Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

 
CATEGORII DOCUMENTE






AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Functia de gradul al doilea - Rezolvarea ecuatiei de gradul al doilea

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic

DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
FUNCTIA ‘PARTE FRACTIONARA’ - PROIECT LA MATEMATICA
INDICII SI RITMUL VARIATIEI FENOMENELOR ECONOMICO-SOCIALE
Siruri si serii de elemente - Aplicatii la caracterizarea unor puncte, multimi si functii remarcabile
Structurile sistemelor numerice
Relatii binare - Legi de compozitie - Proprietati ale legilor de compozitie
Tabel de integrale nedefinite
REGULILE ALGEBREI
Permutari, Matrice, Determinanti - probleme
FISA DE LUCRU - Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi
Derivabilitate (Gateaux) si diferentiabilitate (Fréchet) de ordinul I

TERMENI importanti pentru acest document

: extremul functiei de gradul 2 : rezolvarea ineecuatiilor de gradul al doilea : cum construiesc o ecuatie de gradul 2 daca am radacinile : ecuatii de gradul 2 rezolvate cu tabel de discutie :


 

Functia de gradul al doilea

Definitie. Se numeste functie de gradul al doilea, o aplicatie de forma , , unde , .

Exemple :

  1. , ;
  2. , ;
  3. , ;
  4. , ;
  5. , .

Forma canonica a functiei de gradul doi

Daca notam cu , obtinem .

Definitie. Numarul real  se numeste descriminantul functiei de gradul al doilea .

Definitie. Ultima forma la care a fost adusa functia  poarta numele de forma canonica a functiei de gradul doi.

Exemple :

  1. . Discriminantul este , iar forma canonica este .
  2. . Discriminantul este , iar foma canonica este .

Rezolvarea ecuatiei de gradul al doilea

Definitie. Se numeste ecuatie de gradul doi, o ecuatie de forma , .

            Dupa cum am vazut mai sus, la forma canonica a functiei de gradul doi, ecuatia de gradul doi ,  se poate scrie  si cum , avem . Pentru rezolvarea ultimei ecuatii se disting teri cazuri :

1)      . In acest caz ecuatia nu are solutii reale deoarece   unde membrul stang fiind un patrat este pozitiv, iar membrul drept este raportul dintre un numar negativ si un patrat, deci negativ.

2)      . In acest caz ecuatia devine  si solutiile coincid .

3)      . In acest caz ecuatia admite doua radacini distincte, deoarece , de unde obtinem  si .

Exemple :

  1. . Discriminantul este , deci ne situam in primul caz ecuatia neavand solutii reale.
  2. . Discriminantul este , deci ne situam in cel de al doilea caz, cele doua radacini fiind egale : .
  3. . Discriminantul este , deci ne situam in cel de-al treilea caz, solutiile fiind  si .

Observatie. Dupa cum se poate observa foarte usor, in cazul in care avem solutii, adica  sau , acestea se pot scrie , deci cazurile 2) si 3) se pot restrange sub foma :  

2’.    .

Suma si produsul radacinilor ecuatiei de gradul al doilea

Observatie. Vom considera in acest paragraf  numai cazul , insa rezultatul obtinut se poate aplica si in cazul in care , caz in care nu avem radacini reale, dar avem radacini complexe.

In cazul , radacinile sunt  si  .

Suma, pe care o vom nota cu  este : .

Produsul, pe care il vom nota cu  este :

.

Daca rezumam, avem :  si .

Observatie. Orice ecuatie de gradul al doilea ,  se poate scrie . Intrucat , ecuatia este echivalenta cu , cu alte cuvinte orice ecuatie de gradul doi poate fi scrisa sub forma .

Observatie. Functia de gradul doi , , unde ,  poate fi scrisa sub forma , unde  sunt radacinile ecuatiei . Rezumand putem scrie : .

Exemple :

1. Sa se construiasca ecuatia de gradul al doilea care admite ca radacini pe  si . Suma radacinilor este , iar produsul radacinilor este . Ecuatia se scrie , sau aducand la acelasi numitor, avem : .

2. Fara a rezolva ecuatia  sa se determine suma si produsul radacinilor .

, iar .

Semnul radacinilor ecuatiei de gradul al doilea

Natura si semnul radacinilor ecuatiei de gradul doi ,  poate fi sintetizata in urmatorul tabel :

P

S

Natura si semnul radacinilor ecuatiei

;

;

;

; ,

; ,

; , ,

; , ,

; , ,

; ,

; ,

Radacinile nu sunt reale

 

Semnul functiei de gradul al doilea

Consideram functia de gradul al doilea , , unde , . Forma canonica a acesteia este . Intervin doua posibilitati pentru semnul lui . Le vom studia separat.

1. . In acest caz, studierea semnului lui  se reduce la studierea semnului expresiei . Se disting trei cazuri :

  • , deci , .
  • , deci , , .
  • .

Semnul functiei va fi ilustrat cu ajutorul urmatorului tabel :

                                                   

  - - - - - - - -   0   +  +  +  +  +  +  +  +  +  +  + 

  - - - - - - - - - - - - - - - - - -   0  +  +  +  +  + 

  +  +  +  +  +  0  - - - - - - -   0  +  +  +  +  +  +

 

2. . Acest caz se reduce la precedentul, modificand peste tot semnul functiei deoarece avem ,  este un numar negativ si semnul parantezei l-am studiat in primul caz.

Observatie. Discutia de mai sus se poate rezuma astfel :

Cazul  

                                                                         

         semn           0    semn contrar     0       semn 

Cazul  

                                                                         

                semn                 0                   semn

Cazul  

                                                                                  

               semn                                      semn      

Exemple :

1. . , .

2. . , , deci :

                                     -2                                        

     +  +  +  +  +  +  +  +  +    0    +  +  +  +  +  +  +  +  +  +       

3. . , radacinile sunt , , deci :

                         2                                3                    

  +  +  +  +  +  +  +  0  -  -  -  -  -  -  -  -  -  0  +  +  +  +  +  +      

Monotonia functiei de gradul doi

Reamintim urmatoarele :

Definitie. Fie  o functie de variabila reala si .

  • Spunem ca functia  este strict crescatoare pe  daca :  

  • Spunem ca functia  este strict descrescatoare pe  daca :  

  • Spunem ca functia  este crescatoare pe  daca :  

  • Spunem ca functia  este descrescatoare pe  daca :  

Observatie. O functie  strict crescatoare pe  sau strict descrescatoare pe  se numeste functie strict monotona pe . O functie  crescatoare pe  sau descrescatoare pe se numeste monotona pe .

Vom studia monotonia folosind definitia precedenta :

 cu , avem :  .

Cunoastem ca ,  si ,  sunt argumente. Pentru a determina semnul lui  vom studia situatiile :

  •  si oricare argument  mai mic decat , deci  , . Rezulta , deci . Concluzie :                  din  rezulta , functia este strict crescatoare .
  •  si oricare argument  mai mare decat , deci , . Rezulta , deci . Concluzie :                          din  rezulta , functia este strict descrescatoare .

Consemnam monotonia functiei prin sageti in urmatorul tabel :

                                    

,

                            

  •  si oricare argument  mai mic decat , deci , . Rezulta  , deci . Concluzie :                                  ,   din  rezulta , functia este strict decrescatoare .
  •  si oricare argument  mai mare decat , deci , . Rezulta , deci . Concluzie :                       din  rezulta , functia este strict crescatoare .

Consemnam monotonia functiei prin sageti in urmatorul tabel :

                                    

,

                            

Observatie. In contextul casei a-XI-a, folosind notiunile de aniliza matematica, studiul monotoniei revine la studiul semnului primei derivate :

.

Deci totul se reduce la studiul semnului expresiei . Avem doua situatii :

1.

                                    

 -  -  -  -  -  -  -  -  0  +  +  +  +  +  +

                            

2.

                                    

 +  +  +  +  +  +    0   -  -  -  -  -  -  -  -

                            

Observatie. Monotonia functiei de gradul al doilea este caracterizata de coeficientul lui ,  si

de argumentul  .

Extremul functiei de gradul al doilea

De la forma canonica cunoastem egalitatea :

            .

Membrul din dreapta al egalitatii eeste alcatuit din doi termeni. Un termen variabil  pozitiv si un termen constant . Acest membru are cea mai mica valoare atunci cand termenul variabil are cea mai mica valoare . Cea mai mica valoare a unei variabile pozitive este zero, deci  , egalitatea realizandu-se pentru . Rezulta :

. Inmultind membrii inegalitatii cu , obtinem :

  • , , egalitate pentru , rezulta , valoarea minima fiind , obtinuta pentru .
  • , , egalitate pentru , rezulta , valoarea maxima fiind , obtinuta pentru .

Definitie. Punctul  se numeste extremul sau varful functiei de gradul al doilea.

Observatie. Extremul este un maxim daca  si este uin minim daca .

Exemple :

1. Sa se studieze monotonia urmatoarelor functii :

a)      , ;

b)      , ;

Solutie :

a) , , . Monotonia va fi ilustrata cu ajutorul urmatorului tabel :

                      3                  

,

                          

                            -1

  

b) , , . Monotonia va fi ilustrata cu ajutorul

urmatorului tabel :

                     0                     

,

                       

                            25

   

2. Sa se stabileacsa maximul sau minimul urmatoarelor functii :

a)      ;

b)      ;

Solutie :

a)  deci functia are un maxim, , , punctul de maxim este  iar valoarea maxima a functiei este 0.

b)  deci functia are un minim, , , punctul de minim este  iar valoarea minima a functiei este .

Reprezentarea grafica a functiei de gradul doi

Definitie. Reprezentarea grafica a functiei , , unde , , adica multimea punctelor  ale caror coordonate verifica relatia  este o curba numita parabola. Vom nota graficul functiei de gradul al doilea cu .

Pentru reprezentarea grafica a functiei de gradul al doilea trebuiesc parcursi urmatorii pasi :

1) Intersectia graficului cu axele de coordonate.

Determinam intersectia graficului functiei de gradul al doilea cu axa , aceasta se obtine rezolvand ecuatia . Se disting trei cazuri :

  • daca , , intersectia consta din doua puncte.
  • daca , , intersectia consta din un singur punct.
  • daca , , nu avem intersectie cu axa .

Determinam intersectia graficului functiei de gradul al doilea cu axa , aceasta se obtine calculand . Deci .

Observatie. Daca , atunci graficul functiei trece prin origine.

2). Stabilirea coordonatelor varfului.

Dupa cum am vazut mai sus, punctul de extrem  mai poarta numele si de varf al

functiei de gradul doi. La acest pas vom calcula  si  in functie de coeficientii functiei de gradul doi dati.

3) Axa de simetrie.

Axa de simetrie este o dreapta ce trece prin varful parabolei si fata de care punctele parabolei sunt simetrice doua cate doua. Axa de simetrie este paralela cu axa Oy si are ecuatia : .

4) Tabelul de variatie.

Se determina si se inscriu intr-un tabel de variatie coordonatele unui numar finit de puncte ale curbei.

5) Trasarea graficului.

Exemplu :

Sa se reprezinte grafic functia , .

Studiem intersectia cu axele de coordonate :

. .

Stabilim coordonatele virfului : .

Ecuatia axei de simetrie este : .

Tabelul de variatie :

                                   

                                               

Graficul :

 

Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul doi fata de un parametru real

Fiind data ecuatia de gradul doi , , cu  (i.e. admite doua radacini reale ) si numarul real , ne propunem sa precizam conditiile, astfel incat :

  1. ,  ;
  2. ,  ;
  3. .

Notam  si ecuatia se scrie   . Ecuatia  are radacinile ,  care sunt in acelasi timp reale cu cele ale ecuatiei initiale .

  1.  si deci se pun conditiile ca ecuatia  sa admita radacinile strict negative, rezultand conditiile :  .
  2.  si deci se pun conditiile ca ecuatia  sa admita radacinile strict pozitive, rezultand conditiile :  .
  3.  si deci se pun conditiile ca ecuatia  sa admita radacinile de semne contrare, rezultand conditiile :  .

Observatie. Pentru determinarea conditiilor necesare si suficiente de mai sus se poate utiliza o metoda care sa implice graficul functiei de gradul doi . Spre exemplu, prima situatie  poate fi ilustrata grafic prin

iar conditiile ce se impun sunt : , unde  este abscisa varfului (al punctului de extrem al functiei). Conditia , apare ca evidenta din moment ce ,  si . Scriind functia de gradul al doilea sub forma descompusa in factori liniari : , deducem ca .

In cazul al doilea , , conditiile care rezulta prin aceasta metoda sunt :  In cel de-al treilea caz, conditia necesara si suficienta este .

Observatie. In cazul in care inegalitatile nu sunt stricte, conditiile se deduc ca mai sus prin una din cele doua metode .

Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul doi fata de doua numere reale distincte

Fiind data ecuatia de gradul doi , , cu  (i.e. admite doua radacini reale ) si numerele reale  ne propunem sa stabilim conditiile astfel incat :

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4. .

Efectuam transformarea  si se obtine o ecuatie de forma  ale carei radacini sunt  si . In continuare rationamentul este acelasi ca la paragraful anterior. De exemplu sa analizam prima situatie :

  1.  adica radacinile ecuatiei  sunt de semne contrare si deci se impun conditiile :  .

Observatie. Pentru determinarea conditiilor necesare si suficiente de mai sus, se poate utiliza si o metoda geometrica, nu vom insista asupra ei.

Exercitii propuse

1. Formati ecuatia de gradul al doilea cand se cunosc  si .

2. Sa se aduca la forma canonica urmatoarele functii de gradul doi :


a)       ;

b)      ;

c)      ;

d)      ;

e)      ;

f)       .


3. Sa se determine axa de simetrie si varful parabolei asociat functiilor :


a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      ;

f)       .


4. Sa se stabileasca maximul sau minimul urmatoarelor functii :


a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      ;

f)       .


5. Sa se stabileasca semnul urmatoarelor functii :


a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      ;

f)       .


6. Sa se traseze graficul urmatoarelor functii :


a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      ;

f)       .


7. Fie ecuatia , . Fara a rezolva ecuatia sa se exprime in functie de  expresiile :

§         ;

§         ;

§         ;

§         ;

§         ;

§          .

8. Sa se determine parametrul  astfel incat intre radacinile ecuatiilor urmatoare sa existe relatia scrisa in dreptul fiecareia :

  • , ;
  • , ;
  • , ;
  • , ;
  • , ;
  • , ;
  • , ;
  • , ;
  • , ;
  • , ;
  • , .

9. Sa se gaseasca o relatie independenta de  intre radacinile ecuatiei :

.

10. Determinati  si  reali, astfel incat ecuatiile  si  sa aiba aceleasi radacini.

11. Sa se rezolve inecuatiile :


a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      ;

f)       .


12. Daca ,  sunt radacinile ecuatiei , sa se formeze ecuatia de gradul al doilea in  ale carei radacini sunt :

§          ,  ;

§         , .

13. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii :

  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • .

14. Fie ecuatia . Sa se determine , astfel incat ambele radacini sa fie mai mici decat 1.

15. Sa se determine  astfel incat :

            .

16. Pentru ce valori ale lui , multimea :

             are doua elemente .

17. Sa se determine valorile lui  pentru ca ecuatia  sa admita o radacina mai mica decat 1, iar cealalta mai mare decat 2.

18. Daca  sunt radacinile ecuatiei , , sa se calculeze in functie de  expresiile :

  • ;
  • , (, ).

19. Sa se determine , astfel incat .

20. Sa se determine valorile lui , astfel incat relatiile de mai jos sa fie satisfacute pentru orice  :

  • ;
  • ;
  • ;
  • .

21. Pentru ce valori ale lui , suma radacinilor ecuatiei , este minima ?

22. Gasiti cea mai mica si cea mai mare valoare a expresiei , daca numerele reale  verifica relatia .

23. Pentru ce valori ale lui  urmatorul sistem  admite solutie unica ?

24. Sa se rezolve ecuatia : .

25. Fie  un numar real si   radacinile ecuatiei : .

            a). Sa se arate ca  sunt numere reale pozitive si distincte.

            b). Sa se arate ca .

            c). Sa se calculeze .

            d). Sa se arate ca daca , in intervalul  se afla cel mult un patrat perfect.

26. Fie  astfel incat . Demonstrati ca : .

27. Sa se arate ca ecuatia , ,  impare, nu are radadcini rationale.

28. Sa se rezolve ecuatia : .

29. Fie  radacinile ecuatiei : , m fiind un parametru real.

            a). Gasiti o relatie independenta de  intre  si .

            b). Determinati intervalul minimal (“cel mai scurt”) ce contine pe  si .

30. Fie multimile :

           

            .

Cate triunghiuri au toate varfurile in punctele multimii  ?

31. Se considera ecuatiile de gradul doi :

            ,   .

a). Sa se arate ca daca ecuatiile au o radacina comuna, atunci  sau .

b). Sa se arate ca cel putin una din ecuatiile de mai sus are radacini reale.

32. Sa se rezolve ecuatia : .

33.       a). Daca  si , aratati ca .

            b). Fie ecuatia : .

                        i). Aflati valorile parametrului  astfel incat ecuatia sa aiba cel putin o radacina intreaga.

                        ii). Exista valori reale ale lui  astfel incat ambele radacini sa fie intregi ?

34. Sa se rezolve ecuatia : .

35. Fie ecuatia : . Cate solutii sunt in intervalul  ?

36. Sa se rezolve ecuatia : .

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 2312
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2014. All rights reserved