Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  
ArheologieIstoriePersonalitatiStiinte politice


Relatiile dintre alegeri si preferinte

Stiinte politice



+ Font mai mare | - Font mai mic



Relatiile dintre alegeri si preferinte

Am vazut in sectiunea 5.1 cum, pornind de la multimea alternativelor pe care le are la dispozitie un actor rational intr-o anumita situatie (deci de la o agenda X) se poate construi multimea alternativelor alese de acesta, C(X); de asemenea, am amintit unele dintre proprietatile pe care le are functia de alegere C. Pe de alta parte, in sectiunea 5.2 am cercetat relatiile de preferinta pe care un actor rational le poate avea intre alternativele de pe agenda X si am vazut cum se poate construi multimea alternativelor sale maximale M(X,R) in raport cu relatia de preferinta R pe X; de asemenea, am studiat unele dintre proprietatile relatiilor de preferinta. Acum se ridica intrebarea: sunt corelate - iar daca da, atunci cum sunt corelate intre ele conceptele de preferinta si de alegere ale unui actor rational?



In particular, sa incercam sa analizam urmatoarea situatie. Sa luam o multime Φ de alternative. Asa cum am vazut, putem defini o functie de alegere C in felul urmator. C ataseaza fiecarei agende X (deci fiecarei multimi X incluse in Φ) o (unica) multime C(X) de alternative.

C: P(Φ) → P(Φ)

Intrebarea este: putem oare corela functia de alegere C cu o relatie de preferinta R definita pe multimea Φ? Ideea de a care plecam este simpla. Sa presupunem ca pentru o agenda oarecare X astfel incat f X avem C(X) = . Din comportamentul actorului nostru, ne dam seama ca, avand la dispozitie atat pe x cat si pe y, el a ales doar alternativa x; ceea ce ar indica faptul ca prefera pe x lui y. Dar sa presupunem ca pentru aceeasi agenda X avem C(X) = . In acest caz, din comportamentul actorului in situatia data (cand alege din agenda X) nu putem conchide ca una dintre alternative e preferata celeilalte. Singurele date pe care le avem la dispozitie in ce priveste comportamentul actorului sunt alegerile sale. Numai din ele putem infera ceva despre preferintele sale.

Pentru a face mai riguroase ideile mentionate aici, sa introducem urmatoarea definitie:

Definitia 5. O functie de alegere C este rationalizabila daca exista o relatie binara R definita pe Φ astfel incat pentru orice agenda X f Φ avem: C(X) = M(X,R)

Vom spune ca C este rationalizata de R.

Ceea ce am dori sa stim este, simplu zis, ce conditii trebuie sa indeplineasca o functie de alegere C pentru a fi rationalizabila. Fiindca e posibil sa dovedim ca nu orice astfel de functie este rationalizabila. De pilda, sa admitem ca Φ = si ca am definit pe C astfel:

C() = C() = ; C() = ; C() =

Atunci insa ar trebui sa avem P(y,x), fiindca C() = ; dar ar trebui sa avem si P(x,y), fiindca C() = . Desigur, acest lucru nu incalca definitia 5; potrivit acesteia si definitiilor 3 si 4, putem construi o relatie binara R pe Φ. Problema este ca R si P astfel definite nu sunt relatii de preferinta; in particular, P este asimetrica, si deci nu putem avea simultan P(x,y) si P(y,x). De aceea, daca dorim ca relatiile binare definite pe Φ sa fie relatii de preferinta (in particular, ca R sa fie o relatie de ordine slaba), inseamna ca trebuie sa punem conditii suplimentare pe care sa le indeplineasca functia de alegere C.

Sa incepem prin a defini, pentru orice functie de alegere C, o relatie RC, pe care sa o numim preferinta pereche generata de C (Arrow: 1959). RC se defineste astfel:

Definitia 6. Pentru orice x si y din Φ, RC(x,y) daca si numai daca C() = .

Altfel zis, alternativa x este RC-preferata lui y daca si numai daca in situatia de alegere in care agenda consta din exact x si y actorul alege numai pe x. Plecand de la functia de alegere C am putea sa construim si alte relatii de preferinta pe Φ (Sen: 1971). De exemplu, am putea defini o noua relatie R1 prin generalizarea definitiei 6, in felul urmator:

Definitia 7. R1(x,y) daca si numai daca exista o agenda X f Φ astfel incat x C(X)    si y X

Conform acestei definitii, x e preferat prin R1 lui atunci cand x este o alternativa aleasa in situatia in care si alternativa y este disponibila. Sa definim de asemenea o relatie R3; aceasta corespunde preferintei revelate: alternativa x este aleasa intr-o situatie in care y este nu numai disponibila, dar este respinsa (adica: nu este aleasa).

Definitia 8. R3(x,y) daca si numai daca exista o agenda X f Φ astfel incat x I CX si y I X si y CX.

Definitia 8 trimite la o proprietate pe care functiile de alegere sociala de tipul lui C o pot avea - aceea a preferintei revelate. Intr-adevar, se poate demonstra ca, daca C are unele proprietati, atunci cele trei relatii definite aici sunt strans conectate. Vom mentiona, fara a da si demonstratiile, cateva astfel de rezultate:

Teorema 9.

Daca functia de alegere C satisface conditia α, atunci then R1 = RC

Daca functia de alegere C satisface conditiile α si β, atunci RC = R2

O functie de alegere C satisface conditiile α si β daca si numai daca pentru nici un x si y, R2(x,y) si R1(y,x) nu sunt impreuna adevarate.

In continuare ne vom opri numai asupra relatiei de preferinta pereche a lui Arrow. Vom mentiona cateva proprietati ale acesteia, sintetizate in teorema 11, si vom da demonstratia acestora. Inainte insa vom demonstra ca aceasta relatie este extrem de semnificativa: asa cum va rezulta din teorema 10, pentru orice functie de alegere C, daca exista o relatie care o rationalizeaza, atunci aceasta in chip necesar coincide cu RC.

Teorema 10. O functie de alegere C este rationalizabila daca si numai daca este rationalizabila de RC.

Demonstratie. Necesitatea este evidenta. Caci daca C este rationalizabila de RC, atunci evident ca exista o relatie care rationalizeaza pe C. Invers, sa presupunem ca o relatie R rationalizeaza pe C. Insa, pentru orice agenda X f prin definitia lui M(X,R) avem R(x,y) daca si numai daca M( ,R). Cum am admis ca R rationalizeaza pe C, avem si x I M( ,R) daca si numai daca x I C( ). Dar acum prin definitia lui RC avem RC(x,y) daca si numai daca x I C( ). Prin urmare, pentru orice x si y, R(x,y) daca si numai daca RC(x,y), altfel zis RC = R.

Teorema 11.

Relatia RC este reflexiva si completa.

Daca functia de alegere C satisface conditiile α si β, atunci RC este tranzitiva.

Daca functia de alegere C satisface conditia PI, atunci PC este tranzitiva.

Daca functia de alegere C satisface conditia α, atunci PC este aciclica.

Sa demonstram pe rand fiecare din cele patru puncte ale teoremei.

1. Vom arata ca RC este reflexiva si completa. Ne amintim ca functia de alegere are proprietatea ca pentru orice agenda X avem C(X ) ≠ Æ. Atunci avem mai intai C Æ, deci C = - ceea ce inseamna ca pentru orice x are loc RC(x,x). Mai departe, C Æ pentru orice x si y. Sa luam cazul in care C = . Atunci avem RC(x,y); daca insa e fals ca C = , va trebui sa avem C() = , caci C() ≠ Æ, deci - ceea ce inseamna ca RC este completa.

2. Sa admitem ca functia de alegere C satisface conditiile α si β si ca de asemenea avem RC(x,y) si RC(y,z) - adica, prin definitia lui RC: xIC() si yIC Vrem sa aratam ca RC(x,z), adica xI C(). Sa observam ca prin conditia α, daca e adevarat ca xIC(), atunci e adevarat si ca xIC(). Caci avem f si deci prin α obtinem: C f C(). Daca acum xIC(), avem si xI C , deci xI C(). Prin urmare, e suficient sa aratam ca xIC() pentru a conchide ca RC(x,z). In al doilea rand, stim ca C Æ. Atunci avem fie x, fie y, fie z in C(). Daca a) xI C(), atunci am demonstrat ce voiam. Sa prespunem acum ca b) yI C(). Atunci prin conditia α avem si yI C(). Dar am facut si supozitia ca xIC(), prin urmare f C(). Acum sa apelam la conditia β. Cum f si in plus C() C() ≠ Æ (intr-adevar, y apartine ambelor multimi), va decurge ca C fC(). Ca urmare, avem din nou xI C(). Trecem la ultimul caz posibil, zI C(). Iarasi prin α obtinem xI C(); apeland din nou la β si la supozitia noastra: yIC(), decurge ca yI C() - ceea ce ne permite sa reiteram argumentul de la punctul (b). Ca urmare, avem in orice caz xI C(), deci xI C(), deci RC(x,z).



3. Sa admitem acum ca functia de alegere C satisface conditia PI si sa aratam ca PC este tranzitiva. Presupunem ca avem PC(x,y) si PC(y,z) - adica, prin definitia lui PC: = C() si = C Vrem sa aratam ca PC(x,z), adica = C(). Avem C(C() c C()) = C(c) = C() = . Dar prin PI C(C() c C()) = C(), deci C() = . Pe de alta parte, avem si = c . Sa tinem cont de faptul ca C() = . Avem acum = C() = C(C() c C()) = C(c ) = C(). Deci = C(), adica PC(x,z).

4. In sfarsit, sa admitem ca functia de alegere C satisface conditia α si sa aratam ca PC este aciclica. Fie o agenda Y = . Sa presupunem de asemenea ca e adevarat ca PC(x1,x2), PC(x2,x3), PC(xn-1,xn). Sa aratam ca RC(x1,xn). Mai intai, sa notam ca nici una din alternativele x2, xn nu poate fi un element din C(Y). Caci sa admitem ca am avea sa zicem xiI C(Y); atunci fie o agenda X = ; desigur, avem C() = , fiindca avem PC(xi-1,xi). Apeland la conditia α, decurge ca ar trebui sa avem C(Y) f C(). Dar acest lucru e imposibil, fiindca C() = , insa xi-1I C(Y) . Dar stim ca C(Y) ≠ Æ, ceea ce se poate numai daca x1I C(Y). Iarasi apeland la conditia α (folosind agendele Y si ), obtinem x1I C(), adica RC(x1,xn).





Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare



DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 971
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved