ekonometrijos metodologija
ir metodai

1. Ekonometrijos samprata

1.1. Matematinių metodų naudojimo ekonomikoje istorija

Realaus pasaulio pažinimo procesas – tai ne kas kita, kaip žinių apie gamtą ir visuomenę tikslinimas. Šiame procese, naudojant tikslesnius tyrimo metodus, užfiksuojami nauji faktai, nustatomi principai ir dėsnin­gumai. Daugelyje fundamentalių gamtos mokslų, formuojant įvairias teorijas, neįmanoma išsiversti be matematikos.

Be matematikos nuo seno neapsiėjo ir socialiniai mokslai: ekonomika, vadyba, sociologija ir kt. Ankstesniuose tyrimuose matematika paprastai naudota tik stebėjimų duomenims apdoroti ir sisteminti. Svarbia ekono­mikos tyrimo priemone matematika tapo tik sukūrus šiuolaikinę skaičia­vimo techniką. Vienas žymiausių ekonomistų, 1970 metų ekonomikos Nobelio premijos laureatas P.Samuelsonas taip vertina mate­matiką: “Matematika būtina ekonomikos mokslui atnaujinti. Matematikos kalba – vienintelė galima kalba pagrindiniams ekonomikos teorijos teiginiams išdėstyti”

Ekonominiams procesams tirti plačiai naudojama klasikinė mate­matika: matematinė analizė, aibių teorija, matematinė statistika, grafų teorija ir t.t. Tačiau praktiniams ekonominiams uždaviniams spręsti (ištekliams paskirstyti, planams-grafikams sudaryti, atsargoms valdyti ir t.t.) buvo sukurtos ir specialios matematikos kaip mokslo šakos – matematinis programavimas, lošimų teorija, masinio aptarnavimo sistemų teorija, aktuarijų teorija ir kt. Pabrėžtina, kad šiuo metu ne tiek svarbu kurti iš principo naujus metodus, kiek būtina efektyviai naudoti esamus.

Ekonomikos mokslo kūrėjai savo tyrimuose naudojo įvairius kiekybinius metodus.

Klasikinės politinės ekonomikos pradininkas anglas Viljamas Peti (1623 – 1687) knygoje „Politinė aritmetika” (1676) siūlo pereiti nuo savokų „geresnis, didesnis ir t.t.” prie minčių reiškimo skaičiais, svoriais, matais.

Pirmąjį pasaulyje ūkio modelį sukūrė prancūzų mokslininkas Fransua Kenė (1694-1774). Jis 1756 m. paskelbė veikalą „Ekonominė lentelė”. Šiame darbe grafiniu, o po to analitiniu metodu išnagrinėtos pagrindinės reprodukcijos proceso stadijos.

Ypač svarbi šio mokslo istorijai yra XIX a. pabaiga ir XX a. pradžia, kai ekonomikoje susiformavo klasikinė matematikos mokykla. Šios mokyklos įkūrėju laikomas prancūzų matematikas, filosofas, ekonomistas, istorikas Ogiustas Kurno (1801 – 1877), 1838 m. paskelbęs darbą “Turto teorijos matematinių principų tyrimas”.

Šiuolaikinių teorinės ekonomikos matematinių tyrimų pradininku laikomas šveicarų ekonomistas L.Valrasas (1834-1910), sukūręs pirmąjį ekonominės pusiausvyros modelį. Matematiką naudojo ir kiti žymūs ekonomistai tai – V.Paretas (1848 – 1923), F.Edžvortas (1845 – 1926), Dž.Keinsas (1883 – 1946).

XX a. pradžioje pradėjo vystytis matematikos šaka – statistika. Beje, M.Stigleris rašo, kad pirmąją “empirinę” paklausos kreivę 1699 m. išspausdino Charles Davenant. Pirmasis šiuolaikinis statistinis paklausos tyrimas buvo atliktas italų statistiko R. Eninio 1907 m. Pirmasis terminą “regresija” panaudojo anglas F.Galtonas (1822 - 1911), kuris nagrinėjo vaikų ūgio priklausomybę nuo tėvų ūgio. Statistiniai metodai iškart buvo panaudoti trumpalaikei ekonominių procesų prognozei. JAV mokslininkas Viljamas Personas sudarė modelį “Harvardo barometras”. Tačiau šiuos modelius intensyviau kurti nustota dėl to, kad jie nepadėjo nuspėti didžiausios Vakarų pasaulio 1929 – 1932 m. krizės.

Toliau tyrinėjant ekonominius procesus susiformavo nauja kryptis, apimanti ekonomikos teoriją, klasikinę matematiką ir statistiką; ji pava­dinta ekonometrija. Šis terminas, daugumos mokslininkų nuomone, pirmą kartą panaudotas norvegų ekonomisto matematiko Ragnaro Frišo (1895 – 1973). Tačiau oficialia ekonometrijos kaip mokslo susiformavimo data laikoma 1930 m., kai buvo sukurta tarptautinė ekonometrijos draugija. 1933 m. sausį pirmą kartą išleistas žurnalas “Ekonometrija” (Econome­tric), jis leidžiamas ir dabar. Šios krypties mokslininkai ne kartą buvo Nobelio premijos laureatai (ši premija ekonomikos srityje įsteigta 1969 m.): R. Frišas (Norvegija), J. Triubergenas (Olandija), V. Leontjevas (JAV), D. Hiksas (Anglija), L. Kantorovičius (SSRS), T. Kupmansas (JAV).

L. Kantorovičius 1939 m. suformulavo naują ekstrema­lių uždavinių klasę su apribojimais – nelygybėmis. Ši taikomosios matematikos sritis pavadinta tiesiniu programavimu. 1974 m. amerikietis D. Dancingas pasiūlė universalų tiesinio programavimo uždavinio sprendimo metodą – simplekso metodą.

Septintame dešimtmetyje rusų akademikas V. Nemčinovas įvedė terminą “ekonominiai – matematiniai metodai”, kuriuo sąlyginai pavadino mokslinių disciplinų kompleksą, apimantį ekonomiką, matematiką ir kiber­netiką. Tai yra mokslas, nagrinėjantis ekonominių matematinių modelių naudojimą valdymo praktikoje, kai reikia priimti efektyvius sprendimus.

Modeliavimas nėra XX amžiaus atradimas, juo naudojamasi seniai. Tai rodo ir toks istorinis pavyzdys. Šv. Povilo bažnyčioje Londone yra paminklinė lenta, kurios tekstas prasideda žodžiais: „Amžina pamoka nemokšiškam admiraliteto lordų užsispyrimui”. Tai susiję su tokiu įvykiu. Prieš nuleidžiant anglų karinį laivą “Keptein” į vandenį, inžinierius Ridas perspėjo admiraliteto lordus, kad, nuleistas į vandenį, laivas apvirs. Šis teiginys buvo pagrįstas laivo modelio tyrimo rezultatais. Tačiau lordai su šiuo metodu nebuvo susipažinę ir tyrimo rezultatais netikėjo. Nuleistas į vandenį, laivas apvirto.

Sparčiai tobulėjant šiuolaikinei skaičiavimo technikai, ekonometrijos mokslas vystosi taip pat sparčiai ir vis plačiau naudojamas ekonominių procesų valdyme.

1.2. Modelio samprata

Su išoriniu pasauliu susipažįstama dviem pagrindiniais metodais: indukcijos ir dedukcijos.

Indukcija – tai loginis samprotavimas, kai nuo atskirų faktų, mažiau bendrų žinių einama prie bendresnių. Tačiau, kitaip negu dedukcija, visada sąlygojanti teisingą išvadą, indukcija iš teisingų prielaidų tepadaro tikėtiną išvadą, reikalaujančią tikslesnio įrodymo.

Realiame pasaulyje dažniausiai tam tikrą objektų klasę sudarančių objektų skaičius būna labai didelis (net begalinis), todėl praktiškai jų visų neįmanoma ištirti ir apibendrinti. Šioje situacijoje kaip tik tuo metodu daromi indukciniai apibendrinimai – formuluojami dėsniai ar principai, ištyrus tik dalį objektų, kuriuos tas dėsnis ar principas apima.

Dedukcija – tai išvadų gavimas iš prielaidų pagal logikos dėsnius ir taisykles. Bendrąja prasme – tai perėjimas nuo bendro prie atskira.

Visuomet reikia prisiminti, kad dedukcija efektyvi tik tada, kai ji derinama su indukcija.

Be šių paplitusių pažinimo metodų, įvairiems reiškiniams tirti pasitelkiamas eksperimentas, o šiuo metu ir modeliavimas, kaip populia­riausia jo atmaina.

Žodis “modelis” kilęs iš lotyniško žodžio „modulus” – matas, dydis. Tačiau šis žodis taip pat susijęs ir su žodžiu „modus” – kopija, pavyzdys.

Bene vaizdžiausiai modelių esmę yra išreiškęs belgų siurrealistas R. Margitas (1898 – 1967)*. Viename jo ankstyvosios kūrybos paveiksle yra nupiešta pypkė ir čia pat užrašyta „Tai ne pypkė”. Toks netikėtas sugre­tinimas veikia savotiškai: priverčia žiūrovą skirti tikrovę nuo jos atvaizdo. Taigi vienoks ar kitoks tikrovės pavaizdavimas nėra pati tikrovė – tai tik jos modelis.

Nagrinėjant tam tikrą procesą, reikia atsiriboti nuo mažiau svarbių reiškinių ir nustatyti pagrindines tiriamojo proceso savybes. Šias savybes nustatyti ir padeda modelis, kuris yra tarpinė grandis tarp sudėtingos tikrovės ir abstrakčios mokslinės teorijos.

Suformuluosime modelio sąvokos apibrėžimą. Modeliu vadiname objekto originalo dirbtinį ar realų atvaizdą, leidžiantį nagrinėti tam tikras originalo savybes. Čia tikslinga išskirti tam tikrus požymius:

modeliu gali būti bet kokios kilmės – dirbtinai sukurtas ar realus objektas;

modelis atitinka nagrinėjamąjį objektą, t.y. jis savo savybėmis yra “panašus” į objektą, bet kai kuriomis savybėmis skiriasi nuo jo; šios savybės atliekamam tyrimui turi būti nesvarbios;

modelis naudojamas įvairiuose pažinimo etapuose, todėl priklausomai nuo tyrimo tikslų gali būti keli skirtingi to paties objekto modeliai.

Iš modelio apibrėžimo aišku, jog jis gali būti sudarytas pasitelkus įvairios kilmės priemones: žodiniai (verbaliniai); grafiniai (piešiniai, sche­mos, grafai, brėžiniai); rašytiniai tekstai; matematiniai; kūno kalbos modeliai (gestai, šokiai); fiziniai (maketai, manekenai) ir mišrūs.

Savaime suprantama, kad didžiausias dėmesys bus skiriamas matema­tiniams modeliams.

Modelio sudarymas – tai daug darbo reikalaujantis ir sudėtingas procesas, kurį sudaro trys etapai (1.1 pav.).

Kiekvienas modelis sudaromas, atsižvelgiant į objekto tyrimo tikslą. Sudarant modelį, būtina iš aplinkinio pasaulio atrinkti tiriamajam objektui būdingus įėjimo kintamuosius X ir išėjimo kintamuosius Y. Veiksnių atrinkimo etape nustatoma, tarp kokių kintamųjų bus ieškomas priežasties – pasekmės ryšys Y=F (X ). Modelio tipo nustatymo etape parenkamas funkcijos F tipas. Apsisprendus dėl modelio tipo, pagal kontrolinės imties duomenis nustatomi nežinomi modelio parametrai. Kai sudarytasis modelis atitinka objektą suformuluoto tikslo požiūriu, laikoma, kad modelis adekvatus (tapatus) nagrinėjamam objektui. Kiekvienam konkrečiam modelio tipui yra nustatytos taisyklės, pagal kurias patikrina­mas modelio adekvatumas. Statistiniuose modeliuose tai dažniausiai vidutinė kvadratinė paklaida, kuri neturi viršyti leistinojo dydžio. Kai modelis adekvatus, laikoma, kad jį galima naudoti realiam objektui tirti – modeliuoti, priešingu atveju modelį būtina koreguoti.

Modeliavimu vadinamas objekto tyrimas, naudojant sudarytus modelius. Modeliavimas praverčia tada, kai realaus objekto (žmogaus, kosminio laivo) tyrimas yra brangus ir nepatogus arba išvis neįmanomas. Be to, reikia turėti galvoje, kad pasitelkus modelius, galima keisti darbo režimus ir stebėti gaunamus rezultatus (lėktuvo tyrimas aerovamzdyje).

Visus ekonominius – matematinius modelius suklasifikuoti ir sudėti į vieną schemą neįmanoma, nes yra daug požymių (pagal vartojimo paskirtį, matematinę teoriją, laiko įvertinimą ir t.t.), į kuriuos reikia atsižvelgti, parenkant klasifikavimo taisyklę.

Iš pradžių aptarsime bendrus klasifikavimo požymius, galiojančius visiems matematiniams modeliams, o po to juos išnagrinėsime naudoja­mojo matematinio aparato požiūriu.

Pagal atsitiktinumo nustatymo pobūdį modeliai gali būti į deter­minuoti arba stochastiniais.

Determinuotuose modeliuose visi kintamieji, nusakantys modelio funkcionavimą, laikomi determinuotais, t.y. įgyjančiais tam tikras fiksuo­tąsias reikšmes. Jei modelio kintamieji esti tikimybinės kilmės ir juos nusako atsitiktiniai dydžiai, tai modeliai yra stochastiniai.

Atsižvelgiant į laiko veiksnį, kurio aspektu nagrinėjamas objektas, visi modeliai skirstomi į statinius ir dinaminius.

Didžioji dauguma praktiškai sprendžiamų uždavinių yra statiniai. Šiuose modeliuose tiek išėjimo, tiek įėjimo kintamieji yra fiksuoti tam tikram laiko tarpui. Dinaminiuose modeliuose kintamieji kinta laike.

Praktiškai ekonominiai – matematiniai modeliai dažnai klasifikuojami į penkias grupes. Pirmajai grupei priskiriami funkciniai modeliai; jie taikomi tuo atveju, kai nagrinėjamos tiesioginės priklausomybės tarp priklausomų ir nepriklausomų kintamųjų. Antrajai grupei priskiriami balansiniai modeliai, aprašomi pasitelkus lygčių sistemą. Trečioji grupė – tai optimizaciniai modeliai; jų tikslas nustatyti maksimalią ar minimalią efektyvumo kriterijaus reikšmę. Ketvirtajai grupei priskiriami imitaciniai modeliai, o penktajai – kompleksiniai modeliai, kuriuos sudaro išvardytųjų modelių rinkiniai.

Formuluojant matematinį modelį, reikia parinkti sprendimo metodą. Šį pasirinkimą apsprendžia į modelį įtrauktų veiksnių charakteristikos (atsitiktinumas, matiškumas ir t.t.), efektyvumo kriterijai ir apribojimai.

Visi sprendimo metodai skirstomi į tris grupes: analitinius; skaitme­ninius; eksperimentinius.

Vienkriteriniams determinuotiems modeliams taikant analitinius sprendimo metodus, apribojimai turi būti išreikšti griežtomis lygybėmis. Tuo tarpu situacijoms, kurios yra vadybos mokslo objektas, aprašti dažnai būtini nelygybių sistema suformuluoti apribojimai.

Taikant skaitmeninius metodus, modelis taip pat turi būti suformu­luotas kaip lygčių sistema. Šiuo atveju apribojimai gali būti suformuluoti ir kaip nelygybės. Pasitelkus skaitmeninį metodą, sprendinys gaunamas atliekant skaičiavimų ciklą pagal sudarytą algoritmą. Skait­meniniai metodai yra iteracinės procedūros, kuriose kiekvieno žingsnio metu gautieji rezultatai palyginami su anksčiau gautaisiais, ir tokiu būdu parenkamas ge­riau­sias sprendinys. Šiuo atveju negalima teigti, jog nustatytas optimumas.

Šių dviejų grupių metodai gali būti taikomi spręsti tik vienkriterinius uždavinius, kurie aprašomi vienu efektyvumo kriterijumi, o apribojimai pateikiami analitine forma. Dėl šių priežasčių klasikiniai optimizacijos ir matematinio programavimo metodai labai ribotai gali būti taikomi realiems vadybos uždaviniams sprensti, kadangi sunku juos suformuluoti taip, kad nekiltų prieštaravimų tarp apribojimų. Be to, šie metodai riboja sisteminės analizės galimybes, nes atskiri sistemos elementai nagrinėjami izoliuotai, įvertinant tik šio elemento atžvilgiu svarbiausius veiksnius.

Jei matematinis modelis suformuluotas taip, kad negalima taikyti nei analitinių, nei skaitmeninių metodų, imamasi eksperimentinio tyrimo. Taikant šį metodą, ir efektyvumo kriterijus, ir apribojimai gali būti nurodyti algoritmo forma. Geriausias sprendinys randamas palaipsniui prie jo artėjant, analizuojant skaičiavimų pagal algoritmą, modeliuojantį sistemos veiklą, rezultatų aibę.

1.1 lentelė

Modelių ir metodų taikymas įmonės veikloje

  Veiklos sritys

Metodai

Išteklių paskirs­tymas

Atsar­gų valdy­mas

Įrengi­mų remon­tas ir keiti­mas

Masinio aptarna­vimo uždavi­niai

Kalen­dorinis plana­vimas

Marš­rutų parin­kimas

Derybų ir kon­kuren­cijos užda­viniai

Imita-

ciniai mode­liai

Matematinis programavimas

– tiesinis

– netiesinis

– diskretinis

– dinaminis

– stochastinis

Diferencialinės lygtys

Statistika

Masinio aptarnavimo sistemų teorija

Žaidimų teorija

Grafų teorija

Tvarkaraščių teorija

Matematinė logika

Dažnai griežtas matematinis formalizavimas neleidžia visapusiškai nagrinėti sudėtingų sistemų, tad pastaruoju metu efektyvių sprendinių ieškoma naudojant euristinius algoritmus. Euristiniai algoritmai – tai rinkinys taisyklių, nusakančių galimų sprendinių ir geriausio iš jų parinkimo procesus. Viena dažniausiai taikomų euristinių algoritmų formų yra imitacinis modeliavimas, taikomas modeliuose, įvertinančiuose neapibrėž­tumą, riziką bei daugiakriterinę optimizaciją.

Atlikus operacijų tyrimo uždavinių analizę, 1.1 lentelėje pateikti šio tyrimo rezultatai*. Šioje lentelėje, atskirose įmonės veiklos srityse, dažniau­siai naudojami metodai yra pažymėti “+” ženklu.

1.3. Struktūrinis sistemos modelis

Realų pasaulį patogu nagrinėti, jei laikysime, kad jis sudarytas iš dviejų dalių: aplinkos ir sistemos. Tad bet kurią sistemą galima pavaizduoti schema, pateikta 1.2 paveiksle.

Aplinka yra visa tai, kas nepriklauso nagrinėjamai sistemai. Paprastai aplinka veikia sistemą tam tikrais įėjimo kintamaisiais.

Tarkime, yra žinoma įėjimo kintamųjų visuma X ₁, X ₂, , X _n su savo galimų reikšmių aibėmis. Įėjimo kintamųjų reikšmių aibėje X panaudojame santykį R(X_i)=R_i (X ₁,X ₂,,X _n), kuris nustato ryšius tarp įėjimo kintamųjų. Reikšmės I X  , I X    I X_n yra suderintos, jei atitinka santykius R (X _i). Aibėje X suderintos įėjimo kintamųjų reikšmės sudaro tam tikrą suderintų reikšmių aibę X

Kaip tokios sistemos pavyzdį, aptarsime audimo gamybą. Audimo gamyba yra sudėtinga sistema. Ją sudaro audimo staklės, audėjos, pameistriai, administracija, gamybiniai plotai, ventiliacijos sistema ir t.t. Aplinka yra visa tai, kas priklauso bendrovei, bet nepriklauso audimo gamybai: verpimo gamyba, apdaila, įmonės vadovybė, autoūkis ir t.t., taip pat kas ir nepriklauso bendrovei.

Įėjimo kintamieji – verpalai, garas, elektros energija, darbo užmo­kestis, staklių našumas, aptarnavimo zona ir t.t. Kiekvienas šių įėjimo kintamųjų turi savo kitimo reikšmes, pavyzdžiui, audimo staklės gali būti STB – 2, STB – 4, rapyrinės, pneumatinės, hidraulinės ir t.t.; aptarnavimo zonos gali būti: 1 staklės, 2 staklės, 3 staklės, 4 staklės ir t.t. Tačiau įvedus santykį „R(X ₁ ) – priklausyti audimo gamybai”, galimų staklių tipai yra STB – 2, STB – 4, rapyrinės. Šis santykis rodo, kokio tipo audimo staklės naudojamos būtent nagrinėjamoje audimo gamyboje. Kitas santykis nusako STB – 2 staklių aptarnavimo zoną, o konkrečiai gamyboje – R (X ₂)=4 staklės.

Santykis gali būti išreikštas ir analitine formule. Pavyzdžiui, „R (X ₃)-audinio darbo imlumas” nustatomas taip:

čia: D  – darbo imlumas; P – apdorojamosios produkcijos kiekis; N – staklių našumas; Z – aptarnavimo zona; h – naudingo darbo laiko koeficientas.

Šis santykis nusako, kad esant fiksuotam apdorojamos produkcijos kiekiui, staklių našumui, aptarnavimo zonai ir naudingo darbo laiko koeficientui, gaunamas fiksuotas darbo imlumas.

Savo ruožtu sistema veikia aplinką išėjimo kintamaisiais Y, kurių visuma yra Y ₁, Y ₂, ,Y_m,  R (Y_j )=R (Y₁, Y₂,, Y_m ) ir .

Nagrinėtame pavyzdyje Y gali būti išaustos medžiagos kiekis, plano įvykdymo procentas, sutaupytų žaliavų kiekis ir t.t.

Nereikia pamiršti, kad kiekvieną sistemą galima išskaidyti į sude­damąsias dalis, kurias savo ruožtu galima nagrinėti kaip sistemą. Audimo gamyboje atskira sistema gali būti audimo staklės, remonto baras ir t.t. Tokių sistemų aplinka bus visai kita.

Sistema, veikiama įėjimo kintamųjų, pereina į naują būseną C. Šią transformaciją nusako priklausomybė C =F (C ₀ , X ), kur C ₀ – pradinė sistemos būsena.

Įėjimo kintamieji sąlygoja visų sistemos savybių kitimą, tarp jų – ir išėjimo kintamųjų. Šių kintamųjų reikšmės tam tikru laiko momentu t paprastai priklauso nuo įėjimo kintamųjų reikšmių kitimo intervale (- , t ), t.y. priklauso nuo įėjimo kintamųjų reikšmių kitimo visos priešistorijos. Norint apskaičiuoti sistemos išėjimo kintamuosius nagrinėjamuoju laiko momentu t ir ypač prognozuoti jų kitimą ateityje, turimų žinių tik apie įėjimo kintamųjų kitimą intervale (t₀, t ), kur t ₀< t, gali nepakakti. Tačiau šį uždavinį galima išspręsti, jei yra žinomos tam tikros sistemai būdingos vidinių kintamųjų reikšmės laiko momentu t ₀, kurios vadinamos sistemos būsenomis.

Be to, sprendžiant realių sistemų valdymo uždavinius, visuomet reikia nagrinėti sistemos elgesį, kai t > t  . Tai reiškia, kad, žinant sistemos būseną nagrinėjamuoju laiko momentu t ₀, galima daryti išvadas tik apie sistemos elgesį ateityje, tačiau negalima nustatyti sistemos būsenos C (t ), kai t < t _0. Tokie uždaviniai sprendžiami kriminalistikoje.

Realioje audimo gamyboje kaip vidinis kintamasis – būsena gali būti gamybos planas augančiai, nes, norint prognozuoti, kaip bus įvykdytas gamybos planas mėnesio pabaigoje, pakanka žinoti, kaip įvykdytas tos dienos planas ir augantis planas. Objekto – audimo staklių – būsena yra sugedusių staklių skaičius tam tikru laiko momentu.

Žinant sistemos būsenų transformacijos išraišką ir sistemos išėjimo kintamųjų formavimo išraišką Y=j (C ), nesunku nustatyti transfor­maciją, kurią atlieka sistema su įėjimo kintamaisiais , ir ši funkcija vadinama sistemos funkcionavimo dėsniu.

Kadangi paprastai daugelis realių sistemų yra atviros, t.y. sąveikauja su aplinka, tai sistemos struktūrinį modelį galima užrašyti formalia priklausomybe:

; (1.1)

čia: I_x, I_y, I – santykių ir funkcijų aibė; C – būsenų aibė; A_s – tikslų aibė;
T – laiko momentų aibė.

Jei pažymėsime , tai

. (1.2)

Toks sistemos apibrėžimas turi ne tiek praktinę, kiek metodo­loginę prasmę, leidžia suprasti principines modelių klases.

Jei T = o tai reiškia, kad ir I = tada gauname sistemą, kurios visos charakteristikos nekinta laike, nes nenagrinėjamas sistemos funkciona­vimas. Tokiu atveju struktūrinis modelis vadinamas sistemos struktūra S ’.

Jei I_x =I_y = tai sistemos struktūra nenagrinėjama, ir gaunamas sistemos modelis, kuris vadinamas sistemos funkciniu modeliu S ’’.

Jei I_y =I_y =I = tai gaunamas sistemos pragmatinis modelis, kuris parodo, kaip sistema atitinka jai keliamus reikalavimus S ’’’.

Audimo staklėms S ’ – optimali aptarnavimo zona; S ’’ – kalendorinis darbo grafikas; S ’’’ – minimalios eksploatacinės išlaidos arba maksimalus įrengimų naudojimas.

1.4. Kas yra ekonometrija?

Atsiradus šiuolaikinei skaičiavimo technikai, ekonomikos, finansų, vadybos ir kitų socialinių mokslų disciplinų tyrinėjimai vis labiau tampa kiekybiniais. Tad reikalingos žinios, įgalinančios išmatuoti ekonominius procesus, juos formalizuoti, sudaryti ekonominius matematinius modelius ir, naudojant juos, modeliuoti įvairias ekonominių – organizacinių sistemų situacijas, sprendžiant iškilusiais problemas.

Viena pagrindinių disciplinų, kurios uždavinys – teikti šių žinių yra ekonometrija. Verčiant pažodžiui, ekonometrija yra ekonomikos matavi­mas. Tai labai platus apibrėžimas, kadangi daug kas ekonomikoje susiję su matavimu. Mes matuojame (įvertiname, nustatome) nacionalinio produkto apimtį, eksporto apimtis, kainų indeksus ir t.t. Tačiau ekonometrija yra statistinių ir ekonominių metodų panaudoji­mas ekonominių duomenų analizei, siekiant nustatyti ekonominės teorijos praktinį turinį.

Ekonometrija gali būti apibrėžiama kaip socialinis mokslas, kuriame ekonomikos teorija, matematika ir matematinė statistika taikomi ekono­minių reiškinių analizei.

Pagrindiniai ekonometrijos tikslai šie:

ekonomikos teorijos teiginių patikslinimas;

pasirinktų matematinių priklausomybių skaitmeninis įvertinimas;

ekonominių reiškinių prognozavimas.

Trumpai palyginsime artimas ekonometrijai mokslo šakas.

Ekonomikos teorijoje formuluojami teiginiai arba hipotezės, kurios dažniausiai iš prigimties yra kokybinės. Antai mikroekonomikos teorija teigia, kad, sumažinus prekės kainą, galima tikėtis, kad padidės šios prekės paklausa. Taigi ekonomikos teorija postuluoja neigiamą, arba atvirkštinį, ryšį tarp kainos ir reikalaujamo prekės kiekio. Tai yra žinoma kaip paklausos dėsnis. Bet pati teorija nepateikia jokio skaitmeninio matavimo metodo šio ryšio stiprumui nustatyti. Praktiškai nėra įmanoma pasakyti, kaip pasikeis pardavimų apimtis, pakitus prekės kainai. Tad ekonometrijos paskirtis kaip tik yra pateikti reikiamą skaitmeninį įvertinimą. Kitaip tariant, ekonometrija pateikia daugumos ekonomikos teorijos teiginių empirinę (pagrįstą stebėjimais arba eksperimentais) esmę.

Matematinės ekonomikos pagrindinis interesas yra ekonomikos teoriją išreikšti matematine forma (modeliu) nereikalaujant empiriškai patikrinti teoriją. Ekonometrikas kaip tik ir naudoja matematinius modelius, siūlo­mus matematiko ekonomisto, ir jis juos pritaiko realiems procesams valdyti.

Ekonominė statistika koncentruojasi prie ekonominių duomenų surin­kimo, apdorojimo ir vaizdavimo lentelių, grafikų ir diagramų pavidalu. Taip surinkti duomenys yra pradiniai ekonominio darbo duomenys. Ekono­metrikas, panašiai kaip ir metereorologas, dažnai priklauso nuo duomenų, kurie negali būti kontroliuojami tiesiogiai. Tad suvartojimo, kainų, santau­pų, investicijų ir panašūs duomenys iš prigimties nėra eksperi­mentiniai. Ekonometrikas ima duomenis, kokie jie yra. Be to, šie duomenys gali būti su matavimo paklaida arba su praleidimu, ir ekonometrikas gali būti priverstas parengti specialius analizės metodus, kurie panaikintų šiuos trūkumus.

Pirmasis uždavinys, su kuriuo susiduria ekonometrikas, yra ekono­metrinio modelio sudarymas. Sudarant modelį, visuomet reikia prisi­minti tai, kad modelis yra supaprastintas realaus proceso atvaizdas.

Pavyzdžiui, pasakymas, kad obuolių paklausa priklauso nuo jų kainos, yra supaprastintas, nes visi supranta, kad esama aibės kitų kintamųjų, kurie gali apspręsti obuolių kainą: sakykim, pirkėjų pajamos, apelsinų kainos didėjimas ar mažėjimas, kavos gėrimas vietoj obuolių sulčių ir pan.; net ir naftos kainos kitimas gali paveikti obuolių paklausą.

Sudarant ekonometrinį modelį, galimi du skirtingi požiūriai: pradėti modelį konstruoti nuo paprastesnio ir palaipsniui daryti jį vis sudėtingesnį, arba sudaryti iš karto sudėtingą modelį ir jį prastinti, atsižvelgiant į gaunamus rezultatus. Šiuo metu teigiama, kad geresnis pirmasis kelias – verčiau kurti paprastą modelį ir prireikus jį daryti sudėtingesnį.

Praktiškai į modelį įtraukiami tie kintamieji, kurie, manoma, yra naudingi siekiamiems tikslams, o visi likusieji priskiriami aibei, vadinamai „triukšmu”. Šių pastarųjų kintamųjų egzistavimas leidžia suformuluoti teiginį, kad visuomet esama stebėjimo paklaidų, ir jos pasiskirsčiusios pagal tam tikrus dėsnius. Ekonometriniuose modeliuose daroma prielaida, kad šis triukšmas yra „baltas triukšmas”, o jam būdinga tai, kad šios paklaidos skirtingais laiko momentais yra nepriklausomos ir pasiskirsčiusios pagal normalinį dėsnį su vidurkiu, lygiu 0, o dispersija s

1.5. Ekonometrijos metodologija

Bet kuriame ekonometriniame tyrime išskiriami 4 žingsniai.

A žingsnis. Parenkamas modelis, kuriuo bus bandoma aprašyti tyrinė­jamąjį reiškinį.

B žingsnis. Modelį suformulavus, reikia įvertinti modelio parametrus.

C žingsnis. Kai tik modelis įvertintas, remiantis tam tikrais kriterijais, reikia patikrinti šių įvertinimų reikšmingumą.

D žingsnis. Paskutinis bet kurio ekonometrinio tyrimo žingsnis yra susijęs su modelio prognozavimo galios įvertinimu, t.y. įsitikinimu progno­zavimo nauda.

Žingsniai A ir C yra svarbiausi, o B ir D yra techniniai; jie reikalauja teorinių ekonometrijos žinių.

A žingsnis. Modelio formulavimas.

Pirma ir visų svarbiausia, ką privalo padaryti ekonometrikas, prieš pradėdamas analizuoti priklausomybę tarp kintamųjų, – tai išreikšti šią priklausomybę matematine forma. Šiame etape reikia nustatyti:

išėjimo ir įėjimo kintamuosius, kuriuos dera įtraukti į modelį;

a priori teorinį įvaizdį apie priklausomybės parametrų ženklą ir pobūdį; tai padeda įvertinti modelio adekvatumą;

matematinę modelio formą (lygčių skaičius, tiesinė ar netiesinė forma ir t.t).

Remdamasis įvairiais informacijos šaltiniais ekonometrikas turi sudaryti sąrašą kintamųjų, kurie galėtų turėti įtakos išėjimo kintamajam. Ekonomikos teorija nurodo pagrindinius veiksnius veikiančius išėjimo kintamąjį bet kuriuo konkrečiu atveju.

Kintamieji, kurie įtraukiami arba išbraukiami iš funkcijos, turi būti išnagrinėti nulio atžvilgiu. Jei nusprendžiama išbraukti kintamąjį iš funkcijos, tai daroma prielaida, kad jo koeficientas šioje funkcijoje lygus 0, ir atvirkščiai. Žinoma, įvertinimų teisingumo tikrinimas gali parodyti, kad kai kurie kintamieji yra nereikšminiai, ir tuomet privaloma modifikuoti pradinę funkcijos išraišką. Taigi skaičius kintamųjų, kurie iš pradžių buvo įtraukti į modelį, priklauso nuo ekonominio reiškinio kilmės, tuo tarpu kintamųjų skaičius, kuris liks sudarytame modelyje, priklauso nuo ekonometrinių statistinių kriterijų.

Labai dažnai ekonometrijos teorija negali tiksliai apibrėžti ekono­metrinės funkcijos matematinės formos. Šios formos parinkimui naudinga faktinius duomenis nubraižyti dvikoordinatėje diagramoje. Tokių nubrai­žytų diagramų analizė ne kartą padėjo nuspręsti, kurią matematinę funkcijos formą verta pasirinkti. Ekonometrikas, eksperimentuodamas įvairiomis formomis, atrenka tą, kuri yra patenkinama tam tikro kriterijaus atžvilgiu.

Reikia pabrėžti, kad modelio formos pasirinkimas priklauso nuo tyrinėjamo reiškinio sudėtingumo, nuo modelio sudarymo tikslų, duomenų tinkamumo ir skaičiavimo galimybių.

B žingsnis. Modelio įvertinimas.

Suformulavus modelį, reikia gauti skaitmeninius modelio parametrų įvertinimus. Modelio įvertinimas yra grynai techninė procedūra, reikalau­janti žinių apie įvairius ekonometrinius metodus bei jų prielaidas.

Šiame etape reikia:

surinkti statistinius duomenis apie įtrauktų į modelį kintamųjų reikšmes;

nustatyti priklausomybės identifikavimo sąlygas;

išspręsti kintamųjų agregavimo problemą;

nustatyti koreliacijos laipsnį tarp įėjimo kintamųjų;

parinkti tinkamas ekonometrijos priemones.

Modelio įvertinimo duomenys gali būti surinkti naudojant laiko eilutes, momentinius stebėjimus, inžinerinius duomenis ir kokybinius duomenis. Pastarieji duomenys praverčia tada, kai kintamasis negali būti išmatuotas kiekybiškai (profesija, lytis, religija ir pan.). Tokie kokybiniai požymiai gali būti įvertinti, įvedus į priklausomybę fiktyvius kintamuosius, t.y. indeksus, kurie parenkami pagal tam tikrą susitarimą.

Dažniausiai praktiškai naudojamos laiko eilutės ir momentiniai stebėjimai.

Nustatant identifikavimo sąlygas, reikia pagrįsti vertinamųjų parame­trų teisingumą. Vertinant paklausos funkciją laiko eilutės duomenimis, gauname, kad šie duomenys parodys nupirktos prekės kiekį esant tam tikroms kainoms, o tuo pačiu metu ir parduotų prekių kiekį esant rinkos kainoms. Tad turint šiuos duomenis, svarbu yra žinoti ar vertinami paklausos funkcijos parametrai, ar tiekimo funkcijos parametrai.

Agregavimo problemos atsiranda todėl, kad pasirinktuose modeliuose dažnai naudojami agreguoti kintamieji:

individualybių agregavimas (bendrosios pajamos yra individualių pajamų suma);

plataus vartojimo prekių agregavimas, remiantis indeksais arba atskirų grupių kainomis;

agregavimas laike; kai kada statistiniai šaltiniai pateikia  ne to laikotarpio duomenis;

erdvinis agregavimas (miesto, regiono, šalies gamybos apimtis).

Dauguma ekonominių kintamųjų yra koreliuoti ta prasme, kad jie gali kisti analogiškai įvairiose ekonominės veiklos fazėse. Pajamos, nedarbas, investicijos, eksportas, mokesčiai linkę didėti augimo laikotarpiu ir mažėti depresijos laikotarpiu. Jei koreliacijos laipsnis didelis, įvertinimo rezultatai gali būti gauti blogesni, nes sunku apskaičiuoti kiekvieno kintamojo įtaką.

Parenkant ekonometrines priemones, reikia naudotis parametrų įverti­ni­mo metodais: mažiausių kvadratų, maksimalaus panašumo, modifikuo­tais mažiausių kvadratų metodais ir pan.

Išsprendus šiuos pradinius etapo uždavinius yra įvertinami modelio parametrai.

Žingsnis C. Įvertinimų patikrinimas.

Gavus įvertinimus, reikia įsitikinti gautų rezultatų realumu. Patikri­nimo metu nustatoma, kurie parametrų įvertinimai yra teoriškai reikšmi­niai ir statistiškai patikimi. Čia remiamasi įvairiais kriterijais. Jie klasifi­kuojami į tris grupes:

ekonominis a priori kriterijus, kurį nusako ekonomikos teorija;

statistinis kriterijus, apibrėžiamas statistikos teorijos;

ekonometrinis kriterijus, apibrėžiamas ekonometrijos teorijos.

Ekonominis a priori kriterijus randamas remiantis ekonominės teorijos principais; jis skirtas parametrų ženklui ir dydžiui nustatyti.

Statistinis kriterijus nustato įvertintą statistinį modelio patikimumą. Praktiškai dažniausiai kaip kriterijus imamas determinacijos koeficientas ir standartinė paklaida.

Ekonometrinis kriterijus padeda patikrinti, kurios panaudotos eko­nometrinės priemonės tinkamos, o kurios – ne. Tikrinant pagrindinę ekonometrinių tyrimų prielaidą apie nekoreliuotą atsitiktinį triukšmą, naudojamasi Durbino – Vatsono statistika. Jei ši prielaida smarkiai pažeista, standartinės parametrų paklaidos negali būti tinkami kriterijai, nustatant įvertinimų statistinį reikšmingumą.

Žingsnis D. Modelio prognozavimo galios nustatymas.

Prognozavimas yra vienas pagrindinių ekonometrinio tyrimo tikslų. Čia pirmiausia reikia įsitikinti, ar modelis ekonomiškai prasmingas, statistiškai ir ekonometriškai korektiškas tam tikram laikotarpiui, kuriam jis buvo sudarytas: mat jis jau gali būti netinkamas prognozavimui, nes realiame pasaulyje galėjo įvykti struktūriniai modelio parametrų pokyčiai.

Baigiamasis bet kurio ekonometrinio tyrimo žingsnis – nustatyti gautų įvertinimų stabilumą, jų jautrumą amplitudžių pokyčiams.

Vienas prognozavimo galios nustatymo būdų – pasiremti duomenimis, kurie nebuvo įtraukti į naudotus parametrų įvertinimo duomenis. Progno­zuojamoji reikšmė palyginama su faktiška išėjimo kintamojo reikšme. Gautas skirtumas patikrinamas ar jis yra statistiškai reikšmingas. Jei paaiškė­ja, kad šis skirtumas yra reikšmingas, priimama išvada, kad prognozavimo galia prasta.

Kitas būdas būtų įtraukti papildomus duomenis į stebėjimo duomenis ir perskaičiuoti įvertinimus. Skirtumas tarp naujų ir ankstesnių įvertinimų taip pat tikrinamas ar jis yra statistiškai reikšmingas.

Baigiant nagrinėti ekonometrijos metodologiją, tikslinga nustatyti pageidaujamas ekonometrinio modelio savybes:

teorinis patikimumas: modelis turi atitikti ekonomikos teorijos postulatus;

nepriklausomumas: modelis turi paaiškinti realaus pasaulio dėsningumus;

parametrų įvertinimo tikslumas;

prognozavimo galimybė.

1.6. Tipinės ekonomikos funkcijos

1.6.1. Kaštų funkcija

Siekiant efektyviai naudoti turimus išteklius, gaminant produkciją ar teikiant paslaugas, reikia minimizuoti kaštus, o tai įmanoma atlikti, tik žinant kaštų funkciją. Paprastai kaštų funkcija apibrėžiama kaip kaštų (C) priklausomybė nuo gamybos apimties (Q), t.y.

. (1.3)

Realiame pasaulyje kaštai dažnai priklauso ne tik nuo gamybos apimties, bet ir nuo šią apimtį apibūdinančių papildomų įėjimo kintamųjų C, kurių pavyzdžių gali būti šių kintamųjų vienetų kainos. Į tai atsižvelgus, kaštų funkciją galima užrašyti taip:

. (1.4)

Vertinant šios funkcijos parametrus, nevalia užmiršti, kad esama metodologinio skirtumo tarp trumpo ir ilgo laikotarpio kaštų funkcijų.

Trumpo laikotarpio kaštų funkcijos įvertinimas. Šiuo atveju įvertini­mo rezultatai bus panaudoti kainodaros sprendimuose, nustatant ribinius kaštus. Įvertinimams nustatyti geriausiai tinka laiko eilutės, surinkus poros metų kiekvieno mėnesio įmonės duomenis. Renkant šiuos duomenis, laikoma, kad įmonė nekeičia savo kapitalo.

Taip surinkti duomenys sąlygoja potencialią problemą. Gamybos apimtį įvertinus fiziniais vienetais, o kaštus - piniginiais vienetais, pastarieji gali būti iškreipti kainų infliacijos, kuri pasireiškia tuo, kad esant toms pačioms gamybos apimtims, kaštai bus didesni. Šį infliacijos efektą reikia eliminuoti – padalyti kaštų reikšmes iš atitinkamo laikotarpio kainų indekso.

Ekonomikos teorijoje vertinami trijų tipų kaštai: bendrieji (TVC), vidutiniai (AVC) ir ribiniai (MC). Žinant nors vieno šių kaštų išraišką, nesunku įvertinti kitus kaštus. Be to, vidutiniams kintamiesiems kaštams keliamas papildomas reikalavimas – kad jie būtų aprašomi U formos kreive. Tad kaštų įvertinimą pradėsime nuo AVC kreivės įvertinimo.

Tariame, kad AVC įvertinami tiesine funkcija:

. (1.5)

Norint, kad AVC būtų teigiami, a turi būti teigiamas. Jei , tai gauname didėjančią tiesę,  – mažėjančią tiesę ir, kai b =0 – hori­zontalią tiesę. Ši trumpa analizė rodo, kad AVC įvertinimui negalima naudoti tiesinių funkcijų, nes, gavę bet kokius koeficientų a ir b įverti­nimus, niekuomet negausime U formos kreivės, o tik tiesę.

Sudėtingesnis atvejis yra kvadratinė priklausomybė, kuri užrašoma tokiu pavidalu:

. (1.6)

Savaime suprantama, kad a būtinai turi būti teigiamas. Kad ši kaštų funkcija būtų U formos, būtina ši sąlyga: ir .

Regresinės analizės metodu įvertinus šios lygties koeficientus a, b, c ir patikrinus jų reikšmingumą, galima nustatyti ir kitas kaštų funkcijas:

. (1.7)

Atlikus matematinius pakeitimus, nustatomi ribiniai kaštai:

. (1.8)

Palyginę 1.6, 1.7, 1.8 funkcijų lygtis, matome, kad jose reikia įvertinti tuos pačius regresinės lygties koeficientus a, b, c, ir tai leidžia supaprastinti įvertinimo uždavinį: įvertinti ne tris funkcijas, o tik vieną.

Norint nustatyti gamybos apimtį, minimizuojančią vidutinius kintamus kaštus, reikia prisiminti, kad šiame taške

.

Tada

Taigi optimali gamybos apimtis

. (1.9)

Ilgo laikotarpio kaštų funkcijos įvertinimas. Šie kaštai nusako įmonės planavimo horizontą ir naudojami investicijų sprendimams. Šių kaštų įvertinimui imami momentinių stebėjimų duomenys, kuriuose tam tikrais laiko momentais įvertinamos įvairios to paties profilio skirtingų gamybos apimčių įmonės. Jei įmonės išsidėsčiusios geografiškai plačiai, gali būti kainų skirtumų. Šio efekto eliminavimui naudoti fiksuotus kainų indeksus nepatogu. Praktiškai ilgo laikotarpio funkcijoje įvertinamas darbo (W ) ir kapitalo (R ) kainos, ir tada bendroji kaštų funkcijos išraiška yra ši:

. (1.10)

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad tai elementarus įvertinimo uždavinys, kuriame reikia pridėti papildomus kainų kintamuosius

(1.11)

ir papildomai įvertinti koeficientus d ir e.

Tačiau ši išraiška `neatitinka kaštų funkcijai (1.10) keliamų reika­lavimų. Ši funkcija reikalauja, kad, padvigubėjus kainoms, esant pasto­vioms išteklių sunaudojimo normoms ir pastoviai gamybos apimčiai, kaštai padvigubėtų, t.y.

.

Tačiau 1.11 lygtis šios sąlygos netenkina, nes

Aišku, kad .

Tad turime pasitelkti alternatyvią ilgo laikotarpio kaštų funkcijos įvertinimo formą, kuria dažniausiai parenkama tiesinė logaritminė išraiška. Tad kaštų funkcija užrašoma taip:

. (1.12)

Padvigubėjus kintamųjų kainoms, gaminame:

Jei tarsime, kad , tai reikalavimai kaštų funkcijai yra paten­kinti. Tada pradinėje funkcijos išraiškoje šį papildomą reikalavimą reikia įvertinti. Jei pažymėsime , tai

. (1.13)

Išlogaritmavę gauname:

; (1.14)

Išvestą lygtį reikia pertvarkyti taip:

. (1.15)

Tai ir yra ilgo laikotarpio kaštų funkcijos įvertinimo lygtis.

Ką daryti su įvertinta lygtimi? Kadangi ilgo laikotarpio kaštų funkcija naudojama investicijų valdyme, tad tikslinga įvertinti kaštų elastingumą gamybos apimties atžvilgiu. Šį elastingumą nusako koeficientas b ir visuomet svarbu patikrinti šio įvertinto koeficiento reikšmingumą.

1.6.2. Gamybos funkcija

Kiekvienos įmonės veiklos efektyvumą nusako jos išėjimas – gamybos apimtis Q ir jos įėjimo kintamieji, kuriais dažniausiai yra kapitalas (K ) ir darbas (L ). Be to, reikia įvertinti tai, kad materialiniai ištekliai paverčiami produkcija ar paslau­gomis, naudojant tam tikrą fiksuotą technologiją (T ). Kiekvieną šių įėjimo kintamųjų kombinaciją atitinka tam tikras fiksuotas gamybos apimties lygis. Šią išėjimo – įėjimo kintamųjų priklausomybę kaip tik ir nusako gamybos funkcija, kuri apibrėžiama taip:

. (1.16)

Pažymėtina kad, nustatant šią funkciją, atsižvelgiama į kokybės standartus ir plano laiko apribojimus.

Žinant šią funkciją, reikia parinkti tokias įėjimo kintamųjų reikšmes, kurios užtikrina maksimalią gamybos apimtį, siekiant minimalių bendrųjų kaštų arba maksimalaus pelno.

Pirmieji šią funkciją 1928 m. panaudojo C.W. Kobas ir P.H. Duglas, aprašydami JAV gamybos apimtis nuo 1899 iki 1922 m. Jų vardu vadinama funkcija užrašoma taip:

(1.17)

čia a, b – funkcijos įvertinimo koeficientai.

Konkreti įvertinta šios funkcijos lygtis buvo šio pavidalo:

. (1.18)

Kapitalo koeficientas 0,25 parodo, kad, padidėjus kapitalo įėjimui 1%, esant kitoms sąlygoms pastovioms, išėjimas padidėtų 0,25%. Analogiškai, pakitus darbo įėjimui 1%, išėjimas pakistų 0,75%. Pakitus ir kapitalo, ir darbo įėjimui 1%, išėjimas taip pat pakistų 1%.

Kokios šios išvestos gamybos funkcijos savybės padaro ją populiarą, aprašant ekonominius reiškinius daugiau nei 65 metus?

1. Bendrasis išėjimas yra dviejų arba daugiau kintamųjų kitimo rezultatas. Tada bendruoju atveju Kobo-Duglaso funkciją galima užrašyti taip:

. (1.19)

Multiplikatyvinis šios funkcijos pobūdis nurodo tai, kad, įvertinant šią funkciją, reikia imti tik tuos kintamuosius, kurie negali įgyti nulinės reikšmės.

2. Išvesdami gamybos funkciją, Kobas ir Duglasas eksponenčių laipsnių sumą laikė esant yra lygią vienetui . Vėliau buvo įrodyta, kad ši suma nebūtinai turi būti lygi vienetui, ir bendruoju atveju gamybos funkcija užrašoma taip:

. (1.20)

Jei b+c =1, tai pajamos dėl gamybos masto padidėjimo yra pastovios, jei pajamos mažėja, jei  – pajamos didėja.

Pakitus darbui ir kapitalui dydžiu S, išėjimas pakis dydžiu

.

Šio pokyčio ženklas priklausys nuo sumos (b+c) dydžio.

3. Kobo – Duglaso funkcija, užrašyta 1.20 lygtimi, yra netiesinė, ekspo­nentinė funkcija. Tačiau ji lengvai gali būti transformuota į tiesinę, dviejų kintamųjų funkciją, ją išlogaritmavus:

. (1.21)

Šios lygties koeficientų įvertinimui patogu naudoti standartines regresinės analizės priemones.

4. Ribinės išėjimo reikšmės gali būti nustatomos atskirai kiekvienam įėjimui. Ribinis išėjimo dydis, įvertinantis darbo pokytį, nustatomas taip:

(1.22)

Analogiškai ribinis išėjimo kintamojo dydis, įvertinantis kapitalo pokytį, nustatomas taip:

. (1.23)

5. Išėjimo kintamojo elastingumą įėjimo kintamųjų atžvilgiu nusako Kobo – Duglaso funkcijos eksponenčių laipsniai.

Išėjimo kintamojo elastingumas darbo atžvilgiu nustatomas taip:

.

Pažymėtina, kad  – ribinis dydis pagal darbą, o  – vidutinis dydis pagal darbą. Įvertinę 1.22, gauname:

. (1.24)

Analogiškai

. (1.25)

6. Anksčiau aptartos teorinės gamybos funkcijos savybės išnagrinėtos, neatsižvelgus į technologijos pokyčius. Gana ilgo laikotarpio technologijos pažanga gali būti įvertinta, remiantis pirmąja Kobo – Duglaso savybe.

Trumpai aptarsime kurioms verslo rūšims galima sudaryti gamybos funkciją ir kokius duomenis reikia surinkti šiai funkcijai įvertinti.

Įmonei gaminant vieną produktą, nustatyti Q (bendrąjį išėjimo kintamąjį) santykinai nėra sunku, ir jis gali būti įvertintas fiziniais vienetais (kg, Lt, vnt., ). Tačiau negalima pamiršti, kad per ilgą laiką gali pakisti produkto forma, įpakavimas, sudėtis ir t.t.

Gaminant daug produktų, sunku atskirti kiekvieno produkto įėjimo kintamuosius, ir dažniausiai jų priskyrimui naudojamasi svertiniu metodu.

Svarbiausią įėjimo kintamąjį – darbą geriausiai nusako dirbtos valandos. Tiesioginio darbo valandos paaiškėja iš ataskaitų. Jei jų nėra, kaip kintamąjį galima imti tiesioginių darbininkų skaičių. Esant nemažai netiesioginio darbo apimčiai, įvertinama pagal visų darbininkų skaičių.

Svarbiausias sunaudotas medžiagas geriausia įvertinti fiziniais viene­tais, o kai to atlikti negalima, – vertine išraiška. Esant didelei medžiagų įvairo­vei, galimas procentinis įvertinimas. Energiją tikslinga matuoti fizi­niais dydžiais.

Sunkiausia įvertinti kapitalą, nes vienareikšmiškai sunku nusakyti įmonės įrengimų, gamybos priemonių panaudojimo intensyvumą. Kai kada kapitalui įvertinti gamybos funkcijoje kaip indikatorius pasitelkiamas nusidėvėjimas. Tačiau reikia turėti galvoje tai, kad į atskiras kapitalo dedamąsias, sakysim į žemę, vertinant nusidėvėjimą, išvis neatsižvelgiama.

Geriausias kapitalo matas yra fiksuotas turtas, tačiau pažymėtina, kad gamybos priemonių kainos yra laiko funkcijos –  priklauso nuo to, kada įsigytos, jos gali būti paveiktos kainų indeksų.

Vertinant gamybos funkciją, svarbus yra duomenų surinkimo etapas. Jei duomenys gali būti renkami vienoje įmonėje tam tikru fiksuotu laiko intervalu, tai galima naudoti laiko eilučių metodą. Šiuo atveju būtina atsižvelgti į infliaciją, technologijos pokyčius ir ne visuomet efektyviausią gamybą, esant fiksuotai įėjimo kintamųjų kombinacijai.

Momentinių stebėjimų metodu, duomenys surenkami tuo pačiu laikotarpiu skirtingose panašiose įmonėse. Tada, išvengiama infliacijos poveikio, tačiau gali išryškėti kainų skirtumas dėl geografinio išsidėstymo; išvengiama technologijos kitimo, tačiau atsiranda prielaida, kad stebimos įmonės yra ne tos pačios technologinės kokybės.