Jonas Kubilius ir jo mokykla – skaičių teorija, tikimybinė skaičių teorija ir tikimybių teorija

Jonas Kubilius ir jo mokykla – skaičių teorija, tikimybinė skaičių teorija ir tikimybių teorija

1946 m. dar studijuodamas Vilniaus universitete, J. Kubilius pradėjo nagrinėti garsią skaičių teorijoje Malerio hipotezę ir 1949 m. pateikė dalinį jos sprendimą. Šio darbo idėjas panaudojo įvairių kraštų matematikai, o vertindamas jį, 1957 m. žymus Fraiburgo universiteto profesorius T. Šnaideris pastebėjo: “[…] tikriausiai J. Kubilius davė šios hipotezės įrodymo pradžią […]”. 1964 m. spėjimas išsipildė. J. Kubiliaus mokinys V. Sprindžiukas visiškai įrodė Malerio hipotezės teisingumą.

1948 m. J. Kubilius pradėjo įvairiais aspektais nagrinėti pirminių daugiklių pasiskirstymą algebrinių skaičių kūnuose. Jo sukurta metodika leido nustatyti menamo kvadratinio kūno pirminių daugiklių egzistavimą siauruose kompleksinės plokštumos sektoriuose; įvertinti atstumą tarp gretimų pirminių daugiklių, atskleisti kai kurias kitas kūnų savybes.

1952-1956 m. J. Kubilius apibrėžė tikimybinę erdvę aritmetinių funkcijų ir jų funkcionalų reikšmių pasiskirstymų tyrimui. Joje adityviosios ir multiplikatyviosios funkcijos buvo interpretuotos priklausomų atsaitiktinių dydžių sumomis ir sandaugomis, o funkcionalai – stochastiniais procesais. Toks požiūris leido skaičių teorijos problemas perkelti į tikimybių teoriją ir čia jas sėkmingai spręsti. J. Kubilius sukūrė originalų metodą naujai apibrėžtų atsitiktinių dydžių sumų ir jų funkcionalų tyrimui; atskleidė didžiųjų skaičių dėsnį; nustatė ribinių dėsnių egzistavimo sąlygas; ištyrė jų savybes. Aritmetinių funkcijų klasėje apibrėžtais funkcionalais buvo modeliuoti Markovo procesai. 1956 m. šie tyrimai buvo išdėstyti daktaro disertacijoje. Įvertindamas jų reikšmę ir originalumą, 1958 m. tuometinės TSRS MA akademikas J. Linikas rašė: “J. Kubiliaus darbai yra stambus indėlis cviejų mokslų – tikimybių teorijos ir skaičių teorijos – sankirtoje. Iki J. Kubiliaus darbų šioje srityje buvo tik kai kurie samprotavimai ir izoliuoti faktai. Dabar jo sukurta darni ir toli išvystyta teorija. Nustatytas esminis skaičių teorijos ir tikimybių teorijos lygiagretumas, kurio mokslinė reikšmė turi netgi filosofinį atspalvį”.

1959 m. pasirodė J. Kubiliaus monografija, kurioje pateikiamas pirmasis vieningas naujos matematikos šakos – tikimybinės skaičių teorijos – išdėstymas. 1958-1962 m., išvystęs analizinį Dirichlė eilučių metodą, gavo aritmetinių funkcijų reikšmių pasiskirstymo dėsnių skleidinius, ištyrė didelių nuokrypių tikimybių asimptotinį kitimo pobūdį. Šie rezultatai papildė pirmąjį monografijos leidimą. Antrasis leidimas išėjo 1962 m., o 1964, 1968 ir 1978 m. monografija buvo išleista JAV. Knygos pasirodymo proga “Belgų matematikos draugijos biuletenis rašė: “Darbas yra epochinis įvykis panaudoto principo originalumu ir efektyvumu”.