Vyšetrovanie extrémov funkcionálov

Vyšetrovanie extrémov funkcionálov

Extrém funkcionálu uvažujeme pre krivky na danej oblasti vzhľadom na okolie extremály.

Okolie nultého rádu (n = 0)

na hodnoty derivácií nie sú kladené obmedzenia !

Okolie prvého rádu (n = 1)

Silný lokálny extrém: vzhľadom na krivky

Slabý lokálny extrém: vzhľadom na krivky

Poznámka: Silný lokálny extrém je zároveň slabý.

Typ extrému funkcionálu budeme vyšetrovať použitím týchto podmienok

A. Silné Legendrove podmienky

(postačujúce podmienky pre slabý relatívny extrém)

B. Jacobiho podmienka

(podmienka existencie centrálneho poľa extremál)

Aby na funkcii nadobúdal funkcionál slabé relatívne minimum, musí byť obklopená poľom extremál. Či pole extremál existuje, určíme z riešenia Jacobiho rovnice

Je to diferenciálna rovnica 2. rádu, jej riešenie je teda v=v(t,c₁,c₂). Jednu z konštánt určíme z okrajovej podmienky

Ak existuje také , pre ktoré , nemá zmysel vyšetrovať extrém, pretože systém kriviek, ktoré sú riešením Eulerovej rovnice, nevytvára pole extremál.

Ak pre žiadne nenadobúda nulovú hodnotu, vyšetrovaný systém kriviek, ktoré sú riešením Eulerovej rovnice, vytvára pole extremál, Jacobiho podmienka je teda splnená.

C. Weierstrassova podmienka

(postačujúca podmienka existencie extrému pri splnení Jacobiho podmienky)

Postačujúca podmienka pre relatívne minimum:

kde

Slabé relatívne minimum – Weierstrassovna podmienka platí  pre ľubovoľné hodnoty z.

Silné relatívne minimum Weierstrassovna podmienka platí pre hodnoty z blízke k s.

Pre príklady z 2. cvičenia vyšetrite typ extrému funkcionálu.

Príklad 4

Riešenie:

Pripravíme si medzivýsledky na riešenie Jacobiho rovnice:

- platí silná Legendrova podmienka, podľa

nej extrém bude slabé relatívne minimum 

Teraz vyriešime Jacobiho rovnicu, aby sme zistili, či je splnená Jacobiho podmienka:

- pre žiadne iné   na intervale [0,1]

v(t) nenadobúda nulovú hodnotu. Riešenia ELR teda vytvárajú poje extremál.

Vyšetríme extrém použitím Weierstrassovej podmienky (WP), aby sme overili, či nenastane SILNÉ relatívne minimum.

WP platí pre ľubovoľné hodnoty z, s, na

extremále, ktorá je riešením ELR, nastane SILNÉ relatívne minimum.

Príklad 1

Riešenie:

Pripravíme si medzivýsledky:

- platí silná Legendrova extrém

bude slabé relatívne minimum

Vyšetríme extrém použitím Weierstrassovej podmienky (WP), aby sme overili, či nenastane SILNÉ relatívne minimum.

Menovateľ výrazu je kladný, ďalej sa budeme zaoberať len čitateľom.

Ak výraz , čitateľ bude určite nezáporný;

Ak výraz , môžeme použiť nasledovnú úpravu:

obe strany umocníme

na druhú

- WP platí pre ľubovoľné hodnoty z, s, na extremále, ktorá je riešením ELR, nastane SILNÉ relatívne minimum.