Triedrul lui Frenet

Triedrul lui Frenet

1. Tangenta intr-un punct la o curba

Definitie. Fie M I un punct fixat. Daca atunci cand N → M, N I , secanta MN tinde catre o unica pozitie limita MT, spunem ca curba C are tangenta in M, iar dreapta MT se numeste tangenta in M la curba C (fig. 4.1).

Fig. 4.1.

Teorema 4.1. O curba parametrizata de clasa C¹ are tangenta in orice punct.

Demonstratie. Fie M, N I , , . Atunci . Vectorul

este coliniar cu . Punctul M fiind nesingular, vectorul

are o limita nenula, bine determinata si anume , cand Δt → 0, deci cand N → M, N I . Acest vector limita, nenul, are ca dreapta suport chiar dreapta cautata MT.

Un vector director al tangentei in punctul M este

Punctul M se numeste punct de contact al tangentei. Cum este continuu, rezulta ca directia tangentei variaza continuu cand punctul de contact descrie curba.

Se poate spune ca sensul derivatei este acelasi cu sensul pozitiv pe curba.

Fie P(X, Y, Z) un punct oarecare pe tangenta M la curba C. Cum este coliniar cu , exista astfel incat , relatie echivalenta cu ecuatiile

(4.1)

numite ecuatii parametrice ale tangentei. Ecuatiile (4.1) se mai pot scrie sub forma

(4.2)

si se numesc ecuatii canonice ale tangentei.

In cazul in care curba este data prin ecuatii explicite de forma (2.3), ecuatiile (4.2) devin

(4.3)

Cand curba este situata in planul xOy ecuatia tangentei este

(4.4)

sau inca

(4.5)

deci coeficientul unghiular al tangentei este

Pentru curba plana data explicit: y = y(x), ecuatia tangentei (4.5) devine

Y - y(x) = y'(x)(X - x), (4.6)

in acest caz coeficientul unghiular al tangentei fiind m = y'(x).

Pentru curba plana data implicit:

(4.7)

ecuatiile tangentei se obțin astfel:

Fie M₀(x₀, y₀, z₀) un punct ce aparține curbei, adica cu x₀, y₀, z₀ satisfacand (4.7) si

Daca, de exemplu, , atunci, conform teoremei functiilor implicite, local, putem scrie . Derivand in raport cu x egalitatile

(4.8)

obtinem

Atunci, din sistemul de mai sus, obtinem

Folosind (4.3), ecuatiile tangentei in acest caz vor fi

(4.9)

Pentru curbe plane definite implicit de ecuatia F(x, y) = 0 se obtine in mod similar ecuatia tangentei

(4.10)

unde M₀(x₀, y₀) cu F(x₀, y₀) = 0.

Pentru aceasta, este suficient sa observam ca, in acest caz, curba poate fi gandita in spatiu ca fiind data de ecuatiile

Probleme rezolvate.

1) Sa se scrie ecuatiile tangentei la curba de reprezentant , , in punctul A(3, -7, 2).

Solutie. Determinam valorile lui t pentru care r(t) = A. Acestea trebuie sa satisfaca ecuatiile: t⁴ + t² + 1 = 3, 4t³ + 5t + 2 = -7, t⁴ - t³ = 2. Din prima ecuatie obtinem t₁ = -1, t₂ = 1. Numai t = -1 satisface si celelalte doua ecuatii. Asadar A = r(-1). Deoarece , rezulta ca .

In consecinta, ecuatiile tangentei in punctul A sunt

2) Sa se scrie ecuatiile tangentei in punctul M₀(1, 3, 4) la curba de ecuatii x² + y² = 10,
y₂ + z₂ = 25.

Solutie. Folosin ecuatiile (4.9), unde F(x, y, z) = x² + y² - 10, G(x, y, z) = y² + z² - 25.

Obtinem . Deoarece vectorii si sunt coliniari, ecuatiile tangentei in punctul M₀ sunt

3) In planul xOy, fie cercul de centru C(a, b) si raza R > 0. Sa se arate ca tangenta la cerc este perpendiculara pe raza in punctul de contact.

Solutie. Ecuatia vectoriala a cercului dat este ,
t I p]. Fie M(x, y) un punct de pe cerc. Deoarece si , atunci , deci tangenta la cerc este perpendiculara pe raza in punctul de contact.

4) Sa se stabileasca ecuatia tangentei in punctul (x₀, y₀) la conica de ecuatie

a x + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₃₃ = 0.

Solutie. Folosind (4.10) si tinand seama ca

obtinem ecuatia tangentei:

Aceasta ecuatie se mai numeste ecuatia dedublata a conicei.

2. Plan osculator la o curba

Fie C o curba parametrizata de clasa C², vectorul tangent in punctul M la curba C si N I , N ¹ M (fig. 4.2). Spunem ca planul MNT tinde la un plan cand N → M,
N I , daca unghiul dintre cele doua plane tinde la zero.

Fig. 4.2.

Definitie. Se numeste plan osculator in M la curba C planul la care tinde planul MNT cand N → M, N I .

Teorema 4.2. O curba parametrizata de clasa C² are un plan osculator in orice punct in care vectorii , nu sunt coliniari. Planul osculator ce trece prin M are ca vectori directori vectorii si .

Demonstratie. Fie M, N I , , . Din formula lui Taylor pentru campuri vectoriale rezulta:

(4.11)

unde cand Δt → 0. Atunci vectorul

este coliniar cu , deci planul MTN coincide cu planul MTN'.

Daca , atunci

si planele MTN' si MTN' coincid. In concluzie, planul MTN coincide cu planul MTN'.

Dar , cand Δt → 0, deci planul osculator este determinat de vectori necoliniari si

Putem deduce acum ecuatia planului osculator.

Daca X, Y, Z sunt coordonatele unui punct curent din planul osculator, ecuatia planului osculator in punctul M(x(t), y(t), z(t)) este

(4.12)

Introducand notatiile

(4.13)

ecuatia planului osculator se mai scrie

(4.14)

Probleme rezolvate

1) Sa se scrie ecuatia planului osculator la curba de reprezentant , in punctul A(9, 3, 7).

Solutie. Evident A = r(3). Deoarece , rezulta ca , deci l = 18, m = -54, n = -2.

Conform (4.14), ecuatia planului osculator este 9x - 27y - z + 7 = 0.

2) Sa se scrie ecuatia planului osculator la curba de ecuatii y² = x, x² = z, in punctul
A(1, 1, 1).

Solutie. Curba se poate parametriza usor alegand ca parametru y = t. Ecuatiile parametrice ale curbei vor fi: x = t², y = t, z = t⁴. Procedand ca in exemplul anterior, obtinem ecuatia planului osculator: 6x - 8y - z + 3 = 0.

3) Sa se scrie ecuatia planului osculator la curba de ecuatii x² + y² - 1 = 0, x² - 2yz = 0, in punctul A(0, 1, 0).

Solutie. Folosind teorema functiilor implicte, putem gandi local y si z ca functii de x. Derivand de doua ori cele doua egalitati in raport cu x, rezulta x + yy' = 0, x - y'z - yz' = 0, respectiv 1 + (y')² + yy' = 0, 1 - y'z - 2y'z' - yz' = 0. Scriind aceste relatii in punctul A, obtinem y'(0) = 0, z'(0) = 0, y'(0) = -1, z'(0) = 1. Atunci ecuatia planului osculator este , adica y + z - 1 = 0.

3. Triedul lui Frenet

Fie C o curba parametrizata de clasa C² si (I, r) un reprezentant al curbei C,,cu proprietatea ca vectorii si nu sunt coliniari.

Asadar

In consecinta, drumul (I, r) este nesingular.

Anterior am introdus notiunile de tangenta si plan la o curba intr-un punct.

Definitie. Se numeste plan normal in punctul M la curba C, planul care trece prin M si este perpendicular pe tangenta in punctul M la C.

Tinand seama de (4.2), ecuatia planului normal pentru o curba data parametric este

(4.15)

Pentru curbe date implicit de ecuatiile (4.8), avand in vedere (4.9), ecuatia planului normal este

(4.16)

Fie acum C o curba plana situata in planul xOy. Perpendiculara pe tangenta in punctul
M I se numeste normala in M la C. In acest caz, ecuatia normalei este

(4.17)

pentru curbe date parametric si

(4.18)

in cazul curbelor date implicit de ecuatia F(x, y) = 0.

Fie M = r(t). Definim versorul tangenta in punctul M la curba ca fiind

(4.19)

Multimea dreptelor care trec M si sunt perpendiculare pe se numesc normale in punctul M la curba C. Asadar, o curba in spatiu are o infinitate de normale intr-un punct al sau.

Definitie. Se numeste normala principala in punctul M la curba C normala situata in planul osculator in punctul M la curba C. Se numeste binormala in punctul M la curba C normala la planul osculator in punctul M la curba C.

In consecinta, ecuatiile binormalei sunt

(4.20)

Normala principala fiind intersectia dintre planul normal si planul osculator, ecuatiile ei vor fi:

(4.21)

Definitie. Se numeste plan rectifiant in punctul M la curba C planul determinat de tangenta si binormala in punctul M la curba.

Prin urmare, ecuatia planului rectifiant este

(4.22)

Fie acum (J, ) drumul parametrizat natural echivalent cu drumul (I, r) din teorema 3.3. Reamintim ca, pentru t₀ I I fixat, am definit functia

Atunci J = s(I) si = r ◦ s^-1 si

(4.23)

Este clar ca

(4.24)

Din (4.23), prin derivare, obtinem

,

adica

si

(4.26)

Deoarece

derivand, rezulta

,

deci

In consecinta, (4.26) se mai scrie

din care obtinem

(4.27)

Din (4.27) rezulta ca vectorul se afla in planul osculator in punctul M la curba. Pe de alta parte, deoarece

(4.28)

conform regulii 6 de derivare, va rezulta ca

(4.29)

Prin urmare, se afla in planul normal in punctul M la curba, deci este coliniar cu normala principala in punctul M la curba.

Definim versorul normalei principale in punctul M la curba ca fiind

(4.30)

De asememea, prin definitie, versorul binormalei, in punctul M la curba este dat de

(4.31)

Definitie. Triedrul tridreptunghic format din tangenta (orientata in sensul cresterii parametrului), normala principala si binormala se numeste triedru principal sau triedrul lui Frenet al curbei C in M.

Asadar, versorii triedului lui Frenet al curbei C in punctul M = r(t) sunt notati Fetele triedrului lui Frenet sunt: planul osculator, planul normal si planul rectifiant.

Observatie. Problema determinarii triedrului lui Frenet nu necesita obligatoriu determinarea parametrizarii naturale (J, Folosind (4.25) si (4.30), obtinem

(4.32)

Din (4.25) si (4.27) rezulta

(4.33)

iar din (4.28) si (4.39) obtinem

deci

(4.34)

In consecinta (vezi (4.32) si (4.34)), se poate calcula folosind formula

(4.35)

In practica, si se calculeaza folosind (4.19) respectiv (4.35), iar versorul normala principala cu formula.

(4.36)

Probleme rezolvate.

1) Sa se scrie ecuatiile muchiilor si fetelor triedrului lui Frenet intr-un punct oarecare al curbei de reprezentant , r(t) = (acost, asint, bt), a, b > 0.

Solutie. Avem . Atunci , deci l = absint, m = -abcost, n = a². In consecinta, ecuatiile tangentei sunt

,

iar ecuatiile binormalei sunt

De asemenea, ecuatia planului normal este

axsint - aycost - bz + b²t = 0

iar a planului osculator este

bxsint - bycost + az - abt = 0.

Folosind (4.22), ecuatia planului rectifiant este

xcost + ysint - a = 0

deci ecuatiile normalei principale sunt

2) Sa se determine versorul triedului lui Frenet intr-un punct oarecare al curbei de reprezentant

Solutie. Vom folosi formulele (4.19), (4.35), (4.36). Deoarece

rezulta ca . Atunci

De asemenea, , deci

In consecinta, , deci . Atunci

3) Fie curba de reprezentant , r(t) = (tsint, tcost, te^t). Sa se determine versorii triedului lui Frenet in origine.

Solutie. Deoarece

,

rezulta ca , , . Atunci Dar , , deci Atunci .