TEOREMA DE TRANSFER

TEOREMA DE TRANSFER

Sa consideram o marime extensiva, Φ, referitoare Ia volumul de control τ*, marginit de suprafata σ*. Pentru aceasta marime are loc o conditie globala de conservare (numita si ecuatie generala de transport sau transfer):

. )

unde au fost notate: P[Φ], productia (sau sursa) marimii Φ in unitatea de timp si, respectiv, F[Φ], fluxul in unitatea de timp prin suprafata σ*.

Productia P[Φ] poate reprezenta fie o sursa pozitiva (genereaza), fie o sursa negativa (consuma), in general, productia poate avea loc atat in interiorul volumului τ*, cat si pe suprafata σ* a acestuia. Introducand notiunile de sursa de volum, , si, respectiv, sursa de suprafata , productia totala va fi suma contributiilor acestora:

. )

Exprimarea distributiei de surse pe suprafata sub forma vectoriala, , este justificata de necesitatea introducerii dependentei de geometria suprafetei volumului de control, exprimata prin orientarea normalei n.

Fluxul F[Φ] reprezinta un proces care are loc la interfata volumului cu mediul si reprezinta schimbul marimii Φ dintre volumul τ* si mediu. in consecinta, el trebuie sa contina si informatii asupra geometriei suprafetei σ*, deci o exprimare de forma:

. )

unde       reprezinta fluxul vector al marimii Φ prin frontiera domeniului apare justificata.

O analiza a mecanismelor fenomenelor de transfer la interfata perfect permeabila a volumului de control cu mediul pune in evidenta doua tipuri de procese: un proces convectiv, datorat miscarii macroscopice a fluidului si un proces difuziv, datorat miscarii submacroscopice (agitatiei moleculare). Asadar, formal, fluxul vector       poate fi descompus in doua componente:

. )

unde este componenta convectiva a fluxului, iar reprezinta componenta difuziva a acestuia.

Daca se va introduce densitatea volumica φ, conform relatiei (1.1), si daca vom considera ca viteza de transport macroscopica este V, atunci definitia data mai sus fluxului convectiv permite scrierea acestuia sub forma:

. )

Fluxul difuziv este rezultatul unor miscari care nu pot fi sesizabile macroscopic, sau, la limita, caracterizeaza transferul marimii Φ prin frontiera volumului de control τ* intr-un fluid in repaus, deoarece nu depinde de viteza de transport. Studiul acestor miscari (agitatie moleculara) nu fac obiectul mecanicii mediilor continue. In general, exprimarea fluxurilor difuzive se face prin intermediul unor legi constitutive (sau legi empirice) care exprima fluxul conductiv functie de parametri macroscopici direct masurabili (de exemplu legea lui Fourier, legea lui Fick etc).

O descompunere de forma (1.5) sugereaza, la prima vedere, o superpozitie liniara a doua fenomene fizice: convectia macroscopica si agitatia moleculara. O analiza mai aprofundata pune in evidenta ca cele doua fenomene sunt cuplate iar, in cazul general, fluxul conductiv trebuie considerat ca fiind la randul lui o functie implicita de campul de viteze, desi nu poate fi descris de o relatie de transport de forma (1.6). Spre exemplu, in legea lui Fourier, fluxul conductiv de caldura este exprimat in functie de gradientii unor marimi macroscopice, dintre care cea mai importanta este temperatura. Dar campul de temperaturi este, in miscarea unui fluid, cuplat de campul de viteze. In consecinta, fluxul conductiv de caldura depinde indirect de campul de viteze, cuplajul fiind neliniar prin intermediul intregului sistem de ecuatii ce descrie miscarea fluidului.

Inlocuind relatiile (1.3) - (1.6) in ecuatia generala de transfer (1.2), se obtine:

. )

Aplicand teorema divergentei, cu normala n presupusa orientata spre interiorul volumului τ*, se obtine:

. )

Expresia (1.8) poarta numele de forma integrala a teoremei de transfer (sau a ecuatiei de conservare). Cum volumul de control τ* a fost ales arbitrar, din ecuatia globala (1.8) rezulta ca:

. )

relatie ce reprezinta forma locala a teoremei de transfer. Prin particularizarea ecuatiilor (1.8) si (1.9), se pot obtine ecuatiile mecanicii mediilor continue. In cele ce urmeaza se vor evidentia ecuatiile dinamicii fluidelor si se va particulariza ecuatia (1.9) pentru urmatoarele marimi intensive: masa, impuls si energie totala.