Algebre Boole. Corpuri de parti

Algebre Boole. Corpuri de parti

Algebre Boole

Definitie. Se numeste algebra Boole, o multime nevida , in care sunt definite operatiile ,, , si fata de care sunt verificate axiomele urmatoare:

; ; (comutativitate)

; ; (asociativitate)

; ; (absorbtie)

; ; (distributivitate)

; ; (complementaritate)

oricare ar fi .

Exemple

1. Multimea tuturor partilor ale multimii nevide inzestrata cu operatiile de reuniune, intersectie si complementaritate (fata de ) capata o structura de algebra Boole.

2. Perechea de clase de resturi de intregi n, modulo doi, inzestrata cu operatiile:

(deci , ), este o algebra booleana.

Avem urmatoarele consecinte rezultate din definitii.

Consecinta 1. (transformarea prin dualitate). Daca intr-o afirmatie adevarata in care intervin operatiile , , , si relatiile si , inlocuim peste tot pe cu , pe cu , pe cu si cu , iar pe il lasam neschimbat, obtinem tot o afirmatie adevarata numita afirmatie duala.

Se observa ca sistemul de axiome 1-5 ramane neschimbat daca substituim mutual operatiile , , operatorul pastrandu-si locul.

Consecinta 2. (Legi de indempotenta). Pentru orice avem:

Consecinta 3. (Legi de monotonie). Oricare ar fi , din rezulta:

Consecinta 4. Pentru orice elementele

sunt unic determinate si nu depind de ordinea elementelor.

Algebre Boole

Fie o familie oarecare de elemente dintr-o algebra Boole.

Definitie. Numim reuniune a elementelor elementul daca satisface conditiile:

pentru orice

Daca pentru orice , atunci .

Prin dualitate sunt condusi la urmatoarea:

Definitie. Numim intersectie a elementelor , elementul , daca:

pentru orice

2. Daca pentru orice , atunci

Notam:

Daca atunci se utilizeaza notatia:

Definitie. Se numeste -algebra Boole (algebra Boole -completa o algebra Bool, , daca pentru orice sir de elemente exista

Teorema 1.1. (Legi de distributivitate). Daca este o -algebra Boole si avem:

Corp de parti

Fie o multime oarecare formata din elemente si multimea tuturor partilor multimii .

Definitie. Se numeste corp de parti o familie nevida , cu proprietatile:

(S1)            implica

(S2)            implica

Din definitie rezulta urmatoarele proprietati:

(P1)           Avem , .

(P2)           Daca , atunci .

(P3)           Daca

- corp de parti

Definitie. Se numeste -corp de parti (corp borelian) o familie nevida care poseda proprietatile:

(S1-1)      implica

(S1-2)      implica

Proprietatile (P₁) - (P₃) raman valabile si pentru -corpuri. Avem adevarate si urmatoarele proprietati:

(P4)           Daca atunci ,

(P5)           Daca atunci , daca exista.