Scrigroup - Documente si articole

     

 
HomeDocumenteUploadResurseAlte limbi doc
 
AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


MATEMATICI SPECIALE - Functii complexe de variabila complexa

Matematica



+ Font mai mare | - Font mai mic





MATEMATICI    SPECIALE

Obiectivul disciplinei

Prezentarea, cunoasterea si insusirea elementelor de baza si a tehnicilor calcul privind functii complexe, transformari integrale, functii speciale, probabilitati si grafuri.

Programa analitica a cursului

I. Functii complexe-------- ----- ------ -------- ----- ------ 12 ore

1. Numere complexe-------- ----- ------ ----- ----- -----------3 ore

Corpul numerelor complexe

Planul complex

Proprietatile algebrice ale numerelor complexe

Completarea planului complex

Structura metrica si topologica a planului complex

Functii complexe de variabila reala

Functii complexe de variabila complexa----- ----- ----- ----- -----6 ore

Limite

Continuitate

Derivabilitate-------- ----- ------ -------1 ora

Functii elementare-------- ----- ------ -1 ora

Integrarea functiilor complexe ----- ----- ---------2 ore

Serii de functii complexe----- ----- ----- ----- ------2 ore

Teoria reziduurilor si aplicatii-------- ----- ------ ----3 ore

II. Transformari integrale-------- ----- ------ ----- ----- --------- ----- ------6 ore

Transformarea Fourier-------- ----- ------ ----- 2 ore

Transformarea Laplace-------- ----- ------ ---- 2 ore

Aplicatii-------- ----- ------ ----- ----- -------------2 ore

III. Functii speciale-------- ----- ------ -------- ----- ------ ----3 ore

Functiile lui Euler: Gama si Beta----- ----- --------- ----- -------2 ore

Functii Bessel-------- ----- ------ ----- ----- -----------2 ore

IV. Elemente de teoria pobabilitatilor-------- ----- ------ ---------9 ore

Campuri de evenimente-------- ----- ------ 3 ore

Variabile aleatoare. Caracteristici numerice----------3 ore

Repartitii clasice de probabilitate----- ----- ------------3 ore

V. Elemente de teoria grafurilor-------- ----- ------ ----- ----- --------6 ore

Grafuri neorientate-------- ----- ------ -----1 ora

Grafuri orientate-------- ----- ------ --------1 ora

Algoritmi pentru determinarea fluxurilor optime---2ore

Drumul critic-------- ----- ------ ----------- 1 ora

Aplicatii-------- ----- ------ ----- ----- --------1 ora

VI. Elemente de teoria asteptarii 6 ore

Model general cu sosiri poissoniene si timp de servire exponentiala-2 ore

Model cu un fir de asteptare, o statie, populatie infinita----- ----- ------1 ora

Model cu un fir de asteptare, o statie, populatie finita----- ----- -------- 1 ora

Model cu un fir de asteptare, s statii identice, populatie infinita-------1 ora

Model cu un fir de asteptare, s statii identice, populatie finita----------1 ora

4. Bibliografie

[1] Gheorghe Barbu, Matematici speciale. Note de curs., Tipografia Universitatii din Pitesti, 1992.

[2] Gheorghe Barbu, Anca Barbu, Camelia Gheldiu, Probleme de matematici speciale, Tipografia Universitatii din Pitesti, 1993.

[3] Gheorghe Barbu, Maria Jaica, Modele ale cercetarii operationale, Editura Universitatii din Pitesti, 1999.

[4] Gheorghe Sabac, Matematici speciale, vol.I-II, Editura Didactica si Pedagogica, 1984

[5] Valter Rudner, Cornelia Nicolescu, Probleme de matematici speciale, Editura Didactica si Pedagogica, 1982.

[6] Marin Nicolae Popescu, Matematici speciale, Editura Universitatii din Pitesti, 2002.

[7] Gheorghe Mihoc, N. Micu, Teoria probabilitatilor si statistica matematica, Editura Didactica if Pedagogica, Bucuresti, 1980.

5. Evaluare

Prezenta la curs-------- ----- ------ -------- ----- ------ -----------10 %

Prezenta activa la seminar-------- ----- ------ ----- ----- --------- ----- --------10%

Verificare periodica-------- ----- ------ -------- ----- ------ ------20%

Tema de casa-------- ----- ------ -------- ----- ------ ----- ----- ----30%

Examen final-------- ----- ------ -------- ----- ------ ----- ----- ----30%

Tema de casa nr.1

1. Functii si formule trigonometrice

2. Formule de derivare

3. Formule de integrare

Tema de casa nr.2

Sa se determine constantele a si b astfel incat functia

f(x,y) = x2 + ay2 + i(bxy)

sa fie olomorfa pe C.

Sa se determine functia olomorfa (pe C) f = u + iv stiind ca

u(x,y) = x3 - 3y2x - 2y si f(0) = 0.

Sa se determine functia olomorfa (pe C) f = u + iv stiind ca

u(x,y) = x2 - y2 + xy si f(0) = 0.

4. Calculati

a.          (1+i)25

b.        

c.          ln(-2+2i)

d.         ln(4i-3)

e.         

f.          

g.        

h.        

i.           sin(1+i)

j.           tg(1-2i)

k.         ch(4i-3)

CAPITOLUL I FUNCTII COMPLEXE

Numere complexe

1.1. Constructia numerelor complexe

Multimea numerelor complexe a aparut din necesitatea extinderii notiunii de numar, avand ca punct de pornire multimea numerelor reale, cu scopul ca orice ecuatie de gradul n sa aiba n solutii in noua multime.

Fie R corpul numerelor reale. Pe multimea R2 = RR = , produsul cartezian al perechilor ordonate de numere reale, se definesc operatiile de adunare si inmultire astfel:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)

(x1, y1) . (x2, y2) = (x1x2 - y1y2, x1y2 + y1x2)

1.1.1. Definitie. Multimea R inzestrata cu operatiile de adunare si inmultire definite mai sus formeaza corp, numit corpul numerelor complexe, ale carui elemente se numesc numere complexe:

C = (R2, +, .)

1.1.2. Observatie. (R2, +, .) este corp comutativ, axiomele verificadu-se imediat, tinand cont de proprietatile operatiilor de adunare si inmultire a numerelor reale.

Adunarea are proprietatile:

asociativitatea (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3) , z1, z2, z3 C

exista elementul neutru fata de adunare, 0 = (0,0) si avem:

z+0 = 0+z , z C

pentru orice z = (x,y) C exista opus lui

-z (-x, -y) C atfel ca z+(-z) = (-z)+z = 0

comutativitatea z1+z2 = z2+z1 , z1, z2 C

Inmultirea are proprietatile:

asociativitatea (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) , z1, z2, z3 C

exista elementul neutru fata de inmultire, 1 = (1,0) si avem:

z.1 = 1.z = 0 , z C

pentru orice z = (x,y) C- exista inversul lui notat sau z-1 astfel ca z.z-1 = z-1.z = 1

care se mai poate scrie (x,y).(x',y') = (1,0) ceea ce ne conduce la sistemul:

cu solutia si pentru (x,y)

comutativitatea z1.z2 = z2.z1 , z1, z2 C

Forma algebrica a unui numar complex este z = x + i y, unde x este partea reala si se noteaza x = Re z, y este partea imaginara si se noteaza y = Im z, iar i este unitatea imaginara, i

Simbolul z identificand orice numar complex se numeste variabila complexa.

Multimea numerelor complexe se mai poate scrie astfel:

C

Determinarea lui arg z se face tinand seama de cadranul in care se afla numarul complex.

Exercitii. Fie z1 = 1 + i , z2 = -1 + i , z3 = - 1- i , z4 = . Sa se determine r, arg z, Arg z si sa se scrie forma trigonometrica pentru fiecare.

1.3.1. Definitie. Unghiul (0, 2 ) (sau ), masurat intre directia pozitiva a axei Ox si directia vectorului , care se determina in mod unic ca solutie a sistemului format din ecuatiile si (z 0), se numeste argumentul principal al lui z si se noteaza .

1.3.2. Observatii:

arg((0,0)) este nedeteminat

toate unghiurile ce determina directia vectorului se noteaza prin Arg z = arg z+2kπ, k Z si se numeste argumentul lui z.

In baza celor prezentate anterior rezulta forma trigonometrica a unui numar complex z C-:

z = r (cos + i sin

unde

O

y

y

x

x

I

II

III

IV
si

=

1.3.3. Propozitie. Pentru orice numere complexe

z = r1(cos + isin ), z2 = r2(cos + isin ) si z = r(cos + isin

au loc relatiile:

z z2 = r1r2[cos( )+ isin(

[cos( )+ isin(

z n = r n (cos n + isin n ) ,

Pentru r = 1 se obtine formula lui Moivre: (cos + isin )n = cos n + isin n

Exercitii.

1. Sa se calculeze (1 + i )100

2. Sa se gaseasca valorile lui z pentru care z5 = - 32 si sa se figureze in planul complex aceste valori.

3. Pentru orice n N* sa se rezolve ecuatia

4. Sa se gaseasca modulul, argumentul si sa se scrie sub foema trigonometrica, numerele

5. Sa se transcrie in coordonate complex conjugate exuatiile:

2 x + y = 5 , x2 + y2 = 10

1.4. Completarea planului complex cu punctul infinit

In afara de reprezentarea numerelor complexe ca puncte ale planului complex, in multe situatii este utila reprezentarea lor geometrica, ca puncte ale unei sfere. Se considera in spatiul de coordonate (u, v, w), un plan de coordonate (x, y), unde u = x, v = y (planul complex).

Se considera o sfera tangenta la planul complex in punctul corespunzator numarului complex 0 (originea).

Fie N punctul de pe sfera diametral opus lui O(polul nord). Fie M un punct de pe sfera distinct de N. Vom asocia punctului M punctul M din plan in care dreapta NM intersecteaza planul. Reciproc, unui punct M din plan ii vom asocia punctul M de pe sfera in care dreapta MN intersecteaza sfera. Corespondenta astfel realizata (intre punctele planului complex si punctele sferei) se numeste proiectie stereografica. Cand punctul M se misca pe sfera si se apropie de N, punctul din planul complex se departeaza, iar atunci cand M coincide cu N, dreapta MN devine paralela cu planul complex, ceea ce inseamna ca punctul N nu are corespondent in planul complex.

Daca punctului N ii asociem punctul infinit si reciproc, atunci se realizeaza o bijectie intre punctele de pe sfera si planul complex.

Notam multimea numerelor complexe astfel completata, obtinand planul complex compactificat sau planul lui Gauss.

Prin definitie, punctul de compactificare il vom numi punctul infinit al planului lui Gauss. Introducerea lui s-a facut prin proiectie stereografica.

Relatii algebrice ale numerelor complexe cu

z+ +z = z C

z. .z = z C

z C , , z C

SHAPE * MERGEFORMAT

w

N N

M'

M

v = y

u = x
1.5. Structura metrica si topologica a planului complex

1.5.1. Propozitie. Aplicatia d: CC R, definita prin

d(z1, z2) = |z1-z2| , z1, z C

este o metrica (distanta) pe C.

Demonstratie:

d(z1, z2) = 0 |z1-z2| = 0 z - z2 = 0 z = z2 , z1, z2 C

d(z1, z2) = |z1 - z2| = |z2 - z1| = d(z2, z1) , z1, z2 C

d(z1, z3) = |z1 - z3| = |(z1 - z2) + (z2 - z3)| |z1 - z2| + |z2 - z3| = d(z1, z2) + d(z2, z3) , z1, z2 C

1.5.2. Definitie. Multimea C pe care s-a definit metrica d se numeste spatiu metric, notat (C, d) .

1.5.3. Observatie. Distanta d coincide cu distanta euclidiana pe R2. Fie z1 = x1+iy1, z2 = x2+iy2 , atunci

d(z1,z2) = |z1-z2| = |(x1+iy1)-(x2+iy2)| = |(x1-x2)+i(y1-y2)| =

care reprezinta distanta euclidiana dintre doua puncte din plan, de coordonate (x1,y1) si (x2,y2).

1.5.4. Definitie. Fie z C, z . Multimea (z0; r) = se numeste disc deschis cu centrul in z0 si de raza r (r>0) sau vecinatate deschisa a lui z

1.5.5. Definitie. Multimea (z ,r) = se numeste frontiera discului (z0; r).

Adaugand discului frontiera sa se obtine discul inchis.

1.5.6. Definitie. Multimea Δ(z0; r) = se numeste vecinatate inchisa a punctului z0 sau disc inchis.

Pe multimea C, relativ la metrica d, se poate introduce o topologie τ

Pentru a da o topologie pe o multime trebuie sa vedem care este familia multimilor deschise.

1.5.7. Definitie. O clasa de submultimi ale unei multimi X se numeste topologie pe X, daca verifica urmatoarele trei axiome:

Ф,X τ

Daca D , D τ atunci si D D τ

Daca D τ pentru orice i apartinand unei multimi arbitrare de indici I, atunci τ.

1.5.8. Definitie. Cuplul (X,τ) se numeste spatiu topologic.

1.5.9. Definitie. O multime V, V C se numeste vecinatate a unui punct z C daca exista discul Δ(z ,r), astfel incat Δ(z ,r) V.

1.5.10. Definitie. Multimea Δ(z0; r1, r2) = se numeste coroana circulara centrata in z0 de raze r1 si r2, unde r1, r2 > 0.

1.5.11. Definitie. Punctul z0 C se numeste punct interior multimii E C, daca z0 E si exista o vecinatate V E a lui z continuta in intregime in E. Multimea tuturor punctelor interioare lui E se noteaza cu .

1.5.12. Definitie Multimea E C se numeste multime deschisa daca orice punct al sau este punct interior.

1.5.13. Observatie Orice reuniune de multimi deschise si orice intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa. Multimea C este deschisa.

1.5.14. Definitie Complementara multimii E este multimea CE a tuturor punctelor care nu sunt in E. Se noteaza cu CE.

1.5.15. Observatie. Un punct z este exterior multimii E daca exista o vecinatate a sa continuta in intregime in CE.

1.5.16. Definitie Multimea E este inchisa daca complementara sa este deschisa.

1.5.17. Definitie Punctul z0 C se numeste punct aderent multimii E C daca in orice vecinatate V a lui z0 exista cel putin un punct al multimii E.

Multimea tuturor punctelor aderente multimii E se numeste inchiderea lui E si se noteaza cu

1.518. .Definitie Multimea E se numeste inchisa daca E =

1.5.19. Obsrevatie. Multimile C si sunt inchise si deschise.

1.5.20. Definitie. Punctul z0 C se numeste punct de acumulare pentru multimea E daca in orice vecinatate V a sa exista cel putin un punct din E diferit de z , z E- ((V-) E

Multimea tuturor punctelor de acumulare ale lui E se numeste derivata lui E si se noteaza cu (evident

1.5.21. Definitie Punctul z0 C este punct frontiera al multimii E C daca in orice

vecinatate a lui z0 exista puncte z z ce apartin lui E si puncte z z ce nu apartin lui E.

Multimea tuturor punctelor frontiera ale lui E se numeste frontiera multimii E si se noteaza cu (evident

1.5.22. Definitie. Punctul z se numeste punct izolat al multimii E daca exista o vecinatate a lui z astfel incat (z ,r) E =

1.5.23. Definitie Multimea E, E C este marginita daca exista discul (0;r) astfel incat E Δ(0;r). Altfel se numeste nemarginita.

1.5.24. Definitie O multime inchisa si marginita se numeste multime compacta.

1.5.25. Definitie O multime deschisa E C se numeste conexa daca oricare ar fi z ,z E, ele pot fi unite printr-o curba continua continuta in E.

1.5.26. Definitie. O multime deschisa si conexa se numeste domeniu.

1.5.27. Definitie O multime deschisa si conexa a carei frontiera este formata dintr-o singura curba, se numeste domeniu simplu conex.

1.5.28. Definitie. O multime deschisa si conexa a carei frontiera este formata din doua sau mai multe curbe, se numeste domeniu multiplu conex.

Un domeniu multiplu conex se poate trensforma in domeniu simplu conex daca se efectueaza un anumit numar de taieturi.

1.5.29. Definitie. Se numeste taietura o operatie prin care se indeparteaza din domeniul respectiv acele puncte situate pe o curba continuta in domeniu si care reuneste doua puncte de pe frontiere diferite, una interioara si alta exterioara. SHAPE * MERGEFORMAT

A

B

z1    .

z2

C

D = A U B nu este conexa    C este conexa
Exercitii. Fie A =   , B =

Care este frontiera lui A ?

Ce fel de multimi sunt A si B ?

Dati exemplu de multime inchisa.

Care din multimile de mai sus sunt conexe ?

Dati exemplu de multime care nu este conexa.

2. Functii complexe de variabila reala

2.1. Definitie.. Fie. Se numeste functie complexa de variabila reala, aplicatia multimii E de numere reale in corpul C al numerelor complexe:

f : E R C

Notand cu t argumentul functiei, valoarea functiei in punctul t va fi un numar complex si se va scrie:

f(t) = z(t) = x(t)+i y(t), t E

Deci o functie complexa de variabila reala este determinata de o pereche ordonata

x = x(t), y = y(t), t E

de functii reale de variabila reala.

2.2. Definitia. Spunem ca numarul complex l este limita functiei f in punctul de acumulare t al lui E, daca ε>0 )>0, astfel incat pentru |t-t |< , t E t , avem |f(t)-l|<

2.3. Propozitie Conditia necesara si suficienta ca functia complexa de variabila reala f(t) sa aiba limita in punctul t E este ca in acel punct sa aiba limita functiile reale x(t) si y(t), t E.

2.4. Definitie. Spunem ca functia complexa de variabila reala f este continua in punctul t E, daca ε>0 )>0, astfel incat pentru |t-t |< , t E , avem |f(t)-f(t )|<

2.5. Propozitie Conditia necesara si suficienta ca functia complexa de variabila reala f(t) sa fie continua in punctul t E este ca functiile reale x(t) si y(t) sa fie continue in punctul t E.

2.6. Definitie Spunem ca functia f(t) este derivabila in punctul t E, daca exista si este finita.

2.6. Propozitie Conditia necesara si suficienta ca functia complexa de variabila reala f sa fie derivabila intr-un punct este ca functiile reale x(t) si y(t) sa fie derivabile in acel punct.

f

2.7. Definitie Diferentiala functiei f in punctul t E este numarul complex df(t (t )dt sau df(t) = (t)dt+i (t)dt.

2.8. Definitie Fie f : [a,b] R C o functie reala de variabila complexa, continua

f(t) = x(t)+i y(t), t [a,b]

Integrala functiei complexe de variabila reala se defineste astfel:

2.9. Observatie Multe dintre proprietatile integralelor functiilor reale se pastreaza si in cazul integralelor functiilor complexe de variabila reala, astfel:

Daca f,g:[a,b] C sunt integrabile pe [a,b], atunci si αf+βg este integrabila pe [a,b], oricare ar fi α,β C.

Daca f:[a,b] C este integrabila pe [a,b], atunci oricare ar fi c [a,b], f este integrabila pe [a,c]si pe[c,b] :

Daca f:[a,b] C este integrabila pe [a,b], atunci

Daca f:[a,b] C este continua pe [a,b], atunci f si |f| sunt integrabile pe [a,b] si avem:

Daca functia F(t) este o primitiva a functiei f:[a,b] C,

atunci , ceea ce inseamna ca se poate aplica formula lui Newton-Leibniz.

2.10. Definitie. Fie x(t) si y(t) doua functii definite pe [a,b] cu valori in R. Multimea punctelor din planul complex definita astfel:

luate in ordinea in care se obtin cand parametrul t parcurge intervalul [a,b] crescand de la a la b, se numeste curba continua, iar z(t) = x(t)+i y(t), t [a,b] reprezinta ecuatia curbei.

2.11. Definitie. O curba se numeste curba neteda daca admite o reprezentare de forma:

z(t) = x(t)+i y(t), t [a,b] unde x,y

ceea ce inseamna ca z(t) este continua si

2.12. Definitie. O curba se numeste curba neteda pe portiuni daca este formata dintr-un numar finit de curbe netede.

2.13. Definitie O curba se numeste curba inchisa daca oricare ar fi o reprezentare a sa de forma:

z(t) = x(t)+i y(t), t [a,b]

x(a) = x(b), y(a) = y(b)

2.14. Definitie O curba Г se numeste curba simpla, daca oricare ar fi o reprezentare a sa z(t) = x(t)+iy(t), t [a,b] are propriettea daca oricare ar fi

3. Functii complexe de variabila complexa

Fie D un domeniu simplu conex, D C.

3.1.1. Definitie. Spunem ca am definit o functie complexa de variabila complexa pe D cu valori in C, f : D C C daca am dat o lege de corespondenta care asociaza fiecarui element din D, unul sau mai multe elemente din C.

Daca se noteaza cu z = x +iy D variabila functiei, atunci valoarea functiei in punctul z va fi numarul complex :

w = f(z) = u(x,y) +iv(x,y), z D C

unde functiile reale

u(x,y) = Re f(z) , v(x,y) = Im f(z)

reprezinta partea reala, respectiv imaginara a functiei complexe f.

Daca notam cu C planul complex in care z = x+iy si cu C planul complex in care w = u+iv, functia complexa w = f(z) asociaza punctului M(z) din planul C punctul N(w) din planul C

Re w
 

Re z
 
SHAPE * MERGEFORMAT

Im w

Im z

M(z)

N(w)

w = f(z)

Se poate spune ca functia complexa defineste o corespondenta intre planele C si C prin transformarea punctuala u(x,y) = Re z, v(x,y) = Im z.

3.1. Limite si continuitate

Topologia planului complex fiind de fapt topologia spatiului euclidian bidimensional R notiunile de limita si continuitate se extind cu usurinta si in complex.

3.1.2. Definitii. Fie z0 punct de acumulare al multimii E C. Functia f : E C are limita l in punctul z0 (se scrie ) daca este indeplinita una din urmatoarele afirmatii echivalente:

pentru orice exista astfel incat cu proprietatea 0<|z-z0|< avem |f(z)-l|<

pentru orice V vecinatate a lui l exista U vecinatate a lui z0 astfel incat avem f(z) V

pentru orice sir (zn)n E cu , sirul (f(zn))n este convergent si

Exista variante obisnuite ale definitiilor care corespund cazului l = ∞ sau z0 = ∞. De asemenea, se mentin rezultatele privind limita unei sume, a unui produs, etc., ca la functii reale.

3.1.3. Propozitie Fie z0 = x0 + iy0 un punct de acumulare al multimii E C si functia f:E C, f(z) = u(x,y)+iv(x,y). Atunci daca si numai daca si

3.1.4. Definitie. Fie z0 E un punct de acumulare al multimii E C. Functia f : E C se numeste continua in z0 daca

3.1.5. Definitie. Se spune ca functia f :E C este continua in punctul z E daca oricare ar fi >0, exista un )>0 astfel incat pentru orice z cu proprietatea ca |z-z |< ) sa avem |f(z)-f(z )|<

3.1.6. Propozitie. Daca f(z) = u(x,y)+i v(x,y), atunci continuitatea functiei f in z este echivalenta cu continuitatea functiilor u = Re f(z), v = Im f(z) in punctul (x ,y

3.1.7. Definitie. Functia f :E C este marginita pe E daca exista 0<M< astfel incat |f(z)| M, z E.

3.2. Derivabilitate

3.2.1. Definitie. Fie D C domeniu si z0 D. Functia f : D C este derivabila (monogena) in z0 daca (sau si este finita

3.2.2. Observatie. h este un numar complex arbitrar, z +h D, iar limita respectiva nu depinde de modul in care h

3.2.3. Definitia 47. O functie f : D C derivabila in orice punct din D se numeste olomorfa (analitica) pe D.

3.2.4. Observatie O functie derivabila intr-un punct se numeste monogena in acel punct.

3.2.5. Observatie. O functie este olomorfa intr-un punct daca exista o vecinatate a punctului respectiv astfel incat functia sa fie monogena in fiecare punct din acea vecinatate.

3.2.6. Teorema Fie f,g : D C C doua functii complexe de variabila complexa. Daca f si g sunt monogene intr-un punct z0 D, atunci si functiile f, f g, fg, f/g (g(z ) 0) sunt monogene in acest punct si intre derivatele lor exista relatiile :

C

Demonstratiile nu difera de cazul functiilor reale de variabila reala.

3.2.7. Teorema. Fie D , D C doua domenii si f : D D , g :D C. Daca f este monogena intr-un punct z si g este monogena in punctul , atunci functia compusa h = g0h este monogena in z si avem :

3.2.8. Teorema lui Cauchy-Riemann. Fie f : D C, f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Daca f este monogena in z0 D, atunci exista intr-o vecinatate a punctului z0 = x0 + iy0 si satisfac conditiile:

(conditiile de monogenitate Cauchy-Riemann)

Reciproc, daca functiile u(x,y) si v(x,y) admit derivate partiale de ordinul I in raport cu x si y intr-o vecinatate a punctului z0, continue in z0 si satisfac conditiile Cauchy-Riemann, atunci f este monogena in z0 si avem:

Demonstratie:

" "(necesitatea) Cum functia f este monogena, atunci .

=
=

Presupunand ca pe o paralela la axa reala ( y = y0, ) rezulta ca

(1.1)

Analog, presupunand ca pe o paralela la axa imaginara Oy ( x = x0, ) rezulta ca

(1.2)

Din relatiile (1.1) si (1.2) rezulta ca

de unde se obtine

" "(suficienta) Cum u si v admit derivate partiale de ordinul I continue in (x0, y0), din formula cresterilor finite rezulta ca

unde functiile tind la zero cand (adica si ).

= +

+ =

+

+ =

= +

+ =

= + i + + .

Cum , si = = = = = 0 rezulta ca

ceea ce demonstreaza ca functia f este monogena in punctul z0 si ca

3.2.9. Propozitie. Orice functie monogena intr-un punct este continua in acel punct.

Reciproca nu este adevarata.

Exemplu. Functia f(z) = este continua in orice punct z dar nu este monogena.

3.2.10. Consecinta. Daca o functie olomorfa intr-un domeniu D are derivate nula, atunci ea este constanta in domeniul D.

3.2.11. Observatie Ca o consecinta a teoremei Cauchy-Riemann se poate determina o functie olomorfa pe un domeniu, cand i se cunoaste doar partea reala sau doar partea imaginara.

3.2.12. Observatie. Functiile monogene f(x,y) = u(x, y) + iv(x, y) pot fi scrise sub forma
w = f(z) observand ca w = f(z) = u(z,0) + iv(z,0), adica in expresia functiei in parametri x si y luam y = 0 si inlocuim x cu z.

Exemple. 1. Sa se determine constantele a, b, c, d astfel incat functia

f(x,y) = x2 + axy + by2 + i(cx2 + dxy + y2)

sa fie olomorfa pe C. Scrieti expresia functiei folosind variabila z.

2. Sa se determine functia olomorfa (pe C) f = u + iv stiind ca

u(x,y) = si f(0) = 1.

3. Sa se determine functia olomorfa (pe C) f = u + iv stiind ca

v(x,y) = 2 si f(0) = 0.

3.3. Functii complexe elementare

Functiile complexe elementare sunt extensii la multimea C a functiilor definite pe R.

3.3.1. Functia putere: f: C C, f(z) = zn (n N)

f(z) = zn = [r(cos +i sin )]n = r n (cos n + isin n ) = rncos n + irnsin n

3.3.2. Functia polinomiala f: C C, f(z) = anzn + an-1zn-1 + . + a1z1 + a0 (n N, a0, a1,., an C, an 0) este olomorfa pe C, iar derivata sa are aceeasi forma ca in cazul functiilor reale.

3.3.3. Functia rationala: f: C, f(z) = este olomorfa pe tot domeniul , iar derivata sa are aceeasi forma ca in cazul functiilor reale.

3.3.4. Functia radical de ordin n: f: C C, f(z) = (n N, n 2)

f(z) = .

Functia radical nu este olomorfa pe tot planul C.

3.3.5. Functia exponentiala: f: C C, f(z) =

f(z) = = = = = .

Functia exponentiala este olomorfa pe C, iar ; in plus, este periodica de perioada principala , pentru ca = = = = = f(z).

3.3.6. Functia logaritmica: f: C- C, f(z) = ln z

f(z) = ln z = = ln r + ln = ln r + , unde k Z

3.3.7. Functia putere generalizata: f: C C, f(z) = ( C)

f(z) =

=

3.3.8. Functii circulare (sinus si cosinus

(formulele lui Euler)

3.3.9. Functii hiperbolice:

,

3.3.10. Proprietati:

cos iz = ch z

sin iz = i sh z

ch iz = cos z

sh iz = i sin z

Functiile circulare si hiperbolice sunt olomorfe pe C si au derivatele:

(cos z)' = - sin z

(sin z)' = cos z

(ch z)' = sh z

(sh z)' = ch z

Functiile circulare au perioada principala , iar cele hiperbolice .

Pentru oricare ar fi z1, z2, z C se pot demonstra relatiile:

cos(z1 + z2) = cos z1cos z2 - sin z1sin z2

sin(z1 + z2) = sin z1cos z2 + sin z2cos z1

sin2z + cos2z = 1

sin 2z = 2sinzcos z

cos 2z = cos2z - sin2z

ch(z1 + z2) = ch z1ch z2 + sh z1sh z2

sh(z1 + z2) = sh z1ch z2 + sh z2ch z1

ch2 z - sh2 z = 1

sh 2z = 2 sh z ch z

ch 2z = ch2 z + sh2 z

Demonstratiile: tema pentru seminar.

Exemple. Sa se aduca sub forma A+iB expresiile :

ei , sh 2i , ch (2+3i) , cos(1-i) , ln(1+i) ,


Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare



DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 7133
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved