Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

CATEGORII DOCUMENTE





AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Permutari, Matrice, Determinanti - probleme

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic







DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
REGULILE ALGEBREI
Permutari, Matrice, Determinanti - probleme

Permutari, Matrice, Determinanti - probleme

Matrici

1) Fie A=  B= . Sa se calculeze A+B.



2) Fie A=  B=  Sa se calculeze

a)     A+B; AB; BA

b)    A2; B2; A2-B2

3) Daca A=  M2(C), atunci a verifica ecuatia:

x2 – (a+d)x +(ad-bc)I2 =0

4) Fie A=  M3(Q). Daca f(x) = x2+3x+I3, sa se calculeze f(A).

5) Fie A= M2(Q). Sa se determine toate matricile XM2(Q) astfel incat AX=XA.

6) Sa se determine x,z,z,u,v,w daca se cunoaste ca avem egalitatea:

2+ 3=

7) Sa se determine matricea X din ecuatia:

3X + = 2+

8) Sa se determine x si y, daca avem:

x+y=

9) Sa se determine valorile lui xR pentru care avem:

=

10) Sa se rezolve ecuatia:

X2 =

unde Xeste o matrice patrata de ordinul 2 cu elemente numere reale.

11) Sa se calculeze suma:

12) Daca w este o radacina a ecuatiei x2+x+1=0, sa se caluleze suma:

13) Sa se gaseasca matriea X, in fiecare din cazurile:

a) x =

b) x =

c) x =

d) x =

14) Se considera egalitatea de matrice 2 = . Sa se arate ca daca numerele a, b, c d sunt in progresie aritmetica, atunci si numerele n-m, p-n, q-p au aceeasi proprietate.

15) Sa se afle matricea XM2(R) daca:

x - x=

15) Fie A= si X=

a) Sa se determine u si  v astfel incat AX=XA.

16) Fiind date matricile A= B=  A,BM2(R).

Se cere: a) Sa se calculeze patratul sumei matriceale A+B.

b) Sa se rezolve sistemul in x, y, z, t rezultat din egalitatea matriceala:

A.B = .

17) Fie G multimea matricilor din M3(R) de forma:

Mab =

a) Sa se arate ca oricare ar fi doua matrici din G, Ma1b1 si Ma2b2 produsul lor este tot o matrice din G.

b) Sa se arate ca Ma1b1 .Ma2b2 = Ma2b2. Ma1b1.

c) Sa se stabileasca daca IG.

18) Fie A, B, C  M3(R)

A =   B=  C=

a)     Sa se calculeze (A+B+C)n, nN.

b)    Sa se gaseasca x, y, z  M3(R) astfel incat:

19) Sa se determine matricea x  M3(N) astfel incat (1  2   4)x =(3  1   2)

20) Sa se rezolve ecuatia X2 = stiind ca xij =0 pentru i+j = 4 (i,j = 1, 2, 3), xij elementele matricei X.

21) Fie matricea X=  M2(R)

a) Sa se arate ca X verifica relatia X2-2xX+ x2I=0.

b) Sa se calculeze Xn si sa se arate ca pentru nr. nN este adevarata :

nXn+1-(n+1)xXn + xn+1I2 =0

c) Sa se gaseasca x si y, astfel incat Xn.t(Xn) = I2.

22) a) Se considera matricea . Sa se determine toate matricele X, astfel incat A2X = XA2 si sa arate ca nu exista nici o matrice Y astfel incat A2Y- YA2 = .

23) Se considera matricea A = . Sa se calculeze An, nN si limita fiecarui element al lui An pentru n.

24) Fie M multimea matricilor patrate de ordin 2 de forma  unde a,bR. Definim functia f: C, f(a+b.i) = . Sa se arate ca:

a)     f este bijectiva;

b)    oricare ar fi z,z’ C au loc egalitatile

f(z+z’) = f(z) + f(z’)

f(zz’) = f(z)f(z’)

25) Fie matricea A = astfel incat 0 <1.

a)     Sa se arate ca matricea An este de forma .

b)    Sa se demonstreze ca sirurile (an) si (bn) sunt convergente si au limita zero.

26) Sa notam cu M multimea tuturor matricelor de tipul (m,n) in care toate elementele sunt nx+1 sau –1 si astfel incat produsul numerelor din fiecare linie si din fiecare coloana sa fie –1. Sa se calculeze numarul elementelor multimii M.

27) Sa se calculeze suma

.

28) Fie matricile A= si B= cu ad = bc.

a) Sa se arate ca exista un numar real r, astfel incat pentru orice KN* sa avem Ak = rk-1A.

b) Folosind egalitatea B = I+A. Sa se calculeze Bn, nN*.

c) Sa se studieze convergenta sirurilor xn, yn care verifica egalitatile x1 =p, y1=q, = B.

29) Fie M multimea matricilor din M2(R) de forma:

A=

a) Sa se arate ca oricare ar fi A, AM si A. A= A. A.

b) Sa se calculeze R daca (A)2 = (A) = Ao.

30) Fie matricile A,B M3(R) unde

A = si B=

a)     Sa se calculeze: An; B2n si B2n+1

b)    Sa se arate ca An+ B2n + B2n+1 = 2n

31) Fie matricea A = . Sa se calculeze An, nN.

32) Fie matricea A = . Sa se calculeze An, nN.

33) Fie matricea M M3(R), M = . Sa se calculeze Mn.

34) Sa se calculeze sistemele matriceale:

a) b)

35) a) b)

36) Sa se rezolve sistemele:

a)

b)

37) Sa se determine matricile X de forma care au proprietatea XA = AX, unde a) A =       b)  B= .

38) Sa se rezolve in M M2(R) ecuatiile matriciale:

a)           b)

39) X2 = , vezi exercitiul 3.

40) a) x4 =   b) x4 =

41) Sa se rezolve sistemul  stiind ca X este inversabila.

42) Sa se rezolve sistemul

43) Sa se rezolve sistemul

stiind ca X este matrice inversabila.

          44) Sa se determine puterea n a matricelor A M2(R):

a)     A = ;  b) A =

45) Sa se determine puterea n a matricelor A M2(R):

a)     A =  =

b)    =

46) Sa se determine puterea n a matricelor A M2(R):

a)     A =

47) Sa se determine puterea n a matricelor A M3(R):

A =

48) Sa se determine puterea n a matricelor A M3(R):

A =

49) Fie A, B, C A M3(C) astfel incat A = BC, B = CA, C = AB. Sa se arate ca: A2 = B2 = C2.

50) Fie matricea A cu proprietatea A2 = A. Sa se demonstreze relatia:

(2A-I)4 = I.

51) Fie in M2(R) egalitatea matriciala = . Sa se arate ca daca a1, a2, a3, a4 sunt in progresie aritmetica, atunci b2 – b1, b3 – b2, b4 – b3 sunt tot in progresie aritmetica.

52) Se considera matricea A = . Sa se calculeze An si
B = .

53) Fie matricile A =         B = , a,b, c,d  R. Sa se demonstreze ca daca A+B = AB atunci AB = BA.

54) Se considera matricea Aa,b = , B=  R2/ determinantul nu depinde de x,  Rx R*, = numarul elementelor lui B, C = , (a,b) B, (x,y), Rx R*.

55) Fie M = A M2(R)/ A = , x  R, det.A =1,
B
M. Daca K = A M2(R)/ ddet.A 0 si det.(A+det.A*) =0atunci:

I a) B = B-1; b) B+B* 0, c) det.(B-B*) = 4; d) B.B* =0, e) B-B* =I.

II a) d =1; b) d=2; c) d=-1; d) d= 3; e) d= -2.

56) Fie M2(R), A =

Pentru o matrice B Mm(C), mN, m2 fie (B)numarul minorilor nenuli ai lui B.

Atunci

I) (I2n) = 22n – 1; b) (I2n) = 22n; c) (I2n) = 22n + 1; (I2n) = 22n-1; e) (I2n) =(2n)!

II) a)  0   b) (A) = 4n2; c) (A) (tA) d) rang A = n+1; e) (A) = C3n2n+2n2-1.

57) Fie M = Ay M3(R)/ Ay = , yD R. Daca (Mi) este un grup cu elemet neutru E, unde „.” este inmultirea matricelor din M3(R) si S= Ay M/ Ay2A1 = E´, A´/ simetricul lui A in grupul (M1.)  atunci:

          I) a) D=R; b) D=R  c) D= R*; d) D=R ; e)  AyM inversabila.

                II) a) S ; b) S= ; c) S= ; d) S= ; e) .

          58) Fie X=  M2(R) astfel incat X3 = . Daca T=t3 si S= x+y+z+t atunci

          I) a) T=1; b) T =  ; c) T = ; d) T= 27; e) T= 36.

          II) a) S=2; b) S= ; c) S = ; d) S=12; e) S= .

          59) Fie inelul (A, +, .) unde A= x(a,b,c,d)  M3(R)/ x(a,b,c,d) = , a,b,c,d R. Fie B = (a,b)Z*xZ/ b.X(a,b,0,1) + aX(a, b, 1, 0)  =X(b, a+16, a, b) , C= (b,d)  R2 / X-1 (1,b,0,d) . X (-1,b,0,d) = X(-1, b2, -8, d2)

S = ; T= atunci

I) a) S = -4; b) S =-3; c) S = -2; d) S = -1; e) S =0.

II) a) T = S; b) T = 4 S; c) T = 2S; d) T = -2s; e) T = -S.

60) Fie matricea A = . Sa se calculeze An.

61) Fie matricea A = . Sa se calculeze .

62) Fie A o matrice de tipul (4,3) avand elemente numere naturale. Sa se determine aceasta matrice, astfel incat A = .



63) Sa se determine matricile A M2(R) astfel incat A2+A+I =0. Sa se arate ca A este inversabila si sa se afle inversa sa.

64) Fie (A,B) matrici de ordinul n2 astfel incat AB =BA. Sa se arate ca:

a) AkBl = BlAk oricare K,lN.

b) (A+B)m =  oricare mN*.

65) Fie A = . Sa se calculeze (I+A)n, unde nN*.

66) Pentru orice matrice A = (aij)matricea Tr (A) = , Tr (A) se numeste urma matricei A. Sa se arate ca

1) Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B)

2) Tr( A) =  Tr(A)

3) Tr(AB) = Tr(BA)

4) Tr(UAU-1) = TrA

67) Determinati matricele A M2(R), A = care au proprietatea ca: An = oricare ar fi nN*, n2.

68) Determinati x,yR astfel incat A2+A =aI, unde A = M2(R)

iar aR. Discutie.

            69) Fie =  si A =  M3(C). Calculati An

          70) Fie A,B  M2(R) astfel incat A+B = AB. Aratati ca pentru KN, K2, urmatoarele functii sunt echivalente:

          a) A+B+B2+ … + BK-1 =0         B) Bk = 0.

71) Fie A Mn(C) o matrice cu proprietatea ca exista KN* astfel incat AK=0. Demonstrati ca matricea I-A este inversabila.

72) Fie A,B  M2(C) astfel incat A3= A2 si A+B =I.

a) Demonstrati ca exista KN* astfel incat (A-A2)k = 0

b) Aratati ca o matrice I+AB este inversabila.

73) Reduceti la forma esalon matricile:

a)

b)

            74) Determinati numarul liderilor formei esalon pentru diferite valori ale lui R in urmatoarele situatii:

a)daca 2 + =0 atunci avem 3 lideri esalon, altfel 2 lideri.

b)

          75) Stabiliti, cu ajutorul transformarilor elementare, daca urmatoarele matrici sunt inversabile si in caz afirmativ calculati inversele.

          76) Scrieti ca un produs de matrice elementare de tip I, urmatoarele matrice:

a) ,  .=

* = .

b)

77) Fie A =  M3(R).

a)     Determinati a astfel incat A sa fie inversabila.

b)    Pentru a=2 determinati A-1 si rezolvati ecuatia AX = .

78) Fie A = . Sa se arate ca pentru orice n2, nN* exista matricele xn, yn, zn  M2(R) distincte si nenule astfel incat An = Xnn+ Ynn+ Znn.

79) Fie r,  R, r0 si A =  An =

80) Fie A Mn(R) cu proprietatea ca A.X = X.A, pentru orice
X
Mn(R). Demonstrati ca exista  R astfel incat A = I.

81) Consideram multimea:

M = A = (aij)/  aij>0 i,j, =1 i,j. Aratati ca:

a)     Daca A,BM, atunci A.X M.

b)    Daca AM, atunci .

82) Fie A Mn(R) cu proprietatea A2 = A. Demonstrati ca (I-A)2 = I-A si A(I-A) = (I-A) .A.

83) Fie A,B M2(R) matrice inversabile, iar M =  M4(R). Demonstrati ca matricea M este inversabila si ca M-1 = .

84) Fie M = N  Mn(C) / KN astfel incat Nk =0 multimea matricilor nulpotente. Pentru NM se numeste coeficientul de nulpotenta al matriceiN, cel mai mic numar natural p cu proprietatea Np =0. Definim eN = I+N++ …+ daca NM si are coeficientul de nulpotenta p.

Demonstrati ca:

a) + = . pentru N1, N2 M.

b) eN este matrice inversabila si (eN) = e-N pentru N M.

85) Fie Hk = (tij) o matrice de ordinul n definita astfel:

tij = unde K este un numar fixat din multimea:

*-(n-1), -(n-2), …, -1, 1, 2, …, (n-1) . Demonstrati ca H1K = HK, H-1K = H-K daca 1kn si H1K = H-1K = 0 pentru Kn.

          86) Fie A Mn(C) si tA transpusa sa.

a)     Demonstrati ca matricea B= A. tA este o matrice sometrica (B =. tB).

b)    Daca matricea A este inversabila atunci si A-1 este simetrica.

c)      Daca matricea A este antisimetrica (tA = -A) si inversabila, atunci si A-1 este antisimetrica.

87) Demonstrati ca produsul a doua matrice simetrice ese o matrice simetrica daca si numai daca cele doua matrici comuta.

88) Demonstrati ca produsul a doua matrici antisimetrice este o matrice simetrica daca si numai daca cele doua matrici comuta.

89) Demonstrati ca produsul a doua matrici A, B antisimetrice este o matrice antisimetrica daca si numai daca AB = -BA.

90) Fie a, b, c indicii lui f = X3 + X + 1  C[X].

a)            Calculati ;

b)    Calculati a3 + b3 +c3;

c)     Calculati P = ;

d)    Sa se arate ca an + bn +cnZ si sa se calculeze a10 + b10 +c10.

91) In M2(R), I2 = , A = si submultimea G = X(a)/a R si X(a) = I + aA. a) Sa se calculeze A2; b) Sa se arate I2 G; c)Sa se demonstreze ca X(a) .X(b) = X(a+b+2ab), a, b (R); d) Sa se arate ca daca aatunci X(a) .X() = I2; e) Sa se demonstreze ca tZ X() .X()…X()X(t)

92) Se considera A = .

a) Sa se calculeze det.A si rang A.

b) Calculati A2; c) Sa se determine B = A + 22A2 + … + 20012A2001.

93) Fie A = .

a) Calculati A2;

b) Sa se calculeze det.A si rang A.

c) Pentru xC definim B(x) = I + XA+X2A2 + … + X2001A2001. Calculati B(x);

d) Sa se arate ca B(x) este inversabila pentru X C.

94) Fie A = .

a) Calculati A2 si A3.

b) Calculati det. An, n = 2, 3, 10.

c) Verificati daca A2 = 4A – 5I.

d) Aratati ca An+1 = 4An - 5 An-1, n2.

e) Demonstrati ca An In, nN.

95) In M2(R) A = si B = .

a)     Sa se arate ca E este inversabila si sa se calculeze A-1;

b)    Calculati C = ;

c)     Calculati Cn, Bn , n1.

96) In M2(R) A = , B = , C = .

a)     Aratati ca AB = BA, ACCA;

b)    Calculati Cn.

97) In M2(C) se considera submultimea H = / z, w C.

a) Sa se verifice IH; b) A,B  H  ABH; c) Sa se demonstreze ca daca A  H si det.A =0 atunci A =0; d) Sa se gaseasca A,B H astfel incat ABBA.

 98) In M2(C) se considera submultimea G = / z, w C.

a) Sa se verifice AG atunci rang A <2 A =0.

b) Sa se determine XG astfel incat XAAX unde A = .

c)     Daca AG, A0 atunci exista A-1 si A-1G.

99) In M3(C), A =  si functia f: M3 (C)  M3 (C) f(x)= X3.

a)     Calculati det.A, rang A.

b)    Calculati A2 si A3.

c)     Sa se arate ca daca Y M3 (C) si YA = AY, atunci a, b, c  C astfel incat Y = .

d)    Sa se arate ca, daca Z =  a, b, c  C si det. Z =0 atunci Z3 = O3.

100) In  M2(R) A = , I2 = , G = X(a)/ si X(a) = aA + I2, a R.

a)     Sa se verifice I2G;

b)    Sa se arate ca A2 = 3A;

c)     Sa se arate ca X(a)  X(b) = X(3ab+a+b) a,b  R;

d)    Sa se calculeze det.A, rang A;

e)     Sa se determine aR pentru care XX… X X= X(a).

101) Se considera A =  B= .

a)     Caclulati AB si BA;

b)    Det.A si rang A;

c)     Verificati daca A2 = B2 =I;

d)    Exista A-1? Atunci sa se determine;

e)     Sa se calculeze determinantul lui X = A + A2+ A3… + A2002;

f)      Sa se arate ca (AB)n I n.

102) A M3 (C), A = .

a)     Determinati matricea X  M2 (C) stiind ca X = A2 – (a+d)A+(ad-bc)I;

b)    Calculati A2002 pentru A = ;

c)     Daca A =0,  R atunci  =0 sau A=0;

d)    Aratati ca daca K, k3 astfel incat Ak = 0 atunci A2 =0;

e) Aratati ca pentru A,B,C  M2 (C) exista egalitatea (AB-BA)2C = C(AB-BA)2.

103) Fie X = , Y = (1   1   -1), A = . Pentru a R definim B = aA + I3.

a)     Calculati A – XY;

b)    Calculati A2;

c)     Sa se arate ca 2B-B2 =0;

d)    Sa se arate ca nu exista A-1;

e)     Sa se demonstreze ca Bn = I+anA.




104) Fie X = , Y= (-1    1    2    -2), A =

a)     Calculati XY-A; b) det.A, rang A; c) Calculati A2.

105) Fie numerele reale distincte a, b, c, d, f, g : RR,
f(x) =(x-a)(x-b)(x-c)(x-d), g(x) = x3+x+1 si det. = .

a)     Verificati = (y-z)(z-x)x-y),  x,y,zR;

b)    Aratati ca  = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c);

c)     Verificati daca A = , unde A =  ;

d)    Verificati daca f’(a) = (a-b)(a-c)(a-d);

e)     Dezvoltati A dupa ultima linie si aratati ca

+ + + = 1.

106) Fie matricea A = .

a)     verificati A2 = 5A;

b)    Aratati ca An= 5n-1A n;

c)     Aratati ca matricea A- A2 + A3 -…+(-1)99A100 are toate elementele strict negative.

107) Fie d=  a, b, c C.

a)     Dezvoltand d aratati ca d= a3 + b3+c3+3abc;

b)    Folosind proprietatile determinantilor aratati d= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc);

c)     Aratati ca a2+b2+c2-ab-ac-bc= ;

d)    Rezolvati 8X+27X+125X =330X.

108) In M2(Z5), A = .

a)     Calculati det.A;

b)    Calculati A2; A4;

c)     Determinati B M2(Z5);

d)    Calculati A2001.

109) In M2 (R), A= si G = X(a)/ a R si X(a) = aA + I2.

a)     Calculati det.A, rang A, aratati ca IG;

b)    Aratati ca X(a)X(b) = X(a+b+ab) a,b;

c)     Aratati ca X(1)……X(2001) = X(2002!-1).

110) Fie M 2,1(Z) si A=  M 2(Z).

Definim f: M 2,1(Z) M 2,1(Z) f(x) = Ax, unde x=

a)     Verificati daca f(x+y) = f(x) + f(y);

b)    f(x) = f(x),  Z;

c)     Aratati daca det.A0 f injectiva, det.A -1, 1 f bijectiva.

111) Fie A=  B= C= aA+bB, a,b R.

a)     Calculati det.A, rang A;

b)    Demonstrati ca rang(aA+bB) = 3ab0;

c)     Aratati ca atunci n N avem Xn = tn-1X;

d)    Determinati Cn , n N;

112) Fie matricea A = , A M 2(R).

i) Sa se determine multimea matricilor M = X/det.X =0, det.(A+X) = 0.

ii) Daca X1, X2 M sa se verifice daca suma X1+X2 M.

113) Fie matricea A = , A M 2(R)cu ad, bc, b0, c0. Notam An = . Sa se demonstreze ca = = , stiind ca AnA  = A An. 

Rang matrici

1) Sa se determine rangul matricei A =

*M 4,5(R).

          2) Fie matricile A*M 3,4(R), B M 3(R):

A =         B =

Se cere:

a)     Sa se calculeze rangul matricei A;

b)    Sa se determine , * R astfel incat rang A = rang B.

3) Se da matricea A*M 3(R), A = . Se cere:

a)     Sa se determine valorile lui  pentru care A este nesingulara.

b)    Pentru  = -3 sa se gaseasca inversa matricei A.

4) Sa se rezolve ecuatia matriceala AXB = C unde:

A = B =      C=

5) Sa se calculeze  rangul matricelor urmatoare, pentru diferite valori ale lui :

a) ; b)

6) Sa se determine rangul urmatoarelor matrici, prin aducere la forma canonica diagonala, pentru diferite valori ale lui ,,,* R.

a) b)

          7) Se considera matricile:

A = B =

Sa se afle numerele p si q, astfel incat cele doua matrici sa aiba acelasi rang.

8) Sa se calculeze rangul matricei A = . Discutie dupa .

9) Fie A =  B = . Se cere:

a)     Sa se gaseasca rangul matricelor A si B.

b)    Sa se calculeze AB.

c)     Sa se gaseasca rangul matricei AB.

d)    Sa se enunte teorema privind rangul a doua matrice.

10) Fie A() = , * R

a)     Sa se gaseasca valorile lui  pentru care rang A () <4.

b)    Pentru fiecare din valorile lui gasite mai sus sa se afle rangul lui A().

11) Sa se determine rangul matricei , ,,*R.

12) Fie matricea A = , m* R. Ce rang maxim poate avea matricea A?

13) Fie matricele A =    B = .

a)     Se cer ,*R astfel incat rang A = 2.

b)    Cu  si determinati mai sus si sa se calculeze AB.

14) Sa se calculeze rangurile matricelor

a) b) c)

  *R.

15) Sa se calculeze rangul matricei A = unde m, iar a1,…….., am numere diferite intre ele .

16) Sa se afle valorile posibile ale rangului matricei  unde a in si a mj sunt numere oarecare.

17) Sa se afle valorile lui *C pentru care matricea

a)  are rangul minim.

18) Sa se afle rangul matricei pentru diferite valori ale lui  *C.

19) Sa se demonstreze ca rangul unei matrice nu se schimba daca:

a)     se transpune matricea;

b)    se inmultesc elementele unei linii sau unei coloane cu un numar nenul;

c)     se permuta intre ele doua linii (coloane);

d)    se adauga la elementele unei linii (coloane) elementele corespunzatoare ale altei linii (coloane) inmultite cu un numar oarecare.

20) Sa se calculeze rangul fiecareia din urmatoarele matrici:

a)     A =b) A=

b)    A =  d) A =

e)     A =  f)

g) A = h) A =

21) Sa se calculeze in functie de a* R rangul matricilor

a) A =  b) A =
c) A = d) A =  

e) A = f) A =

22) Sa se calculeze in functie de a,b R rangul matricilor:

a)A= b)A=  c) A = 

d) A=    d) A=

f) A =

23) Se considera matricile:

A =      B = . Sa se afle numerele p, q  R astfel incat cele doua matrice sa aiba acelasi rang.

24) Sa se determine rangul matricei A =

25) Sa se calculeze rangul matricilor pentru diferite valori ale parametrilor:

a)    b)  

d)     d)

26) a) Cum se poate schimba rangul unei matrici, daca se schimba unul din elementele sale?

      b) Cum se poate schimba rangul unei matrici, prin schimbarea elementelor unei linii? Dar prin schimbarea elementelor a K linii?

Matrici inversabile

          Sa se afle daca matricile sunt inversabile si in caz afirmativ sa se gaseasca inversele lor:

1)     a)  b)  c)  

a R .

2)     a)  b)

3)     a)  b)

     c)  l  C .

4) Fie matricile A =  si B = . Sa se calculeze: 2A-2B; AB; B-1; B+ B-1.

5) Sa se gaseasca matricile adjuncte ale urmatoarelor matrici:

A =  B =

6) Sa se verifice daca urmatoarele matrici sunt inversabile si in caz afirmativ sa se calculeze inversele lor:

A =  B =  C =

7) Fie matricile A=  B=  Se cere:

a)     Sa se arate ca AB = BA = I;

b)    Sa se calculeze A-1si B-1 si sa se justifice rezultatul punctului a).

8) Sa se stabileasca daca urmatoarele matrici sunt inversabile si sa se gaseasca inversele lor:

A =  B =

9) Sa se determine valorile parametrului real m, astfel incat matricea

A =  sa fie inversabila pentru orice x R.

10) Fie matricea A =   M3 (C). Sa se afle valorile lui l pentru care matricea A este inversabila si sa se calculeze in acest caz A-1.

11) Fie matricea A =  M3 (R), unde a R.

a)     Sa se determine a, astfel incat A sa fie inversabila;

b)    Sa se determine a, astfel incat sa existe B  M3 (R), B 0 cu A.B = 0.

         12) Sa se rezolve ecuatiile matriceale:

          a)  .X .  = ;

          b) .X =

          13) Sa se rezolve ecuatia matriceala

          X .  =

          14) Daca X  M3 (R) sa se rezolve ecuatia matriceala:

X .  =

15) Sa se rezolve pe cale matriceala:

16) Sa se determine a R, astfel incat urmatoarele matrici sa fie inversabile si sa se afle inversele lor:

a)     A =  b) A =  

c) A =  d) A =

e) A =  f) A =

17) Sa se rezolve ecuatiile matriceale:

a)     X .  =

b)    X .  =  

c)     .  =

d)   .X =

18) Fie A =  M2 (C), astfel incat A3 =0. Sa se demonstreze ca matricea  este inversabila.

19) Sa se afle daca matricile urmatoare sunt inversabile si in caz afirmativ sa se gaseasca inversele lor:

a)  a R .b)  



c)  d)

20) Sa se afle daca matricile urmatoare, de ordin n, sunt inversabile si in caz afirmativ sa se gaseasca inversele lor:

a)  b)  

c)  d)

21) Sa se arate ca pentru o matrice nesingulara A de forma:

A = inversa sa B = A-1 este de forma

          22) Fie A o matrice patratica cu coeficienti complecsi. Sa se demonstreze ca, daca exista k 2 astfel incat Ak=0, atunci matricea I-A este inversabilasi abem: (I-A)-1 = I+A+…+Ak-1.

          23) Fie A o matrice inversabila cu coeficienti complecsi. Sa se demonstreze ca (A-1)t = (At)-1.

          24) Fie A, B, C matrice astfel incat AB = AC. Sunt oare egale matricele B si C? Dar daca A este o matrice nesingulara?

25) Fie E matricea patratica de ordin n ale carei elemente sunt egale cu 1. Sa se arate ca:

a) En2 = nEn

26) Fie A  Mn (C) de rang 1. Sa se arate ca:

a)     exista un numar astfel incat A2 = aA;

b)    daca a -1 atunci matricea I+A este inversabila si avem:

(I+A) -1 = I -

Sa se deduca: inversabila daca si numai daca este nenula si sa se calculeze inversa.

27) Fie A o matrice nesingulara si B = XY, o matrice de rang 1. Sa se demonstreze ca daca matricea A+B este nesingulara, inversa sa este data de: (A+B)-1 = A-1B A –1, unde a = Y A –1X. Presupunand cunoscute matricele A–1, X, Y, sa se calculeze numarul inmultirilor si impartirilor necesare pentru a trece de la A–1 la (A+B)-1.

DETERMINANTI

1)           Sa se calculeze:

a) ; b) .

2)           Fie = Sa se calculeze  utilizand:

a) Regula lui Sarrus;

b) Regula triunghiului;

c) dezvoltarea dupa linia a 3-a;

d) dezvoltarea dupa coloana a 2-a;

e) dezvoltarea dupa linia 1-a, dupa ce in prealabil se vor obtine 2 elemente zero;

f) proprietatile determinantilor.

            3) Sa se calculeze determinantii:

            a)  ; b) ;  c) ;  d) .

          4) Sa se calculeze urmatorii determinanti:

            a) ; b) .

            5) a) ; b) ; c) .

            6) .

          7) Sa se calculeze urmatorul determinant, punand sub formp de produs rezultatul:

      *=

           

]     8) Fie ha, hb, hc, lungimile inaltimilor corespunzatoare laturilor de lungime a,b,c ale unui triunghi oarecare ABC. Sa se arate ca:

            * = .

            9) Fie determinantul * = .

a)            Sa se calculeze * punand rezultatul sub forma de produs de 3 factori;

b)          Dezvoltand pe * prin doua metode diferite sa se gaseasca egalitatea
a3+ b3 c3- 3abc = (a+b+c)( a2 + b2
+ c2 +ab-ac-bc).

10) Dandu-se *1 =  ; *2 = .

11) Sa se dezvolte determinantii trigonometrici:

a) ; b) ; c)  
d)  .

12) Daca A,B,C sunt unghiurile unui triunghi oarecare ABC sa se arate ca urmatorii determinanti au valoarea zero:

a)  b) ;

c) .

13) Sa se rezolve urmatorii determinanti:

a) ; b) ; c) ; d) .

14) Sa se rezolve ecuatiile:

a) 0 = ; b)  0 =  

15) Fie numerele Ni = scrise in baza 10, i = 1,2,3. Daca cele trei numere sunt divizibile cu 31, atunci si determinantul * =  este divizibil cu  31. Sa se generalizeze pentru n numere a cate n cifre si pentru un divizor oarecare b  Z .

16) Sa se determine a, astfel incat ecuatia  = 0 sa admita o radacina dubla numar intreg.

17) Sa se calculeze determinantii:

a)  =  =0;

b)  = -i =0

18) Stiind ca radacinile x1, x2, x3 ale ecuatiei X3 + X2 +ax+b =0; a,b  R sunt reale, sa se arate ca acestea sunt egale daca si numai daca  = 0. Sa se rezolve in acest caz ecuatia data si sa se determine a si b.

19) Sa se calculeze determinantul * = , stiind ca x1, x2, x3 sunt radacinile ecuatiei: X3 - X2 +5x-2 =0.

20) Cu ce semn va aparea in determinantul de ordinul 5 termenii:

a) a14    a23   a31   a45     a52;

b) a12    a25   a33   a41     a54.

21) In determinantul de ordin 4 se gasesc termenii urmatori?

a) a13    a24   a33   a42;

b)a14    a23    a33   a41.

22) Cu ce semn apare in determinantul de ordinul n, produsul elementelor de pe diagonala principala?

23) Dar de pe diagonala secundara

sgn = (-1).

24) Sa se scrie toti termenii care apar in determinantul de ordin 6 si sunt de forma a15    a24   a3k3   a41     a5k5       a62.

25) Folosind numai definitia determinantilor de ordin n sa se calculeze

a) = n!; b) = (-1)n!

26) Fie d = (aij)unde aij sunt numere complexe. Daca aij=  oricare i,j atunci d este real.

27) Sa se verifice egalitatile:

a)  = 2abc(a-b)(b-c)(c-a)

b)  = (a+b+c)3;

c) = (xy+yz+zx)(x-y)(z-x);

d) = (a-1)6.

28) Sa se rezolve ecuatia:  =0.

29) Sa se rezolve ecuatia:   = 0

30) Sa se rezolve ecuatia:  = 0

31) Sa se calculeze determinantul de ordin n:

32) Sa se calculeze determinantul  stiind ca x1, x2, x3 sunt radacini ale ecuatiei X3 -2X2 +2x+17= 0.

33) Sa se calculeze determinantul d =  stiind ca x1, x2, x3, x4  sunt radacini ale ecuatiei X4 +pX2 +qx + r= 0.

34) Sa se demonstreze prin inductie dupa n:  =

35) Sa se calculeze urmatorii determinanti:

a) ; b) ; c) ;

c)           ; e) ;

f) .

36) Sa se rezolve ecuatiile urmatoare:

a)  =0; b)  = 0; c)  = 0;

d)  = 0; e)  = 0;

f)  = 0; g)  = 0; h)  = 0; i)  = 0;  = 0.

37) Fara a dezvolta sa se demonstreze urmatoarele egalitati:

a)             = 0;

b)     = 0;

c)      = 0; d) = 0; e) = 0; f)  = 0; g)  = 0

h)  = 0; i)  = 0

38) Sa se calculeze urmatorii determinanti:

a)  b) ;

c) ; d) .

39) Sa se demonstreze urmatoarele inegalitati:

a) 0, a, b  R*

b) 0;

c) 0, a, b, c R;

d) 0; e) 0;

f) 0; g) 0 a,b,c,x,y,z R+.

40) Sa se calculeze determinantul , stiind ca numerele a1,… sunt:

a)            in progresie aritmetica;

b)          in progresie geometrica.

41) Sa se determine a R astfel incat ecuatia  = 0 sa aiba o radacina dubla numar intreg.

42) Sa se calculeze determinantul  = , stiind ca x1, x2, x3 sunt radacinile ecuatiei X3 +pX +q = 0.

43) Sa se calculeze urmatorii determinanti de ordin n:

a)

b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

44) Sa se rezolve ecuatia: c = 0, a R.

45) Sa se arate ca  = 0.

46) Se considera f(x) = , g(x) =  , h(x) = .Sa se arate ca oricare ar fi tripletul a,b,c    avem:  = 0.

47) Sa se arate ca:

 =  = 1+ x1 + … + xn

48) Daca numerele , , …  sunt divizibile cu N atunci determinantul  este divizibil cu N.

49) Sa se rezolve ecuatia:  = 0.

50) Daca p < m atunci  = 1.

51) Fie ecuatia algebrica Xn +a2 Xn-2 + a3 Xn-3 + … + an = 0, a2 , …, an C. Sa se calculeze determinantul  .

52) Sa se calculeze determinantul de ordinul n .

53) Sa se arate ca:  = (y2-y1) ….(yn-y1).

54) Sa se arate ca  = 0, unde a, b, c sunt lungimile corespunzatoare laturilor unui triunghi, iar ha, hb, hc sunt lungimile inaltimilor corespunzatoare.

55) Fie matricea de ordinul 2: A = .

i) Sa se arate egalitatea: A2 - (a+d)A + (ad-bc)I = 0;

ii) daca exista un k2 astfel incat Ak = 0 atunci A2 = 0.

56) Fie A = , aij  R, B =   Mn (R). Sa se arate ca, pentru n = 2,3: det.(A+B)  det.(A-B)  (det.A)2 .

57) Sa se calculeze valoarea maxima (respectiv minima) a determinantilor de ordinul 4 ale caror elemente sunt -1 si +1.

58) Sa se calculeze urmatorii determinanti:

i)  = ; ii)  = ;

iii)  = ;

iv) = ;

v)  = ;

vi)  = ;

vii)  = ;

viii)  = ;

ix)  =  ;

x)  = .

59) Fie f un polinom de gradul n cu f  R si f (k) derivata de ordin K  a polinomului f.  Sa se demonstreze ca determinantul urmator este independent de x.

 = .

60) Un determinant  de ordinul 3 are elementele de pe diagonala principala egale cu , iar suma elementelor de pe fiecare linie si de pe fiecare coloana este egala cu 1. Sa se demonstreze ca   > 0.








Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 1937
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2019 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site