ANTROS EILĖS KREIVIŲ CENTRAI

ANTROS EILĖS KREIVIŲ CENTRAI

Nagrinėsim antros eilės kreivź bendr¹j¹ lygtimi bet kokioje koordinačių sistemoje:

Atkarpa jungianti bet kuriuos du antros eilės kreivės taškus vadinama styga.

Kreivės centru vadinamas toks taškas , kuriame pusiau dalijasi visos per jį einančios kreivės stygos. Iš čia sakoma, kad kreivė yra simetriška savo centro atžvilgiu.

Sakykime, taškas – yra kreivės simetrijos centras. Tuomet pagal apibrėžim¹ bet kurį per jį einanti tiesė, kerta kreive dviejuose taškuose ir taškas yra atkarpos vidurys.

Užrašysime bet kurios tiesės, einančios per tašk¹ lygtis : ir ieškosime jos sankirtos su kreive taškų.

Jei tiesė kerta kreivź taške, tai egzistuoja parametro reikšmė , kad . Analogiškai jei tiesė kerta kreivź taške , tai egzistuoja , kad .

Jei taškas yra atkarpos vidurys, tai:

Iš čia 

,

ir

Jei taškas yra kreivės centras, tai gautos lygybės turi galioti visoms tiesėms einančioms per tašk¹ , tai yra visiems skaičiams . O tai bus tik tada, kai ir atvirkščiai jei tai taškas yra atkarpos vidurys nepriklausomai nuo to kokia tiese kirsdami krievź gauname taškus .

Ieškosim kreivės ir tiesės sankirtos taškų. Tuo tikslu į lygtį įstatome tiesės lygtis:

Ši lygtis yra atžvilgiu kvadratinė lygtis, jos sprendiniai nustatys tiesės ir kreivės sankirtos taškų koordinates. Jei taškai yra tokie, kad taškas yra atkarpos vidurys, tai ir atvirkščiai jei galioja , tai taškas yra vidurys.

Tuomet pagal Vijeto teorem¹ tada ir tik tai tada, kai koeficientas prie lygus 0, tai yra, kai:

Kadangi taškas turi būti vidurys nepriklausomai nuo tiesės parinkimo, tai gautoji lygybė turi būti teisinga visiems su , o tai bus tada ir tik tai tada, kai:

Įrodėme, kad taškas yra kreivės centras tada ir tik tada, kai koordinatės tenkina lygčių sistem¹.

Iš lygčių sistemų teorijos darome tokias IŠVADAS:

1) jei sistemos determinantas nelygus nuliui, tai yra

tai pagal Kramerio taisyklź egzizstuoja vienintelis sistemos sprendinys , tai yra kreivė turi vienintelį centr¹ ir toki¹ kreivź vadiname centrine.

2) Kai , tai galimi du atvėjai:

2a) tuomet ši sistema sprendinių neturi, tai yra kreivė neturi nei vieno centro.

2b) tuomet abi sistemos lygtys sutampa. Tai reiškia, kad sistema turi begalo daug sprendinių, kurie visi yra tiesėje , tai yra kreivė turi centrų tiesź.

Išsiaiškinsime kurios iš žinomų kreivių turi centrus ir kiek.

1) ELIPSĖ:

. Šiuo atveju

tuomet centro sistema yra tokia:

Jos sprendinys todėl elipsė turi vienintelį centr¹ .

2) HIPERBOLĖ:

,

iš čia hiperbolė turi vienintelį centr¹ ir jis yra jos simetrijos centras.

3) PARABOLĖ:

,

Ši sistema sprendinių neturi, tai yra parabolė neturi centro.