Racionaliosios funkcijos ir jų grafikai

Racionaliosios funkcijos ir jų grafikai

Šiame skirsnyje susipažinsime su pagrindinėmis racionaliųjų funkcijų savybėmis ir apibrėšime funkcijos ribos s¹vok¹.

Racionali¹ja funkcija vadinamas dviejų laipsninių daugianarių santykis:

y = , Q(x) ¹

Pavyzdžiui, y = yra racionaliosios funkcijos. Atvirkštinio proporcin­gu­mo funkcija y = yra pati paprasčiausia racionalioji funkcija, ir iš jos mes nustatysime svarbiausias racionaliųjų funkcijų savybes. Ši funkcija yra nelyginė, nie­kur nekerta koor­dinačių ašių, apibrėžta visoje realiųjų skaičių aibėje, išskyrus tašk¹ x = 0.

Funkcijos y = grafikas taško x = 0 aplinkoje

Norėdami nustatyti, koks yra šios funkcijos grafikas šio taško aplinkoje, sudarykime jos reikšmių lentelź, kai x artėja prie 0.

Taigi kai x artėja prie nulio būdamas teigiamas (iš dešinės), tai funkcijos reikšmės neaprėžtai di­dėja, tolsta į teigiam¹j¹ begalybź. Toks x artėjimas prie 0 (iš dešinės) žymimas nuliu su pliu­su: x   +0. Sudarykite toki¹ pači¹ lentelź, kai x artėja prie nulio iš kairės, tai yra, bū­da­mas neigiamas (žymima x 

Iš šių lentelių matome, kad argumentui x artėjant prie nulio iš dešinės, funkcija tolsta į tei­gia­m¹­j¹ begalybź, o antruoju atveju, kai x artėja prie nulio iš kairės, funkcija tolsta į neigiam¹j¹ be­galybź:

kai x   +0, tai ;  kai x   –0, tai .

Stačiosios asimptotės

Jei yra toks taškas a, prie kurio artėjant argumentui x, funkcija tolsta į teigiam¹j¹ ar neigiam¹j¹ begalybź, tai stačioji tiesė x = a yra vadinama tos funkcijos stači¹ja asimptote.

Taigi funkcija y = turi stači¹j¹ asimptotź x = 0 (Oy ašį); čia skaičius a iš apibrėžimo yra 0.

Funkcijos y = grafikas taško x = ¥ aplinkoje.

Norėdami nusibrėžti funkcijos y = grafik¹ su didelėmis x reikšmėmis, vėl sudarykime dvi lenteles: kai x tolsta į teigiam¹j¹ ir neigiam¹j¹ begalybź.

Taigi kai x  ¥, tai .

Kai ¥, tai.

Gulsčiosios asimptotės

Jei yra toks taškas b, prie kurio artėja funkcijos reikšmė y, kai argumentas x tolsta į teigiam¹j¹ ar neigiam¹j¹ begalybź, tai gulsčioji tiesė y = b yra vadinama tos funkcijos stači¹ja asimptote.

Taigi funkcija y = turi gulsči¹j¹ asimptotź y = 0 (Ox ašį); čia skaičius b iš apibrėžimo yra 0.

Geometriškai asimptotź dar galima apibrėžti ir taip. Tiesė yra funkcijos grafiko asimp­to­tė, jei atstumas tarp tos tiesės ir kreivės taško (x, y) artėja prie nulio, kai taškas (x, y) neaprėžtai (neribotai) tolsta nuo koordinačių pradžios taško.

Kaip randamos gulsčiosios ir pasvirosios asimptotės

Stačiosios asimptotės randamos pa­ly­gin­ti paprastai: tereikia nustatyti tuos taškus, kuriuose racionaliosios funkcijos vardiklis virsta nuliu. Norint rasti gulsči¹j¹ asimptotź, reikia išskirti racionaliosios funkcijos sveik¹j¹ dalį; jei ši dalis yra kokia nors konstanta b (nepriklauso nuo x), tai tiesė y = b ir yra gulsčioji asimp­totė. Gulsčiųjų asimptočių racionalioji funkcija turi tuo atveju, kai skaitiklio daugianario laips­nis yra mažesnis arba lygus vardiklio daugianario laipsniui.

Racionaliosios funkcijos grafikas (kreivė) gali turėti ir pasvirųjų asimptočių. Taip yra tuo atveju, kai skaitiklio daugianario P(x) laipsnis yra vienetu dides­nis už vardiklio dau­gia­nario Q(x) laipsnį. Jos randamos taip pat, kaip ir gulsčiosios asimptotės: jei sveikoji dalis pa­si­ro­do esanti tiesinė funkcija cx + d, tai tiesė y = cx + d ir yra pasviroji asimptotė.

PAVYZDYS. Racionaliosios funkcijos y = sveikoji dalis yra 0, todėl

grafiko gulsčioji asimptotė yra tiesė y = 0, Ox ašis. ☺

PAVYZDYS. Rasime racionaliosios funkcijos asimptotes.

a) Stačiosios asimptotės yra dvi: x² – 4 = 0 Û

(x – 2)(x + 2) = 0 Þ x = 2 arba x = –2.

b) Kadangi skaitiklio ir vardiklio laipsniai yra lygūs, tai funkcijos grafikas turi tik gulsči¹j¹ asimptotź:

2x² – 18 | x² – 4

2x³ – 8 2

–

Taigi ; sveikoji dalis lygi 2, todėl gulsčioji asimptotė yra y = 2. 

PAVYZDYS. Rasime funkcijos asimptotes.

a) Pirmiausia rasime stači¹sias asimptotes:

2x² – 2 = 0 Û (x – 1)(x + 1) = 0 Þ x = 1 arba x = –1.

Taigi ši racionalioji funkcija turi dvi stači¹sias asimptotes: x = 1 ir x = –1.

b) Rasime gulsči¹sias ir pasvir¹sias asimptotes. Norėdami išskirti sveik¹j¹ dalį, padalysime daugianarius vien¹ iš kito:

_x – x + 1 | 2x² – 2

x – x 0,5x

Taigi , todėl tiesė y = yra šios funkcijos grafiko asimptotė, o gulsčiųjų asimptočių nėra. Žinodami asimptotes ir, jei reikia apskaičiavź dar kelet¹ taškų, lengvai nubrėšime šios funkcijos grafiko eskiz¹.

PAVYZDYS. Jei paklausa yra tiesė q = a – bp, tai jos elastingumas yra racionalioji funkcija kintamojo p (kainos) atžvilgiu. Rasime jos asimptotes.

Taigi elastingumo funkcija turi gulsči¹j¹ asimptotź E = 1 ir stači¹j¹ asimptotź , t.y kai p neribotai didėja, tai paklausos elastingumas tampa vienetinis, o kai artėja prie , elastingumas tampa absoliučiuoju.

Funkcijos ribos apibrėžimas, kai x tolsta į begalybź[1]

1. Funkcija y = f(x) turi rib¹, lygi¹ skaičiui L, kai x tolsta į +¥, jei funkcijos f(x) reikšmės yra kaip norima artimos tam skaičiui L, kai x yra pakankamai didelis skaičius:

2. Funkcija y = f(x) turi rib¹, lygi¹ skaičiui L, kai x tolsta į –¥, jei funkcijos f(x) reikšmės yra kaip norima artimos tam skaičiui L, kai x yra pakankamai didelis neigiamasis skai­čius:

Sakėme, kad abiem šiais atvejais funkcija (ne tik racionalioji) turi gulsči¹j¹ asimptotź y = L.

Begalinių funkcijos ribų apibrėžimas

1. Funkcijos y = f(x) riba yra begalinė (+¥), kai x artėja prie skaičiaus a, jei funkcijos reikšmės yra kaip norima didelės, kai x yra pakankamai artimas skaičiui a:

.

2. Funkcijos y = f(x) riba yra begalinė (–¥), kai x artėja prie skaičiaus a, jei funkcijos reikšmės yra kaip norima dideli neigiamieji skaičiai, kai x yra pakankamai artimas skaičiui a:

Sakėme, kad abiem šiais atvejais funkcija (ne tik racionalioji) turi stači¹j¹ asimptotź x = a.

Pratimai. Raskite šių racionaliųjų funkcijų asimptotes ir nubrėžkite grafikų eskizus.

1.   2. 3. 4.

8. Funkcijų ribos. Neaprėžtai didėjančiosios ir nykstamosios funkcijos

Visiškai neformaliai sakant, funkcijos y = f(x) riba yra skaičius, prie kurio artėja funkcijos reikšmės, kai jos argumentas x artėja prie skaičiaus a. Ta riba gali būti baigtinis skaičius, begalybė (teigiamoji ar neigiamoji), o gali ir neegzistuoti.

PAVYZDYS. Apskaičiuosime funkcijos y = x² rib¹, kai x artėja prie 2. Sudarykime argumento x ir funkcijos y reikšmių lentelź:

Galima padaryti prielaid¹, kad riba lygi 4, tačiau tai dar reikia įrodyti pagal ribos apibrėžim¹. Atkreipsime dėmesį, kad čia funkcijos riba yra lygi funkcijos reikšmei taške x = 2, todėl skaičiuoti rib¹ didelės prasmės ir nėra. Kitame pavyzdyje taip paprasta nebus. 

PAVYZDYS. Apskaičiuosime ir funkcijos y = rib¹, kai x artėja prie nulio. Priešingai negu pirmajame pavyzdyje, ši funkcija nėra apibrėžta taške x = 0, todėl jos reikšmės apskaičiuoti negalima. Tačiau galima nustatyti, kokias reikšmes įgyja funkcija (ir, tuo pačiu, kaip atrodo funkcijos grafikas) šio taško aplinkoje, su x reikšmėmis, artimomis nuliui. Pastebėsime, kad ši funkcija yra lyginė, todėl jos grafikas simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu. Vėl sudarykime reikšmių lentelź (skaičiuosime radianais):

Taigi galima teigti, kad y = artėja prie 1, kai x artėja prie 0. Ir šį teiginį reikia įrodyti (žr. Rumšas 1976). Štai šios funkcijos grafikas.

PAVYZDYS. Funkcija y = sin x neturi ribos, kai x tolsta į begalybź: didėjant x, funkcija sin x įgyja bet kuri¹ reikšmź tarp –1 ir 1, ir nėra jokio skaičius, prie kurio artėtų šios funkcijos reikšmės.

Funkcijos ribos apibrėžimas . Funkcija y = f(x) turi rib¹ L, kai x artėja prie a (arba tiesiog – taške a), jei funkcijos f(x) reikšmės yra kiek norima artimos tam skaičiui L, kai tik x yra pakankamai arti skaičiaus a:

.

PAVYZDYS. Kirstinė kreivź kerta bent dviejuose taš­kuose; jei vienam susikirtimo taškui artėjant prie kito, kirs­tinė artėja prie kokios nors ribinės tiesės (ribinės pa­dė­ties), tai ta ribinė tiesė vadinama liestine. Rasime para­bo­lės y = x² liestinės taške (2, 4) lygtį. Parabolės kirs­ti­nės, einančios per parabolės taškus (2, 4) ir (x, x²), nuo­lydis

.

Norėdami sudaryti liestinės lygtį, turime ap­skai­čiuo­ti kirstinės nuolydžio rib¹ taške x = 2:

.

Kirstinės nuolydis nėra apibrėžtas taške x = 2, nes vardiklis (ir skaitiklis) su ta reikšme lygus nuliui. Tačiau apskaičiavź kelet¹ nuolydžio reikšmių, artimų 2, matysime, kad nuolydis artėja prie 4.

Taigi liestinės, einančios per parabolės tašk¹ (2,4), nuolydis lygus 4, todėl jos lygtis yra

y – 4 = 4(x – 2) Û y = 4x – 4.

Funkcijos grafikas

PAVYZDYS. Remdamiesi apibrėžimu įrodysime, kad = 4.

Mes norime įrodyti, kad nuolydis m skiriasi nuo ribinės reikšmės L = 4 mažu skaičiumi e

kai x yra arti ribinio skaičiaus a = 2, todėl turime rasti toki¹ skaičiaus 2 aplink¹, kurioje su bet kokiu x galioja minėtoji nelygybė:

.

Taigi su kiekvienu mūsų pasirinktu e nuolydis m skiriasi nuo 4 ne daugiau kaip per t¹ e, jei tik x skiriasi nuo 2 taip pat ne daugiau kaip per e. Pavyzdžiui, jei pasirinktume e = 0,001, tai skirtumas |m – 4| būtų nedidesnis už 0,001, jei tik skirtumas |x – 2| bus nedidesnis už 0,001.

Neaprėžtai didėjančios funkcijos

Jei funkcija y = f(x) turi begalinź rib¹, kai x artėja prie kokio nors skaičiaus a, tai ji vadinama neaprėžtai didėjančia tame taške. Tokių funkcijų pavyzdžių matėme praeitame skirsnyje, nagrinėdami racionali¹sias funkcijas. Pavyzdžiui, funkcija yra neaprėžtai didėjanti taške x = 0, nes . Parabolė y = x² taip pat yra neaprėžtai di­dė­jan­ti funkcija, tačiau kitame taške: kai x tolsta į begalybź, tai ir x² tolsta į begalybź.

teorema. Visos racionaliosios funkcijos yra neaprėžtai didėjančios, kai x artėja prie skaičiaus a (taške a).

teorema. Visos laipsninės funkcijos y = (x – a)ⁿ yra neaprėžtai didėjančios, kai x tolsta į begalybź.

Nykstamosios funkcijos

Funkcija y = f(x) yra nykstamoji taške a, jei jos riba kuriame nors taške a lygi nuliui:

.

Pavyzdžiui, ta pati parabolė yra ir nykstamoji funkcija taške 0, nes jos riba taške x = 0 lygi nuliui:

.

Nykstamosios funkcijos paprastai žymimos graikų abėcėlės raidėmis: a(x), b(x) ir t.t.

Funkcijų riboms skaičiuoti yra labai svarbi teorema, siejanti rib¹ ir nykstam¹sias funkcijas.

teorema. Funkcija y = f(x) turi rib¹ L tada ir tik tada, kada t¹ funkcij¹ galima išreikšti skaičiaus L ir nykstamosios funkcijos suma.

Û f(x) = L + a(x),

čia a(x) yra nykstamoji funkcija (artėja prie 0, kai x artėja prie a).

PAVYZDYS. Pagalvokite, kaip šia teorema remiantis galima būtų įrodyti, kad skaičiaus (konstantos) riba yra tas skaičius:

.

PAVYZDYS. Apskaičiuosime funkcijos rib¹, kai x ¥

Išskirkime šios racionaliosios funkcijos sveik¹j¹ dalį:

.

Gavome skaičiaus ir nykstamosios funkcijos, kai x ¥ sum¹, todėl pagal 3 teorem¹,

.

teorema. Visos laipsninės funkcijos y = (x – a)ⁿ yra nykstamosios funkcijos, kai x artėja prie skaičiaus a.

Nykstamųjų funkcijų savybės. Šios savybės labai pravers skaičiuojant funkcijų ribas.

1º. Nykstamųjų funkcijų suma yra nykstamoji funkcija.

2º. Skaičiaus ir nykstamosios funkcijos sandauga yra nykstamoji funkcija.

Apibrėžimas. Funkcija y = f(x) yra aprėžta, jei yra tokie skaičiai m ir M, su kurias galioja nelygybė m £ f(x) £ M.

3º. Aprėžtos funkcijos ir nykstamosios funkcijos sandauga yra nykstamoji funkcija.

4º. Dviejų nykstamųjų funkcijų sandauga yra nykstamoji funkcija.

5º. Jei y = f(x) yra nykstamoji funkcija taške a, tai yra neaprėžtai didėjanti funkcija tame pačiame taške a; ir, atvirkščiai, jei y = f(x) yra neaprėžtai didėjanti taške a, tai yra nykstamoji funkcija tame pačiame taške a.

Dar pridėsime dvi išvadas:

1. Dviejų neaprėžtai didėjančių funkcijų sandauga yra neaprėžtai didėjanti funkcija.

2. Neaprėžtai didėjančios taške a ir tame taške a nelygios nuliui funkcijos sandauga yra neaprėžtai didėjanti funkcija.

PAVYZDYS. Iš 5 savybės ir 2 teoremos išeina, kad yra nykstamoji funkcija, kai x tolsta į begalybź:.

PAVYZDYS. Dvi funkcijos y = sin x ir y = x abi yra nykstamosios tame pačiame taške 0, todėl jų suma
y = sin x + x ir sandauga y = x sin x taip pat yra nykstamosios funkcijos taške 0.

PAVYZDYS. Funkcija y = cos x taške x = 0 nėra lygi nuliui ir yra aprėžta: –1 £ cos x £ 1 su visais x, todėl sandauga
y = sin x cos x yra nykstamoji funkcija taške x = 0.

PAVYZDYS. Funkcija y = 1/x yra nykstamoji, kai x tolsta į begalybź, o funkcija y = sin x – aprėžta, todėl funkcija yra nykstamoji funkcija, kai x ¥, t.y. .

Pratimai. 1. Remdamiesi nykstamųjų funkcijų savybėmis ir suformuluotomis teoremomis, apskaičiuokite šias ribas ir paaiškinkite, kuo remdamiesi tas ribas apskaičiavote.

a) b) c)

d) e) f)

g)   h) i)

9. Ribų skaičiavimas. Funkcijų tolydumas. Skaičius e.

Ribų dėsniai. Su ribų dėsniais supaprastėja ribų skaičiavimas: nereikia kiekvienos ribos skaičiuoti pagal apibrėžim¹. Ribų dėsniai įrodomi ribos apibrėžimu ir nykstamųjų funkcijų savybėmis. Čia įrodysime tik vien¹, sumos ribos, dėsnį.

1. Dviejų funkcijų sumos riba lygi dėmenų ribų sumai, jei tik egzistuoja baigtinės dėmenų ribos:

Jei , tai .

PAVYZDYS. . 

2. Dviejų funkcijų sandaugos riba lygi dauginamųjų ribų sandaugai, jei tik egzistuoja baigtinės dauginamųjų ribos:

Jei , tai .

PAVYZDYS. Iš šios savybės išeina, kad pastovųjį daugiklį galima iškelti prieš ribos ženkl¹:

☺

3. Dviejų funkcijų dalmens riba lygi dalijamojo ir daliklio ribų dalmeniui, jei tik egzistuoja baigtinės jų ribos ir daliklio riba nėra lygi nuliui:

Jei , tai .

4. Laipsninio reiškinio (f(x))^g(x) riba lygi atitinkamų ribų laipsniui, jei tik tas laipsnis yra apibrėžtas:

Jei, tai .

1 ribų dėsnio įrodymas

Žinoma, kad egzistuoja šios ribos .

Reikia įrodyti, kad .

Iš 3 teoremos išeina, kad abi funkcijas, f(x) ir g(x), galima išreikšti skaičiaus ir nyksta­mo­sios funkcijos suma:

f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x).

Sudėkime šias dvi lygybes:

f(x) + g(x) = A + B + a(x) + b(x).

Kadangi dviejų nykstamųjų funkcijų, a(x) ir b(x), suma yra nykstamoji funkcija, tai

f(x) + g(x) = A + B + g(x), čia g(x) – nykstamoji funkcija taške a.

Gavome, kad funkcija f(x) + g(x) yra skaičiaus A + B ir nykstamosios funkcijos suma, todėl, vėl remiantis 3 teorema, jos riba lygi tam skaičiui:

. ☺

Kiti ribų dėsniai įrodomi labai panašiai, remiantis 3 teorema.

PAVYZDYS. Apskaičiuosime rib¹

PAVYZDYS. Apskaičiuosime rib¹

Pratimai. 1) Apskaičiuokite rib¹ ir įrašykite paaiškinimus.

2) Apskaičiuokite šias ribas.

a) , b) , c)

Funkcijų tolydumas

Vienų funkcijų grafikai yra ištisiniai, juos galima nubrėžti neatitraukus pieštuko nuo popieriaus lapo, o kitų – su trūkiais.

Pirmosios funkcijos, kurios neturi trūkio taškų, vadinamos tolydžiosiomis.

Tolydumo apibrėžimas. Funkcija y = f(x) yra tolydi taške x = a, jei

a) egzistuoja funkcijos riba tame taške, t.y. egzistuoja ,

b) funkcija apibrėžta taške a, t.y. egzistuoja f(a),

c) funkcijos f(x) riba taške a lygi funkcijos reikšmei taške a: .

Jei bent viena iš šių s¹lygų netenkinama, tai funkcija taške a nėra tolydi – turi trūkį. Jei funkcija yra tolydi kiekviename atviro intervalo (c, d) taške, tai sakoma, kad ji tolydi intervale (c, d).

PAVYZDYS. Funkcija

teorema. Visos elementariosios funkcijos yra tolydžios apibrėžimo srityje.

Priminsime, kad elementariosios funkcijos yra ne tik y = xⁿ, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = tg x, y = ctg x, y = a^x, y = log_ax, ir kitos, bet ir visi jų dariniai. Pavyzdžiui, y = sin(2^x) taip pat yra elementarioji funkcija. Remiantis šia teorema, visų elementariųjų funkcijų ribas api­brė­žimo srityje galima skaičiuoti pagal tolydumo apibrėžim¹, t.y. treči¹j¹ jo dalį:

PAVYZDYS. Paklausos elastingumas apibūdina pirkėjų reakcij¹ į kainų pokytį: jei pirkėjas silpnai reaguoja į kainų pokytį, tai paklausa vadinama neelastinga ir, priešingai, jei pirkėjas į kainos po­kytį reaguoja jautriai, paklausa vadinama elastinga. Paklausos elastingumas kai­nų atžvil­giu – tai norimo pirkti prekės kiekio ir prekės kainos procentinio ki­timo santykis:

.

Nustatysime paklausos elastingum¹ taške p = 0,3, jei paklausos kreivė yra

q = p² + 3,5p – 3:

=

Taigi jei prekės kaina p = 0,3 padidėja 1%, tai prekės paklausa sumažėja 0,66%.

PAVYZDYS. Apskaičiuosime šias ribas.

a) , b) , c) = log₂2 = 1.

PAVYZDYS. Apskaičiuosime šias ribas.

Pratimai. Apskaičiuokite šias ribas.

a) b) (x³ – 100x² – 20x + 3) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k)

Skaičius e

Mes esame sudarź formulź, pagal kuri¹ apskaičiuojamas per n metų sukauptas kapitalas, jei nuo pradinio kapitalo P₀ vien¹ kart¹ per metus skaičiuojamos sudėtinės palūkanos r:

.

Jei palūkanos skaičiuojamos ne vien¹ kart¹ per metus, o dažniau, sakykim, m kartų per me­tus – kas pusmetį, ketvirtį, kas mėnesį ir t.t. (trumpalaikių paskolų arba taupomųjų indėlių palūkanos skaičiuojamos kas dien¹), tai sukauptasis kapitalas apskaičiuojamas pagal toki¹ taisyklź:

.

Kaip keistųsi sukauptojo kapitalo P_n dydis, jei palūkanas imtume skaičiuoti ne tik kas dien¹, bet ir kas valand¹, minutź, sekundź, kiekvien¹ akimirk¹? Tai yra, jei tartume, kad palūkanų apskaičiavimo dažnis m  ¥? Ar sukauptasis kapitalas iš tikrųjų neaprėžtai didėtų, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio?

Norėdami atsakyti į šit¹ klausim¹, nustatykime funkcijos

y =

rib¹, kai x tolsta į teigiam¹j¹ begalybź – sudarykime reikšmių lentelź.

Išsamesniuose matematinės analizės vadovėliuose (P.Rumšas, 1977) galima rasti įrodym¹, kad ši funkcija turi rib¹, kai x tolsta į begalybź (teigiam¹j¹ ir neigiam¹j¹), ir ji lygi iracio­na­lia­jam skaičiui[4] 2,71828182845904523536028747135266… Jis žymimas raide e.

Taigi ši funkcija turi gulsči¹j¹ asimptotź y = e, prie ku­rios artėja būdama mažesnė, iš apačios.

Dabar apskaičiuokime

Kai m tolsta į begalybź, tai ir tolsta į begalybź, todėl galime pakeisti kintam¹jį x = :

Laužtiniuose skliaustuose esančio reiškinio riba yra skaičius e, o rodiklis nuo x nepriklauso, todėl jo riba yra jis pats, rn; remiantis 4-uoju ribų dėsniu, šio laipsnio pagrindo ir rodiklio ribas galima skaičiuoti atskirai:

.

Toks kapitalo kaupimo būdas, kai palūkanos apskaičiuojamos nuolat, vadinamas tolydžiuoju:

P_n = P₀ e^rn.

PAVYZDYS. Apskaičiuosime, kiek skiriasi sukauptas kapitalas per 1 metus, jei r = 10% (r = 0,1) dydžio palūka­nos skaičiuojamos kas ketvirtį (m = 4) ir nuolat (m = ¥), o pradinis kapitalas P₀ = 1000 Lt.

P₁ = 1000·1,10381 = 1103,81 Lt;

P₁ = 1000e^0,1 1000·1,10517 = 1105,17 Lt.

Taigi skirtumas yra apie 1 Lt, t.y. tik 0,1 procento

Natūralieji logaritmai. Logaritmas, kurio pagrindas yra iracionalusis skaičius e, vadinamas natūraliuoju: log_ea = ln a. Jam galioja visos logaritmų savybės:

1º. ln(ab) = ln a + ln b,

2º. ln a^k = k ln a,

3º. ,

4º. ln a = ln b, Û a = b,

5º. ln e = 1, ln 1 = 0.

Logaritminė funkcija y = ln x yra atvirkštinė rodiklinei[5] y = e^x, taigi logaritminė funkcija api­brėž­ta tik su teigiamomis x reikšmėmis. Štai abiejų funkcijų grafikai.

Pratimai. 1) Kokį kapital¹ sukaupsime per dvejus metus už 6% metinių palūkanų, jei investuojama 100 Lt, o palūkanos skaičiuojamos vien¹ kart¹ per metus, du kartus, keturis kartus, kas mėnesį, tolydžiai?

2) Per kiek laiko padvigubėja kapitalas, investuotas už 10% tolydžiųjų metinių palūkanų? Patrigubėja?

3) Įrodykite, kad kapitalas, investuotas už 100r% tolydžiųjų palūkanų, padvigubėja per laik¹

4) Daugelis augimo procesų yra apibūdinami rodikline funkcija. Pavyzdžiui, Žemės gyventojų skai­čius trump¹ laiko tarp¹ kinta eksponentiškai: G_t = G₀e^rt, čia G_t – gyventojų skaičius pra­ė­jus laikui t, G₀ – gyventojų skaičius pradiniu laiko momentu t₀ = 0, r – augimo koeficien­tas, bū­dingas tiriamajam laikotarpiui.

Kauno gyventojų skaičius 1998 01 01 buvo . Kiek Kau­ne bus gyventojų 2001 metų sausio 1 dien¹, jei išliks ta pati augimo tendencija? (Nuoroda: t₁₉₉₈ = 0, t₁₉₉₉ = 1, t₂₀₀₀ = 2, t₂₀₀₁ = 3; pagal gy­ven­tojų skaičių 1998 ir 1999 metais galima nustatyti laikotarpio augimo koeficien­t¹ r.) (Ats.: 411251)

5) Apskaičiuokite šias ribas.

a) b) c)

6) Apskaičiuokite šias ribas.

b) b) c) .