Starea de tensiune plana si spatiala

Starea de tensiune plana si spatiala

Solicitarea cea mai generala a unui corp conduce la aparitia a foarte multe necunoscute; mai exact apar in fiecare punct al corpului urmatoarele 15 necunoscute:

-3 deplasari u, v, w

-6 deformatii - 3 specifice liniare ε_x; ε_y; ε_z

-3 specifice unghiulare independente _xy; γ_yz; γ_zx

-6 tensiuni -3 normale σ_x; σ_y; σ_z;

-3 tangentiale independente ζ_xy; ζ_yz; ζ_zx;

1. directii si tensiuni principale

tensiuni principale: σ =

tensiuni tangentiale ζ =

directii: tg2α=

=

tgα₁=

2.Tensiuni tangentiale extreme

Tens tang extreme apar in plane bisectoare de plan formate de directiile principale. (9a) (9b)

3.1.Directii si tensiuni principiale la bare traiectoriile tensiunilor principale la acestea

tensiuni principale =

tensiuni tangentiale ζ_max;min=

tensiuni tangente extreme ζ_max;min=

directii principale : tg2 =

solicitari axiale : -la intindere ; -la compresiune

3.2starea de solicitare spatiala

Este cea mai generala stare de solicitare in care toate tens vor fi nule. Dorim sa vedem care este starea de tensiune spatiala.

starea de tensiune spatiala

Izolam un tetraedru elementar in jurul unui punct A dintr-un corp aflat in aceasta stare de tensiune l=cos(;ox) m=cos(;oy) n=cos(;oz) p=tensiune totala desen aria A₁A₂A₃=dA

(1) ∑M_{O1;O2;O3; xy}=ζ_yx ζ_yz=ζ_zy ζ_zx=ζ_xz; -pric

dualitatii tensiunilor tangentiale

asa cum rezulta din ec de mai sus starea de tensiune din jurul unui punct este complet precizata daca se cunoasc cele 9 componente ale tensorului tensiunilor

tensorul tensiunilor

la variatia tensiunilor in jurul lui A se pot pune in evidenta 3 directii principale pe care tensiunile normale σ iau valori extreme. Tensiunile tangente sunt nule σ1>σ2>σ3

presupunem ca alegem sist de axe xoyz astfel incat directia lui sa fie o directie principala vom avea ca: (4) egaland (1) cu (4) vom obtine:

(5) ! l²+m²+n²=1 !(6) datorita ec (5) si (6) =>

(7a) => σ³-I₁ +I₂σ-I =0 (7b) se poate admite ca ec 7b admite intotdeauna solutii reale distincte. tensiunile trincip(σ) _|_ directiile princip(l,m,n)

Deoarece starea de tensiune nu trebuie sa depinda de sistemul ales coef ec 7b trbuie sa fie invarianti(cel mai important invariant este I₁) I₁= +σ₃=σ_x+σ_y+σ_z (8)

4. legea lui Hooke generalizata. Relatia E G (semnificatie termini)

E-modul de elasticitate longitudinal (a lui Young)

G-modul de elasticitate transversal

coeficientul contractiei transversale (a lui Poisson)

Legea lui Hooke: σ=E x ε ε=σ/ε ζ=G x γ=ζ / G

La solitare la intindere ε. transveral = - υ x ε

Legea generalizata:

IIsolicitari compuse

1.def: solicitarea la care in sectiunea curenta a unei bare avem cel putin doua eforturi nenule

2.clasificare: a. incovoiere oblica cu forte coplanare si cu forte necoplanare

b. incovoiere cu efort axial oblica si simpla

3.tensiuni si conditii de rezistenta la:

- incovoiere oblica pura

M.y=Mcosα

M.z=Msinα

σ.My=

σ.Mz=

axa neutra= locul geometric al pinctelor de pe sectiunea transversala unde σ =0

conditii de rezistenta pentru materiala cu R.t R.c σ.max⁽⁺⁾ R.t σ.min^(-) R.c

petru materiala cu R.t=R.c |σ.max | R

-incovoiere oblica cu lunecare

ζ.xz= ζ.xy=

conditia de rezistenta ζ= R.f

III Marimi si metode energetice

1.Marimi energetice (denumire, notatie, formula de def)

W-energia potentiala de deformatie

W*-energ potentiala complementara de deformatie

W*=W in cazul corpurilor alcatuite din material liniar elastic

2. teoreme energetice (princ lucrului mecanic)

Teoremele de minim le lui π, π* teoremele lui Castigliano

Pentru un corp aflat in echilibru LM al fortelor exterioare este egal cu lucrul mecanic al tensiunilor δL.e=δL.σ

Pot fi considerate ca si cazuri particulare de aplicare a teor de minim ale energy potentiale totatle sau de cele complementare pentru corpuri alcatuite din materiale liniar eleatice.

U=p.1u.1+p.2u.2+.+p.1u.1+.+p.n u.n =U*

W-U variabile sunt considerate deplasarile "u"

Π*=W*-U* variabile sunt considerate fortele "p"

energia potentiala totatla; π* energia potentiala complementara totala

Teorema min(π)

à     -a - a doua teorema a lui Castigliano:

Derivata energiei potenyiale de deform in raport cu o deplasare generala = cu forta generalizata ce actioneaza pe directia acelei deplasari

Teorema de min(π*)

à - prima teorema a lui Castigliano:

Derivata energy pot complementare de deform in rap cu o forta generalizata = cu deplsarea generalizata pe directia aceleiu forte.

Daca se tine cont de expresia eneriei potentiale complement de deformatie pt bare:

3a 3a=expresia teoremei I Castigliano

Procedand alanlog se poate sctrie o expresie echivalenta expresiei (2) care va semana cu (3a) dar deriva vor fi dupa u si in fata egalului Pi

3.Formula Maxwell-Mohr. Regula Veresciaghin

Aceasta formula se poate aplica numai la corpuri alcatuite din materiale liniar elastic (curba caract este dreapta). Presupunem ca avem un system care este incarcat cu un system de n forte.

Datorita faprtului ca materialul este liniat elastic ,la scrierea eforturilor se poate aplica principiul

suprapunerii efectelor

t.p2=P.2 t.p1=P.2 t.p2 t.1=forta taietoare dintr-o forta egala cu 1;

m.n=diagrama de moment din p.2=1

derive dein 3a devin: ;

reprez diagr: - mom exial; -forte taietoare; -mom incov; -mom de torsiune } din forta ti=1

prin inlocuirea acestor diagrame in 3a se obtine formula Maxwell-Mohr

Regula Veresciaghin

à

Teoreme de reciprocitate

L.e=P.j x u.j +P.i x u.ij L.e=P.i x u.i +P.j x u.ij

P.i x u.ij = P.j x u.ji

teorema reciprocitatii lucrului mecanic (Betti)

LM al unui sist de forte P.i produs prin deplasari cauzate de un alt sist P.j este egal cu LM produs de sist de forte P.j prin deplasari cauzate de primul sist de forte P.i

∆.ij -deplasari pe directia i din P.j = 1; ∆.ji -deplasari pe directia j din P.i = 1

IV. calcul in domeniul plastic

1. definiti articulatia plastica si explicati ce consecinte are aparitia sa

def: inmomentul in care in sectiunea cea mai solicitata a grinzii s-a atins momentul plastic, rotirile din aceasta sectiune se pot produce in mod liber in sensul incarcarilor ce determina acest moment incovoietor; ca urmare sectiunea functioneaza ca o articulatie si de aceea vom spune ca pe acea sectiune s-a format o articulatie plastica

defapt formarea unei art plastice inseamna aparitia unui grad de libertate suplimentar

consecinte: la aparitia primei art plastice la SSD structura se transforma intr-un mecanism si intervine colapsul. La SSND aparitia nu poate duce decat la formarea unui mecanism de cedare locala sau partiala

2.mecanisme de cedare

3..Modul de calcul in domeniul p

a.metoda statica (biografica)

b.metoda cinematica *

Conditii pe care le avem in vedere la calculul in domeniu p

a. sunt respectate ec de echilibru in fiecare etapa de incarcare

2. cond de plasticitate - la atingerea efortului plastic (Mpl-la solicit axiale sau Npl la incov) acestea raman constant, neputand fi depasite.
3. in locul conditiei de continuitate (din domeniul e al deformarii) se vor utilize cond de mechanism, conform careia, cedarea survine la deformarea mecanica de cedare generala.

(e) à Mcap=WyR

(lse) à Mc=Wy σ.c

(p) à Mpl=Wpl σ.c

calculul lui Mpl a) A; b) x,y ∆.jos=∆.sus; c)Sjos=Ssus; d) Wpl=Sjos+Ssus; e)Mpl=W σ.c

Rezerva de rezistenta a unei sectiuni in cazul preoiectarii ce a fost dimensionata in raport cu limita stadiului elastic

3.2 articulatia plastica (ap) extinderea (ap) in lungingul barei

CF=curgere de fibra

Daca sectiunea este dreptunghiulara si e incarcata uniform distribuit, zonele plastice sunt delimitate de zonele elastice prin doua hiperbole care se transforma in drepte in momentul formarii articulatiei plastice. Pentru alte tipui de sectiunei si incarcari, forma curbelor de delimitare este mai dificil de stability

relatia moment curbura

-domeniul plastic relatia liniara 1/ρ=curbura

-domeniul elasto plastic

V. Flabajul

1.definitia flambajului, lungimea de flambaj

def:flambajul reprezinta fenomenul de pierdere a stabilitati formei de echilibru la barele comprimate.

def: lungimea de flambaj reprez distanta dintre doua puncte de extrem sau doua puncte de inflexiune succesive de pe deformatia barei

2.lungimi de flambaj curente (4buc)

l.f = x l

3.formula lui Euler

sin(αl)=0 => αl=n π .

-formula Euler

4.specificul calculului la flambaj pt talpi cu placute (ce apare in plus fata de reactiuni simple)

Calculul placutelor .

T=0.012AR forta taietoare conventionala pe stalp - relatie empirica(OL 37)

A=aria montantilor

5.cond de stabilitate.

φ= coef de flambaj- ia valori intre 0-1

daca φ=0=>σ.x= Are valorile intabelate in functie de un coeficient

Incadrearea pe una din curbele A, B, C se face in fctie de forma sectiunii. λ-coeficient de zveltete

6.formula lui Perry

-momentul incovoietor:

M.II=M.I + P x w =

= M.o sin+ P w=M.o sin+P=

M.II=

VI. oboseala materialului

1.ce reprezinta (coef c)

c=coeficientul de siguranta la oboseala

2.cum se pune in calcul

-se face dimensionarea din conditiile de rezistenta utilizate la solicitarile statice si apoi se verifica. c=

-deci pentru o piesa solicitata laun ciclu avand coeficient de asimetrie R, "c" reprezinta raportul dintre efortul maxim σ.maxL corespunzator ciclului limita care are acelasi coef de asimetrie R si efortul maxim al ciclului considerat σ.maxM

c=

-daca piesa solicitata are alte caracteristici decat epruveta pe care s-a trasat curba ciclurilor limita vom face echivalarea introducand coeficientii Kσ; Kζ; ε ;γ.

c.σ=

VII. calculul la soc (solicitari prin soc)

1. ce reprezinta coeficientu

ψ=coeficient dinamic

2.cum se pune in calcul

P.din=Pψ soc vertical transversal: ψ=1+ =1+

raspunsul dinamic se obtine prin amplificarea raspunsului static cu coeficientul dinamic

ζ.din=ψζ.static P.din=ψP σ.din=ψσ.static

-soc veritcal longitudinal - relatiile sunt analoage celor de la socul vertical transversal

singura deosebire sunt deformatiile axiale (nu sageti)

-soc orizontal - diferente fata de socul vertical: la trecerea din a in b forta P nu produce lucru mecanic ψ= marimea ζ.st are un caracter conventional, ea reprezentand sageata datorata unui P ce ar actiona orizontal

-calculul de rezist si rigiditate σ.din, max =ψσ.st, max R

ζ.din, max = ψζ.st, max =f.admis