Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

CATEGORII DOCUMENTE





Statistica


Teoria estimatiei

Statistica

+ Font mai mare | - Font mai mic







DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
SCALE DE MASURARE - NEPARAMETRICE, PARAMETRICE
Teoria estimatiei

Teoria estimatiei



            Relativ la colectivitatea  este cercetatǎ caracteristica , care urmeazǎ legea de probabilitate datǎ prin functia de probabilitate  ce reprezintǎ functia frecventa dacǎ  este de tip discret, respectiv densitatea de probabilitate in cazul continuu, iar  este un parametru necunoscut.

            Teoria estimatiei are ca scop evaluarea parametrulor de care depinde legea de probabilitate a caracteristicii , folosind datele de selectie , ,, si bazandu-se pe rezultatele teoretice relative la variabilele de selectie , ,,

            Definitia 1. Numim functie de estimatie (punctualǎ) sau estimator al parametrului  functia de selectie (statistica)

cu ajutorul cǎreia se obtin concluzii relative la parametrul

            Definitia  Spunem cǎ functia de estimatie  este functie de estimare consistentǎ sau estimatoar consistent pentru parametrul necunoscut , dacǎ

pentru orice numǎr  adicǎ  iar valoarea numericǎ  se numeste estimatie consistentǎ pentru parametrul

            Definitia 3. Numim functie de estimatie (estimator) absolut corectǎ pentru parametrul  functia de estimatie

care satisface conditiile

(i)

(ii)

iar valoare numericǎ  se numeste estimatie absolut corectǎ pentru parametrul

            Definitia 4. Numim functie de estimatie (estimator) corectǎ pentru parametrul

functia de estimatie  care satisface conditiile

(i)

(ii)

iar valoarea numericǎ  se numeste estimatie corectǎ pentru parametrul

            Definitia 5. Numim distorsiunea (deplasarea) estimatorului  al parametrului , diferenta  iar daca distorsiunea este nula estimatorul  se numeste nedeplasat.

            Proprietatea 6. Daca  este un estimator absolut corect pentru parametrul , atunci estimatorul este consistent.

            Demonstratie. Avand in vedere ca  inegalitatea lui Cebisev pentru variabila aleatoare  este

 pentru

Dar  si trecand la limita in inegalitatea lui Cebasev se obtine  pentru orice  deci  este un estimator consistent pentru parametrul

            Exemplul 7. Fie caracteristica  pentru care exista momentul teoretic de ordinul ,  si fie o selectie repetata de volum , atunci momentul de selectie de ordin  este  Vom arata ca  este estimator absolut corect pentru momentul teoretic de ordin , adica pentru

Pentru aceasta scriem succesiv

respectiv

cand  de unde se obtine ca  este estimator absolut corect pentru parametrul

            Observatia 8. Media de selectie  este estimator absolut corect pentru media teoretica

            Exemplul 9. Momentul centrat de selectie de ordinul doi

este functie de estimatie corecta pentru momentul centrat teoretic de orinul doi  adica pentru dispersia teoretica.

            Sa se arate ca

 cand

respectiv

 pentru

Daca se considera functia de estimatie care defineste dispersia de selectie

aceasta este functie de estimatie absolut corecta pentru dispersia teoretica

Pentru aceasta avem ca  Prin urmare, se obtine

respectiv

 cand

In consecinta  este functie de estimatie absolut corecta pentru dispersia teoretica

            Definitia 10. Numim cantitatea de informatie (a lui Fisher) a unei selectii de volum  relativ la parametrul necunoscut, valoarea

            Observatia 11 (Inegalitatea Rao-Cramer). Estimatorul absolut corect  al parametrului  satisface inegalitatea

            Definitia 1 Estimatorul , absolut corect pentru parametrul necunoscut , se numeste eficient, daca  iar raportul

se numeste eficienta estimatorului

            Exemplul 13. Sa verificam daca media de selectie, in cazul cand caracteristica cercetata are distributia  este functie de estimatie eficienta pentru parametrul

            Se stie ca media de selectie  este functie de estimatie absolut corecta pentru media teoretica

Functia de frecventa a caracteristicii  este data prin

 pentru  si

Se vede ca  si  adica probabilitatile din distributia caracteristicii

            Pentru a calcula cantitatea de informatie relativa la parametrul  avem ca

deci



            Pe de alta parte, se poate scrie

Prin urmare se obtine ca  deci  este estimator eficient pentru parametrul

            1. Metoda verosimilitatii maxime

            Fie  caracteristica cercetata, care are functia  de probabilitate, ce o caracterizeaza si care depinde de parametrii necunoscuti , , ,

            Deoarece variabilele de selectie , , , sunt variabile aleatoare independente si urmeaza aceeasi lege de probabilitate ca , rezulta ca vectorul aleator (, , ,) va avea functia de probabilitate

si care poarta numele de functie de verosimilitate.

            Definitia 14. Spunem ca estimatorii  sunt estimatori de verosimilitate maxima, respectiv pentru parametrii   daca realizeaza maximul functiei de verosimilitate.

            Observatia 15. Determinarea estimatorilor de verosimilitate maxima se obtine prin rezolvarea sistemului de ecuatii

Acest sistem, de regula se inlocuieste cu sistemul

care conduce la aceeasi solutie si care se numeste sistemul de verosimilitate maxima.

            Observatia 16. Un estimator eficient este un estimator de verosimilitate maxima.

            Observatia 17. Un estimator de verosimilitate maxima este estimator consistent, iar pentru valori mari ale volumului  este o variabila aleatoare ce urmeaza legea normala  unde  este parametrul estimat.

            Exemplul 18. Sa determinam estimatorii de verosimilitate maxima pentru valoarea medie si abaterea standard, daca se considera caracteristica  care urmeaza legea normala

            Se stie ca  si  iar

            Pentru a scrie sistemul de verosimilitate maxima, avem ca

de unde

In acest mod se obtine

sau

de unde se obtin estimatorii de verosimilitate maxima

pentru parametrii  si

             Metoda momentelor

            Fie caracteristica  de probabilitate si care depinde de  parametrii , , ,

            Metoda momentelor consta in estimarea acestor parametrii din conditiile ca momentele teoretice initiale ale caracteristicii  au ca estimatori absolut corecti pe momentele de selectie de ordin corespondent. Astfel, se obtine sistemul de ecuatii  pentru  din care se obtin estimatii pentru parametrii , , ,

            Exemplul 19. Se considera caracteristica , care urmeaza legea gamma de parametrii  necunoscuti. Vom estima acesti parametri, folosind metoda momentelor, pe baza datelor , ,,  de selectie.

            Functia densitate de probabilitate a caracteristicii  este

unde  este functia Euler de speta a doua, adica

            In cazul de fata este vorba de doi parametri, deci sistemul de ecuatii este format din doua ecuatii, anume  si

            Vom calcula momentul teoretic initial  de ordin , adica

Daca se face schimbarea de variabila  se obtine

deci  Rezulta astfel sistemul

care are solutia

ceea ce reprezinta estimatorii pentru parametrii  si respectiv

            3. Metoda intervalelor de incredere

            Fie caracteristica  cercetata avand functia de probabilitate  unde  este unparametru necunoscut.

            Metoda intervalelor de incredere consta in determinarea a doua functiide selectie  si  astfel incat  unde  nu depinde de  si se numeste probabilitate de risc, iar  se numeste probabilitate de incredere.

            Intervalul aleator  se numeste interval de incredere pentru parametrul

            De regula, pentru a construi un interval de incredere pentru parametrul , se cauta determinarea caracteristicii  a carei lege de probabilitate sa fie cunoscuta, lege de probabilitate care sa nu depinda de parametrul .

            Se determina apoi un interval numeric  astfel incat

            Din dubla inegalitate  se exprima parametrul  prin dubla inegalitate echivalenta cu cea de dinainte.

            Desigur, in aplicatiile practice, intervalul aleator este inlocuit cu intervalul numeric corespunzator , iar acesta este cu atat mai bun cu cat are lungime mai mica si cu cat probabilitatea de incredere  este mai mare.

            Exemplul 20. (Intervalul de incredere pentru media teoretica daca dispersia este cunoscuta). Se considera caracteristica  ce urmeaza legea normala , unde  este necunoscut, iar  este cunoscut.

            Pentru construirea unui interval de incredere pentru media teoretica  necunoscuta efectuam o selectie repetata de volum  si consideram probabilitatea de incredere  data, .

            Conform Observatiei 1.17 avem ca caracteristica

 unde

urmeaza legea normala  prin urmare o lege de probabilitate cunoscuta ce nu depinde de parametrul necunoscut  Rezulta ca putem determina intervalul numeric  astfel incat

adica  unde  este functia lui Laplace si care este tabelata in Anexa I.

            Desigur ca intervalul numeric  nu este in mod unic determinat. Intervalul de incredere de lungime minima pentru  fixat se obtine cand este simetric fata de origine, adica  In acest caz  va fi dat prin relatia




 adica

Cand se foloseste functia lui Laplace definita prin

atunci  se determina din relatia  si reprezinta de fapt cuantila de ordin .

            Odata determinat intervalul , putem scrie

sau

Prin urmare, intervalul de incredere pentru media teoretica  este  unde

iar

            Observatia 21. Cand caracteristica  nu urmeaza legea normala, dar volumul selectiei este mare  si se cunoaste abaterea medie patratica teoretica   atunci statistica

,

unde  este media teoretica (necunoscuta), este aproximativ repartizata normal

            Prin urmare, poate fi considerat intervalul de incredere pentru parametrul , cu probabilitatea de incredere , intervalul obtinut la exemplul precedent.

            Exemplul 22 (Interval de incredere pentru media teoretica cand dispersia teoretica este necunoscuta).

            Fie caracteristica  ce urmeaza legea normala , unde parametrul  este necunoscut, iar  este de asemenea parametru necunoscut. Pentru a construi un interval de Incredere pentru media teoretica , cu o probabilitate de incredere  data, vom considera statistica

unde

 si

Pe baza observatiei 1.22, avem ca statistica  urmeaza legea Student cu  grade de libertate. Asadar, putem determina intervalul numeric  astfel incat  adica  unde

 

este functia de repartitie a legii Student cu  grade de libertate si care este tabelata, pentru anumite valori, in Anexa II.

            Prin urmare   se determina ca

            Odata determinat intervalul , putem scrie

sau

Astfel s-a obtinut intervalul de incredere  pentru media teoretica , unde

 

            Exemplul 23 (Intervalul de incredere pentru diferenta mediilor a doua populatii). Fie doua populatii  si  pentru care se cerceteaza aceeasi caracteristica. Fie aceasta caracteristica  ce urmeaza legea legea normala  pentru populatia  si respectiv  ce urmeaza legea normala  pentru populatia .

            Vom determina un interval de incredere, cu probabilitatea de incredere , pentru diferenta

            Pentru aceasta se considera doua selectii independente relative la cele doua populatii, cu variabilele de selectie corespunzatoare , ,,  si respectiv , ,,

            Distingem, in continuare, doua cazuri.

            a) Abaterile standard  si  cunoscute. In acest caz, pe baza Observatiei 1.18, avem ca statistica

unde  si  urmeaza legea normala  Ca la Exemplul 20, se determina intervalul numeric notat prin  astfel incat  adica

Aceasta relatie ne da intervalul de incredere pentru diferenta  a mediilor celor doua populatii.

            b) Abaterile standard  necunoscute. In acest caz, se considera statistica

unde  si  sunt mediile de selectie definite ca mai inainte,  si  sunt dispersiile de selectie, adica

 si

Statistica T urmeaza legea Student cu  grade de libertate.

            In continuare, ca la exemplul 22, pentru o probabilitate de incredere , se determina intervalul astfel ca , adica

Astfel se obtine intervalul de incredere pentru diferenta

unde

Exemplul 24 (Interval de incredere pentru dispersia teoretica). Se considera caracteristica X  ce urmeaza legea normala . Pentru a construi un interval de incredere pentru dispersia teoretica, , se construieste statistica

, unde , .

Conform Observatiei 1.22, statistica H2 urmeaza legea  cu n-1 grade de libertate. Astfel, pentru probabilitatea de incredere , se poate determina intervalul numeric , astfel ca .

Anume,  se determina din relatia , respectiv  se determina din relatia , unde  este functia de repartitie pentru legea  cu m grade de libertate, adica

,

care este tabelata in Anexa III.

Odata determinat intervalul , putem scrie ca

,

sau

.

Prin urmare, s-a obtinut intervalul de incredere  pentru parametrul , unde

,

.

Observatia 25. Cu notatiile de la exemplul precedent, intervalul de incredere pentru abaterea standard teoretica  este .








Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 1378
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2019 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site