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CONVERTIR UN AFN EN AFD

matemáticas

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CONVERTIR UN AFN EN AFD

1. Equivalencia entre autómatas
Equivalencia entre AFD y AFN



La equivalencia entre AFD y AFN es clara entendiendo todo AFD como un caso particular de un AFN. En el otro sentido, a partir un AFN A=(Q,S, d,q0,F) se puede construir otro AFD A'=(Q',S, d', q0', F') equivalente (que acepte el mismo lenguaje), de la siguiente forma:

  • Q' = 2Q
  • q0' =
  • F' =
  • d'(q',a) = È (q I q')d(q,a) : q' I Q, a I S

Figura 1. Autómata finito no determinista del ejemplo 1.

Ejemplo 1. Dado el autómata de la figura 1, el proceso de construcción de un AFD equivalente parte del estado inicial , y determina el conjunto de estados alcanzables con cada símbolo del alfabeto. De esta forma, por ejemplo, al considerar el símbolo a se alcanzan los estados .

Cada uno de los conjuntos de estados que aparezcan se considera como uno de los estados del AFD equivalente, determinandose para cada uno de ellos su función de transición. El proceso se repite mientras aparezcan nuevos estados. La figura 2 muestra la tabla de transiciones del AFD.

a

b

c

Æ

Æ

Æ

Figura 2. Tabla de transiciones del AFD equivalente al AFN de la
a partir de esta tabla el diagrama de transiciones queda como muestra la figura  


Figura  Autómata finito determinista equivalente.

Ejemplo 2. Dado el AFN de la figura 4 la tabla de transiciones del AFD equivalente sería la mostrada en la figura 5, con lo que el diagrama de transiciones del AFD quedaria como se muestra en la figura 6

Figura 4. AFN ejemplo.

a

b



Figura 5. Tabla de transiciones del AFD equivalente al AFN de la figura 4.


Figura 6. AFD equivalente al AFN de la figura.


El estado es el único estado final del AFD porque es el único que contiene el estado q2, estado final del AFN original.

Equivalencia entre AFD y AFl

A partir de todo autómata finito no determinista con l-transiciones A=(Q,S, d,q0,F), se puede construir un AFD equivalente. Para ello seguiremos los siguientes pasos:

1. Obtener un AFN A'=(Q,S,d', q0, F') donde:

    • F' = F È , si l-clausura(q0) Ç F ¹ Æ
      F' = F, si l-clausura(q0) Ç F = Æ.
    • d'(q,a) = τ(q,a) tomando a I S, x I S*, q I Q y donde:

τ(q,l) = l-clausura(q)
τ(q,xa) = l-clausura
( È(p I τ(q,x)) d(p,a))

de esta forma A' no posee l-transiciones.

2. A partir del AFN obtenido, aplicar el método de la sección 1.1 para obtener un AFD a partir de un AFN.

Figura 7. Ejemplo de autómata finito con transiciones vacias

Ejemplo  Dado el AFl de la figura 7, representamos en la figura 8 su tabla de transiciones y la l-clausura de cada estado.

a

b

l-clausura

q0

Æ

q1

q2

q3

Æ

Æ



Figura 8. Tabla de transiciones y l-clausura de cada estado del AFl de la figura 7.



Para obtener el conjunto de transiciones del AFN equivalente aplicaremos la construcción indicada al principio de la sección. Por ejemplo, para obtener el conjunto de transiciones del estado q0 con el símbolo b en el AFN equivalente:

  • partiremos de la l-clausura de q0 ()
  • obtendremos los estados que se alcanzan a partir de utilizando una b ( È )
  • obtendremos la l-clausura de este conjunto: l-clausura() = È =



Procediendo de igual forma para todo q I Q y todo a I S, obtenemos la tabla de transiciones del AFN sin transiciones vacias que se muestra en la figura 9. En este AFN, el único estado final es q3 porque l-clausura(q0) Ç F = Æ. Una vez obtenida la tabla de transiciones del AFN, se puede construir el AFD equivalente que queda como muestra la figura 10.

a

b

q0



q1

q2

q3



Figura 9. Tabla de transiciones del AFN equivalente al AFl de la figura 7.


Figura 10. Autómata finito determinista equivalente al AFl de la figura 7.

Ejemplo 4. Otro ejemplo de AFl es el mostrado en la figura 11.

Figura 11. Autómata finito con transiciones vacías.


La tabla de transiciones y la l-clausura de cada estado del autómata de la figura 11 se muestran en la figura 12.

0

1

l-clausura

q0

Æ

q1

Æ

q2

q3

Æ



Figura 12. Tabla de transiciones y l-clausura de cada estado en el AFl de la figura 11.


Como ejemplo del paso a AFN, para obtener el conjunto de transiciones del estado q1 con el símbolo a:

  • partiremos de la l-clausura de q1 ()
  • obtendremos los estados que se alcanzan a partir de utilizando una a (conjunto vacio)
  • l-clausura(Æ) = Æ

El AFN resultado tiene como estados finales porque en este caso l-clausura(q0) Ç F ¹ Æ. Al repetir el proceso para cada estado se obtiene la tabla de transiciones de la figura 1 A partir de ella, se puede obtener el AFD de la figura 14.

0

1

q0

q1

Æ

q2

q3

Æ

Figura 1 Tabla de transiciones del AFN equivalente al AFl de la

Figura 14.Autómata finito determinista equivalente al AFl de la 11

ELABORANDO UN AFD

La construcción de AFD’s es esencial para entender el comportamiento de las expresiones regulares. Dado un alfabeto y una serie de condiciones, se puede elaborar un AFD que satisfaga dichas condiciones, mediante ensayo y error

Ejercicios

Dado el alfabeto en , elaborar un AFD que acepte solamente palabras

que empiecen con 00

que no empiecen con 00

con un número par de ceros

con un número impar de unos

con las dos condiciones anteriores

A continuación se realiza el inciso c:

Las palabras reconocidas son todas aquellas que llegan a los estados finales a partir del estado inicial. Un autómata finito (determinista) es pues una estructura de la forma

beginmbox=(Q,mbox,mbox,q_0,F)end

donde

beginQ

Un semiautómata finito es una estructura de la forma

beginmbox=(Q,mbox,mbox,q_0)end

Es decir, es un ``autómata finito'' en el que no se ha especificado estados finales. Todo autómata finito puede ser visto como un semiautómata con estados finales distinguidos. El semiautómata determinado por un autómata se dice ser el semiautómata subyacente del autómata. Todas las nociones y aseveraciones hechas sobre semiautómatas serán válidas también en los autómatas de los que son subyacentes. Como en las máquinas finitas, ya sea de Mealy o de Moore, en cada semiautómata extendemos la función de transición $mbox:Qtimesa una función $mbox^*:Qtimes, haciendo, para cada estado $qin:

beginmbox^*(q,mbox)


Sea $T:mbox^*rightarrowla función $sigmamapsto. Un estado $qinse dice ser accesible si está en la imagen de T, es decir, si $exists. La parte accesible de $mbox$es la imagen de T, es decir, consta de todos los estados accesibles a partir del estado inicial.

Lema 2.1   Sea $mbox=(Q,mbox,mbox,q_0)$un semiautómata finito. Cualquier estado accesible se alcanza mediante una palabra de longitud a lo sumo el número total de estados, $n=mbox(Q)$. En otras palabras, la parte accesible del semiautómata coincide con el conjunto $mbox(mbox)=(sigma)leqmbox(Q)}.$

En efecto, para cada $minsea $mbox^=mbox^}$el conjunto de palabras de longitud a lo sumo m. La colección de conjuntos es un recubrimiento (creciente) del diccionario $mbox^*$mediante conjuntos anidados:

begin&&mbox^*=bigcup_mbox^


Consecuentemente, ${T(mbox^)}_$es también un recubrimiento de Q mediante conjuntos anidados. Por ser Q finito, necesariamente para algún índice m0 se ha de tener que $T(mbox^)=T(mbox^)$, y, de hecho, para todo $mgeq, $T(mbox^)=T(mbox^)$. Así pues, se tiene una cadena finita de inclusiones,

begin=T(mbox^)subset

Como cualesquiera dos conjuntos consecutivos $T(mbox^)$, $T(mbox^)$pueden diferir en al menos un elemento en Q se tiene que $m_0leq. Además, $T(mbox^)=T(mbox^)$. De aquí se sigue la tesis del lema, quod erat demonstratum (q.e.d.).
La parte accesible, $mbox^}$, de un semiautómata $mbox$consta de todos sus estados accesibles. Naturalmente, se tiene un algoritmo elemental para construir la parte accesible de cualquier semiautómata finito:




1. Consideremos dos listas: una de estados ya revisados y otra de estados por revisar. Inicialmente la primera está vacía y la segunda consta sólo del estado inicial.

2. Para cada estado por revisar,

(a) se toma a ese estado como actual q,

(b) para cada símbolo de entrada $einmbox$sea $p=mbox(q,e)$. Si p aparece en alguna de las dos listas se pasa al siguiente símbolo, en otro caso se lo coloca al final de los estados a revisar,

(c) se coloca el estado actual en la lista de los ya revisados.

En la figura 5 se presenta un pseudo código de este algoritmo.

Figure 5: Cálculo de la parte accesible.

fbox[t]
vspace
noindent


El lema anterior implica que el número de iteraciones en el ciclo principal del algoritmo anterior no excede al número de estados en el autómata.


Ejemplo. Si $mbox=$consta de un único símbolo entonces el algoritmo 5 muestra que la parte accesible tiene forma de la letra griega ``rho'', $rho$, es decir, existen $n,mgeqtales que

beginq_0stackrelq_1stackrelcdot
n+m}


Sea $mbox=(Q,mbox,mbox,q_0,F)$un autómata finito. Decimos que una palabra $sigmaes reconocida por A si $T(sigma)in, es decir, $sigma$es reconocida si al aplicarla a $mbox$desde el estado inicial se arriba a uno de los estados finales. El lenguaje reconocido por $mbox$consta de todas las palabras reconocidas por $mbox$:

beginL(mbox)={sigmainmbox^*vert


Diremos que un autómata $mbox_1$subsume a otro autómata $mbox_2$si $L(mbox_2)subset. La relación de ``subsunción'' es reflexiva y transitiva. Diremos que dos autómatas son equivalentes si uno subsume al otro, es decir, si coinciden los lenguajes reconocidos por ellos. Esta es una relación de equivalencia entre autómatas. Diremos que un lenguaje $Lsubsetmbox^*$es regular-AF si existe un autómata finito $mbox$tal que $L=L(mbox)$.


Ejemplos. Sea $mbox=$. 1. Construyamos un autómata que reconozca cadenas binarias con números pares de 0's y de 1's. Consideremos los estados siguientes:

beginq_0


La tabla de transición queda definida de manera natural:

beginbeginhlinehline

El estado inicial es q0 y el conjunto de estados finales es $F=$. Es fácil ver que el lenguaje reconocido por este autómata es

beginL={sigmainmbox^*vert(mbox2=0=(mboxsigma)mbox2}.end

El lenguaje L es pues regular-AF. En este ejemplo, es también muy fácil ver que para cada $sigma, $T(sigma)$queda determinada por las paridades de 0's y de 1's en $sigma$.

2. Consideremos el autómata con tabla de transición

beginbeginhlinehline

y estado inicial q0. Observemos que

si se arriba al estado q3 ya no se sale de ahí,

se arriba a q3 si inicialmente aparece un 1 y no hay 0's que lo precedan, o bien, habiendo llegado un bloque de 0's y luego uno de 1's, reaparece un 0.

Así pues, si el conjunto de estados finales es $F=$entonces el lenguaje reconocido por este autómata es $L=.$

AUTÓMATAS FINITOS NO DETERMINISTAS

CONVERTIR UN DIAGRAMA NO DETERMINISTA EN UNO DETERMINISTA

      Cojamos el diagrama del siguiente autómata para el alfabeto S =. Como podemos ver, no es determinista pues desde el estado 1 salen dos arcos rotulados con b y del estado 2 salen dos arcos etiquetados con a.

<>

 

     Para convertir el diagrama no determinista en uno que lo sea vamos ha realizar los siguientes pasos:

     S'=P(S) Conjunto de todos los subconjuntos de S (recordar que el conjunto potencia se encuentra incluido el conjunto vacío, que será el estado de captación global)
     Como tenemos tres estados, el conjunto potencia P(S) =

     i'= (mismo estado inicial)
     En nuestro caso seguirá siendo el estado 1.

     F' es la colección de subconjuntos de S (estados de S') que contienen, por lo menos, un estado de F (cada uno de los estados de S' dentro de los cuales hay al menos un estado de aceptación de M).
     En nuestro caso serán todos los subconjuntos que tengan el estado 3, ya que este es el único estado de aceptación del diagrama original; luego F'=

d es la función de S' x S a S'; Para cada símbolo del alfabeto y estado s' de S', d (s',x) es el estado de S' compuesto por los estados de S a los que es posible llegar desde todos los estados s de s' siguiendo un arco con etiqueta x. Como d es una función, M' es finito determinista.
     En nuestro caso, En cada estado del conjunto potencia solo va a salir un arco por cada símbolo, siendo el destino, el estado de S' que tenga todos los estados a los que fuera en el diagrama inicial: para ello:

+ vacío.- como dijimos, era el estado de captación global, por lo tanto se le dibujan tantos arcos que salen e inciden en el estado, como símbolos del alfabeto haya, con los cuales se rotulan. Además, en este estado, van a incidir todas aquellas transiciones que no existían para algún símbolo en algún estado original.

* Estado 1.- Con la etiqueta a no hay transición en el original, por lo tanto el arco se dibuja hacia el estado vacío con la etiqueta b salen dos arcos, uno hacia el estado 2 y otro al estado 3, por lo tanto el arco se dibuja al estado 2-3

* Estado 2.- Con la etiqueta b no hay transición en el original, por lo tanto el arco se dibuja hacia el estado vacío; con la etiqueta a salen dos arcos, uno hacia el estado 1 y otro al estado 3, por lo tanto el arco se dibuja al estado 1-
* Estado - Con ninguna de las dos etiquetas hay transición en el original, por lo tanto se dibujan sendos arcos hacia el estado vacío.

* Estado 1-2.- Con la etiqueta a hay transición desde el estado 2 original al 1 y 3 original, por lo tanto el arco se dibuja hacia el estado 1-3; con la etiqueta b salen dos arcos desde el estado 1 original, uno hacia el estado 2 y otro al estado 3, por lo tanto el arco se dibuja al estado 2-
* Estado 1-- Con la etiqueta a no hay transición desde ninguno de los dos estados originales, por lo tanto el arco se dibuja hacia el estado vacío; con la etiqueta b salen dos arcos desde el estado 1 original, uno hacia el estado 2 y otro al estado 3, por lo tanto el arco se dibuja al estado 2-

*Estado 2-- Con la etiqueta a hay transición desde el estado 2 original al 1 y 3 original, por lo tanto el arco se dibuja hacia el estado 1-3; con la etiqueta b no sale ningún arco en ninguno de los dos estados originales, por lo tanto el arco se dibuja al estado vacío.
* Estado 1-2-- Con la etiqueta a hay transición desde el estado 2 original al 1 y 3 original, por lo tanto el arco se dibuja hacia el estado 1-3; con la etiqueta b salen dos arcos desde el estado 1 original, uno hacia el estado 2 y otro al estado 3, por lo tanto el arco se dibuja al estado 2-

     Una vez que hemos terminado todos los pasos, podremos eliminar aquellos estados que sean superfluos al diagrama que acabamos de obtener.
     En nuestro caso particular podemos eliminar los estados 2, 3, 1-2 y 1-2-3, quedando el definitivo autómata finito determinista.

 

 

 

TEOREMA DE TRANSFORMACIÓN AFN A AFD

Para todo AFN N existe algún AFD D tal que L(N)=L(D)

         Un AFN con transiciones e puede ser convertido en un AFN sin transiciones e, eliminando las transiciones vacías, sin alterar el comportamiento del autómata. Para hacer esto, es necesario comprender que las deltas manejadas tienen una diferencia cuando se trata de la cerradura al vacío, ya que en el AFN sin e la cerradura al vacío de un estado es solamente el mismo estado.

Lema. Para cada x,y  I S y A Í K, D(A,xy) = D(D(A,x),y)

El lema anterior nos dice que es posible separar las cadenas en una operación de transición de un Autómata Finito. Esta separación nos ayudará a simplificar el rastreo de la cadena general.

Ejercicios.

Obtener un AF que acepte ((a+b)(a+b))*(ab+(ba)*)

Obtener una ER para el lenguaje generado por el siguiente autómata:

         En este capítulo se enseÑó el concepto de Expresión Regular y su relación para ser representado por un Autómata Finito. La construcción de AF’s tiene como base los grafos de transición, los cuales nos muestran cómo un lenguaje puede ser reconocido por dicho grafo.

NOCIONES BÁSICAS

Los autómatas no-deterministas se conforman como los autómatas finitos ya vistos, salvo que sus transiciones, en lugar de ser funciones, son relaciones que a cada pareja (estado, estímulo) le asocian varios, uno o ningún estado. Más precisamente: Un semiautómata no-determinista es una estructura de la forma

$mbox=(Q,mbox,mbox,q_0)$donde



beginQ


Un autómata no-determinista es una pareja $mbox=(mbox,F)$donde SAFND es un semiautómata no-determinista y $Fsubsetes un conjunto de estados finales. Si $(q,e,p)inmbox$decimos que se puede transitar a p desde el estado q cuando arriba un símbolo e. Para cada pareja $(q,e)insu imagen bajo la transición es el conjunto $mbox(q,e)={pin, es decir, es el conjunto de estados a los que se puede transitar desde q con e. De manera reiterada, para $(q,sigma)in, definimos la imagen $mbox^*(q,sigma)$como sigue:

beginbegin
&&


Para cada $sigmadefinimos $T(sigma)=mbox^*(q_0,sigma)$. Una palabra $sigmaes reconocida por el autómata $mbox$si algún estado en $T(sigma)$es final. El lenguaje del autómata $mbox$consiste de todas las palabras que reconoce, $L(mbox)={sigmain

Ejemplo. Sea $mbox=(Q,mbox,mbox,q_0,F)$el autómata no-determinista tal que

beginQ


En la siguiente tabla presentamos el cálculo de la correspondiente función T en algunas palabras:

beginbeginhline


Así pues, $T(100011)capy consecuentemente $100011in.

Observación 1   Todo autómata finito (determinista) es también un autómata finito no-determinista.

En efecto, las funciones son casos particulares de relaciones. Por tanto, toda función de transición, es una relación de transición

Representación de transiciones mediante matrices booleanas

Sea $mbox=$el álgebra booleana de dos elementos, dotada de sus operaciones usuales de conjunción, ``$land$'' y disyunción, ``$lor$'': $xes 1 sólo si ambos x e y son 1; $xes 0 sólo si ambos x e y son 0. Para cada símbolo de entrada $einmbox$definamos la matriz $M^}(e)=left(m_right)_intal que para todos $q,pin:

beginm_=left{begin
1


Similarmente, para $sigmadefinamos la matriz $M^}(sigma)=left(m_right)_intal que para todos $q,pin:

beginm_=left{begin
1


Así pues, $forallse tiene la relación,

beginforall


Ahora bien, la colección $mbox^$de matrices booleanas con índices en Q tiene una estructura de anillo con la operación suma dada por la disyunción entrada a entrada,

beginA+B=C


y el producto booleano de matrices,

beginAB=C


Lema 1   Si $sigma=sigma_1sigma_2$entonces $M^}(sigma)=M^}(sigma_1)M^}(sigma_2)$. En particular, si $sigma=e_cdotsentonces $M^}(sigma)=^M^}(e_)}$.




Ejemplo. Para el AFND del ejemplo anterior tenemos

beginbeginc}
M^{mbox{scriptsizeit


Indeterminismo y determinismo

Diremos que un lenguaje $Lsubsetmbox^*$es regular-N si coincide con el lenguaje reconocido por algún autómata no-determinista. Ya que todo autómata finito es en sí mismo un autómata no-determinista se tiene que todo lenguaje regular es también un lenguaje regular-N. El recíproco también es cierto.

Lema 2 (Equivalencia de determinismo e indeterminismo)   Todo lenguaje regular-N es regular. Es decir, para todo autómata no-determinista $mbox$existe un autómata finito $mbox$tal que $L(mbox)=L(mbox)$.

En efecto, sea $mbox=(Q_1,mbox,mbox_1,q_,F_1)$un autómata no-determinista. Podemos presentar dos construcciones de autómatas finitos equivalentes a $mbox$.

Primera construcción. Construyamos el monoide $mbox_}$del autómata no-determinista $mbox$y consideremos su estructura de autómata finito: cada uno de sus elementos $[sigma]$es un estado, para cada símbolo $einmbox$definamos la transición $([sigma],y definamos como estados finales a las clases de equivalencia $[sigma]$tales que $[sigma]cap. Una palabra será reconocida en este último autómata cuando y sólo cuando lo sea por $mbox$.

Segunda construcción. Construyamos el autómata finito $mbox=(Q_2,mbox,mbox_2,q_,F_2)$como sigue:

estados:

Todo subconjunto de estados ``viejos'' será un ``nuevo'' estado, $Q_2=(Q_1)=.$

transición:

Todo subconjunto de estados ``viejos'' se transforma en su imagen bajo la función de transición ``vieja'', $mbox_2:Q_2timesmbox, es decir, para cada $pin, $pinmbox_2(Q,e)$si y sólo si $exists.

estado inicial:

Hagamos $q_={q_}$, la mónada que consta sólo del estado inicial ``viejo''.

estados finales:

Todo subconjunto de estados ``viejos'' que contenga alguno final de ésos será un nuevo estado final: $Q'in

Observamos que rige cada una de las siguientes equivalencias para cualquier palabra $sigmainmbox$:

beginsigmain


así pues, $mbox$y $mbox$son equivalentes. Observemos también aquí que el nuevo conjunto de estados ha de tener 2n elementos, donde n es el número de estados ``viejos''. Esto hace crecer mucho el tamaÑo del autómata finito equivalente construído de esta forma. Bien que en algunos casos tal cota superior al número de estados nuevos puede alcanzarse, en muchos otros casos la parte accesible del autómata construído incluirá sólo una cantidad mucho menor de estados. Por tanto, en la práctica es muy conveniente construir tan solo la parte accesible del autómata $mbox$siguiendo la estrategia del algoritmo (5) de cálculo de estados accesibles.


Ejemplo. Consideremos el mismo ejemplo tratado en esta sección. Cada subconjunto Q del conjunto de estados $Q_1=$puede ser codificado por una cadena de 5 caracteres $c_Q=c_c_c_c_c_in^5$de manera evidente,

beginforall


y cada una de tales cadenas puede ser vista como la representación binaria de un número entero entre 0 y 31. Nombremos pues con números de 0 a 31 a los elementos del conjunto Q2 de nuevos estados. Así por ejemplo ``7'' que en binario es 00111 representa al conjunto $$y ``16'', 16=(10000)2, es el nuevo estado inicial $q_=}$. Los nuevos estados finales son todos aquellos que contegan a q4, es decir, que tengan el último bit ``prendido''. Los nuevos estados finales son entonces todos los números impares. Con ayuda de la tabla (14), se ve que la función de transición del nuevo autómata es la mostrada en la tabla (15).

  

Table 15: Transición en el autómata finito equivalente al no-determinista.

beginbeginbegin{vertvert


Observamos en este ejemplo que hay muchos estados inaccesibles tan sólo por el hecho de que la imagen de la función de transición no incluye a todos los estados. Con el estímulo 0 sólo se puede arribar a los estados 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24 y 28. Con el estímulo 1 sólo se puede arribar a los estados 0, 2, 13 y 15. Si se aplica el algoritmo (5) se obtiene el autómata de 8 estados cuya tabla de transición es la siguiente:

beginbegin{vertvert


en el que ``16'' es el estado inicial y ``13'' es el único estado final.








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