| CATEGORII DOCUMENTE |
| Arheologie | Istorie | Personalitati | Stiinte politice |
Conceptul de preferinta
Cum se explica faptul ca intr-o anumita situatie, in care am avut la dispozitie un numar de alternative, am ales-o pe una anume? Cum se explica faptul ca nu am ales in acel caz o alta alternativa? A fost arbitrara alegerea facuta sau ea poate fi explicata intr-un anume fel? De pilda, am la dispozitie alternativele x si y. Dintre ele, o aleg pe x; cu alte cuvinte, C() = . De ce am procedat astfel?
Una dintre explicatiile cele mai naturale (si, asa cum vom vedea, foarte fertila prin implicatiile sale) este aceea ca am ales intr-un anumit fel intre alternativele disponibile pe agenda fiindca am o anumita preferinta intre alternative; simplu zis, cand am avut de ales in situatia am ales alternativa x fiindca o prefer alternativei y; am ales azi dimineaza sa mananc lapte cu fulgi de porumb si nu omleta, fiindca prefer laptele cu fulgi omletei. Am votat pentru functia de presedinte candidatul x si nu candidatul y fiindca il prefer pe x lui y.
Vom analiza in cele ce urmeaza conceptul de preferinta. Ne vom concentra asupra rolului preferintelor in alegerea sociala; dar nu vom discuta probleme care, de buna seamna, sunt foarte importante, precum: care este natura preferintelor umane si in ce fel se formeaza acestea? Care sunt factorii de care depind ele, care influenteaza aparitia sau schimbarea lor? Cum se modifica? Aceste chestiuni, extrem de importante de altfel pentru intelegerea comportamentului persoanelor individuale, nu intra insa in domeniul de studiu al politicii, asa cum l-am definit mai devreme; psihologii, sociologii, antropologii etc. pesemne ca au multe de spus in aceasta directie.
In limbajul nostru folosim atat concepte descriptive, cat si concepte evaluative. Cand spunem ca o haina este rosie, sau ca este din lana, sau ca este lunga folosim concepte descriptive. Dar cand spunem ca este frumoasa, sau ca este de prost gust, folosim concepte evaluative. Conceptele evaluative sunt de doua mari tipuri: a) monadice (absolute), precum: bun, rau, frumos, de prost gust, cel mai bun, cel mai prost (de exemplu spunem: x este bun); si b) relationale. In acest al doilea caz, comparam un obiect cu un altul sau, mai in general, cu altele. Unele concepte evaluative relationale sunt binare: ele constau in comaparea a doua obiecte intre ele. Astfel, spunem ca x este mai bun decat y; ca x este preferat lui y etc. Alteori ele sunt n-adice. Iata un exemplu pentru cazul in care n = 4: spunem ca x este preferat lui y mai mult decat e preferat z lui u. Bunaoara, eu admit ca x e un politician bun si chiar prefer sa il votez pe x daca are drept contracandidat pe y. Dar, mai mult, pot spune ca il prefer mai intens pe candidatul x in raport cu candidatul y decat pe z in raport cu u.
In cele ce urmeaza ne vom concentra asupra relatiei de preferinta intre alternative, inteleasa ca o relatie binara. Ea consta in compararea, evaluarea a doua alternative. Spunem: alternativa x este preferata alternativei y.
In general, o relatie definita pe o multime X (in cazul nostru, pe multimea alternativelor din agenda X) este o multime de perechi de elemente din X. Cum putem determina daca cineva prefera alternativa x alternativei y? Raspunsul nu este simplu. Putem incerca sa procedam astfel. Daca intrebam o persoana: iti place x cel putin la fel de mult ca y?, iar ea e capabila sa raspunda, atunci vom zice ca pentru acea persoana alternativa x e preferata in sens nestrict alternativei y daca ea raspunde cu da intrebarii noastre.
Asadar, am definit o relatie de preferinta binara, nestricta intre alternative. Sa o notam cu R. Vom scrie atunci R(x,y) pentru: x e preferata in sens nestrict alternativei y. Dar alaturi de relatia de preferinta binara nestricta, in foarte multe situatii ni facem apel la o alta relatie de preferinta: (binara) stricta. Cand spun ca x e preferata lui y, eu doresc uneri sa accentuez ca preferinta este stricta deci ca x e preferata lui y, dar exclud situatia in care as fi indiferent intre cele doua alternative. O astfel de relatie de preferinta stricta va fi notata cu P, si vom scrie P(x,y) pentru: alternativa x e strict preferata alternativei y.
Definitia 1. Data fiind relatie de preferinta nestricta R, relatia de preferinta stricta P se defineste astfel:
P(x,y) daca si numai daca este adevarat ca R(x,y) si este fals ca R(y,x).
De multe ori se defineste si o a treia relatie I, de indiferenta. Suntem indiferneti intre doua alternative daca nu putem alege intre ele, deci daca rappundem afirmativ atat la intrebarea: iti place x cel putin la fel de mult ca y? cat si la intrebarea: iti place y cel putin la fel de mult ca x?
Definitia 2. Data fiind relatie de preferinta nestricta R, relatia de indiferenta I se defineste astfel:
I(x,y) daca si numai daca este adevarat atat ca R(x,y) cat si ca R(y,x).
Mai jos vom discuta mai pe larg aceste trei relatii de preferinta, proprietatile lor precum si raporturile dintre ele.
Proprietatile relatiilor de preferinta. Relatiile de preferinta nu pot fi insa construite oricum. Pare natural sa acceptam ca ele au anumite proprietati. Sa incepem cu R. Cele mai importante proprietati care de obicei se considera ca le are aceasta sunt urmatoarele:
Ø Relatia R este conexa (completa): pentru orice alternative x si y este adevarat ca R(x,y) sau este adevarat ca R(y,x).
Ø Relatia R este tranzitiva: pentru orice alternative x, y si z, daca este adevarat ca R(x,y) si R(y,z), atunci este adevarat si ca R(x,z).
Ø Relatia R este antisimetrica: pentru orice alternative x si y, daca este adevarat ca R(x,y) si R(y,x), atunci x = y.
O relatie de preerinta completa si tranzitiva este una de ordine. O relatie de ordine care are de asemenea proprietatea de antisimetrie este una de ordine liniara.
Vom spune ca o relatie de preferinta nestricta care este conexa si tranzitiva e rationala. Proprietatea de conectivitate (sau, cum prefera unii autori, de completitudine) consta in aceea ca oricare ar fi doua alternative, o persoana poate sa le compare: ea va sustine fie ca prima e preferata celei de-a doua, fie cel putin ca cea de-a doua e preferata primeia. Cand sunt intrebat daca imi place x la fel de mult ca y, pot sa raspund da, pot sa raspund nu, sau pot pur si simplu sa dau din umeri ceea ce va insemna ca sunt indiferent intre cele doua. Dar proprietatea de conectivitate imi cere sa nu raspund: nu stiu. Fiindca atunci ar insemna ca nu pot sa compar intre ele alternativele x si y.
Sa presupunem acum ca x si y sunt identice. Atunci din conditia de conectivitate decurge ca oricare ar fi alternativa x are loc intotdeauna: R(x,x). Spunem atunci ca R este reflexiva.
Ø Relatia R este reflexiva: pentru orice alternativa x, este adevarat ca R(x,x).
Proprietatea reflexivitatii afirma ca alternativa x este obiect al preferintei individuale ; daca nu ar fi comparabila nici macar cu ea insasi, atunci despre acea alternativa cu greu am putea spune ca poate fi comparata cu altele.
O relatie reflexiva, completa si tranzitiva se mai spune ca este una de ordine slaba. Ceea ce inseamn ca relatiile de preferita nestricta induc pe agenda o ordine slaba.
Sa trecem acum la relatia P de preferinta stricta. Si aceasta poate avea proprietatea conectivitatii sau completitudinii; dar in cazul ei, daca are loc P(x,y), cu siguranta ca nu vom putea avea si P(y,x). Daca eu cred ca un candidat e strict mai bun decat un altul, atunci cu siguranta nu il pot in acelasi timp prefera si pe cel de-al doilea primuia. Ca urmare, relatia de preferinta stricta nu este reflexiva. Asadar:
Ø Relatia P este conexa (completa): pentru orice alternative x si y este adevarat ca P(x,y) sau este adevarat ca P(y,x). [Dar nu pot ambele adevarate!]
Ø Relatia P este tranzitiva: pentru orice alternative x, y si z, daca este adevarat ca P(x,y) si P(y,z), atunci este adevarat si ca P(x,z).
Desigur, relatia P de preferinta stricta nu este reflexiva. Daca relatia P de preferinta stricta este tranzitiva, vom spune ca relatia R de preferinta nestricta este cvasi-tranzitiva.
Proprietatea tranzitivitatii, pe care pana acum nu am discutat-o, este deosebit de importanta. Uneori este numita chiar conditia de rationalitate (sau de consistenta) a relatiei de preferinta. Intr-adevar, sa vedem ce se intampla daca nu este respectata conditia de tranzitivitate a preferintei. Atunci o persoana ar prefera pe x lui y, pe y lui z, dar nu ar fi adevarat ca ea prefera pe x lui z. Dar atunci, daca relatia de preferinta este conexa (sau completa), urmeaza ca daca nu e adevarat ca x e preferata lui z atunci va trebui ca z sa fie preferata lui x. Dar in acest caz relatia de preferinta devine circulara: nu mai putem ordona alternativele.
x
y z
Situatiile de circularitate a preferintelor se pot naste in mai multe feluri. Iata un exemplu in acest sens:
Politicienii: Sa prespunem ca un votant urmeaza sa decida intre trei politicieni x, y si z. El are doua criterii. Primul e cel al optiunilor politice, si potrivit acestuia votantul il prefera pe x lui y si lui z, iar pe y lui z. Al doilea criteriu e cel al onestitatii: pentru acest votant, diferentele dintre cei trei politicieni in termeni de coruptibilitate sunt relevante doar daca trec dincolo de un anumit prag. Dar cand diferentele dintre politicieni in termeni de onestitate depasesc nivelul respectiv, acest criteriu devine mai important decat primul. Pentru votantul nostru, diferentele dintre x si y, ca si cele dintre y si z sunt sub nivelul de discriminare, dar ceel dintre x si z sunt peste acel nivel. Ca urmare, potrivit criteriului onestitatii, x si y sunt indiferente, y si z sunt indiferente, dar (sa zicem) z e preferat lui x (si atunci, desigur, si lui y). Punand impreuna cele doua criterii, obtinem: x e preferat lui y (caci e preferat primului criteriu si e indiferent potrivit celui de-al doilea); y e preferat lui z (din acelasi motiv); dar z e preferat lui x (potrivit primului criteriu, x e preferat; potrivit celui de-al doilea, care e mai important, y e preferat!).
Care ar fi motivele pentru care nu e acceptabil ca preferinta sa fie intranzitiva? Un prim argument este acela ca astfel de situatii sunt evident irationale - in cazul lor nu se mai poate vorbi de preferinte veritabile care deci sa explice de ce facem unele alegeri si nu altele. Intr-adevar, daca avem preferinte ciclice, atunci e posibil sa aratam ca nu se mai poate face nici o alegere. Caci daca am presupune ca alegem alternativa x, va exista o alternativa anume y pe care persoana noastra o prefera lui y; dar nici y nu poate fi aleasa, fiindca exista alta alternativa, anume z, care e preferata lui y;in sfarsit, nici z nu poate fi alternativa aleasa, fiindca exista o alta alternativa, anume x, care e preferata lui z.
(Sa obsevam insa ca desi uneori putem intalni astfel de ciclicitati, alegerea este inca posibila. Iata un exemplu: fie o agenda X care cuprinde patru alternative: x, y, z si w. Intre primele trei relatia de preferinta este ciclica, dar alternativa w e preferata fiecareia din cele trei. Atunci pare rezonabil sa acceptam ca alternativa w va fi aleasa.)
x
y
w
z
Un al doilea argument este mai putin conceptual. Daca incercam sa observam comportamentul oamenilor, atunci iar unii psihologi chiar au facut experiente pentru a dovedi acest lucru vom putea nota ca in situatiile in care cineva are preferinte ciclice tinde sa si le schimbe, pentru a le face tranzitive. Sa luam un exemplu intuitive pentru a arata de ce o preferinta circulara nu este acceptabila.
Argumentul aspiratorului de bani (Tversky; Hansson). Un iubitor de masini are preferinte ciclice. El prefera marca x marcii y, marca y marcii z, dar marca z marcii x. Ideea este ca daca ai preferinte intre masini (in cazul de fata, sa admitem ca preferintele sunt stricte), accepti sa dai o suma de bani pentru a schimba ceva ce preferi mai putin cu ceva ce preferi mai mult. Sa presupunem ca personajul nostru are o masina marca x. Intra intr-un magazin, iar vanzatorul, stiindu-i preferintele, ii ofera urmatorul targ: daca mai da 1000 , primeste o masina z in schimbul lui x; el accepta, caci prefera pe z lui x. A doua zi, intra din nou in magazin, iar vanzatorul ii propune urmatorul targ: daca mai da 500 , primeste o masina y in locul lui z; el accepta, caci prefera pe y lui z. A treia zi, intra din nou in magazin, iar vanzatorul ii propune urmatorul targ: daca mai da 1500 , primeste o masina x in locul lui y; el accepta, caci prefera pe x lui y. Asadar, dupa trei zile, iubitorul nostru de masini are ca la inceput o masina marca x, dar are 3000 mai putin in buzunar. Daca toti cumparatorii ar avea preferinte ciclice, ce fericire ar fi pentru vanzatori! (Desigur, s-ar putea sustine, plecand de aici, argument aspiratorului de bani nu se adreseaza in primul rand ciclicitatii, ci mai degraba posibilitatii de a le manipula; caci daca are de-a face cu astfel de ciclicitati, un manipulator abil al agendei va ajunge intotdeauna la solutia dorita.)
Relatiile de preferinta definite aici au unele proprietati foarte importante. Astfel:
Teorema 2. Daca relatia de preferinta R este rationala, atunci relatia de indiferenta I este:
a) reflexiva: pentru orice alternativa x, I(x,x);
b) simetrica: pentru orice alternative x si y, I(x,y) daca si numai daca I(y,x);
c) tranzitiva: pentru orice alternative x, y si z, daca I(x,y) si I(y,z), atunci I(x,z.).
Altfel zicand, relatia I este o relatie de echivalenta. Cele trei proprietati se pot demonstra usor. Reflexivitatea decurge imediat din definitia 2 a lui I si din faptul ca R este reflexiva. La fel si simetria, tinand semaa ca definitia lui I e simetrica fata de cele doua alternative. Mai dificil este sa aratam ca relatia de indiferenta are proprietatea tranzitivitatii. Sa prespunem mai intai ca e adevarat ca I(x,y) si I(y,z). Conform definitiei 2, avem simultan:
R(x,y) si R(y,x) si R(y,z) si R(z,y).
Cum R este reflexiva, din prima si a treia conditie decurge ca R(x,z), iar din a patra si a doua ca R(z,x); puand impreuna cele doua concluzii, avem deci I(x,z).
Exercitiu: cititorul poate incerca sa demonstreze ca: daca P(x,y) si I(y,z), atunci P(x,z).
Sa ne reamintim ca atunci cand un agent este indiferent intre doua alternative, el isi exprima totusi o relatie de preferinta intre acestea: a comparat cele doua alternative si a conchis ca ele sunt egal de mult dorite sau preferate. Indiferenta intre doua alternative e cu totul altceva decat imposibilitatea de a compara doua alternative. Or, oamenii se confrunta de multe ori cu situatii in care doua alternative nu sunt comparabile. Putem compara doua feluri de mancare, doua haine sau doua slujbe intre ele, dar pare straniu sa zicem ca intotdeauna suntem in stare de pilda sa comparam placerile oferite de un fel de mancare si de un film vazut in aceeasi zi. (Exista si situatii teribile in care comparatia este respingatoare. Sa ne amintim de personajul central din cartea si filmul - Sophie's Choice, o evreica poloneza ajunsa intr-un lagar nazist cu doi copii, o fetita si un baiat, si care a fost pusa de ofiterul nazist sa aleaga intre a tine in viata un singur copil; refuzul de a alege echivala cu moartea ambilor copii. Or, nu se poate spune ca femeia era indiferenta intre cele doua alternative fiindca nu putea sa aleaga, dupa cum nu se poate spune ca alegerea ei tragica a fost realmente o alegere.)
La randul ei, tranzitivitatea relatiei de indiferenta ridica probleme. Aparent, e corect sa conchidem ca daca sunt indiferent intre x si y, si de asemenea nu imi sunt indiferente y siz, atunci nu voi prefera nici pe x lui z si nici pe z lui x. Se pot imagina insa exemple in care tranzitivitatea indiferentei sa duca la ciudatenii. Iata un exemplu car se da si el de multe ori:
Cestile de cafea (Ordeshook, 1986: p. 13). Sa presupunem ca eu beau in fiecare dimineata, cand ajung la birou, o ceasca de cafea. Sa mai presupunem ca un coleg poznas se hotaraste ca in fiecare dimineata sa adauge in ceasca de cafea o cantitate mica de zahar, atat de putina incat eu sa nu pot deosebi intre cestile de cafea pe care le beau in doua zile diferite n si n+1, deci intre cestile cn si cn+1 in ce priveste senzatia de dulce. Deci pentru orice pereche de cesti cn si cn+1, eu sunt indiferent intre ele. Dar eu lucrez un timp destul de lung in acel birou, iar colegul meu nu inceteaza sa adauge in fiecare zi inca o cantitate mica de zahar. La un moment dat, dupa 1000 de zile, colegul meu poznas imi aduce nu numai ceasca de cafea c1000, ci inca o cana c1 in care a pus exact atat zahar cat pusese in prima zi. Dar chiar daca sunt indiferent intre toate perechile consecutive de cesti de cafea cn si cn+1, inclusiv intre c999 si c1000 eu pot foarte usor sa deosebesc intre cele doua cesti, c1 si c1000, si pot de pilda sa zic ca o prefer strict pe prima celei de-a doua. Asadar, exemplul arata ca indiferenta nu este intotdeauna tranzitiva.
O concluzie importanta pe care o putem trage este ca in analizele de aici operam cu o simplificare puternica a situatiilor de decizie[2]. Modele alegerii pe care le avem in vedere se aplica deci acelor situatii in care relatiile de preferinta au anumite proprietati clare; cand nu se intampla asa, inseamna ca admitem relatii de preferinta care au alte proprietati. Ceea ce nu inseamna ca argumentele formulate aici sunt infirmate de realitate: inseamna doar ca pentru a aplica teoria alegerii rationale la anumite cazuri, supozitiile formulate si luate ca adevarate trebuie modificate, si trebuie construite alte modele care sa dea seama de astfel de cazuri.
Teorema 3. Pentru orice alternative x si y, avem: sau P(x,y) sau I(x,y) sau P(y,x).
Teorema este foarte importanta: ea spune ca fiecare votant sau, in general, fiecare actor aflat intr-o situatie de alegere intre doua alternative, fie o va alege strict pe prima, fie o va alege strict pe a doua, fie va fi indiferent intre cele doua. De multe ori in cele ce urmeaza, daca ttim care sunt alternativele intre care urmeaza sa se faca alegerea, vom indica cu 1 faptul ca agentul a ales-o pe prima, cu 0 faptul ca el este indiferent intre ele si cu -1 faptul ca agentul a ales a doua alternativa. (Un eemplu va fi discutat pe larg in sectiunea 3.3, cand ne vom apleca asupra regulii majoritatii simple.)
Demonstratia acestei teoreme porneste de la faptul ca, daca avem doua alternative x si y, sunt posibile exact patru cazuri:
e adevarat ca R(x,y) si e adevarat ca R(y,x);
e adevarat ca R(x,y) si e fals ca R(y,x);
e fals ca R(x,y) si e adevarat ca R(y,x);
e fals ca R(x,y) si e fals ca R(y,x).
Dar conform proprietatii de completitudine a relatiei R, cazul al patrulea este exclus; ca urmare, va trebui sa fie adevarat unul din celelalte trei cazuri: conform definitiilor 1 si 2, potrivit primului avem I(x,y); potrivit celui de-al doilea, avem P(x,y); iar potrivit celui de-al treilea, avem P(y,x).
Raporturile dintre relatiile de preferinta. Am argumenta mai devreme ca putem porni de la relatia de preferinta nestricta R si sa definim celelalte doua relatii de preferinta stricta si de indiferenta pe baza acesteia. Ne putem insa intreba: este posibil sa pornim de la relatia de preferinta strica si sa definim pe baza acesteia celelalte doua relatii? Raspunsul este afirmativ. Iata in ce fel putem proceda.
Definitia 3. Data fiind relatia de preferinta stricta P, relatia de indiferenta I se defineste astfel:
I(x,y) daca si numai daca este nu este adevarat ca P(x,y) si nu este adevarat ca P(y,x).
Definitia 4. Data fiind relatie de preferinta stricta P, relatia de preferinta nestricta R se defineste astfel:
R(x,y) daca si numai daca este adevarat atat ca P(x,y) sau cel putin este adevarat ca I(x,y).
Exercitiu: facand apel la legile logicii, se poate demonstra pe baza definitiilor 3 si 4 ca avem:
Ø R(x,y) daca si numai daca este adevarat ca P(x,y) sau este fals ca P(y,x).
Am definit mai devreme o relatie de preferita nestricta ca rationala daca indeplinese doua conditii: este completa si este tranzitiva. Putem acum defini o relatie P de preferinta stricta ca fiind rationala daca indeplineste urmatoarele doua coditii:
Ø Este asimetrica: daca este adevarat ca P(x,y), atunci este fals ca P(y,x).
Ø Este tranzitiva in sens negativ: daca este fals ca P(x,y) si este fals ca P(y,z), atunci este de asemenea fals ca P(x,z).
Sa observam ca tranzitivitatea in sens negativ este echivalenta logic cu urmatoarea conditie:
Ø Daca este adevarat ca P(x,y), atunci oricare ar fi alternativa z una din urmatoarele doua conditii este adevarata: P(x,z) sau P(z,y).[3]
Asadar, daca x e preferata lui y, atunci orice alta alternativa se gasese fata de cele doua in una din urmatoarele situatii: x este preferata si acesteia (putand deci sa fie preferata lui y, sau dimpotriva, , sau dimpotriva, poate fi preferata lui y); ea este preferata lui y (putand deci fi pusa in ierarhia preferintelor intre x si y sau putand sa fie preferata atat lui x cat si lui y). Tranzitivitatea negativa exprima deci o conditie de comparabilitate intre alternativele de pe agenda.
Sa formulam acum cateva proprietati ale relatiilor de preferinta rationale.
Teorema 4. Daca o relatie de preferinta stricta P este rationala, atunci:
a) P este ireflexiva: pentru orice x, nu este adevarat ca P(x,x).
b) P este tranzitiva: pentru orice x, y si z, daca P(x,y) si P(y,z), atunci P(x,z).
Demonstratia este lasata ca exercitiu pentru cititor.
O proprietate foarte importata a unei relatii de preferinta nestricta R este cea de aciclicitate: R este aciclica atunci cand pentru orice alternative x1, xn, daca partea ei stricta P are proprietatea ca P(xi,xi+1) pentru orice pereche de alternative xi si xi+1, atunci R(x1,xn). Proprietatea de aciclicitate este mai slaba decat cea de tranzitivitate a relatie P de preferinta stricta. Altfel spus, orice relatie de preferinta stricta tranzitiva este aciclica, dar unele relatii aciclice nu sunt si tranzitive. Ca lucrurile stau astfel se poate vedea din urmatorul exemplu. Sa luam o agenda X = si sa presupunem ca avem: P(x,y), P(y,z), I(x,z). Atunci R este aciclica, fiindca din I(x,z) decurge ca R(x,z); dar nu putem arata ca P este tranzitiva.
Teorema 5. Relatia de preferinta R este rationala daca si numai daca partea ei stricta P este rationala.
Demonstratie. Vom arata mai intai ca daca R este rationala, atunci si P este rationala. Asadar, vom arata ca:
a) P este asimetrica. Intr-adevar, sa presupumen ca nu este asimetrica; atunci vom avea atat P(x,y) cat si P(y,x). Tinand seama de definitia lui P pe baza lui R, avem atat R(x,y) si non- R(y,x) cat si R(x,y) si non-R(x,y) ceea ce este evident contradictoriu.
b) P este tranzitiva in sens negativ. Sa admitem ca este fals ca P(x,y) si ca este fals ca P(y,z). Atunci avem pe de o parte ca este fals ca R(x,y) sau este adevarat ca R(y,x); pe de alta parte, ca este fals ca R(y,z) si ca e adevarat ca R(z,y). Dar relatia R este completa, deci din faptul ca R(x,y) e falsa decurge ca R(y,x) e adevarata; din faptul ca R(y,z) e falsa decurge ca R(z,y) e adevarata. Asadar, avem atat R(y,x) cat si R(z,y); cum relatia R e tranzitiva, decurge ca e adevarat ca R(z,x) adica e fals ca P(x,z).
In al doilea rand, sa aratam ca daca relatia P de ordine stricta este rationala, atunci si relatia R definita cu ajutorul ei este rationala. Trebuie sa aratam ca R este tranzitiva si completa.
a) R este completa. Sa prespunem ca este fals ca R(x,y) si sa aratam ca R(y,x). Din definitia relatiei R pe baza lui P, am vazut ca avem: R(x,y) este adevarata daca si numai daca este adevarat ca P(x,y) sau este fals ca P(y,x). De unde decurge ca R(x,y) este falsa daca si numai daca este fals ca P(x,y) si este adevarat ca P(y,x). Dar daca P(y,x) e adevarata, decurge si ca R(y,x) e adevarata, pe baza definitiei 4 a lui R.
b) R este tranzitiva. Sa prespunem ca e adevarat ca R(x,y) si R(y,z)sa aratam ca R(x,z). Conform cu definitia lui R (aceeasi proprietate pe care am folosit-o mai devreme) avem:
P(x,y) sau non-P(y,x), dar si P(y,z) sau non-P(z,y)
Apeland la legile logicii (la proprietatea de distributia a conjunctiei fata de disjunctie[4]) avem:
P(x,y) si P(y,z), sau: P(x,y) si non-P(z,y), sau: non-P(y,x) si P(y,z); sau: non-P(y,x) si non-P(z,y)
Din primele doua conditii aflate in conjunctie decurge prin tranzitivitatea lui P ca P(x,z). Din urmatoarele conditii alfate in conjunctie (ca si din conjunctia urmatoarelor doua) decurge, din proprietatea lui P de a fi tranzitiva in sens negativ, ca P(x,z)[5]. In sfarsit, din ultimele doua conditii decurge prin tranzitivitatea in sens negativ a lui P ca non-P(z,x). Deci avem ca P(x,z) sau non-P(z,x) ceea ce exprima rezultatul dorit ca R(x,z).
De la preferinte la alegeri. Am sugerat mai devreme ca relatiile de preferinta au fost luate in considerare in teoria alegerii rationale pentru a explica modul in care actorii aleg intre alternativele de pe agenda. E momentul sa revenim la aceasta chestiune. Sa prespunem deci ca avem o agenda X si ca un actor rational, inzestrat cu, sa spunem, o relatie de preferita nestricta R definita pe X doreste sa aleaga intre alternativele disponibile. Cum va proceda? Pare natural sa admitem ca el va alege o alternativa daca o prefera in raport cu orice alta alternativa de pe agenda. Sa notam cu M(X,R) multimea alternativelor maximale in raport cu R pe X:
M(X,R) =
Sa presupunem ca am de ales intre trei candidati x, y, si z pentru Consiliul Facultatii din care fac parte. Preferinta mea este urmatoarea: P(z,x), P(z,y), I(y,x). Atunci M(X,R) = . Dar un coleg al meu are urmatoarea preferinta: P(y,x), I(z,y), P(z,x). Atunci M(X,R) = . Cele doua exemple arata ca multimea alternativelor pe care le preferam de pe o agenda poate sa consta intr-un singur element, sau in mai multe. Dar ne putem intreba: este multimea aceasta mereu nevida (contine deci cel putin un singur element), oricare ar fi agenda si oricare ar fi relaia de preferinta intre alternative? Un prm raspuns este urmatorul:
Teorema 6. Daca relatia R este de ordine slaba, atunci pentru orice agenda finita nevida X multimea M(X,R) este nevida.
Fie intr-adevar o alternativa x aflata pe agenda X (deci: x X). Daca pentru orice alternativa y de pe agenda avem ca R(x,y), atunci x este in M(X,R) si deci aceasta multime nu e vida. Daca insa aceasta conditie nu e indeplinita, inseamna ca exista o alta alternativa y pe agenda astfel incat non-R(x,y). Cum am presupus ca relatia R este completa, inseamna ca avem R(y,x). Sa comparam acum pe y cu toate alternativele de pe agenda X - . Daca pentru orice z de pe aceasta agenda avem R(y,z), cum este adevarat si ca R(y,x), inseamna ca y este in multimea M(X,R). Altminteri, exista o noua alternativa z din X - astfel incat non-R(y,z), ceea ce prin completitudinea lui R conduce la R(z,y) putem relua argumentul de mai inainte in raport cu alternativa z. Or, am presupus aici ca agenda este finita. De aceea, de la un anumit punct nu vom putea merge mai departe ceea ce inseamna ca, daca R este o relatie de ordine slaba, va trebui sa existe o alternativa care este cel putin la fel de buna ca toate celelalte, ceea ce inseamna ca M(X,R) este intotdeauna nevida.
Prin teorema 6 am stabilit conditii suficiente pentru ca multimea M(X,R) sa fie nevida; dar nu am dovedit ca aceste conditii sunt si necesare. Ceea ce nici nu am fi putut face: caci se pot gasi situatii in care una dintre proprietatile unei relatii de ordine slaba sa nu fie indeplinite, dar multimea alternativelor maximale in raport cu R pe X sa fie totusi nevida. Cititorul este invitat sa construiasca exemple in acest sens. Totusi, se pot gasi conditii atat necesare cat si suficiente in acest sens. Asa cum arata teorema 7, proprietatea de aciclicitate este o conditie minmala pentru a asigura ca alegerea este intotdeauna nevida (Austen-Smith, Banks: 2000):
Teorema 7. Sa presupunem ca R este reflexiva si completa, iar agenda X este finita si nevida. Atunci M(X,R) este nevida daca si numai daca R este aciclica.
Sa demonstram mai intai suficienta. Avem R este reflexiva si completa, iar M(X,R) ≠ Æ. Sa presupunem ca pentru orice alternative x1, xn, de pe agenda avem P(xi,xi+1) pentru orice pereche de alternative xi si xi+1 si vrem sa aratam ca R(x1,xn). Deoarece P(xi,xi+1) inseamna ca nici un xi (i > 1) nu este in M(X,R). Dar am admis ca M(X,R) ≠ Æ, ceea ce se poate intampla doar daca x1 M(X,R). Ca urmare, pentru orice i, avem R(x1,xi), si in particular R(x1,xn).
Pentru a demonstra necesitatea, sa prespunem ca x este pe agenda. Daca pentru orice y de pe agenda avem R(x,y), am aratat ca M(X,R) ≠ Æ. Daca exista un y astfel incat non-R(x,y), atunci prin completitudinea lui R conchidem ca P(y,x). Daca pentru orice z avem R(y,z), iarasi am demonstrat ca M(X,R) este nevida; daca nu e asa, atunci exista un z X - astfel incat P(z,y). Prin proprietatea de aciclicitate, avem si R(z,x). Acelasi argument se poate repeta pentru orice alternativa de pe agenda. Cum am presupus ca X e finita, inseamna ca procesul se incheie la un moment dat, cand avem P(xn-1,xn). Prin aciclicitate, avem si R(xn,x)., deci va exista o alternativa preferata in sens nestrict tuturor celorlalte.
Intrebarea care apare acum este urmatoarea: daca relatia de preferinta pe care o avem nu este ciclica, putem inca sa facem alegeri? Evident, da. Numai ca in aceste cazuri nu mai pare sa existe nici o legatura logica intre preferintele si alegerile noastre. Daca studiem un decident (de pilda, primul ministru sau un ministru), atunci cand vedem ca ia o decizie, daca presupunem ca este ghidat/a de preferintele sale intre politicile posibile, trebuie sa admitem ca relatia sa de preferinta trebuie sa fie aciclica. (Altfel zis, noi vrem sa presupunem ca decidentul nostru este o persoana rationala, cel putin intr-un sens minimal!) Dar tot ceea ce avem noi la dispozitie sunt alegerile facute de primul ministru sau de ministru, nu si preferentele lui/ei. Cum putem sti ca cele doua sunt corelate, ca deci putem face apel la ideea de preferinta pentru a justifica alegerile facute de cineva? Aceasta chestiune va fi discutata in sectiunea 3.1.3 mai jos. Pana atunci insa mai zabovim putin asupra conceptului de preferinta.
Preferinte ordinale si cardinale. Sa ne gandim ca ne uitam la o fotografie, in care apar doua persoane, Ion si Vasile, pe care nu le-am vazut niciodata direct. Ele stau in picioare, si vedem clar ca Ion e mai inalt decat Vasile; dar fotografia nu contine nici un indiciu pentru a vedea cat de inalt este Ion (cati centimetri are). Totusi, chiar si asa eu pot formula o judecata de evaluare a inaltimii celor doi. La fel, chiar daca nu stiu exact ce temperatura au doua corpuri, pot spune ca unul este mai cald decat celalalt. In aceste doua cazuri spunem ca evaluarile noastre sunt ordinale. Dar comparatia lui Ion cu Vasile in cep riveste inaltimea se poate face si altfel; sa presupunem ca ma intalnesc cu ei, in ocazii diferite, pe strada, si cu oarecare aproximatie pot spune ca Ion are 1,85 metri, iar Vasile are 1,80 metri. Atunci pot spune, chiar daca nu i-am vazut impreuna, ca Ion e mai inalt decat Vasile. La fel, daca unul din corpurile pe car pun mana are 100 C, iar cel de-al doilea are 300 C, pot spune ca al doilea e mai cald decat primul. Comparatia pe care o fac acum este cardinala, pe o scara numerica.
Preferintele pe care l-am discutat pana acum au fost ordinale. De pilda, in cazul relatiilor de ordine slaba, puteam spune care alternativa e cea mai bine situata, care urma in ordinea preferintelor etc. Dar nu puteam spune, de pilda, in ce masura e o alternativa preferata, si in ce masura e preferata alta alternativa. Nu aveam la dispozitie mijloace pentru a spune, sa zicem, ca alegerea unei alternative ii aducea actorului nostru un beneficiu de 1000 lei, iar alta un beneficu de 2000 lei si ca pe aceasta baza actorul preferaa doua alternativa premeia.
E insa posibil sa procedam si altfel, intr-o maniera cardinala: sa reprezentam comportamentul unui actor rational nu in mod direct in termenii multimii alternativelor maximale in raport cu relatia de preferinta R pe o agenda, ci mai degraba in termenii alegerilor sale care maximizeaza utilitatea acel numar care exprima nivel de satisfactie a acorului in raport cu fiecare alternativa in parte.
Asadar, putem incerca sa repreentam preferintele in termeni de raporturi intre utilitatile U atasate fiecarei alternative. Evident, vrem sa avem:
P(x,y) daca si numai daca U(x) > U(y)
Daca aceasta relatie are loc vom spune ca functie de utilitate U reprezinta relatia de preferinta P; cand pentru o relatie P exista o astfel de functie de utilitate, vom spune ca P este reprezentabila.
Intrebarea care se pune acum este urmatoarea: sunt toate relatiile de preferinta reprezentabile? Raspunsul nu este intotdeauna afirmativ. Dar in unele cazuri un astfel de raspuns poate fi construit. Un rezultat important este urmatorul:
Teorema 8. Sa presupunem ca agenda pe care e definita relatia P este finita. Atunci relatia P este reprezentabila daca si numai daca P este rationala.
Demonstratie. Suficienta care presupune ca exista o functie de utilitate U si consta in dovada ca in acest caz relatia P este rationala nu este dificila si e lasata ca exercitiu. Sa demonstram acum necesitatea. Asadar, sa presupunem ca o relatie de preferinta stricta P este rationala si sa aratam ca putem construi o functie U de utilitate. Vom proceda folosind inductia asupra marimii agendei X. Mai intai, sa presupunem ca |X| = 1, altfel spus ca pe agenda se gaseste o singura alternativa, fie aceasta x. Sa definim pe U prin U(x) = ½. Sa presupunem acum ca pe agenda X se gasesc n alternative x1, xn, deci |X| = n. Prin inductie stim ca am definit o reprezentare U a relatiei P pe multimea . Ceea ce ramane de facut este sa vedem cu se poate construi U(xn). Exista patru cazuri:
Se poate verifica acum usor ca functia U astfel definita reprezinta relatia de preferinta stricta P.
Demonstratia apeleaza numai la legile logice. Cititorul interesat poate incerca sa demonstreze afirmatia ca cele doua expresii sunt echivalente, apleland la urmatoarele legi logice:
Ø Contrapozitia implicatiei: daca non- φ implica non-ψ, atunci ψ implica φ.
Ø Legea lui De Morgan: non-(non- φ si non-ψ) este echivalent cu φ sau ψ.
Avem: ((φ1 sau non-ψ1) si (φ2 sau non-ψ2)) este echivalent cu: ((φ1 si φ2) sau (φ1 si non- ψ2) sau (φ2 si non- ψ1) sau (non-ψ1 si non- ψ2)
Argumentul se bazeaza din nou pe legile logicii. Tranzitivitatea in sens negativ:
Ø Daca este fals ca P(x,y) si este fals ca P(y,z), atunci este de asemenea fals ca P(x,z).
poate fi reformulata si astfel:
Ø Daca este fals ca P(x,y) si este adevarat ca P(x,z), atunci este de asemenea adevarat ca P(y,z).
|
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 2064
Importanta: 
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved
