Cuadrice date prin ecuatii reduse

Fie in spatiul punctual euclidian E reperul ortonormat R (O;

Reamintim ca distanta dintre doua puncte in spatiu , M(x₁,y₁,z₁) si respectiv N(x₂,y₂,z₂), este data de

d(M,N) =

Sfera. Fie C I E₃ un punct dat .

Multimea punctelor M(x,y,z) I E₃ care apartin sferei (S) de centru C(a,b,c) si raza r satisfac relatia :

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r² (1)

numita ecuatia carteziana implicita a sferei (sub forma de patrate restranse).

Dezvoltand ecuatia (1) obtinem

x²+ y² + z² -2ax -2by - 2cz + a² + b² +c² - r² = 0,

care ne sugereaza studiul ecuatiei

A(x² + y² +z² ) + Bx + Cy + Dz + E = 0, (2)

ce reprezinta ecuatia unei sfere, numita ecuatia carteziana generala a unei sfere. Ecuatia (2) poate fi pusa sub forma

x² + y² +z² + 2m x + 2ny + 2pz + q = 0 , (3)

numita ecuatia carteziana generala a sferei sub forma normala, in care

coordonatele centrului C sunt date de : a = -m, b = -n, c = -p si raza

r = .

Sa consideram in sistemul de coordonate carteziene Oxyz punctul M(x,y,z) , vectorul de pozitie corespunzator , , proiectia M_o(x,y,0) a punctului M pe planul xOy, uI p) -unghiul dintre OM_o si directia pozitiva a axei Ox, respectiv vI p] - unghiul dintre OM si directia pozitiva a axei Oz (fig.1) . Obtinem

OM_o = r cos(90^o- v ) = r sin v , de unde rezulta

	Pentru    r = const., uI p), vI p punctul M(x,y,z) se gaseste pe sfera de raza r ,cu centrul in origine. Din acest motiv cantitatile r,u,v vor fi numite coordonatele sferice ale unui punct din spatiu.

z

M(x,y,z)

y

O

M_o(x,y,0)

Fig.1

x

Ecuatiile parametrice ale sferei cu centrul in punctul C(a,b,c) si raza r pot fi scrise sub forma

(4)

Fie o dreapta oarecare prin punctul M₀(x_o,y_o,z_o) : x = x_o+ l t ,

y = y_o+m t , z = z_o + n t si sfera data de ecuatia (1) . Intersectia dintre sfera si dreapta se reduce la studiul sistemului format din ecuatiile acestora.

Obtinem ecuatia de gradul al doilea in t

(l²+m²+n²) t² + 2[l(x_o-a)+m(y_o-b)+n(z_o-c)] t + (x_o-a)²+(y_o-b)²+(z_o-c)²-r²=0,

care ne permite sa concluzionam ca o dreapta intersecteaza o sfera in cel mult doua puncte. Daca notam t₁, t₂ radacinile reale ale ecuatiei de mai sus, valori corespunzatoare punctelor de intersectie M₁, M₂, ale sferei cu dreapa ,printr-un calcul direct obtinem ca produsul distantelor punctului M_o la punctele de intersectie M₁ respectiv M₂ este constant , adica

M_oM₁ M_oM₂ = t t (l² + m² + n²) = (x_o-a)²+(y_o-b)²+(z_o-c)²- r²

Numarul real

= (x_o-a)²+(y_o-b)²+(z_o-c)²- r² = d² - r² (5)

d desemnand distanta punctului Mo la centrul sferei, este numit puterea punctului M_o fata de sfera .

Fie sferele

(S₁) x² + y² +z² + 2m₁ x + 2n₁ y + 2p₁ z + q ₁ = 0

(S₂) x² + y² +z² + 2m₂ x + 2n₂ y + 2p₂ z + q ₂ = 0

Locul geometric al punctelor din spatiu cu aceeasi putere fata de sferele (S₁) si (S₂) este un plan perpendicular pe linia centrelor celor doua sfere,numit planul radical. Ecuatia planului radical a doua sfere se obtine scazand ecuatiile acestora,adica

2(m₁-m₂)x + 2(n₁-n₂)y + 2(p₁-p₂)z +q₁-q₂ = 0 (2,6)

Daca consideram trei sfere (S₁), (S₂), (S₃) ,cu centrele necoliniare, atunci dreapta S₁ - S₂ = 0, S₁ - S₃=0 se numeste axa radicala a celor trei sfere.

In cazul a patru sfere, cu centrele necoplanare, exista un punct cu aceeasi putere fata de aceste sfere, numit centru radical.

Numim fascicul de sfere, multimea sferelor din spatiu care au acelasi plan radical. Planele S₁ - S₂ = 0 si S₃ - S₂ = 0 coincid daca

S₃ - S₂=l( S₁ - S₂) , lIR sau S₃= l S₁ +(1-l)S₂ , adica multimea tuturor sferelor din fascicolul determinat de S₁ si S₂ este caracterizata de ecuatia

S₁ + k S₂ = 0 (7)

Familia sferelor din spatiu cu aceeasi axa radicala cu sferele (S₁), (S₂), (S₃) este numita retea de sfere si este caracterizata de ecuatia

S₁ + l S₂ + mS₃ = 0, l mIR (8)

Planul tangent intr-un punct la o sfera.

Planul care un sungur punc comun cu sfera este numit planul tangent la sfera in acest punct.

Fie M_o un punct pe sfera de centru C(a,b,c) si raza r data de (1) sau (3).

Un punct M este situat in planul tangent la sfera in punctul M_o daca si numai daca este ortogonal vectorului _o (x_o-a,y_o-b,z_o-c),adica

(x-x_o)(x_o-a) + (y-y_o)(y_o-b) + (z-z_o)(z_o-c) = 0 (9)

Astfel, ecuatia planului tangent la sfera in punctul M_o se scrie sub forma:

xx_o + yy_o +zz_o +m(x + x_o) +n(y - y_o) +p(z - z_o) + q = 0, (10)

obtinuta prin dedublarea ecuatiei sferei in punctul M_o .

Observatie. Daca (S) este sfera de centru C si raza r , d este distanta centrului sferei la planul p ,atunci avem urmatoarele cazuri :

d < r - planul p este secant sferei (S)

d = r - planul p este tangent sferei (S)

d > r - planul p este exterior sferei (S) .

Elipsoidul.

Forma elipsoidului o putem determina studiind intersectiile acestuia cu plane paralele cu planele de coordonate.Astfel , intersectiile cu plane paralele cu planele de coordonate sunt elipsele:

, , ,

reale pentru a < c ,b< b , respectiv g< a sau multimea vida pentru a >c ,

b> b, respectiv g> a .

fig.2

Planele de coordonate (plane principale)sunt plane de simetrie ale elipsoidului, axele de coordonate sunt axe de simetrie,iar segmentele pe axele de coordonate de lungime egale cu a,b,respectiv c , sunt numite semiaxe. Intersectiile elupsoidului cu axele de simetrie vor fi numite varfuri.Daca doua semiaxe sunt egale ,vom obtine un elipsoid de rotatie, iar pentru a = b = c se obtine sfera.

Originea reperului este centru de simetrie pentru multimea punctelor elipsoidului,numit centrul elipsoidului.

Ecuatiile parametrice ale elipsoidului (11) sunt

, u I p) , v I p (12)

3 Hiperboloizi .

Intersectiile hiperboloidului (H₁) cu plane paralele cu planele de coordonate sunt curbele date de ecuatiile:

, - elipse

, - hiperbole

, - hiperbole

Hiperboloidul cu o panza are aceleasi simetrii ca si elipsoidul.Elipsa obtinuta prin intersectia hiperboloidului cu planul z = 0 este numita colierul hiperboloidului cu o panza.

Hiperboloidul cu o panza (13) este caracterizat parametric de ecuatiile :

, uIR, vI p

fig.3

Daca scriem ecuatia hiperboloidului cu o panza sub forma

si

consideram urmatoarele familiile de drepte ,

unde

(15)

(16)

l m I R , obtinem urmatorul rezultat :

In adevar, daca punctul M_o(x_o,y_o,z_o) este situat pe (H₁) , atunci coordonatele sale verifica ecuatia (13) de unde rezulta satisfacerea relatiilor (15),

respectiv (16) si reciproc .

Dreptele fiecareia din familiile , respectiv sunt continute in intregime de hiperboloid. Mai mult, hiperboloidul cu o panza poate fi gandit ca reuniunea tuturor dreptelor uneia dintre cele doua familii si ca prin orice punct al hiperboloidului cu o panza trece cate o dreapta din fiecare familie.

Dreapta care genereaza suprafaata S se numeste generatoare rectilinie, iar curba pe care se sprijina se numeste curba directoare .

Daca prin orice punct al unei suprafete riglate trec doua drepte distincte continute in suprafata ,spunem ca suprafata este dublu riglata. Pentru o suprafata dublu riglata ,generatoarele care trec printr-un punct determina planul tangent la suprafata in acest punct.

In concluzie, hiperboloidul cu o panza este o suprafata dublu riglata.

Intersectiile hiperboloidului cu doua panze, fig.4, cu plane paralele cu planele de coordonate sunt date de :

Axele si planele sistemului de coordonate sunt axe, respectiv, plane de simetrie. Punctele A_(o,o,c) si B_(0,0,-c) vor fi numite varfurile hiperbo-loidului cu doua panze .

fig.4

Hiperboloidul cu doua panze (14) este caracterizat parametric de ecuatiile :

uI R , vI p (18)

Paraboloizi .

fig.5

Intersectia paraboloidului eliptic cu plane paralele cu axa Oz sunt parabole,iar intersectia cu plane paralele cu planul xOy sunt elipse pentru

z > 0,originea (varful paraboloidului) pentru z = 0,respectiv , multimea vida pentru z < 0.

Paraboloidul eliptic (17) este caracterizat parametric de ecuatiile :

uI R , vI p (20)

fig.5

Paraboloidul hiperbolic are aceleasi axe si plane de simetrie ca si paraboloidul eliptic.

Intersectiile paraboloidului hiperbolic cu plane paralele cu planele de coordonate sunt date de curbele :

Paraboloidul hiperbolic (19) este caracterizat de ecuatiile parametrice

- u,v I R (22)

In adevar, ecuatia (21) poate fi scrisa sub forma , din care obtinem familiile generatoarelor rectilinii : , date de :

(23)

(24)

Conul, cilindrul, perechi de plane

z

y

Fig.7

Intersectiile conului, fig7, cu plane paralele cu planul xOy sunt elipse si intersectiile conului cu plane paralele cu axa Oz sunt hiperbole.

Ecuatiile parametrice ale conului (21) sunt date de

uI R , vI p

fig.7

In particular , avem :

- cilindrul eliptic , iar pentru b = a obtinem

x² + y² = a² - cilindrul circular

- cilindrul hiperbolic

y² = 2px - cilindrul parabolic

Aceste suprafete cilindrice au generatoarele paralele cu axa Oz .

Alte suprafete algebrice de ordinul al doilea sunt:

- plane secante

x² - a² = 0 - plane paralele (confundate, pentru a = 0)

- dreapta dubla

- punct dublu

a²x²+b²y²+c²z²+1 = 0 - multimea vida .