s-a folosit:

               A proprietatea 3.

 A proprietatea 1.

            A proprietatea 4.

4.6  Inecuatii de forma ax + b > 0, (<,£,³), a,bIR cu x in Z

•   Propozitia cu o variabila de forma ax + b > 0 se numeste inecuatie cu o necunoscuta, unde a si b sunt numere reale.

•   Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.

•   Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti inegalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei. Daca o inecuatie se va inmulti/imparti cu un numar negativ atunci sensul inegalitatii se schimba.

Exemplu:

T

T

T

4.7  Probleme ce se rezolva cu ajutorul ecuatiilor, al sistemelor si al inecuatiilor

Etapele de rezolvare a unei probleme:

1.      Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema.

2.      Alegerea necunoscutei (necunoscutelor) si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie de aceasta (acestea).

3.      Alcatuirea unei ecuatii (sistem de ecuatii) cu necunoscuta (necunoscutele)  aleasa (alese), folosind datele problemei.

4.      Rezolvarea ecuatiei (sistemului de ecuatii).

5.      Verificarea solutiei.

6.      Formularea concluziei problemei.

Exemplu:

Suma a trei numere este egala cu 43. Stiind ca numarul cel mai mare este dublul celui mijlociu si numarul cel mai mic este cu 17 mai mic decat cel mai mare, aflati cele trei umere.

Rezolvare:

 Stiind ca suma este egala cu 43, trebuie sa exprimam valorile a doua numere in functie de valoarea celui de-al treilea numar;

Fie x numarul mjlociu. Din datele problemei rezulta ca 2x este cel mai mare numar iar 2x-17 este cel mai mic numar.

Obtinem ecuatia:

pe care o rezolvam:

Deci 12 este numarul mijlociu, 2×12 = 24 este numarul cel mare si 24 - 17 = 7 este numarul mic.

Verificam: 7 + 12 + 24 = 43.

ECUATII SI SISTEME DE ECUATII

  • Toate subiectele sunt obligatorii.
  • Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.
  • Se acorda 10 puncte din oficiu.

SUBIECTUL I (50 puncte) – Pe lucrare se trec numai rezultatele.

4p

1.

a)

Solutia ecuatiei este

4p

b)

Solutia ecuatiei este

4p

c)

Solutia ecuatiei este  pentru 

4p

2.

a)

Solutia sistemului   este

4p

b)

Solutiile naturale ale inecuatiei   sunt

4p

c)

Stabiliti valoarea de adevar a propozitiei: Ecuatiile  si sunt echivalente.

4p

3.

a)

Solutia sistemului   este

4p

b)

Fie . Daca  atunci

4p

c)

Solutia ecuatiei  este

6p

4.

a)

Fie ecuatia  .

Radacina negativa a ecuatiei este ……

4p

b)

Suma radacinilor ecuatiei date este egala cu ….

4p

c)

Produsul radacinilor ecuatiei date este egal cu ….

 SUBIECTUL II (40 puncte) – Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.

10p

1.

Rezolvati sistemul de ecuatii: 

6p

2.

a)

Aratati ca ecuatia:   nu are solutii.

7p

b)

Sa se rezolve ecuatia  .

5p

c)

Daca impartim numarul 18 la x si adunam la rezultat pe 16 obtinem numarul 19. Sa se determine numarul x.

3.

Un croitor pentru confectionarea unei bluze consuma 2m de stofa iar pentru o rochie consuma 3m de stofa.

5p

a)

Daca in total a consumat 30m de stofa si a confectionat 11 de articole, sa se afle cate bluze si cate rochii a confectionat croitorul.

7p

b)

Sa se afle numarul posibil de rochii si bluze ce pot fi confectionate din 40m de stofa.

5.     Elemente de organizare a datelor si calculul probabilitatilor

5.1  Produsul cartezian a doua multimi nevide

Exemplu:

A=,  B=

5.2  Reprezentarea intr-un sistem de axe perpendiculare

Exemplu:

5.3  Distanta dintre doua puncte din plan

§ Reprezentam cele doua puncte intr-un sistem de axe perpendiculare (sistem ortogonal de doua axe);

§ Ducem din A o perpendiculara ape Ox si din B pe Oy pana se intersecteaza in C;

§ Aflam distanta de la A la C si de la B la C;

§ Aplicam teorema lui Pitagora in DABC si aflam lungimea lui AB.

Sau daca puteti sa retineti formula:

5.4  Reprezentarea si interpretarea unor dependente functionale prin tabele, diagrame si grafice.

Intr-o clasa, in urma unui test la matematica, s-au obtinut urmatoarele rezultate: 3 elevi au luat calificativul FB,

5 elevi au luat calificativul B, 4 elevi au luat calificativul S si 2 elevi au luat calificativul I. Sa se reprezinte in mai multe moduri aceasta situatie.

Reprezentarea prin tabel

Calificativ

FB

B

S

I

Nr. elevi

3

5

4

2

Reprezentarea prin diagrama

Reprezentarea prin grafic

5.5  Calculul probabilitatilor

Probabilitatea de realizare a unui eveniment este egala cu raportul dintre numarul cazurilor favorabile (nf) si numarul total de cazuri posibile (np).

Exemplu:

Intr-o urna sunt 15 bile rosii, 18 bile albe si 27 bile negre. Care este probabilitatea ca extragand la intamplare o bila, aceasta sa fie neagra?

ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR

·        Toate subiectele sunt obligatorii.

·        Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.

·        Se acorda 10 puncte din oficiu.

Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.

1.

Intr-un sistem ortogonal xOy sunt punctele A(-3;-4),  B(5;4), C(5;0)

10p

a)

Reprezentati cele trei puncte.

10p

b)

Aflati distanta dintre punctele A si B.

10p

c)

Aflati perimetrul triunghiului ABC.

10p

d)

Aflati aria triunghiului ABC.

5p

2.

a)

In urma unui test la matematica elevii unei clase au obtinut urmatoarele rezultatele conform tabelului de mai jos:

Nota

4

5

6

7

8

9

10

Nr. de note

1

2

3

4

5

3

2

Aflati numarul de elevi din clasa.

10p

b)

Aflati media clasei.

10p

c)

Reprezentati printr-o diagrama repartitia notelor.

3.

Intr-o urna sunt 3 bile albe si 5 bile negre.

10p

a)

Care este probabilitatea ca extragand la intamplare o bila aceasta sa fie neagra?

15p

b)

Care este probabilitatea ca extragand la intamplare doua bile, acestea sa fie ambele negre?


GEOMETRIE

 

1.     Patrulatere

1.1  Patrulater convex; suma masurilor unghiurilor

Patrulaterul convex este patrulaterul in care punctual de intersectie al celor doua diagonale se afla in interiorul acestuia (mai sunt si alte definitii).

§      Are 4 laturi (AB, BC, CD, AD);

§      Are doua diagonale (AC, BD);

§      Are 4 varfuri (A, B, C, D);

§      Suma masurilor unghiurilor intr-un patrulater convex este egala cu 3600.

1.2  Paralelogram; proprietati

Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele doua cate doua.

Proprietati:

1.      Laturile opuse sunt congruente doua cate doua. [AB]s[CD]; [BC]s[AD] .

Unghiurile opuse sunt congruente, <As<C si <Bs<D;   

2.      Unghiurile alaturate sunt suplementare, m(<A)+m(<B)=1800 si m(<B)+m(<C)=1800;

4. Intr-un paralelogram diagonalele se intersecteaza injumatatindu-se,     [OA]s[OC]; [OB]s[OD] .

1.3  Paralelograme particulare; proprietati

Dreptunghiul = este paralelogramul cu un unghi drept.

Alte proprietati:

1.      Toate unghiurile sunt congruente si de 900.

2.      Diagonalele sunt congruente.

Patratul = este paralelogramul cu toate laturile congruente si unghiurile de 900.

Alte proprietati:

1.      Toate laturile sunt congruente;

2.      Toate unghiurile sunt congruente si de 900;

3.      Diagonalele sunt congruente;

4.      Diagonalele se intersecteaza perpendicular un ape cealalta;

5.      Diagonalele sunt si bisectoarele unghiurilor.

Rombul

Alte proprietati:

1.      Toate laturile sunt congruente;

2.      Diagonalele sunt perpendiculare;

3.      Diagonalele sunt si bisectoarele unghiurilor.

1.4  Trapez - clasificare; trapez isoscel – proprietati

Definitie. Trapezul este patrulaterul care are doua laturi opuse paralele.

     In orice trapez, unghiurile alaturate unei laturi neparalele sunt                            suplementare. 

Trapez oarecare

Trapez dreptunghic

Trapez isoscel

TRAPEZ ISOSCEL

ATrapezul isoscel este trapezul care are laturile neparalele congruente; AD=BC.

AUnghiurile de la baza sunt congruente;<As<B si <Cs<D.

ADiagonalele sunt congruente; BD=AC.

1.5  Arii – triunghiuri si patrulatere

ARIA UNUI TRIUNGHI

]  ;

]  ;

] 

 unde  ;

]  Este de folos a se retine:

 ,      unde:

Cazuri particulare:

a) triunghi dreptunghic:

b) triunghi echilateral:

ARIA UNUI PARALELOGRAM

] 

] 

Aria unui dreptunghi

] 

] 

ARIA UNUI PATRAT

] 

] 

ARIA UNUI ROMB

] 

] 

] 

ARIA UNUI TRAPEZ

 

PATRULATERE

  • Toate subiectele sunt obligatorii.
  • Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.
  • Se acorda 10 puncte din oficiu.

SUBIECTUL I (50 puncte) – Pe lucrare se trec numai rezultatele.

4p

1.

a)

Paralelogramul cu un unghi drept se numeste …….

4p

b)

Intr-un romb diagonalele sunt ……… unghiurilor.

4p

c)

Intr-un dreptunghi diagonalele sunt ……. Intre ele.

4p

2.

a)

Perimetrul unui patrat cu latura de 3cm este egal cu …. cm.

4p

b)

Perimetrul unui dreptunghi cu lungimea de 12cm si latimea de 5cm este egal cu …. cm.

4p

c)

La un romb unghiul dintre diagonale este egal cu ….. 0.

4p

3.

a)

Suma masurilor unghiurilor intr-un patrulater convex este egala cu … 0.

4p

b)

Fie ABCD un paralelogram. Suma masurilor unghiurilor DAB si ABC este egala cu … 0.

4p

c)

Intr-un paralelogram unghiurile opuse sunt …………

4p

4.

a)

Aria unui patrat cu latura de 5cm este egala cu …..cm2.

4p

b)

Aria unui romb cu diagonalele de 6 si 10cm este egala cu …..cm2.

6p

c)

Aria unui trapez cu linia mijlocie de 10cm si inaltimea de 6cm este egala cu …..cm2.

 SUBIECTUL II (40 puncte) – Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.

1.

Fie paralelogramul ABCD, astfel incat mediatoarea d a laturii [BC] intersecteaza pe [AB] in mijlocul sau N si pe [BC] in M.

5p

a)

Demonstrati ca AC si BC sunt perpendiculare.

5p

b)

Fie = dÇBD. Demonstrati ca PO = PB unde = ACÇBD.

5p

c)

Daca AC = 16cm si BC = 12cm aflati aria lui ABCD si aria triunghiului BMN.

5p

2.

a)

In figura alaturata aveti triunghiul ABC cu BC = 12cm,

AC = 16cm, AD^BC, BE^AC, AD = 12cm.

Aflati aria triunghiului ABC.

5p

b)

Aflati lungimea lui BE.

3.

In trapezul ABCD, AB = 20cm-baza mare, CD = 12cm-baza mica si inaltimea de 6cm.

5p

a)

Calculati aria trapezului.

5p

b)

Aflati lungimea liniei mijlocii si a segmentului de pe linia mijlocie cuprins intre diagonale.

5p

c)

Daca dimensiunile trapezului se dubleaza, sa se calculeze aria trapezului.


 

  1. Asemanarea triunghiurilor

2.1  Segmente proportionale

Patru segmente sunt proportionale daca cu lungimile lor se poate forma o proportie.

 T

Cum impartim un segment dat in mai multe parti proportionale cu numere date?

De exemplu, impartiti un segment AB=42 cm in 3 parti proportionale cu numerele 3, 4 si 7.

Rezolvare:

T

T

2.2  Teorema lui Thales

Teorema. O paralela dusa la o latura intr-un triunghi determina pe celelalte doua (sau pe prelungirile lor) segmente proportionale.

Aplicatie. Daca AB=6, AC=9, AM=2 sa se afle lungimea lui NC.

TT

TTT

2.3  Linia mijlocie in triunghi

Segmentul de dreapta care uneste mijloacele a doua laturi se numeste linie mijlocie (vezi pe figura, MN = linie mijlocie, M si N mijloacele laturilor AB si AC).

Daca si P este mijlocul laturii BC, atunci cele trei linii mijlocii determina 4 triunghiuri congruente intre ele, fiecare cu un sfert din aria DABC si jumatate din perimetrul DABC.

2.4  Centrul de greutate al triunghiului

Segmentul de dreapta ce uneste varful unui unghi cu mijlocul laturii opuse se numeste mediana.

Punctul de intersectie al celor trei mediane se numeste centrul de greutate al triunghiului.

Proprietati:

è  Intr-un triunghi mediana il imparte in doua triunghiuri echivalente (de arii egale).

è 

2.5  Linia mijlocie in trapez; proprietati

Segmentul de dreapta care uneste mijloacele laturilor neparalele se numeste linie mijlocie.

A      si

A 

2.6  Triunghiuri asemenea

Doua triunghiuri se numesc asemenea daca au toate unghiurile respective congruente si laturile omoloage respective proportionale.

A <As<M; <Bs<N; <Cs<P;

A

2.7  Criterii de asemanare a triunghiurilor

Criteriul de asemanare LUL

Doua triunghiuri sunt asemenea daca au cate doua laturi respectiv proportionale si unghiurile cuprinse intre ele congruente.

Criteriul de asemanare LLL

Doua triunghiuri sunt asemenea daca au toate  laturile respectiv proportionale.

Criteriul de asemanare UU

Doua triunghiuri sunt asemenea daca au cate doua unghiuri respectiv congruente.

  <Bs<N

<Bs<N; <Cs<P

2.8  Teorema fundamentala a asemanarii

Teorema. O paralela dusa la o latura intr-un triunghi formeaza cu celelalte doua (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel dat.

 A     


ASEMANAREA TRIUNGHIURILOR

  • Toate subiectele sunt obligatorii.
  • Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.
  • Se acorda 10 puncte din oficiu.

SUBIECTUL I (50 puncte) – Pe lucrare se trec numai rezultatele.

4p

1.

a)

Fie punctele coliniare A, B si C. AB = 12cm si .

Lungimea lui BC este egala cu …. cm.

4p

b)

Lungimea lui AC este egala cu ….cm.

4p

c)

Valoarea raportului  este egal cu …

4p

2.

a)

In triunghiul ABC, CU AB= 10cm, BC = 12cm, AC = 14cm, M este mijlocul lui [AB], N este mijlocul lui [BC], P este mijlocul lui [AC].

Perimetrul triunghiului ABC este egal cu ….cm.

4p

b)

Lungimea lui MN este egala cu ….cm.

4p

c)

Perimetrul triunghiului MNP este egal cu ….cm.

4p

3.

a)

In figura alaturata aveti MN paralela cu BC. AM = 6cm,

AB = 10cm, NC = 6cm.

Lungimea lui MB este egala cu ….cm.

4p

b)

Lungimea lui AN este egala cu …cm.

4p

c)

Valoarea raportului este egala cu ….

4p

4.

a)

In figura alaturata DABC~DMNP; m(<B)=750, m(<P)=500.

m(<N) este egala cu ….0.

4p

b)

m(<C) este egala cu ….0.

6p

c)

m(<A) este egala cu ….0.

 SUBIECTUL II (40 puncte) – Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.

7p

1.

a)

In figura alaturata aveti un paralelogram cu dimensiunile din figura. DE^AB, AE = din AB, DEÇBC=.

Aflati perimetrul triunghiului BEF.

7p

b)

Aflati valoarea raportului ariilor triunghiului ADE si a triunghiului BEF.

7p

c)

Aflati valoarea raportului ariilor triunghiului ADE si a triunghiului FDC.

2.

In figura alaturata ABCD este un trapez, ADÇBC=; AB = 9cm, CD = 5cm, AD = 3cm.

6p

a)

Aflati lungimea lui MD.

6p

b)

Aflati valoarea raportului .

7p

c)

Daca BC = 5cm aflati perimetrul triunghiului AB.


3.     Relatii metrice in triunghiul dreptunghic

 

3.1  Proiectii ortogonale pe o dreapta

§      Daca AÏa si AA’^A, A’Ia, atunci putem spune ca proiectia ortogonala a punctului A pe dreapta a este punctul A’.

§      Daca punctele B’ si C’ sunt proiectiile ortogonale ale punctelor B si C pe dreapta a atunci [B’C’] este proiectia ortogonala a segmentului [BC] pe dreapta a.

3.2  Teorema inaltimii

Daca DABC este dreptunghic in A si AD^BC, atunci:

AD2 = BD×DC

Exemplu:

§     daca BD= 12cm si CD = 18cm atunci: AD2 = 12×18 = 216.

 

3.3  Teorema catetei

Daca DABC este dreptunghic in A si AD^BC, atunci:

AB2 = BD×BC

AC2 = DC×BC

Exemplu:

§     Daca AB = 6cm si BD= 3cm atunci:

   AB2 = BD×BC   T   36 = 3×BC

      T

3.4  Teorema lui Pitagora; reciproca teoremei lui Pitagora

Daca DABC este dreptunghic in A atunci:

AB2 + AC2 = BC2

Exemplul 1. Daca AB =6cm si AC = 8cm, atunci:

BC2 = 36 = 64 = 100 T

Exemplul 2. Daca BC = 13cm si AC = 12cm, atunci:

AB2 = BC2 – AC2 = 169 – 144 = 25.

T

Exemplul 3. Daca un triunghi ABC are laturile: AB = 8cm, AC = 15cm si BC = 17cm, putem verifica:

172 = 152 + 82 este adevarat? T 289 = 225 + 64; da, este edevarat.

Atunci conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, cu ipotenuza BC si unghiul drept in A.


3.5  Notiuni de trigonometrie

;;  

300

450

600

sin

cos

tg

ctg

3.6  Rezolvarea triunghiului dreptunghic

§   A rezolva un triunghi dreptunghic inseamna a calcula unele elemente (latura, proiectii, unghiuri sau functii trigonometrice ale acestora) in functie de unele elemente date intr-un triunghi dreptunghic sau oarecare sau intr-o configuratie geometrica in care se pot identifica triunghiuri dreptunghice.

§   Exemplu:

Fie triunghiul ABC cu masura unghiului B de 450,  masura unghiului C de 300 si AB =  Se cere perimetrul triunghiului ABC si sinusul unghiului A.

§   Rezolvare:

-construim AD^BC si rezulta DABD dreptunghic isoscel; daca AB = atunci

-In DADC, dreptunghic, cu un unghi de 300, rezulta:

  si

T 

-Perimetrul

-Din teorema sinusului,  rezulta: TT

Probleme propuse spre rezolvare

1.      Stabiliti natura triunghiului ale carui unghiuri sunt proportionale cu 1,(3); 1,25 din 1,(3)  si cu suma celor doua numere.

2.      Aratati ca un triunghi este dreptunghic isoscel daca si numai daca doua laturi ale triunghiului sunt respectiv egale cu distantele de la varfurile opuse laturilor la ortocentrul triunghiului.

3.      Fie triunghiul ABC de inaltime BE, EAC  si DI(BE), astfel incat 2×DE = BD.  Punctele M,N,P,Q sunt mijloacele segmentelor AB, BC, DC respectiv DA. Stiind ca aria patrulaterului MNPQ este de 20cm2, sa se calculeze aria triunghiului ABC.

4.      Din varful B al paralelogramului ABCD (B>900), se duc inaltimile BM si BN, unde MIAD, NIDC.  Stiind ca NP=8cm, unde P este piciorul perpendicularei duse din D pe BC sa se afle distanta de la B la ortocentrul triunghiului BMN si lungimea segmentului NO, unde O este intersectia dintre AC si BD stiind ca BD=14cm. 


RELATII METRICE

  • Toate subiectele sunt obligatorii.
  • Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
  • Se acorda 10 puncte din oficiu.

SUBIECTUL I (45 puncte) – Pe lucrare se trec numai rezultatele.

5p

1.

a)

Diagonala unui patrat de latura 4 cm este egala cu ….cm.

5p

b)

Diagonala unui dreptunghi de lungime 8cm si latime 6cm  este egala cu ….cm.

5p

c)

Inaltimea unui triunghi ecilateral de latura 2cm este egala cu ….cm.

5p

2.

a)

Un triunghi dreptunghic are catetele de 15cm si respectiv 20cm.

Lungimea ipotenuzei este egala cu …cm.

5p

b)

Lungimea inaltimii este egala cu ….cm.

5p

c)

Lungimea proiectiei catetei de 20cm pe ipotenuza este egala cu ….cm.

5p

3.

a)

5p

b)

5p

c)

 SUBIECTUL II (45 puncte) – Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.

1.

Fie triunghiul ABC dreptunghic in A.

10p

a)

Daca AB = x, masura unghiului C este egala cu 300 si aria triunghiului este egala cu  sa se afle x.

5p

b)

Daca x = 6 cm sa se afle distanta de la varful B la mijlocul lui [AC].

10p

c)

Sa se afle aria unui triunghi echilateral cu lungimea laturii egala cu lungimea lui AC.

10p

2.

a)

Intr-un triunghi ABC isoscel cu AB = AC =  si

BC = 16 cm, se inscrie un patrat.

Aflati latura patratului.

10p

b)

Sa se afle lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC.

 


4.     Cercul si poligoane regulate

 

4.1  Cercul; definitie, elemente, discul

§   Cercul este locul geometric al tuturor punctelor dintr-un plan egal departate fata de un punct fix numit centrul cercului.

§   O = centrul cercului;

§   OC = raza cercului de lungime R;

§   AB = diametrul cercului;

§   BD = coarda;

§    = arc de cerc;

§   = semicerc.

4.2  Unghi la centru; masura arcelor; arce congruente

§   Unghi cu varful in centrul cercului

  m(<AOB) = m()

§   Unghi cu varful pe cerc

m(<BCA) = m() / 2.

§   Daca avem doua unghiuri congruente inscrise intr-un cerc, cu varful in centrul cercului, acestea subintind intre laturile lor, doua arce congruente.

4.3  Coarde si arce in cerc; proprietati

1.      Daca arcul AB este congruent cu arcul CD atunci si [AB]s[CD]. Si reciproca este adevarata.

2.      Daca MC || ND atunci arcul CD este congruent cu arcul MN.

3.      Daca OR^CD atunci P este mijlocul lui [CD] si R este mijlocul arcului CD. O este centrul cercului; =ORÇCD.

4.      Coarde egal departate de centru sunt congruente.

Daca OP=OQ atunci [CD]s[AB].

4.4  Pozitii relative ale unei drepte fata de un cerc

  1. Dreapta (a) exterioara unui cerc

a Ç C(O,R) = Æ

  1. Dreapta (b) tangenta la cerc

b Ç C(O,R) =

3. Dreapta (c) secanta

c Ç C(O,R) =

4.5  Tangente dintr-un punct exterior la un cerc

§      Fie punctul P exterior cercului;

§      PA si respectiv PB sunt tangente la cerc;

§      OA^PA;  OB^PB;

§      [PA] s [PB];

§      OP2 = OA2 + AP2

4.6  Poligoane regulate; calculul elementelor geometrice

TRIUNGHIUL ECHILATERAL

; ; ;;

;  .

PATRATUL

;;

;;

;.

HEXAGONUL REGULAT

; ; ;;

.

4.7  Lungimea cercului si aria discului  

Lungimea cercului

Aria discului (cercului)

Lungimea arcului de cerc AC

Aria sectorului de cerc (OAC)

 

 

O problema: Presupunem ca diametrul Pamantului este de 12000 km.

a) aflati lungimea unei sfori intinse la ecuator.

b) cu cat trebuie sa lungim sfoara astfel incat cercul sforii sa fie concentric cu cel al Pamantului si         pe sub sfoara sa treaca un soarece cu o inaltime de 2 cm?

Rezolvare:

a)

b)

    Diferenta:  

  Raspuns: Este suficient sa lungim sfoara cu 12,56637 cm ca sa treaca soarecele.  


CERCUL SI POLIGOANE REGULATE

  • Toate subiectele sunt obligatorii.
  • Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
  • Se acorda 10 puncte din oficiu.

SUBIECTUL I (50 puncte) – Pe lucrare se trec numai rezultatele.

4p

1.

a)

Un cerc cu raza de 5 cm are diametrul egal cu …..cm.

4p

b)

Lungimea unui cerc de raza egala cu 5 cm este egala cu …….cm.

4p

c)

Aria unui cerc de raza egala cu 5 cm este egala cu ……cm2.

4p

2.

a)

Perimetrul unui triunghi echilateral de latura 6 cm este egal cu …..cm.

4p

b)

Perimetrul unui patrat de latura 7 cm este egal cu …..cm.

4p

c)

Perimetrul unui hexagon regulat de latura 8 cm este egal cu …..cm.

4p

3.

a)

Aria unui triunghi echilateral de latura 6 cm este egala cu ……cm2.

4p

b)

Aria unui patrat de latura 5 cm este egala cu ……cm2.

4p

c)

Aria unui hexagon regulat de latura 4 cm este egala cu ……cm2.

6p

4.

a)

Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral de latura  este egala cu ….cm.

4p

b)

Raza cercului circumscris unui patrat de latura  este egala cu ….cm.

4p

c)

Raza cercului circumscris unui hexagon regulat de latura 8 cm este egala cu ….cm.

 SUBIECTUL II (40 puncte) – Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.

1.

Fie triunghiul echilateral ABC. In exteriorul sau construim Triunghiurile echilaterale ABD, ACE si BCF. Daca latura triunghiului ABC este de 6 cm:

6p

a)

Sa se cerceteze natura triunghiului DEF.

7p

b)

Sa se calculeze perimetrul si aria triunghiului DEF.

7p

c)

Sa se determine raportul dintre aria triunghiului ABC si aria triunghiului ABC.

7p

2.

a)

Apotema unui triunghi echilateral de latura  cm este egala cu cea a unui patrat. Se cere:

Lungimea apotemei triunghiului echilateral.

6p

b)

Lungimea laturii patratului.

7p

c)

Raza cercului circumscris patratului.

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 597
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2014. All rights reserved