Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

 
CATEGORII DOCUMENTE






AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


INTEGRAREA NUMERICA A FUNTIILOR

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic


DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
REGULILE ALGEBREI
Permutari, Matrice, Determinanti - probleme
Relatii binare - Legi de compozitie - Proprietati ale legilor de compozitie
FUNCTIA ‘PARTE FRACTIONARA’ - PROIECT LA MATEMATICA
INTEGRAREA NUMERICA A FUNTIILOR
FISA DE LUCRU - Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi
Siruri si serii de elemente - Aplicatii la caracterizarea unor puncte, multimi si functii remarcabile
Derivabilitate (Gateaux) si diferentiabilitate (Fréchet) de ordinul I
TEME SI TESTE Matematica-Informatica Clasele V-VI
Tabel de integrale nedefinite

TERMENI importanti pentru acest document

: integrarea numerica : formula trapezelor : metoda coeficientilor nedeterminati : primitiva fisa de lucru :

    INTEGRAREA NUMERICA A FUNTIILOR

     INTEGRAREA NUMERICA A FUNCTIILOR

     1. INTRODUCERE

     Fie  o functie definita si integrabila pe intervalul . De cele mai multe ori este greu de determinat o primitiva, F, a integralei definite

                                                                                        (3.1)

sau daca aceasta primitiva exista, dar are o expresie analitica foarte complicata, folosirea in calculele ulterioare este foarte greoaie. De aceea, pentru calculul integralei (3.1) se stabilesc formule aproximative simple si usor de folosit pe orice calculator.

     Formula:

          ,                                                         (3.2)

in care  sunt constante independente de f, iar  sunt nodurile intervalului , poarta numele de formula de cuadratura numerica.

     In continuare, se deduc expresiile catorva formule de integrare numerica si  se intocmesc procedurile de calcul, scrise in limbaj Turbo-Pascal.

     3.2. Metoda coeficientilor nedeterminati

     Metoda coeficientilor nedeterminati consta in determinarea coeficientilor , ai formulei de cuadratura numerica (3.2), astfel incat restul R sa fie nul pentru orice polinom de grad mai mic sau egal cu n.

     Pentru demonstratie, se aleg polinoamele particulare: 1,  x, . Daca in formula de cuadratura (3.2) se inlocuieste, pe rand, functia  cu polinoamele mentionate si se pune conditia ca restul R sa fie nul, rezulta:

                ;

                ;

     ;                               (3.3)

                . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

                .

     Relatiile (3.3) formeaza un sistem de (n+1) ecuatii liniare in necunoscutele , si anume:

                                (3.4)

     Deoarece nodurile intervalului  se considera distincte, determinantul sistemului (3.4) este diferit de zero (determinant de tip Vandermonde), iar solutia sistemului este unica. Se poate arata ca restul formulei de cuadratura este nul pentru orice polinom de grad mai mic sau egal cu n, nu numai pentru polinoamele particulare considerate [36].

     3.3. Formula trapezelor de cuadratura numerica     

     Fie functia , continua pe , unde a < b. Se cere sa se calculeze

                

                .

     Fie , o retea de noduri echidistante pe intervalul . Ca urmare a proprietatii de aditivitate a integralei fata de interval, se poate scrie:

                .                                                                (3.7)

     Pentru determinarea formulei trapezelor de cuadratura numerica, se aproximeaza functia , pe fiecare interval, cu un polinom Newton de interpolare dreapta de ordinul unu. In acest caz, relatia (3.7) devine:

                ,                 (3.8)

unde: ,  este pasul retelei, iar este diferenta finita progresiva de ordinul unu.

     Daca in relatia (3.8) se face schimbarea de variabila , rezulta:

          .                                   (3.9)

     In cazul in care functia  este data tabelar, adica se cunosc valorile  in nodurile retelei, relatia (3.9) devine:

          .                                   (3.10)

     Daca se cunoaste expresia analitica a functiei  si se cere calculul integralei I , pe intervalul , atunci relatia (3.9) capata forma:

   (3.11)

     Metoda trapezelor, de calcul al integralei definite pe intervalul , consta in inlocuirea curbei  cu o linie poligonala, dupa cum se vede in figura 3.1.

Fig. 3.1. Reprezentarea geometrica a metodei trapezelor

     Eroarea de trunchiere pe intervalul , in cazul formulei de cuadratura numerica a trapezelor, este  de forma:

          .                               (3.12)

     Fie  o primitiva a functiei . Conform formulei lui Leibniz-Newton, relatia (3.12) devine:

                .                                 (3.13)

     Daca se dezvolta in serie Taylor functiile  si , in jurul punctului , se obtine:

     ;

            (3.14)

unde , .

     Dupa inlocuiri in relatia (3.13), se obtine:

          .                                                               (3.15)

     Daca se considera intervalul , atunci eroarea de trunchiere, in cazul metodei trapezelor, este

                .                                             (3.16)

Pentru , astfel incat  si tinand seama de faptul ca nodurile sunt echidistante, adica ,  relatia (3.16) devine:

                .                                                      (3.17)

     Daca exista , astfel incat ,  , atunci

                .                                                                (3.18)


     3.4. Formule Simpson de cuadratura numerica   

     3.4.1. Formula Simpson 1/3

     Fie functia , continua pe , unde a < b. Se cere sa se calculeze

                

                .

     Fie , o retea de noduri echidistante pe intervalul . Ca urmare a proprietatii de aditivitate a integralei fata de interval, se poate scrie

          .                                                             (3.20)

     Pentru determinarea formulei Simpson 1/3 de cuadratura numerica, se aproximeaza functia , pe fiecare interval de forma , cu un polinom Newton de interpolare dreapta de ordinul doi si relatia (3.20) devine:

,   (3.21)

unde:

          ;

           este pasul retelei de integrare;

           este diferenta finita progresiva de ordinul unu;

           este diferenta finita progresiva de ordinul doi.

     Daca in relatia (3.21) se face schimbarea de variabila , rezulta:

     .                                                                                                          (3.22)

     In cazul in care functia  este data tabelar, adica se cunosc valorile  in nodurile retelei de integrare, relatia (3.22) devine:

          .             (3.23)

     Daca se cunoaste expresia analitica a functiei  si se cere calculul integralei I, pe intervalul , atunci relatia (3.22) devine:

   (3.24)

     Metoda Simpson 1/3, de calcul al integralei definite pe intervalul , consta in inlocuirea curbei , pe fiecare interval de forma ,  cu un polinom de gradul doi (v.fig.3.2). Numarul de puncte trebuie astfel ales incat raportul  sa fie numar intreg. Daca nu se tine seama de acest lucru si mai ramane un interval, suprafata corespunzatoare acestuia se calculeaza cu metoda trapezelor.

     Eroarea de trunchiere pe intervalul , in cazul formulei de cuadratura numerica (3.22), este de forma:

          .             (3.25)

     Procedand in mod analog formulei trapezelor, se obtine:

.                                                    

    

Fig. 3.2. Reprezentarea geometrica a metodei Simpson 1/3

     Daca se considera intervalul , atunci eroarea de trunchiere, in cazul metodei Simpson 1/3,  este:

          .                                            (3.26)

     Pentru , astfel incat  ,

relatia (3.26) devine:

          .                                                    (3.27)

     Pentru  rezulta:

          .                                               (3.28)

     Daca exista , astfel incat ,  , atunci

          .                                                               (3.29)

     3.4.2. Formula Simpson  3/8

     Fie functia , continua pe , unde a < b. Se cere sa se calculeze

                

                .

     Fie , o retea de noduri echidistante pe intervalul . Ca urmare a proprietatii de aditivitate a integralei fata de interval, se poate scrie

          .                                                                 (3.30)

     Pentru determinarea formulei Simpson 3/8 de cuadratura numerica, se aproximeaza functia , pe fiecare interval de forma , cu un polinom Newton de interpolare dreapta de ordinul trei si relatia (3.30) devine:

          (3.31)

unde:  ;

           este pasul retelei de integrare;

           este diferenta finita progresiva de ordinul unu;

           este diferenta finita progresiva de ordinul doi;

           este diferenta finita progresiva de ord. trei.

     Daca in relatia (3.31) se face schimbarea de variabila , rezulta:

                                                                                                             (3.32)

     In cazul in care functia  este data tabelar, adica se cunosc valorile , in nodurile retelei de integrare, atunci relatia (3.32) devine:

     .                                                                                                                    (3.33)

     Daca se cunoaste expresia analitica a functiei  si se cere calculul integralei I, pe intervalul , atunci relatia (3.32) devine:

      

                                                                                                        (3.34)

     Metoda Simpson 3/8, de calcul al integralei definite pe intervalul , consta in inlocuirea curbei  pe fiecare interval de forma  cu un polinom de gradul trei. Numarul de puncte trebuie astfel ales incat raportul  sa fie numar intreg (v.fig.3.3). Daca nu se tine seama de acest lucru si mai ramane un interval, pentru acesta se aplica formula trapezelor; daca raman doua intervale, atunci se aplica formula corespunzatoare metodei Simpson 1/3.

Fig. 3.3. Reprezentarea geometrica a metodei Simpson 3/8

     Eroarea de trunchiere, pe intervalul , in cazul formulei de cuadratura numerica (3.32), este de forma:

          .                                                                                                              (3.35)

sau

     .                                                                                                            (3.36)

     Daca se dezvolta in serie Taylor functiile  si , in jurul punctului , se obtine:

;

;

;

;

unde , .

     Dupa inlocuiri in relatia (3.36), se obtine:

          .                                                            (3.37)

     Daca se considera intervalul , atunci eroarea de trunchiere in cazul metodei Simpson 3/8 este:

          .                                     (3.38)

     Pentru , astfel incat  si tinand seama de faptul ca nodurile sunt echidistante, adica , relatia (3.38) devine

          .                                                            (3.39)

     Daca exista , astfel incat ,  , atunci

          .                                                                     (3.40)

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 541
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2014. All rights reserved