Antros eilės kreivių skersmenys ir jungtinės kryptys

Antros eilės kreivių skersmenys ir jungtinės kryptys

TEOREMA. Jei nubrėžiame visas antros eilės kreivės stygas, lygiagrečias pasirinktam vektoriui, tai tų stygų vidurio taškų aibė yra tiesė arba jos dalis.

Įrodymas Sakykime, kad ir || kreivės styga, kuri kerta kreivź taškuose A ir B, taškas yra atkarpos AB vidurys ( pav.1 ). Tiesės l lygtis:

pav.1

Ieškodami tiesės l ir kreivės K sankirtos taškų koordinačių turime į K įstatyti tiesės lygtį.Gausime t atžvilgiu kvadratinź lygtį, kurios sprendiniai gausime taškus A ir B, kurių koordinatės: . Taškas M yra atkarpos AB vidurys tada ir tik tada, kai. Pagal Vieto teorem¹, tai reiškia, kai koeficientai prie , tada . Pertvarkź, gauname Kintamųjų atžvilgiu tai yra tiesės lygtis ( tuo atveju, kai . Tai ir įrodo teorem¹.

Teoremos įrodyme gautoji tiesė, kurioje yra visų kreivės stygų, lygiagrečių vektoriui vidurio taškai yra vadinama kreivės skersmeniu ( diametru ), jungtiniu krypčiai nustatomai vektoriumi

Iš teoremos įrodymo gauname, kad krypčiai jungtinio skersmens lygtis yra tokia: ( S ). Pertvarkź ši¹ lygtį gauname

IŠVADA. Jei kreivė turi centr¹, tai kiekvienas jos skersmuo eina per centr¹( pav.2 ). Sakoma, kad kryptis nustatoma vektorių yra jugtinė krypčiai nustatomai vektoriumi jeigu vektoriaus krypčiai jungtinis kreivės skersmuo ||

pav.2

Sakykime, kad krypčiai jungtinis skersmuo užrašomas lygtimi. Ši tiesė || tada ir tik tada, kai arba ( J ). Tai yra s¹lyga, kad kryptis būtų jungtinė krypčiai ( K atžvilgiu ). Paskutinė lygybė yra simetriška, pakeitus į ir į ir atvirkščiai, gaunama ta pati lygybė. T. y. kryptis yra jungtinė krypčiai , kreivės K atžvilgiu, ir atvirkščiai, jei kryptis jungtinė krypčiai : || . Tuomet kryptys nustatomos vektoriais ir yra vadinamos jungtinėmis antros eilės kreivės ( K ) atžvilgiu, o s¹lyga ( J ) – krypčių jungtinumo s¹lyga. Jei kryptys ir junginės antros eilės kreivės atžvilgiu, tai toms kryptims jungtiniai skersmenys ir yra vadinami kreivės jungtiniais skersmenimis. Jei antros eilės kreivė yra apskritimas, tai ir . Tada krypčių jungtinumo s¹lyga ( J ) bus tokia:

. T. y. apskritimo atveju bet kurios dvi jungtinės kryptys yra viena kitai statmenos.