DIFRACTIA UNDELOR ELECTROMAGNETICE: Aspecte fundamentale ale fenomenului de difractie Fraunhofer

DIFRACTIA UNDELOR ELECTROMAGNETICE

Aspecte fundamentale ale fenomenului de difractie Fraunhofer

In sens general, prin difractie se inteleg fenomenele ce apar cand undele intalnesc neomogenitati ce genereaza abateri de la legile opticii geometrice.

Fenomenul de difractie care apare atunci cand sursa de lumina este foarte indepartata de o astfel de neomogenitate (obstacol), astfel incat razele luminoase sunt practic paralele, se numeste difractie Fraunhofer. La aceste unde curbura frontului de unda se poate neglija, astfel incat pot fi considerate plane. O astfel de difractie se poate obtine si atunci cand sursa optica este plasata in apropierea obstacolului, dar in focarul unui sistem optic convergent; in aceasta situatie undele divergente emise de sursa sunt aliniate de sistemul optic, fiind transformate in fascicul de unde paralele ce se propaga inspre obstacol.

Intuitiv explicarea fenomenului se bazeaza pe principiul Huygens-Fresnel. Acesta afirma ca undele emise de sursa primara de radiatie ce ajung in zona obstacolului genereaza in fiecare punct al suprafete S din aceasta zona unde secundare care au o amplitudine si faza egale cu amplitudinea si respectiv faza undei primare (initiale) sosite in punctul respectiv.

Aceste unde secundare se propaga mai departe, in toate directiile. Intensitatea luminoasa din fiecare punct al acestei zone poate fi obtinuta tinand cont de faptul ca vectorii intensitate a campului electric E_i corespunzatori fiecarei unde secundare se aduna vectorial, rezultand vectorul intensitate a campului electric E din punctul respectiv, si de faptul ca intensitatea luminoasa I este proportionala cu E₀² (de forma I = cE₀²), unde E₀ este amplitudinea de oscilatie a vectorului E.

Pentru deducerea principalelor relatii, se considera pentru inceput cazul unei fante, adica al unei deschideri de forma dreptunghiulara de lungime L mult mai mare decat latimea a (figura 1). Asupra fantei cade o unda plana (o unda pentru care suprafata punctelor ce au aceeasi faza formeaza un plan) cu directia de propagare perpendiculara pe planul fantei.

Figura 1

Considerand ca undele secundare emise de suprafata fantei se propaga practic mai departe sub forma unor fascicule paralele de-a lungul diverselor directii din spatiu, campul electric corespunzator unei directii aflate la un unghi a in raport cu directia initiala se obtine din insumarea contributiilor aduse de fiecare punct. Deoarece vectorii E_i sunt generati de acelasi tren de unda emis de sursa primara, ei vor avea aceeasi orientare pentru un fascicul si astfel se poate calcula suma lor inlocuind marimea vectoriala E cu o marime scalara Y, care oscileaza cu o amplitudine A corespunzatoare marimii E₀. Tinand cont de faptul ca o unda armonica de forma:

Y = A cos (kx - wt) (1)

reprezinta partea reala a expresiei

Y = A exp[i(kx - wt)],      i = (2)

putem folosi aceasta ultima notatie in complex pentru expresia undelor. In aceasta situatie intensitatea undelor, exprimata prin relatia I = c E₀², va fi determinata de relatia

I = c A² (3)

(obtinuta prin inlocuirea lui E₀ cu marimea corespunzatoare A), identica matematic cu expresia YY ; astfel intensitatea undei va putea fi exprimata, cu ajutorul notatiei in complex, direct prin relatia

I = Y Y

(constanta de proportionalitate c din relatia I = cE² fiind aleasa egala cu 1 pentru simplitate, intrucat in calculul intensitatii luminoase dintr-un punct suntem interesati de obicei nu atat de valoarea absoluta a intensitatii luminoase cat mai ales de raportul dintre intensitatea luminoasa dintr-un punct al zonei de observatie si intensitatea luminoasa maxima din acea zona.

Insumarea pentru un numar infinit de puncte duce la aparitia unei integrale pe largimii fantei, fiecare zona de marime dx contribuind cu o unda de forma:

dY = const. exp [i(kx sina wt)] dx (5)

Astfel se obtine pentru functia de unda Y expresia integrala:

(6)

unde k este modulul vectorului de unda determinat prin k = 2p l, iar w este frecventa unghiulara.

Intrucat intensitatea undei difractate se calculeaza, prin definitie, prin produsuly y, se obtine:

(7)

Se constata ca intensitatea undei difractate prezinta valori minime egale cu zero in situatiile in care sinb = 0, intrucat sin²b nu poate fi decat mai mare sau egala cu zero. Aceasta impune conditia b = m p (m = 1, 2, 3.)

Deoarece

b = ka sina p l) a sina p a sina l (8)

rezulta conditia:

a sina = m l (9)

Pentru a stabili valorile maxime ale lui I(b) (in afara de maximul principal, central, cand b 0 si raportul (sinb b 1) trebuie impusa conditia de maxim in raport cu variabila b al expresiei intensitatii I(b

(10)

Prin efectuarea derivarii rezulta ca solutiile sunt radacinile ecuatiei

tgb b (11)

anume b p p; etc. (in afara de solutia b = 0, celelalte solutii sunt aproximative). Trecand la variabila independenta a rezulta, pentru conditia de maxim, expresia a sina=n l , cu n = 0 ; 1,43 ; 2,46 . Prin cunoasterea latimii fantei a si prin masurarea unghiului a corespunzator unei anumite directii de maxim (ceea ce presupune si cunoasterea valorii lui n) se poate determina lungimea de unda l pe baza relatiei anterioare.

Din relatiile anterioare rezulta ca primul minim apare atunci cand este indeplinita conditia :

(12)

Atunci cand a>>l a este foarte mic, devenind neglijabil, iar figura de difractie se va reduce la practic la imaginea fantei.

Atunci cand a are acelasi ordin de marime cu l, figura de difractie devine din ce in ce mai larga, maximul principal reducandu-se ca largime si accentuandu-se maximele secundare. In momentul in care a devine mult mai mic decat l se ajunge in situatia in care sina ar trebui sa fie mai mare decat unitatea, fapt imposibil, prin urmare dispar toate celelalte directii de maxim in afara de cea a maximului principal (situat in continuarea directiei de propagare a undei incidente).

Daca se utilizeaza pentru observare un ecran aflat la distanta L de fanta, atunci unghiul a corespunzator unei directii de maxim poate fi aflat in mod indirect, studiind distributia intensitatii luminoase pe ecran, si aproximand sina cu tga (aproximatie justificata prin faptul ca unghiul a are valori foarte mici), si determinand tga prin relatia:

tga = h_a / L (13)

unde h_a reprezinta distanta de la pozitia de pe ecran corespunzatoare maximului central (situat pe directia initiala de propagare a luminii) la maximul corespunzator unghiului a

Fenomenul de difractie mai poate fi utlizat si pentru determinarea dimensiunilor geometrice ale obstacolului, in cazul in care lungimea de unda a radiatiei si distributia sa de intensitate in zona unui anumit obstacol sunt cunoscute cu precizie (atunci cand este emisa de un dispozitiv de tip laser, de exemplu).

DISPOZITIV DE OBSERVARE CARACTERISTIC

Dispozitivul de observare caracteristic (figura 2) consta dintr-o sursa de radiatie laser L (alimentata de la o sursa S₁) ce emite un fascicul cu lungimea de unda l, directionat perpendicular pe planul deschiderii avand forma unei fante in suportul P. Figura de difractie obtinuta poate fi observata pe un ecran. Daca acesta este acoperit cu hartie milimetrica, atunci distantele se pot masura direct cu ochiul liber.

Figura 2

Pentru masuratori mai precise si mai complexe, se plaseaza in locul ecranului o fotorezistenta R sau o fotodioda F, pe un dispozitiv care poate fi deplasat mecanic cu ajutorul unui surub micrometric, avand anexate gradatii ce permit stabilirea unei cote liniare in lungul planului ecranului. Prin deplasarea treptata a intregului angrenaj se pot identifica pozitiile corespunzatoare maximului central si primului maxim de difractie, urmand ca distanta d dintre acestea sa permita calcularea tangentei unghiului de difractie prin relatia

tga = d / D (14)

unde D este distanta fanta ecran, si se aproximeaza cu sina. Latimea fantei a rezulta prin folosirea formulei a sina=n l cu n=1,43 pentru primul maxim, obtinandu-se

a = n l / sina (15)

Daca se doreste sa se masoare grosimea g a unui obiect foarte subtire (de exemplu un fir de par), se poate plasa acest obiect pe directia fasciculului laser. Figura de difractie este asemanatoare cu cea anterioara, aparand de asemenea o alternanta de maxime si minime. In mod asemanator putem masura acum distanta dintre maximul central si primul maxim, in conditiile in care firul de par sau alt obiect a carui grosime trebuie aflata este plasat exact in centrul fasciculului. Rezulta , in prima aproximatie, pentru grosimea g o relatie asemanatoare cu (15). Un calcul exact presupune folosirea formulei de distributie spatiala a intensitatii campului electric E al radiatiei laser perpendicular pe directia firului, de forma:

E = E₀ exp(-x²/2r (16)

care implica o functie de unda de forma:

Y_f = const. exp(-x²/2r (17)

si efectuarea unei integrale de forma:

unde originea axei se alege in mijlocul firului de grosime g, h se alege suficient de mare pentru a cuprinde practic intre -h si h intreaga latime a fasciculului incident. In aproximatia recomandata pentru dispozitivul de observare prezentat se poate considera campul electric receptionat in planul fantei, drept constant ca amplitudine si avand aceeasi faza, intrucat sursa se afla la mare departare de planul fantei, iar directia de propagare a undei esre perpendiculara pe acest plan (unda sferica transformandu-se la mare departare intr-o unda plana). Astfel integrala de mai sus devine

= const. [1 / (ksina)] [sin(khsina) - sin(kgsina (19)

Marimea h fiind aleasa mult mai mare decat g/2, putem considera ca primul termen varizaza faorte rapid intre +1 si -1 cu variabila sina, fata de al doilea termen, ceea ce inseamna ca maximele si minimele vor fi determinate practic doar de cel de-al doilea termen (in apropierea valorii sina pentru care al doilea termen este egal cu -1, va exista cu siguranta o valoare sin a pentru care primul termen este egal cu 1, si astfel expresia ajunge la valoarea maxima de 2 - similar, in apropierea valorii sina pentru care al doilea termen este egal cu 1, va exista cu siguranta o valoare sin a pentru care primul termen este egal cu -1, si astfel expresia ajunge la valoarea minima de -2). Cum intensitatea luminii depinde de patratul amplitudinii campului electric E, rezulta ca directiile de maxim de intensitate sunt determinate de conditia:

| sin(kgsina / 2) | = maxim (20)

adica

sin²(kgsina / 2) = maxim (21)

ceea ce implica:

kgsina / 2 = (2n+1)p

sina = (2n+1)l / (2g) = l/(2g) + nl/g,      nIN (22)

Daca se masoara distanta i (interfranja) dintre primul si al doilea maxim de pe un ecran aflat la distanta L de fanta, perpendicular pe directia initiala a fasciculului, atunci, prin aproximarea sinusului unui unghi mic cu tangenta sa, rezulta:

i = I₂ - I₁ = L tga - L tga = L sina - L sina = L l/g (23)

ceea ce permite aflarea grosimii obstacolului (a firului de par, in cazul de fata) prin masurarea interfranjei i de pe ecran.