ŠIUOLAIKINĖ VALDYMO TEORIJA - Kursinis darbas

VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS

ELEKTRONIKOS FAKULTETAS

AUTOMATIKOS KATEDRA

ŠIUOLAIKINĖ VALDYMO TEORIJA

Kursinis darbas

Duota atviros sistemos perdavimo funkcija:

Sprendimas:

Iš perdavimo funkcijos randame polius ir nulius:

Atviros sistemos poliai:

Atviros sistemos nuliai:

Šaknų hodografo asimptotės. Prie didelių koeficiento „k“ reikšmių šaknų hodografo asimptotės yra tiesiškos, kurių kampai:

Čia

Asimptočių sankirta (vieta , kur asimptotės kerta reali¹j¹ ašį):

Būdingosios lygties sudarymas

arba

Nutolimo taškai – tai taškai, kuriuose hodografas pradeda tolti nuo realiosios ašies.

Sutvarkius lygtį, gauname:

Surandame lygties šaknis:

arba

Ribinis stabilumas (menamosios dalies kirtimas).

Sutvarkius reiškinį gauname:

Menamoji dalis:

Realioji dalis:

Ribinis kampas apskaičiuojamas pagal duot¹

Hodograf¹ braižome pasinaudojź MATLAB 7.6 programiniu paketu.

Programos kodas:

clf

k1=1

num=[k1*[1 1]];

den=conv([1 2],[1 1 1]);

rlocus(num,den);

zeta=0.52;

wn=2:2:8;

sgrid(zeta,wn);

[k,poles]=rlocfind(num,den)

num=[k*[1 1]];

[numcl,dencl]=cloop(num,den)

step(numcl,dencl)

grid

Gautas atviros perdavimo funkcijos hodografas atvaizduotas 1 pav.

1 pav. Atviros perdavimo funkcijos hodografas

Tikslumo koeficient¹ parinkus , hodograf¹ kert¹ K taške. Stiprinimo koeficientas Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui , gaunamos tokios šaknys: Pereinamasis procesas nusistovi, kai s. (2 pav.). Maksimalus nuokrypis (Overshoot) 27,3 %, kai amplitudės didžiausia reikšmė (Peak amplitude) 0,225 amplitudės.

2 pav. Atvirosios perdavimo funkcijos pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

Jei stiprinimo koeficientas yra lygus vienam , gausime atviros sistemos būding¹j¹ lygtį:

1. PD (Proporcinga diferencialinė).

PD koregavimo grandies lygtis:

Čia a – hodografo nuliai ant realios x ašies. Nustatome taškus:

a)     tarp polių , t.y. ;

b)     (nulis su poliu sutampa);

Pereinamojo proceso pagerinimui formuojamas hodografas taip, kad jis pasislinktų į kairź pusź ant menamosios ašies. Papildomo nulio pridėjimas į perdavimo funkcij¹ sukuria šį efekt¹.

a) (nulis taške ): šiuo atveju pertvarkyta sistemos perdavimo funkcija:

Parinkus slopinimo koeficient¹ lygu 0,5, gauname hodograf¹ (3 pav.), kurio pereinamasis procesas pateiktas 4 pav. Pereinamasis procesas nusistovi, kai s. Maksimalus nuokrypis (Overshoot) 29,4 %, kai amplitudės didžiausia reikšmė (Peak amplitude) 0,431 amplitudės.

3 pav. Perdavimo funkcijos hodografas su PD koregavimo grandimi, kai

4 pav. Perdavimo funkcijos su PD koregavimo grandimi

pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui gaunamos tokios šaknys: -0.6256 + 1.0932i, -0.6256 - 1.0932i, -1.7489, -1.5000. Stiprinimo koeficiento taškas -0.6126 + 1.0994i.

b) Nulis taške .Šio atveju pertvarkyta sistemos perdavimo funkcija:

Parinkus slopinim¹ 0,6 gauname hodograf¹ (5 pav.), korio pereinamasis procesas pavaizduotas 6 pav.

5 pav. Perdavimo funkcijos hodografas su PD koregavimo grandimi, kai

6 pav. Perdavimo funkcijos su PD koregavimo grandimi

pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui gaunamos tokios šaknys: -0.7319 + 0.9634i, -0.7319 - 0.9634i. Stiprinimo koeficiento taškas: -0.7316 + 0.9643i. Pereinamasis procesas nusistovi, kai s, o sistemos maksimalus nuokrypis 20,8 %.

Parinkus slopinim¹ 0,75 gauname hodograf¹ (7 pav.), jo pereinamasis procesas pavaizduotas 8 pav. ir jis nusistovi, kais, perdavimo funkcijos su PD koregavimo grandimi maksimalus nuokrypis 20,8 %.

7 pav. Perdavimo funkcijos hodografas su PD koregavimo grandimi, kai

8 pav. Perdavimo funkcijos su PD koregavimo grandimi

pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui gaunamos tokios šaknys: -1.1262 + 0.9920i, -1.1262 - 0.9920i. Stiprinimo koeficiento taškas -1.1262 + 0.9922i.

Atvejui a (kai atsiranda papildomas nulis), perdavimo funkcija su PD koregavimo grandimi švytuoja kaip ir atvirosios perdavimo funkcijos, bet pereinamojo proceso laikas yra trumpesnis ant 0,93 s, didžiausia nuokrypa – padidėjo ant 2,1 %.

Atvejui b (kai parinktas nulis sutampa su poliu), perdavimo funkcija su PD koregavimo grandimi švytuoja kaip ir atvirosios perdavimo funkcijos, tačiau pereinamojo proceso laikas yra 2 k. trumpesnis, didžiausia nuokrypa – mažesnė ant 6,5 %. Šiai grandinei (b atveju) slopinimo koeficientas įtakos nedaro: grafikai ir pereinamojo proceso laikai, didžiausios nuokrypos reikšmės sutampa.

Palyginus a ir b atvejus, matome, kad b atvejis geresnis, nes jo pereinamojo proceso laikas 2,65 k. mažesnis ir didžiausia nuokrypa yra ant 8,6 % mažesnė.

Signalo, proporcingo paklaidos išvestinei, suformavimas stiprina triukšmus sistemoje. Triukšmų stiprinimas gali įsotinti elektroninius stiprintuvus ir sistema tiksliai neveiks. Todėl grynų diferencijavimo grandžių sistemose patariama vengti ir vietoj jų naudoti forsuojančius reguliatorius.

2. PID (Proporcinga integralinė diferencialinė).

PID reguliatorius sudaromas iš PI ir PD reguliatorių. PID koregavimo grandies lygtis:

Čia a ir b – hodografo nuliai. Taškų vietas nustatome:

a)      ; ;

b)      (nulis su poliu sutampa).

a) Šiuo atveju pertvarkyta sistemos perdavimo funkcija:

Parinkus slopinimo koeficient¹ 0,6, gauname hodograf¹ (9 pav.), o jo pereinamasis procesas pavaizduotas 10 pav. Pereinamasis procesas nusistovi iki 8,3 s, perdavimo funkcijos su PID koregavimo grandimi maksimalus nuokrypis pasiekiamas iki 23,6 %.

9 pav. Perdavimo funkcijos hodografas su PID koregavimo grandimi, kai

10 pav. Perdavimo funkcijos su PID koregavimo grandimi

pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui gaunamos tokios šaknys: -10.2830, -1.4119 + 1.8851i, -1.4119 - 1.8851, -0.9711. Stiprinimo koeficiento taškas -1.4141+1.8866i.

b) Šio atvejo pertvarkyta sistemos perdavimo funkcija:

Parinkus slopinimo koeficient¹ 0,6 gauname hodograf¹ (11 pav.), o jo perinamojo proceso charakteristika pateikta 12 pav. Pereinamasis procesas nusistovi per 24,7 sekundes, perdavimo funkcijos su PID koregavimo grandimi maksimalus nuokrypis pasiekiamas 0 %.

11 pav. Perdavimo funkcijos hodografas su PID koregavimo grandimi, kai

12 pav. Perdavimo funkcijos su PID koregavimo grandimi pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui gaunamos tokios šaknys: -2.0711, -0.7530 + 0.9919i, -0.7530 - 0.9919i, -0.1064. Stiprinimo koeficiento taškas: -0.7530 + 0.9922i.

Perdavimo funkcijos su PID koregavimo grandimi (a atvejis), palyginus su atviros perdavimo funkcij¹: pereinamojo proceso laikas pailgėja ant 1,25 s, nes PID koregavimo grandis suteikia švytavimus, o didžiausia nuokrypa sumažėjo ant 3,7%.

Perdavimo funkcijos su PID koregavimo grandimi (b atvejis), palyginus su atviros perdavimo funkcij¹: pereinamojo proceso laikas pailgėja 3,5 k, nes PID koregavimo grandis suteikia švytavimus, o didžiausia nuokrypa sumažėjo ant 27,3%.

Palyginus a ir b atvejus, matome, kad b atvejis geresnis, nes jo didžiausia nuokrypa lygi 0 %, tačiau pereinamojo proceso laikas padidėjo beveik 3 k.

3. PI (Proporcinga integralinė).

Jei uždarosios sistemos pereinamojo proceso kokybė yra pakankama, bet nusistovėjusio režimo paklaida perdidelė, j¹ galima sužinti, didinant sistemos eilź. Šis eilės padidėjimas neturi pakeisti dominuojančių būdingosios lygties šaknų. Sistemos eilė gali būti padidinta, įjungiant PI reguliatorių, kuris suformuoja poveikio signal¹ proporcing¹ paklaidai ir jos integralui. PI koregavimo grandies lygtis:

Čia a – hodografo nuliai. Nustatome taškų vietas:

a)     

b)     

a) Šiuo atveju pertvarkyta sistemos perdavimo funkcija:

Parinkus slopinimo koeficient¹ 0,5, gauname hodograf¹ (13 pav.), kurio perinamojo proceso charakteristika pateikta 14 pav. Pereinamasis procesas nusistovi per 15,2 sekundes, o perdavimo funkcijos su PI koregavimo grandimi maksimali dinaminė nuokrypa pasiekiama 27,3 %.

Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui gaunamos tokios šaknys: -0.4530 + 0.8970i, -0.4530 - 0.8970i, -0.0940. Stiprinimo koeficiento taškas: -0.4983 + 0.9193i.

13 pav. Perdavimo funkcijos hodografas su PI koregavimo grandimi, kai

14 pav. Perdavimo funkcijos su PI koregavimo grandimi

pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

b) Šiuo atveju pertvarkyta sistemos perdavimo funkcija:

Parinkus slopinimo koeficient¹ 0,75, gauname hodograf¹ (15 pav.). Perinamojo proceso charakteristika pateikta 16 pav. Pereinamasis procesas nusistovi per 9,4 sekundes, o perdavimo funkcijos su PI koregavimo grandimi maksimali dinaminė nuokrypa pasiekiama 0 %.

15 pav. Perdavimo funkcijos hodografas su PI koregavimo grandimi, kai

16 pav. Perdavimo funkcijos su PI koregavimo grandimi

pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui gaunamos tokios šaknys: -2.0049, -0.0049. Stiprinimo koeficiento taškas: 0.0047 - 0.0012i.

Perdavimo funkcijos su PI koregavimo grandimi (a atvejis), palyginus su atviros perdavimo funkcij¹: pereinamojo proceso laikas 2 k. ilgesnis, o didžiausia nuokrypa - nepakitusi.

Perdavimo funkcijos su PI koregavimo grandimi (b atvejis), palyginus su atviros perdavimo funkcij¹: pereinamojo proceso laikas pailgėja ant 2,36 s, o maksimali dinaminė nuokrypa sumažėjo ant 27,3 %.

Palyginus a ir b atvejus, matome, kad b atvejis geresnis, nes jo pereinamojo proceso laikas trumpesnis ant 5,8 s, o didžiausia nuokrypa ant 27,3%.

4. Delsiantis reguliatorius.

Delsiantis (integruojantis) reguliatorius padidina sistemos stiprinimo koeficient¹ ir mažai sumažina sistemos nuosavųjų virpesių dažnį. Delsiančio reguliatoriaus lygtis:

Čia - polių ir nulių santykis. Paimame , o stiprintuvo .

a)     

b)     

a) Šiuo atveju, kai pertvarkyta sistemos perdavimo funkcija:

Parinkus slopinimo koeficient¹ 0,5, tuomet gauname hodograf¹ (17 pav.). Iš pereinamojo proceso charakteristikos (18 pav.) matome, kad ši koregavimo grandis neduoda nuokrypio. Sistema nusistovi per 52,5 s.

Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui gaunamos tokios šaknys: -1.9915, -0.5005+ 0.8758i, -0.5005 - 0.8758i, -0.0575. Stiprinimo koeficiento taškas: -0.4988 + 0.8758i.

17 pav. Perdavimo funkcijos hodografas su delsenčio reguliatoriaus koregavimo grandimi, kai

18 pav. Perdavimo funkcijos su delsenčio reguliatoriaus koregavimo grandimi

pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

b) Šiuo atveju, kai pertvarkyta sistemos perdavimo funkcija:

Parinkus slopinimo koeficient¹ 0,6 gauname hodograf¹ (19 pav.). Pereinamojo proceso charakteristika pavaizduota 20 pav. Šiuo atveju perreguliavimo taip pat nėra. Sistema nusistovėjo lėčiau už a dalies pereinam¹jį proces¹ (nusistovi po 105 s.).

Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui gaunamos tokios šaknys: -1.9905, -0.5029 +0.8754i, -0.5029- 0.8754i, -0.0286. Stiprinimo koeficiento taškas: -0.4988 + 0.8758i.

19 pav. Perdavimo funkcijos hodografas su delsenčio reguliatoriaus koregavimo grandimi, kai

20 pav. Perdavimo funkcijos su delsenčio reguliatoriaus koregavimo grandimi

pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

Perdavimo funkcijos su delsiančio reguliatoriaus koregavimo grandimi (a atvejis), palyginus su atviros perdavimo funkcij¹: pereinamojo proceso laikas yra beveik 7 k. ilgesnis, o didžiausia nuokrypa mažesnė ant 27,3%.

Perdavimo funkcijos su delsiančio reguliatoriaus koregavimo grandimi (b atvejis), palyginus su atviros perdavimo funkcij¹: pereinamojo proceso laikas pailgėja beveik 15 k., tačiau didžiausia nuokrypa sumažėjo ant 27,3%.

Palyginus a ir b atvejus, matome, kad a atvejis geresnis, nes jo pereinamojo proceso laikas trumpesnis 2 k., o maksimali dinaminė nuokrypa – tokia pati (0 %).

5. Forsuojantis reguliatorius.

Forsuojantis (diferencijuojantis) reguliatorius mažai padidina sistemos stiprinimo koeficient¹ ir ženkliai padidina nuosavųjų virpesių dažnį. Forsuojančio reguliatoriaus lygtis:

Čia - polių ir nulių santykis. Paimame , o stiprintuvo .

Jeigu reguliatoriaus nulis panaikina didžiausi¹ reikšmź turintį realųjį sistemos perdavimo funkcijos polių (išimtis – polius, lygus nuliui), gaunamas žymus pereinamojo proceso pagerinimas.

a)     

b)     

a) Šiuo atveju pertvarkyta sistemos perdavimo funkcija:

Parinkus slopinimo koeficient¹ 0,5, gauname hodograf¹ (21 pav.), kurio pereinamojo proceso charakteristika pavaizduota 22 pav. Pereinamasis procesas nusistovi po 67,4 s, ši perdavimo funkcija su forsuojančiu reguliatoriumi maksimalios dinaminės nuokrypos neduoda.

21 pav. Perdavimo funkcijos hodografas su forsuojančio reguliatoriaus koregavimo grandimi, kai

22 pav. Perdavimo funkcijos su forsuojančio reguliatoriaus koregavimo grandimi pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui gaunamos tokios šaknys: -1.9009, -0.5418 + 0.9581i, -0.5418 - 0.9581i, -0.0281. Stiprinimo koeficiento taškas: -0.5557 + 0.9503i.

b) Šiuo atveju pertvarkyta sistemos perdavimo funkcija:

Parinkus slopinimo koeficient¹ 0.5, gauname hodograf¹ (23 pav.). Iš pereinamojo proceso charakteristikos (24 pav.) matome, kad procesas sutrumpėjo (buvo 67,4 s, o dabar 44 s).

23 pav. Perdavimo funkcijos hodografas su forsuojančio reguliatoriaus koregavimo grandimi, kai

24 pav. Perdavimo funkcijos su forsuojančio reguliatoriaus koregavimo grandimi

pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui gaunamos tokios šaknys: -1.8594, -0.5620 + +0.9958i, -0.5620 - 0.9958i, -0.0266. Stiprinimo koeficiento taškas: -0.5770 + 0.9876i.

Perdavimo funkcijos su forsuojančio reguliatoriaus koregavimo grandimi (a atvejis), palyginus su atviros perdavimo funkcij¹: pereinamojo proceso laikas yra beveik 9,6 k. ilgesnis, o maksimali dinaminė nuokrypa mažesnė ant 27,3%.

Perdavimo funkcijos su forsuojančio reguliatoriaus koregavimo grandimi (b atvejis), palyginus su atviros perdavimo funkcij¹: pereinamojo proceso laikas pailgėja beveik 6,25 k., tačiau maksimali dinaminė nuokrypa sumažėjo ant 27,3%.

Palyginus a ir b atvejus, matome, kad b atvejis geresnis, nes jo pereinamojo proceso laikas trumpesnis ant 23,4 s, o maksimali dinaminė nuokrypa – tokia pati (0 %).

6. Delsentis - Forsuojantis reguliatorius.

Delsiantis (integruojantis) reguliatorius padidina sistemos stiprinimo koeficient¹ ir mažai sumažina sistemos nuosavųjų virpesių dažnį. Forsuojantis (diferencijuojantis) reguliatorius mažai padidina sistemos stiprinimo koeficient¹ ir ženkliai padidina nuosavųjų virpesių dažnį. Nuosekliai įjungus du reguliatorius, abiejų pranašumai pranašumai pasireiškia tuo pačiu metu, t.y. gaunamas didelis stiprinimo koeficiento padodėjimas. Delsenčio - Forsuojantis reguliatoriaus lygtis:

Čia - polių ir nulių santykis. Paimame , o stiprintuvo .

a)      ; ;

b)      ; ;

a) Šioje pakopoje pertvarkyta sistemos perdavimo funkcija:

Sistemos perdavimo funkcijos lygties hodografas pavaizduotas 25 pav. Pereinamojo proceso charakteristika (26 pav.) rodo, jog perreguliavimo nėra. Sistema nusistovi per 211 s.

Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui gaunamos tokios šaknys: -2.3827, -2.0997, -0.5086 + 0.8633i, -0.5086- 0.8633i, -0.0129. Stiprinimo koeficiento taškas: -0.4994 + 0.8571i.

25 pav. Perdavimo funkcijos hodografas su delsenčio forsuojančio reguliatoriaus koregavimo grandimi, kai

26 pav. Perdavimo funkcijos su delsiančio forsuojančio reguliatoriaus koregavimo grandimi pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

b) Šiuo atveju pertvarkyta sistemos perdavimo funkcija:

Sistemos perdavimo funkcijos hodografas pavaizduotas 27 pav. Iš pereinamojo proceso charakteristikos matome: perreguliavimo nėra (28 pav.). Pereinamojo proceso laikas – 79,9 s. Perskaičiavus šaknis pasinaudojus MATLAB 7.6 programiniu paketu, esant koeficientui gaunamos tokios šaknys: -4.9533, -2.0249, -0.5097+0.8656i, -0.5097- 0.8656i, -0.0354. Stiprinimo koeficiento taškas: -0.5012 + 0.8758i.

27 pav. Perdavimo funkcijos hodografas su delsenčio forsuojančio reguliatoriaus koregavimo grandimi, kai

28 pav. Perdavimo funkcijos su delsiančio forsuojančio reguliatoriaus koregavimo grandimi pereinamasis procesas, kai stiprinimo koeficientas

Perdavimo funkcijos su forsuojančio reguliatoriaus koregavimo grandimi (a atvejis), palyginus su atviros perdavimo funkcij¹: pereinamojo proceso laikas yra beveik 30 k. ilgesnis, o didžiausia nuokrypa mažesnė ant 27,3%.

Perdavimo funkcijos su forsuojančio reguliatoriaus koregavimo grandimi (b atvejis), palyginus su atviros perdavimo funkcij¹: pereinamojo proceso laikas pailgėja beveik 11 k., tačiau maksimali dinaminė nuokrypa sumažėjo ant 27,3%.

Palyginus a ir b atvejus, matome, kad b atvejis geresnis, nes jo pereinamojo proceso laikas 2,6 k. trumpesnis, o maksimali dinaminė nuokrypa – tokia pati (0 %).

1 lentelė. Duomenų apibendrinimas

Išvados:

1. Nuo polių ir nulių išdėstymo šaknų hodografuose priklauso sistemos perinamojo proceso švytuojamumas ir trukmė.
2. Perinamojo proceso pobūdis priklauso nuo dominuojančių polių, t.y. esančių arčiausiai menamosios ašies.
3. Kai nekompleksinės šaknys yra kairiau nuo kompleksinio poliaus, perinamo proceso laikas pailgėja.
4. Jei nekompleksinis polius pasislenka į dešinź, tai perreguliavimas sumažėja.
5. Iš 1 lentelės matome, kad pats trumpiausias perinamo proceso laikas yra 3,46 s, kai slopinimo koeficientas lygus 0,6, o didžiausias nuokrypis 20,8 %. Toks rezultatas buvo pasiektas naudojant PD koregavimo grandis.
6. Iš 1 lentelės matome, kad pats mažiausias didžiausias nuokrypis buvo pasiektas: b atveju – PID (perinamasis procesas 24,7 s) ir PI (perinamasis procesas 9,4 s), o a ir b atveju – delsiančioje (perinamasis procesas 52,5 s), forsuojančioje (perinamasis procesas 44 s) ir delsiančioje-forsuojančioje (perinamasis procesas 79,9 s) koregavimo grandyse.
7. Iš dviejų paskutiniųjų išvadų matome, kad optimaliausia grandinė (t.y. mažiausi perinamo proceso laikas ir didžiausias nuokrypis) mano atveju yra PI koregavimo grandis: jos perinamo proceso laikas yra 9,4 s, o didžiausia nuokrypa 0 %.

Literatūra:

„Advanced Control Engineering“ Roland S. Burns, UK, 2001.