Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

CATEGORII DOCUMENTE





BulgaraCeha slovacaCroataEnglezaEstonaFinlandezaFranceza
GermanaItalianaLetonaLituanianaMaghiaraOlandezaPoloneza
SarbaSlovenaSpaniolaSuedezaTurcaUcraineana

електроненизкуство култураикономикаисториякнигакомпютримедицинапсихология
различнисоциологиятехникауправлениефинансихимия

Моделиране и анализ електрическото поле на електроди ”сфера-сфера”

електронен

+ Font mai mare | - Font mai mic







DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger

Моделиране и анализ електрическото поле на електроди ”сфера-сфера”

1. Моделиране и анализ електрическото поле на електроди ”сфера-сфера”

1.1 Уравнения за анализ на полето

Тъй като се изследва електростатичното поле във въздуха около проводящите сферични електроди, което се създава от система неподвижни относно наблюдателя заредени тела при отсъствие на електрически токове и тъй като в тази система няма намагнитени тела, то магнитното поле отсъствува. Следователно



.(1)

Наличието в електрическото поле на свободни разпределени в обема заряди би довело до възникване на електрически ток. Поради това предположението, че води до заключението . Може да има само заряди, разпределенипо повърхността на заредените тела.

От пълната система уравнения на електромагнитното поле остават следните уравнения, описващи изследваното електрическо поле:

;(2)

; (3)

. (4)

Електростатичното поле е потенциално, което следва от уравнение (2). Това дава право да се въведе понятието потенциал на електростатичното поле. Той се определя за точката А като линеен интеграл от от точката А например до точката Р, чиито потенциал е нула.

.(5)

Линейният интеграл от вектора по даден път от точката А до точката В е разликата в потенциалите на точките А и В

.(6)

Връзката между интензитета на електрическото поле и изменението на потенциала в пространството се дава от следното уравнение

.(7)

Ако се замести със съставките на вектора в диференциалния запис на теоремата на Гаус

,(8)

с техните изрази посредством потенциала

.(9)

се получава се уравнението на Поасон

.(10)

Интегралът

,(11)

е решение на уравнението на Поасон, за случая, когато зарядите са разпределени в крайна област от пространството.

Ако в разглежданата област на пространството отсъствуват обемни електрически заряди, то уравнението на Поасон приема вида

.(12)

Уравнението (19) се нарича уравнение на Лаплас. Електростатичното поле удовлетворява уравнението на Лаплас.

Разпределението на електрическия потенциал V може да бъде получено, чрез решаване на уравненията на Поасон и Лаплас с помощта на метода на крайните елементи(MKE) в съответната област при подходящи гранични условия.

Анализа на електрическото поле се прави с помощта на програмата FEMM 4.2[12].

С цел проверка на получените резултати се прави анализ на проблема и с професионалната програма за анализ на електрически полета Elecnet[ ], която е софтуерен продукт на фирмата „Infolytica corp.”.

Програмният пакет FЕММ (Finite Element Method Magnetics) е безплатен пакет за двумерен анализ на електромагнитни полета с MKE, разработен от д-р Дейвид Мийкър. Тя може да бъде изтегленена от следния адрес: http://femm.berlios.de.

FЕММ е мощен програмен продукт и същевременно много прост за използване, което го прави отлична начална точка за въведение в използва­нето на САD-системи в електромагнетизма и за изучаване на MKE.

Програмата решава уравнението на Поасон (4.169), което записано в декартова координатна система в двумерния случай има вида

,(13)

където - електрическите проницаемости на средата по направления х и у;

Съответстващият енергиен функционал е:

,(14)

равен на сумарната електрическа енергия запасена в полето, за единица дължина в направление ОZ.

Постановка на проблема

Моделира се електростатичното поле между двата сферични електрода с цел изследване пробивното напрежение на въздуха(фиг.1). Сферите са от проводящ материал-месинг и всяка има радиус r = 50 mm, разположени на разстояние 25 mm във въздух. Горната сфера има потенциал 60 кV, а долната e заземена и следователно нейния потенциал е 0 V.Електродите са разположени на височина 50 см от повърхноста на земята и следователно нейното влияние може да се пренебрегне, тъй като при разстояния около десет пъти по-големи от размера на телата електрическото поле затихва и потенциала му е нула.

Фиг.1

Сферите са достатъчно отдалечени от земята (около 10 пъти) техния радиус поради което влиянието на земята се пренебрегва.

Координатната система се разполага така, че хоризонталната геометрична ос на симетрия между двете сфери да съвпадне с оста ОХ и линията с нулев потенциал, а оста ОY да бъде ориентирана по вертикалната права, свързваща центровете на двете сфери, както е показано на фиг.1.

Задачата се решава като двумерна при използуване на переодични гранични условия и Келвинова трансформация за моделиране на безкрайната граница.

3. Изграждане на модела по МКЕ за анализ наелектрическото поле на електроди ”сфера-сфера”

3.1. Дефиниране на нов проблем.

От лентата с менютата се избира File, New. В появилия се прозорец

Create new problem” се избира типа на задачата – „ Еlectrostatic” и се натиска „ Ок”.

Oт менюто File се избира командата Save as и се дава име на файла Spheres.

3. Задаване характеристиките на задачата

От лентата с менютата се избира “Problem”. От “Problem type” се избира, а от “Units” –“milimeters”.

Задават се характеристиките на задачата с избор Problem от главното лентово меню:

·                    Problem type(тип на задачата) -Planar, (равнинна задача);

·                    Frequency (честота) - 0 Hz (т. е., електростатична задача).

·                    Depth (aксиална дължина)тъй като задачата е осисиметрична не се изисква да бъде отбелязано нищо там;

·                    Length Units (единица за дължина) -“Мilimeters”( милиметри);

·                    Solver Precision – 1e-008 (точност на итеративното решение на сис­темата уравнения, оставя се същата).

·                    Min angle (минимален ъгъл) – 30(отнася се за крайните елементи с остри ъгли т.е мин. ъгъл да бъде 30 градуса);

·                    Comment (коментар) – например, записва се Electric field of two high voltage spheres.

3.3. Създаване геометрията на модела

- Променя се гъстотата ма мрежата с бутона на 0.1, което означава, че разстоянието между две съседни точки от мрежата ще бъде 0.1 mm. Избира се функцията snap-to-grid с бутон от вертикалната лента с инструментите. Snap-to-grid позволява точки и блокови етикети да бъдат позиционирани точ­но върху възлите на мрежата чрез щраквания с левия бутон на мишката.

- Влиза се в режим Point, с бутон . Щраква се с ляв бутон на мишката в точки с кординати (0,15),(0,115) за горната сфера, (0,-15),(0,-115) за горната сфера и (0.500) и (0.-500) за границите на областа. Текущото положение на указателя (курсора) на мишката се вижда в лявата част на статус-линията отдолу на екрана, Тези координати могат да се въведат и с натискане на клавиш ТАВ и въвеждането им в отворения за целта прозорец.

За моделиране на „отворената граница” на проблема се използува Келвинова трансформация[ ], поради което е необходимо да се зададат още три точки, разположени вън от областта, за формиране на външната окръжност. Задават се точките (550,550), (550,540) и (550,560).

- Изчертава се полуокръжностите на сферите.

Всеки от сферичните електроди се представя в равнината от по една окръжност, която е съставена от две полуокръжности.Полуокръжностите се чертаят в режим Arc Segment, с щракване върху бутон . За изчертаване на дясната полуокръжност на всяка сфера се щрак­ва с ляв бутон на мишката първо в близост до долната точка, след това в близост до горната точка. С това се отваря диалогов прозорец, в който за Angle се задава 180, а за Max. Segment, Degrees – 5. Изчертаването става в посока обратна на часовниковата стрелка.

- Изчертава се външната граница на областта.

За целта първо се щраква с мишката в най-долната по оста OY точка, след това в най-горната по оста OY точка. В появилия се прозорец се записва 180 градуса на дъгата, а за Max. Segment, Degrees – се задава 5 градуса.



За изчертаването на десните полуокръжности на трите сфери се постъпва по аналогичен начин, като предварително чертежа се премества на дясно с стрелката в лявата лента на екрана.

- Изчертава се по същия начин и външната за областта окръжност за Келвиновата трансформация.

Това става по същия начин като предишните сфери, но първо трябва да се увеличи тази част от екрана с командата Window от менюто Zoom.След това се щраква с мишката в близост до трите точки в горната част на работното поле и се провлачва границата на прозореца с мишката. След товасе щраква първо в близост донай-долната точка, а след това до най-горната по ординатната ос точка. За Max. Segment, Degrees – се задава 2,5 градуса.

От лентата с менюто се избира View, Natural и на екрана се появява геометрията на областта, в която се решава задачата(фиг.2)

Фиг.

3.4. Добавяне на материали към модела

Избира се Properties (Свойства) от главното меню. От това подменю се избира Materials (Материали), с което се влиза в прозорец Property Definition (Дефиниране на свойства). Избира се Add Materials (Добавяне на материа­ли). С това се отваря диалогов прозорец Block Property (Блоково свойство), с подразбиращо се име на свойство в полето Name: New Material. Променя се това име на Air Оставят се и със стойности единица. Щраква се върху ОК и се излиза от прозореца. С това е дефиниран нов материал - въздух.

3.5. Дефиниране на материал за всяка област

Сега се щраква върху бутона Block Labels („Блокови етикети') - буто­на със зелените окръжности от лентата с инструментите и се позициони­ра по един блоков етикет (зелена точка) за всяка област с различен материал. Както и възловите точки, блоковите етикети могат да бъдат позиционирани или с щракване с левия бутон на мишката или с диалоговата кутия, отваряща се при натискане на клавиш <ТАВ>.

- дефиниране на материала за областта вън от сферите;

Поставя се блоков етикет в областта вън от сферите.

След това на този блоков етикет се задава вида на материала и размера на елементите в областта.

Щраква се с десен бутон върху възела на блоковия етикет, така че възелът да стане червен, което е признак, че този възел е из­бран. Натиска се клавиша за табулация (Space), за да се отвори прозорец със свойствата на избрания блоков етикет. Задава се Block Type („тип на блока') да бъде Air (избира се от падащия списък с всички дефинирани свойства на материали. Демаркира се полето Let Triange choose Mesh Size („Програ­мата Triangle да избере размера на триъгълниците') и се въвежда 5 в поле­то Side Length („дължина на страната'). Т.е. размерът ще бъде 5 mm, защото като основна единица с избран милиметър. Параметърът дължина на страната задава какъв да бъде максималният размер на елементите в асоциираната с етикета подобласт. Програмата за генерация на мрежа Triangle ще запълни подобластта с приблизително еднакви триъгълници, в които страните са при­близително със същата дължина, като тази дефинирана в параметъра Side Length. Подразбиращата се дължина на страна е 0, което означава, че мре­жовият генератор е свободен да избере сам размерите на елементите (което обикновено дава като резултат една по-едра мрежа).

- За областта вътре в сферите

Тъй като вътре в проводящите сфери отсъства статично електрическо поле не е необходимо да се задава техния материал ида се дискретизира тази част от областта на крайни елементи т.е. проводящите сфери не са част от модела. Поради това след като се поставят зелените блокови етикети за материалите вътре във всяка от сферите от падащото меню се задава Block Type („тип на блока') да бъде <No mesh>.

Много важно условие за точноста на решението е обаче е да се апроксимира много добре с крайни елементи повърхноста на проводящите сфери, поради което трябва да се зададе по-голяма гъстотата на крайните елементи точно тук. С тази цел след се избира големина на крайните елементи 1 mm.

- за окръжноста на Келвиновата трансформация.

Тук се задава материалAir с гъстота на крайните елементи 5 mm.

3.6. Създаване на проводящите сфери.

В електростатичното поле повърхността на проводниците е еквипотенциална т.е. всички точки имат един и същ потенциал.

За симулиране повърхността на горната проводяща сфера е необходимо да бъде създаден Conductor (проводник). За целта се избира менюто Properties (свойства) от лентовото меню, след това Conductors. След това се избира “Add Property”. В появилото се прозорче Circuit properties се замества “New Conductor” с името на нов проводник, примерно „High voltage”. Натиска се бутона “Prescribed Voltage” и се записва 60000 в прозорчето, след което се натиска “OK”.

Тъй като другата сфера е заземена нейния потенциал е 0 V. За нея се създава нов проводник с име „Zero” и “Prescribed Voltage” 0.

След като са дефинирани двата проводника с потенциал 60000 V и 0 V е необходимо да се присвоят тези свойства на повърхността на сферите. За целта се преминава в режим Arc Segment, с щракване върху бутон . Стрелката на мишката се поставя върху последователно върху двете дъги на съответната сфера и те се селектират с десен бутон на мишката, при което светват в червено.

Натиска се клавишът за табулация (Space), за да се отвори прозорец със свойствата на дъгите „Arc segment properties”. От падащото меню в най-долното прозорче „In conductor” се избира „High voltage”за горната сфера и „Zero” за долната сфера.

3.7. Задаване на гранични условия

Един от най-важните въпроси, от които зависи верноста и единственоста на решението при методът с крайните елементи, е правилното избиране на граничните условия. Тъй като за разглеждата задача електростатичното поле се развива в неограниченото пространство около сферите, е удачно да се използува Келвинова трансформация за моделиране на „отворена граница”. При двумерни плоско-паралелни задачи, външната област може да бъде моделирана просто чрез дефиниране областта на задачата като съвкупност от две кръгови области: кръгова област, съдържаща изследваните обекти и допълнителна кръгова област, за да се представи далечната област на полето. След това трябва да бъдат зададени периодични гранични условия на съответствуващите граници на кръговете, за да се осигури непрекъснатост напотенциала V върху границите на двете области.

Избира се Properties (свойства) от лентовото меню, след това Boundry, и се щраква върху бутона Add Property (добавяне на свойство).

В появилия се прозорец „Bondary property” (Свойства на границата) се заменя подраз­биращото се име New Boundry с Per1. От падащото менюBC Type (Boundry Condition Type) (тип на граничното условие) се задава Periodic (переодично гранично условие). Натиска се бутона Ok. С това е дефинирано переодично гранично условие с име Per1. Тази процедура се повтаря за задаване и на втото гранично условие Per

Переодичните гранични условия се използват за задаване равенство на потенциалите по определени части от границите. Намират приложение при устройства с периодична структура, като позволяват да се анализира само една част от устройството (например само едно полюсно деление на електрическа машина).

Необходимо е да се зададе това условие за конкретни сегменти от границата на модела.

Избира се Arc Segment от лентата с инструменти, след което се щраква с десен бутон на мишката последователно върху дясната полуокръжност на най-голямата окръжност и на допълнителната окръжност от Келвиновата трансформация. Когато те станат червени значи, че са избрани. След това се натиска клавиша за табулация и се появява прозореца Arc Segment Properties (свойства на дъговия сегмент). Във второто поле се сменя типа на сегмента от None на Per1. Същото се повтаря и за лявата полуокръжност на всяка от двете сфери, където се задава граничното условие Per

3.8. Генериране на мрежата и стартиране на анализа с крайни елементи

За целта се щраква върху бутона с жълта мрежа от лентата с инстру­ментите. Това действие генерира мрежа с триъгълни крайни елементи за за­дачата. Ако гъстотата на мрежата не съответствува на желаната, тя може да се промени с избиране блоковите етикети на обектите и с подходяща промя­на на размера на елементите, дефиниран в свойствата на всеки обект. В слу­чая се генерира мрежа с 33775 възли и 66118 крайни елементи.

След като се генерира мрежата, натиска се върху бутона с манивелата и зъбното колело , за да се стартира анализ с МКЕ на създадения модел.

С това се отваря прозорец с информация за хода на изчисленията. Ако лентата за прогрес на изчисленията не се разширява, вероятно изчисленията трябва да се прекратят. Това може да се случи, ако не са зададени достатъчно гранични условия. За конкретната задача изчисленията трябва да завършат за няколко секунди. Когато изчисленията приключат, не се появява специално съоб­щение, а просто прозорецът за състоянието на изчислителния процес изчезва.

4.1. Изобразяване на резултатите

Програмата за пост-процесорна обработка FEMMVIEW се стартира с щракване върху бутона с очилата .

·                    Еквипотепциални линии

По подразбиране при стартирането си FEMMVIEW показва картина с цветово кодирано разпределение на електрическия потенциал(фиг. 3).

·                    Разпределение на линиите на електрическия потенциал по областта

С щракване върху щрихования бутон се изобразява карти­на с линиите на електрическия потенциал. Когато се появи диалоговата кутия, се избира Show equipotential linesи се приемат предложените по подразбиране стойности за горна и долна граница на потенциала. След това се щраква върху ОК.

След натискане на бутона и избиране на опциите Show Density plot, Show legend и

опцията Grayscale се дезактивират цветовете и нивата на потенциала се изобразя­ват със степени -на сивото. Това е полезно, когато е необходимо картината да се включи в черно-бял документ.

а)

б)

Фиг.3 Еквипотенциални линии

а)

б)

Фиг.4. Картина на разпределението на интензитета на електрическото поле.

Със същия бутон може да бъде получено разпределението на интензитета на електрическото поле E. За целта от падащото меню Plotted в отворилия се прозорец е необходимо да се избере Field Intensity [E] и се щракне върху Ок. Полученото разпределение е показано на фиг. 4,а.

С цел проверка на полученото разпределение на електрическия потенциал иинтензитета на електрическото поле същата задача се решава с програмния пакет ЕlecNet. Получените разпределения на електрическия потенциал и интензитета на електрическото поле са показани на фиг. 3,б и фиг. 4,б. Картините на полето са еднакви, което говори за правилноста на решението.




4. Изчертаване графиката на разпределението на интензитета на електрическото поле

От голямо значение за пробива на въздуха е разпределението на интензитета на полето в пространството между двете сфери. За целта трябва да се изчертае графиката на това разпределение във функция от разстоянието между двете сфери, отчитано по оста OY. Това става автоматизирано от пакета FEMM .

а)

б)

в)

Фиг.5

Фиг.5. Графика на разпределението на интензитета на електрическото поле по оста ОY между двете сфери.

Щраква се върху бутона с червената линияза да се изчертае линията по която ще се даде разпределението на интензитета. След това се щраква последователно върху точка от повърхноста на горната и долната сфера. Избира се от лентата с менютата Plot XY. В появилия се прозорец избира величината, чиято графика ще се изчертава – [E]- Magnitude of field intensity. След това се задава броя на точките по контура- 150 по подразбиране. След натискане на Ок се появява графиката от фиг. 5,а.

С цел проверка на полученото решение на фиг. 5,б е построена графиката на зависимоста Е=f(y), получена от решението с Elecnet, a на фиг. 5,в е построена графиката на същата зависимост по резултатите от аналитичните изчисления с програмата „Electric field„ написана на програмния език FORTRAN.

Oт резултатите от анализа на полето на двата сферични електрода може да се направи важния извод, че максималната стойност на интензитета на електрическото поле се получава в непосредствена близост до повърхноста на сферите. Именно поради тази причина там първо се получава пробив и от там започва електрическата дъга на газовия разряд във въдуха между двата електрода, което се потвърждава и от направените екстерименти с установката в лабораторията. В таблица 1 са дадениза сравнение максималните стойности на интензитета на електрическото поле.

Таблица 1

FEMM

Elecnet

Теория

Интензитет на електрическото поле .106, V/m

2,500212

2,812169

2,495

Относителна

грешка, %

11,1

0

11,28

5. Изчисляване на капацитета на системата електроди „сфера-сфера”

Програмата FEMM дава възможност за изчисляване на съхранената електрическа енергия на системата от двете сфери в областта на решението. За целта в постпроцесинг режим се натиска зеленото квадратче и след това се кликва с левия бутон на мишката в областта на решението , която се маркирва и става също зелена на цвят. След това се натиска бутона с интегралаи от падащото меню на появилия се прозорец се избира Stored energy. След Натискане на бутона Ok резултата се изписва в прозореца.

От получената стойност на енергията се изчислява капацитета на сферичния разрядник по следното уравнение

, (15)

където U е напрежението между сферите във волтове.

В таблица 2 са сравнени резултатите от изчисленията по данните от програмата FEMM с тези , направени по данните от Elecnet. Вижда се тяхното добро съвпадение с резултатите от аналитичното изчисление на капацитета по уравнение (4.8-да се сложи последователния номер на тази формула)

Таблица 2

FEMM

Elecnet

Теория

Съхранена енергия *10-4, J

7,17

8.84

-

Капацитет*10-12, F

39,83

49,11

33,33

На базата на резултатите от тази глава е разработено лабораторно упражнение за лаборатория „Техника на високите напрежения” към катедра „Основи на електротехниката и електроенергетиката.

6. Аналитично изчисляване на електрическото поле на системата електроди „сфера-сфера”

6.1 Определяне на началните напрежения според условието за самостоятелност на разряда

Напрежението, при което в промеждутъка или в интервала от време възниква самостоятелно разреждане се нарича начално напрежение. В интервалите с еднородно и слабоеднородно поле началното напрежение съвпада с пробивното. В интервалите с нееднородно поле при начално напрежение възниква коронно разреждане.

За изчислението на началните напрежения в газ, в частност във въздуха, се използва условието за самостоятелност на разреждането във вида:

.(16)

Ефективният коефициент на йонизация αеф е функция на напрежението на електрическото поле Е,кв/см и плътността на газа δ

За въздуха тази функция добре се апроксимира чрез формулата

,(17)

където Екр=24.5 кв/см – критическото напрежение, т.е. минималното напрежение при което е възможна ефективна йонизация на въздуха.

Апроксимацията (17) може да се използва при напрежения до 100 кв/см и налягане до няколко мегапаскала.

Физическия смисъл на условието (16) се състои в това, че по дължината на промеждутъка или в зоната, където Е>Екр трябва да се произведат определен брой ефективни йонизации, за да се получи самостоятелно разреждане.

За въздуха добро съвпадение на изчислителните и опитни значения на началните напрежения се осигурява при К=8.2

В най-обикновения случай на еднородно поле напрежението, следователно и αеф във всички точки са постоянни. Тогава (16) може да се запише така:

,(18)

от където следва, че при увеличаване на дължината на промеждутъка S трябва да се намали коефициентът αеф , което е равносилно на намалението на разрядното напрежение.

За въздуха от (18) и (17) като се отчита К=8.2 ще получим значението на разрядното напрежение, кВ/см

.(19)

В промеждутъка с нееднородно поле значението се мени по продължение на силовата линия на полето. Затова е необходимо да се направи интегриране по продължение на силовата линия на полето в съответствие с (16), тъй като лавината от електрони, образуващи се в резултат на йонизацията, се развива по продължение на силовата линия.

При изчислението на началните напрежения се различават два характерни случая. В първия случай полето в промеждутъка е такова, че напрежението надхвърля критическото Е>Екр във всички точки на централната силова линия. Интегрирането в (16) при това трябва да се води по продължение на цялата силова линия.

Вторият случай се характеризира с това, че съотношението се прилага само върху част от централната силова линия. Следователно ефективната йонизация също така може да се образува само в определена част на въздушния промеждутък. Така във втория случай интегрирането в (4.1) не по цялата дължина на силовата линия, а само в участъка, където се изпълнява условието

Началното напрежение изчислено по (16) по продължение на централната силова линия е минимално. Това е така защото лавините от електрони могат да се развиват не само по продължение на централната силова линия, но и по някоя съседна. Освен това, е възможно стартът на лавините от електрони да не е непосредствено от повърхността на електрода, а от някакво разстояние от него. Тези два фактора водят до това, че средните измерени начални напрежения малко превъзхождат изчислените значения.

Формулите (16) и (17) дават възможност да се изчисляват началните напрежения при променливо и постоянно напрежение, когато електрода с по-малак радиус на сферата се намира под отрицателен потенциал.

Изчисление на началното напрежение. Нека централната силова линия се явява права. Разстоянието от електрода до точката на силовата линия, в която се изпълнява условието Е=Екр ще обозначим с хкр.

В промеждутъка с известна конфигурация на полето разпределението на напрежението по продължение на централната силова линия се явява функция на различията на потенциалите между електродите “U” и разстоянието от единия от електродите “x” ; например от електрода, чието напрежение на повърхността е максимално.

.(20)

Формулата (4.2) може да бъде преписана във вида:

Тогава (16) може да се запише за въздуха в общ вид при начално напрежение U0

(13.4)

Но (4.4) относно U0 в реален вид е неосъществимо. Затова за неговото решение може да се използва числения метод. Той се състои в изчислението при различни значения на U интеграл (4.4) Значението U при което интеграла е равен на 8,2 се приема за равно на началното напрежение.

Решението на функцията е възможно, ако е известно разпространението на напрежението на полето по централната силова линия, Така изчислението на промеждутъка на силовото поле се явява необходим етап от изчислението на началното напрежение.

В работата изчислението на началното напрежение се извършва в промеждутъка образуван от две сфери, едното от които е заземено. Полето в промеждутъка се изчислява с помощта на метода на последователните изображения в сферата.

Предварително ще разгледаме прост пример: полето е образувано от точков заряд q0 и разположен близо до него сферичен електрод, чийто потенциал е равен на нула.

Фиг. 6



Метода на изображенията в сфера се състои в следното: Полето извън нея може да бъде представено като сума от полетата на двата точкови заряда. Първият от тези заряди e q0, а втория q` е разположен вътре в сферата. За да се определи разположението и големината на заряда q` ще приемем, че той е разположен на линията DO, съединяваща заряда q0 с центъра на сферата. За това предположение съдим очевидната симетрия на полето относно линията DO. Логично също така е предположението, че заряда е разположен в дясната, по-близката към q0 половина на сферата.

Ще съставим уравнения относно потенциала произволни две точки на повърхността на сферата. Най-лесно е това да се направи за точките А и В. За разположението на зарядите дадени на фигура 6 при заземена сфера ще получим:

Решавайки получените система уравнения относно q` и b ще получим

(4.5)

Тъй като потенциала от зарядите q0 и q` във всички точни от повърхността на сферата е равен на нула, се съблюдават граничните условия на задачата – еквипотенциалност на повърхността на сферата при . Следователно полето на точковия заряд q0 и на заземената сфера съвпада с полето на двата точкови заряда: q0 и неговото изображение q` разположено вътре в сферата.

Изчислението на полето между двете метални сфери се извършва по следния начин. Нека едната сфера се намира под потенциала U, а втората да е заземена . Радиусите на сферите са равни r1=r2=r. Разстоянието между сферите е равно на S

TextTextTextTextTextTextTextText


Фиг.7

За разположим в центъра на сферата I заряд числено равен на . Зарядът q0 ще създаде във всички точки на повърхността на сферата I потенциал U. Но сферата II не образува еквипотенциал с потенциал . За осигуряването на еквипотенциалност на сферата II е необходимо да се прехвърли заряда q0 в сфера II. Изображението на заряда q0 в сфера II ще бъде заряда . Зарядите и осигуряват , обаче намаля еквипотенциалноста на повърхността на сфера I. Тя може да бъде възстановена след прехвърлянето на заряда в сфера I. Прехвърлянето на зарядав сфера I се явява заряд q1.

След всяко прехвърляне се осигурява условие на еквипотенциалност, на повърхността на една от сферите. Еквипотенциалноста на повърхността на другата сфера се нарушава. За да се осигурят условията U и на повърхностите на двете сфери е необходимо да се построи безкрайна система от заряди – прехвърляния. Съгласно 4.5 значението и положението на зарядите в процеса на последователните прехвърляния се определят като:

(4.6)

При , , , .

Последователните изображения образуват достатъчно бързо образуващ се ред. Знаците на всички заряди във всяка от сферите са еднакви – в сфера I всички заряди съвпадат по знак с q0 , в сфера II – имат противоположен знак.

Определяйки положенията и значенията на последователните заряди – изображения е лесно да се изчисли напрежението във всяка точка на полето. Тя ще е равна на геометричната сума от вектори на напреженията, създадени от всеки заряд. Най-лесно се изчисляват напреженията на централната силова линия, която в нашия случай съвпада с линията, преминаваща през центровете на кълбата, или векторите на напреженията по тази линия съвпадат с посоката, затова геометричния сбор може да се замени с алгебричен. За всяка точка на централната силова линия напрежението се изразява така:

4.7

Където x – е разстоянието от повърхността на сфера I

От кадето последното уравнение може да се преобразува във вида:

4.7а

От където следва че

Изчислението на зарядите при последователните отражения позволява да се изчисли и капацитетът на кълбовидния разрядник. От 4.6 следва, че зарядите и са пропорционални на напрежението между сферите. Капацитетът на кълбовидния разрядник се определя като:

4.8

тоест като отношение на сумарния заряд към потенциала.

За изчислението на началното напрежение е нужно да се изчисли интеграла в израза (4.4)

Реда на изчисляване може да бъде следният. Първо се задава някакво напрежение U между сферите и за него се прави разпределяне на напрежението по централната силова линия E(x,U) и разпределяне на величината по същата линия. (фиг. 4.3)

В зависимост от напрежението приложено към сферите, минималното значение на напрежението в промеждутъка може да бъде повече или по-малко от . Ако , интегрирането в пределите от нула до S. При йонизацията е възможна в двете зони, прилягащи към сферите.

В разглеждания от нас случай на заземяване на едното от кълбата разпределянето на напрежението по централната силова линия е несиметрично. Напрежението е повече в зоната, прилягаща към сферата намираща се под потенциала.

От фиг. 4.3 следва, че при значенията на интеграла 4.4 за двете възможни зони на йонизация ще бъдат различни. Следователно условието за самостоятелност на разряда при повишаване на напрежението ще се изпълнява не веднага в двете зони, а само в едната от тях. Затова интеграла 4.4 може да се изчислява единствено и само за едната от зоните, а интегрирането в него трябва да става в пределите от нула до .

Фиг. 8

Изчисляването на интеграла 4.4 трябва да се направи при различни значения на напрежението U. Значението на U0, при което този интеграл става равен на 8,2 се приема за равно на началното или на пробивното напрежение.

6. Програма за изчисляване на електрическото поле на ЕВМ.

Алгоритъма за изчисляване на електрическото поле на кълбовидния разрядник е даден в две съотношения: в редове (4.6), позволяващи изчисляването на значенията и положенията на зарядите – изображения, и в сумата на двата безкрайни реда (4.7), по която се изчислява напрежението на електрическото поле в дадена точка х.

Първата част на програмата позволява да се изчисли интензитетът на електрическото поле от всеки заряд по продължение на централната линия. Разбиването на разстоянието S на отрязъци (части) при изчислението може да бъде произволно. В програмата такова разбиване е направено на десет отрязъка. При това броят на точките, за които се определя напрежението е равно на единадесет . Втората част на програмата изчислява положенията на следващите заряди и техните значения. След тяхното изчисление машината се връща към първата част за отчитане на новите съставящи на напрежението на електрическото поле.

Текста на програмата е даден в Приложение

Резултатите от изчислението на максималната стойност на интензитетът на ел. поле с програмата е даден в таблица 1. Относителната грешка от 11,28 % свидетелствува за точността на решението с МКЕ.

Същата програма изчислява и началното напрежение на сферичния разрядник

Изчислението на началното напрежение, т.е. решението на уравнението (4.4), се извършва чрез числения метод. При това интеграла на това уравнение се изчислява чрез метода на трапеца. Машината автоматично проверява условието във всяка точка на централната силова линия. Това означава, че интегрирането върви само по интегралите, където се изпълнява това условие.

ИЗВОДИ

В Глава втора МКЕ се използува за решаване назадачата за анализа на електрическото поле на електроди ”сфера-сфера”. МКЕ позволява това да стане при отчитане на действителната геометрия на изследваната област, в която се развива полето и електрическите характеристики на използуваните материали. Това значително повишава точността при решаването на задачата, тъй като аналитичните зависимости, използувани при изследването на електрическото поле се основават на редица допускания и от там се получава съответната грешка.

Резултатите от изчислението с МКЕ с двата програмни пакета са близки и се потвърждават и от аналитиното изчисление на полето с метода на последователните изображения.








Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 1913
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2019 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site