Ecuatii diferentiale de ordinul intai

Ecuatii diferentiale de ordinul intai

Sa se integreze ecuatiile diferentiale:

a) ;

b)

Solutie

a) Ecuatia este cu variabile separabile, deoarece este echivalenta cu ecuatia diferentiala si deci integrand obtinem solutia generala

b) Ecuatia se scrie adica o ecuatie cu variabile separabile. Solutia ei generala este .

Sa se determine solutia generala pentru ecuatiile diferentiale :

a)

b)

c)

Solutie

a) Ecuatia se scrie sub forma , ecuatie cu variabilele separabile; deci si integrand se obtine: adica .

b) Facand substitutia obtinem si ecuatia va deveni , deci . Asadar , adica de unde se obtine solutia data implicit

c) Facand substitutia , adica si inlocuind in ecuatie se obtine adica o ecuatie cu variabile separabile cu solutia . Deci solutia generala a ecuatiei initiale este .

Sa se integreze urmatoarele ecuatii :

a)

b)

c)

Solutie

a) Ecuatia se scrie sub forma , adica o ecuatie cu variabile separabile. Integrand vom obtine

b) Facand substitutia se va obtine ecuatia diferentiala liniara neomogena

In general, pentru o ecuatie diferentiala liniara neomogena de forma , cu f si g functii continue, solutia generala este de forma unde P(x) este o primitiva a lui f(x).

In cazul nostru, , , si deci , adica solutia generala a ecuatiei initiale este cu x>0.

c) Ecuatia fiind de forma este liniara cu solutia generala

Sa se determine solutia ecuatiei diferentiale:

Solutie: Se recomanda schimbarea de functie Atunci avem si ecuatia devine de unde si solutia ecuatiei este data sub forma

Sa se rezolve ecuatia diferentiala:

.

Solutie

Scriem ecuatia diferentiala data in enunt sub forma , adica Notand vom avea si ecuatia devine adica o ecuatie liniara neomogena cu solutia

Asadar, solutia ecuatiei initiale este

Sa se integreze urmatoarele ecuatii Bernoulli:

Solutie

a) La ecuatia de tip Bernoulli se recomanda schimbarea de functie .

In cazul nostru ecuatia se mai scrie , deci o ecuatie Bernoulli cu . Impartind cu si facand substitutia obtinea ecuatia liniara neomogena , ce are solutia generala . Deci solutia generala a ecuatiei initiale este .

b) Ecuatia are forma , deci notam si obtinem ecuatia liniara neomogena cu solutia si .

c) Se imparte ecuatia cu ; se obtine si notand obtinem ecuatia liniara neomogena a carei solutie este adica .

Sa se rezolve ecuatiile Riccati urmatoare:

Solutie

Pentru rezolvarea ecuatiei de tip Riccati este esential de stiut o solutie particulara a ei. Facand substitutia (unde este o solutie particulara) vom obtine o ecuatie liniara.

a) Cautand o solutie particulara de forma obtinem si facem schimbarea de functie . Deci si inlocuind in ecuatie obtinem: , deci

, adica ecuatia liniara cu solutia

si solutia ecuatiei initiale este .

b) Cautam o solutie particulara de forma si gasim . Se face schimbarea, deci si se obtine ecuatia liniara ce admite solutia generala:

.

Asadar solutia generala a ecuatiei initiale este .

c) Cu toate ca este o ecuatie de tip Riccati o rezolvam prin alta metoda. Ecuatia se scrie sub forma , adica . Facem schimbarea si obtinem ecuatia cu variabile separabile ce are solutia , adica .

Sa se integreze:

Solutie

a) Notam si ecuatia devine , adica o ecuatie liniara cu solutia

si solutia ecuatiei initiale este .

b) Se inverseaza rolul variabilelor, deci si ecuatia devine liniara , de unde .

c) Folosind acelasi rationament ca in ecuatia precedenta, deci schimband rolul variabilelor ecuatia devine o ecuatie liniara cu solutia .

Sa se integreze ecuatiile urmatoare:

Solutie

a) Ecuatia fiind de forma se utilizeaza metoda parametrului: se noteaza si se obtine , din care prin diferentiere, deoarece , se deduce ecuatia cu solutia generala . Solutia generala a ecuatiei initiale se scrie parametric .

b) Ecuatia se scrie , deci fiind de forma se utilizeaza tot metoda parametrului. Notand obtinem si . Dar cum rezulta cu solutia si solutia ecuatiei initiale este .

c) Ecuatia nu poate fi scrisa sub forma normala , dar se poate explicita atat in raport cu variabila y cand , cat si in raport cu variabila x cand .

In prima ipoteza notand se deduce , iar prin diferentiere (in raport cu x) va rezulta ecuatia diferentiala

, adica .

Daca , avem , deci , iar solutia generala este data sub forma parametrica , cu p>0, sau sub forma , adica .

Daca , prin inlocuirea lui in ecuatia initiala , obtinem solutia singulara .

Sa integram acum ecuatia, dar explicitata in raport cu variabila x, deci scriem ecuatia sub forma , care prin derivare in raport cu y, deoarece se deduce ecuatia diferentiala , adica . Cazul , deci a fost tratat mai sus; iar ne da si inlocuind in ecuatia initiala, obtinem , adica s-a regasit solutia generala anterioara.

Sa se integreze:

Solutie

a) Scriem ecuatia sub forma , adica o ecuatie Clairaut. Pentru rezolvarea acestei ecuatii derivam in raport cu x si facem substitutia ; rezulta deci sau adica si inlocuind pe in ecuatia initiala obtinem solutia generala , sau x - p = 0, adica x = p, si solutia singulara este parabola .

b) Este o ecuatie Lagrange. Se noteaza deci ecuatia devine si derivand in raport cu x rezulta . Schimbam rolul variabilelor si obtinem ecuatia liniara cu solutia generala

si solutia generala a ecuatiei Lagrange initiala este data sub forma parametrica

.

Sa se determine solutia ecuatiei diferentiale , cu conditia y=1.

Solutie

Ecuatia se scrie sub forma , adica o ecuatie cu variabile separabile si integrand obtinem , deci lny=Ctg sau Din conditia y=1, rezulta 1 = , adica C=0 si solutia este

Sa se integreze ecuatiile omogene urmatoare :

a) ;

b)

c)

Solutie

a) Ecuatia este de tipul anume se recomanda deci substitutia deci Ecuatia devine deci si integrand, , de unde .

b) Scriind ecuatia sub forma si notand obtinem o ecuatie cu variabile separabile. Integrand obtinem , deci , adica si solutia ecuatiei este data sub forma

c) Ecuatia este omogena fiind de forma Facem substitutia si obtinem ecuatia , adica si integrand obtinem , deci si cum avem solutia generala .

. Sa se rezolve ecuatiile urmatoare :

a)  ;

b)

Solutie

a) Se considera dreptele , din planul xOy; ele se intersecteaza in punctul (-1,3). Facand substitutia , , obtinem ecuatia omogena , deci facem schimbarea si ecuatia devine

, adica

Integrand ecuatia

obtinem adica si cum , , avem deci

b) In acest caz facem substitutia si ecuatia devine , adica Separand variabilele si integrand obtinem deci

. Sa se determine solutia ecuatiei , ce trece prin punctul de coordonate (1,2).

Solutie

Ecuatia fiind de forma este o ecuatie de tip Riccati. Se vede usor ca o solutie particulara a ei este si facand substitutia obtinem , adica ecuatia liniara neomogena cu solutia generala

deci solutia generala a ecuatiei initiale este Punand conditia ca solutia sa treaca prin punctul de coordonate (1,2) obtinem , adica si solutia ceruta este

. Sa se determine solutiile generale ale urmatoarelor ecuatii diferentiale :

a)

b)

c)

Solutie

O ecuatie diferentiala de forma cu P,Q functii de clasa pe un domeniu simplu conex din este o ecuatie exacta daca in orice punct din D ; in acest caz in vecinatatea oricarui punct fixat exista o functie, anume si cu , astfel incat ecuatia devine adica dF=0 si are solutia generala F(x, y)=C.

a) Aici si avem relatia pe orice domeniu D din , deci ecuatia este exacta. In acest caz, in vecinatatea oricarui punct fixat exista functia , adica

si solutia generala a ecuatiei este

Ecuatia se poate rezolva si direct:

si

b) Daca si avem , deci ecuatia considerata este exacta pe si exista in vecinatatea oricarui punct fixat functia

, deci

Deci, solutia generala a ecuatiei este

Direct avem: ,

si

c) Ecuatia este exacta, cu solutia

adica luand =(0,0),

Direct , adica

, deci rezulta si solutia

. Folosind un factor integrant, sa se rezolve ecuatiile :

a)

b)

c)

d)

Solutie

Daca ecuatia diferentiala nu este exacta, dar exista astfel incat ecuatia diferentiala sa fie exacta, atunci se numeste factor integrant al ecuatiei si va verifica ecuatia cu derivate partiale

Determinarea unui factor integrant este mai simpla in cazurile:

1) Daca raportul depinde numai de variabila x, atunci se cauta=(x).

2) Daca raportul depinde numai de variabila y, atunci se cauta =(y).

a) Ecuatia diferentiala nu este exacta; avem si cum raportul cautam un factor integrant =(x).

Conditia ne da ecuatia

adica ce admite solutia Asadar, ecuatia diferentiala este exacta (s-a obtinut din ecuatia diferentiala initiala prin inmultire cu ) si are solutia generala

b) Daca atunci

si ecuatia nu este exacta. Raportul si deci cautam un factor integrant =(y). Conditia ne da ecuatia ce admite solutia si ecuatia este exacta cu solutia

. Folosind un factor integrant de forma indicata, sa se rezolve ecuatiile:

a)

b)

Solutie

a) Notand avem si .

Ecuatia este exacta daca adica

Efectuand calculele obtinem ecuatia ce are solutia adica Deci ecuatia

este exacta si solutia ei verifica ecuatia adica

b) Notand obtinem ecuatia cu solutia , deci . Asadar, ecuatia

, adica ecuatia:

este exacta si solutia ei verifica ecuatia

, deci

. Sa se rezolve problema Cauchy:

Solutie Ecuatia nu este exacta, dar cautand un factor integrant =(y), (deoarece raportul ) obtinem ce admite solutia . Asadar avem ecuatia exacta adica rezulta deci si punand conditia ca solutia ecuatiei sa treaca prin punctul de coordonate (1, 1) avem C=0 si solutia problemei Cauchy este parabola

Ecuatia poate fi rezolvata mai simplu schimband rolul variabilelor, adica si ecuatia devine adica , o ecuatie liniara cu solutia si solutia problemei Cauchy

. Sa se arate ca ecuatia omogena admite un factor integrant de forma

Solutie Cum ecuatia omogena se scrie sub forma aratam ca ecuatia adica ecuatia este o ecuatie exacta.

Deoarece adica inlocuind in ecuatie, obtinem

adica deci care este o ecuatie exacta deoarece exista astfel incat si

. Sa se demonstreze ca problema Cauchy

nu are solutie unica.

Solutie Ecuatia se scrie sub forma si deci avem ecuatiile diferentiale sub forma normala si care in urma unui rationament elementar rezulta a fi echivalente cu ansamblul de ecuatii liniare :, , ce au solutiile generale si Impunand conditia initiala y(0)=1 obtinem solutiile distincte si

Exercitii suplimentare

Sa se integreze ecuatiile urmatoare :

.    

R.

.    

R

.   

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.

.

R.