matice a determinanty

Například

B =

je matice typu (4,4), tj. má 4 řádky a 4 sloupce. Prvek b₃₃ = 111 a prvek b₁₂ = 5 (říkáme prvek v prvním řádku a druhém sloupci má hodnotu 5).

Poznámky

1. Je li m=n říkáme čtvercová matice řádu n .

(předcházející matice byla čtvercová řádu 4)

2. Jsou li všechny prvky nulové říkáme nulová matice. Označíme O. Například nulová matice typu (4,2) zobrazíme

O = 

3. Čtvercová matice řádu n, kde a_ij = 0 pro i¹j, a_ij = 1 pro i=j =1,2,¼,n se nazývá jednotková matice řádu n. Označíme E.

E =

4. Posloupnost a₁₁, a₂₂,a₃₃,,a_nn se nazývá hlavní diagonála.

(u jednotkové matice řádu n je hlavní diagonála posloupnost n jedniček)

5. Matice typu (m,1) se nazývá sloupcová, např. A =  a matice typu (1,n) se nazývá řádková, např. B = . Říká se také sloupcový nebo řádkový vektor.

6. Transponovaná matice A^T k matici A vznikne z A tak, že vyměníme řádky za sloupce a opačně, tj. a^T_ij = a_ji .

Např. jestliže A = Þ A^T = 

7. Matice A se nazývá symetrická jestliže A = A^T, tj. a_ij = a_ji . Např.

S =

8. Trojúhelníková matice má samé nuly nad nebo pod hlavní diagonálou. Např.

H =  a   D =  jsou trojúhelníkové matice.

Výpočet determinantu

pro n = 1, A = (a₁₁) Þ  = a₁₁

n = 2, A =  Þ  = = a ₁₁.a ₂₂ a ₁₂.a ₂₁

n = 3, A = Þ  =  =

a ₁₁a ₂₂ a ₃₃ + a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁+ a ₂₁a ₃₂ a ₁₃  a ₃₁a ₂₂ a ₁₃ a ₂₁a ₁₂ a ₃₃   a ₃₂ a ₂₃ a ₁₁

(Sarrusovo pravidlo)

Příklady: Vypočtěte determinanty 3. (pomocí Sarrusova pravidla) a 2. řádu.

a) A = 

Řešení :  = 3.0.(-2)+2.(-1).2+1.1.1

b) H = 

Řešení : det H =  = 6.5.(-4) = -120 (je vidět, že v případě troj. matice, det je součin prvků hlavní diagonály, ostatní součiny jsou nulové)

c) B = 

Řešení : det B = 5.0 - 1.6 = -6

Poznámka : Přímá analogie Sarrusova pravidla neplatí pro determinanty vyšších řádů. Ty počítáme na základě definice anebo vět uvedených dále.

Poznámka : Analogicky pro sloupce

= (rozvoj determinantu podle k‑tého sloupce)

Příklad: Vypočtěte determinant rozvojem :

A = 

Řešení : Počítáme rozvojem podle 2. sloupce (tam je nejvíc nul)

= 0.(-1)¹⁺².+ 0.(-1)²⁺².+ 3.(-1)³⁺².+

+ 1.(-1)⁴⁺².= -1

Vlastnosti determinantu

Transponováním se determinant nemění, tj. =

Determinant, který má jeden nulový řádek, je roven nule.

Vyměníme‑li v determinantu navzájem dva řádky, determinant změní znaménko.

Determinant, který má dvě stejné řádky, je roven nule.

Vynásobíme‑li jeden řádek čtvercové matice A číslem c, potom determinant vzniklé matice je roven c. .

Hodnota determinantu se nezmění, přičteme‑li k libovolnému řádku násobky ostatních řádků (LK).

Poznámka : Analogicky pro sloupce.

Praktický výpočet determinantů vyšších řádů

Rozvoj determinantu provádíme podle řádku (sloupce), kde je nejvíce nul. Nejsou‑li v žádném řádku (sloupci) nuly, můžeme determinant na základě jeho vlastnosti upravit tak, abychom v určitém řádku (sloupci) získali všechny prvky s výjimkou jednoho nulové.

Příklad: Vypočtěte determinant úpravou :

A = 

Řešení : Nejprve vytkneme 3 (1. sloupec) a 2 (3.)

= = 3.2. = 

a pak odečteme druhý sloupec od třetího a provedeme rozvoj podle 2. řádku, kde je nejvíc nul

= 6.= 6.(-1) .(-1)²⁺².= (-6).4 = -24

Operace s maticemi

Příklad: Vynásobte matice :

A =  B =

Řešení A.B = =

B.A = =

Hodnost matice

Hodnost matice se nezmění :

1. Transponováním.

2. Vyměníme‑li navzájem dva řádky.

3. Vynásobíme‑li řádek matice číslem různým od nuly.

4. Přičteme‑li k libovolnému řádku LK ostatních řádků.

5. Vynecháním řádků obsahujících samé nuly.

Poznámka1 : Analogicky pro sloupce.

Poznámka2 : Krokům 1 až 5 říkáme elementární transformace.

Poznámka3 Řekněme, že matice A,B jsou ekvivalentní, lze‑li jednu z nich převést v druhou konečným počtem elementárních transformací. Označíme

A B

Praktický výpočet hodnosti matice

Pomocí elementárních transformací převedeme danou matici na trojúhelníkový tvar. Vynecháme nulové řádky. Počet nenulových řádků této matice je roven její hodnosti.

Příklad: Určete hodnost matice A

A = 

Řešení

Þ h(A) = 3